TD09 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – Exercices : 09 - Interféromètre de Michelson
Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 09 - Interféromètre de Michelson
A. Formes de la figure d’interférences
1. Anneaux de Haidinger
On considère un interféromètre de Michelson réglé en lame d’air (on appellera M1 le miroir mobile et M2 ). Il
est éclairé par la raie verte de la lampe à vapeur de mercure de longueur d’onde λ = 546, 1 nm. L’épaisseur de
la lame d’air constituée est e, elle est très voisine de 1 cm.
1. Décrire un tel interféromètre.
2. En admettant qu’il y ait au centre un maximum d’intensité lumineuse, calculer les rayons des 4 premiers
anneaux brillants dans le plan focal d’un objectif de focal 1 m.
3. Calculer la longueur d’onde λ′ qui provoquerait un déplacement des anneaux d’une frange vers l’extérieur
de la figure. Que pensez-vous de la valeur trouvée ?
On éclaire maintenant avec uniquement la raie verte du mercure l’interféromètre réglé au contact optique.
4. Décrire la figure d’interférences.
En fait, à la suite d’une mauvaise manipulation, le miroir M2 présente une légère déformation au niveau
de son centre. Cette déformation est modélisée par une callote sphérique de rayon R = 10 m.
5. Expliquer pourquoi la figure d’interférences est à nouveau constituée d’anneaux. Calculer les rayons des 4
premiers anneaux brillants.
2. Doublet du sodium - Influence sur le contraste
Un interféromètre de Michelson est réglé de telle sorte que ses miroirs soient exactement perpendiculaires et
qu’on se trouve au contact optique. Il est éclairé en lumière parallèle au moyen d’une lampe à vapeur de Sodium
ne fournissant que les seules raies du doublet de la raie D : λ1 = 589, 0 nm et λ2 = 589, 6 nm. Un moteur déplace
lentement un des miroirs perpendiculairement à son plan à vitesse constante V . On note x l’épaisseur de la lame
d’air ainsi constituée. On mesure en permanence l’éclairement au centre de la figure d’interférence en disposant
un capteur CCD au foyer principal image d’une lentille mince convergente disposée en sortie de l’interféromètre.
1. Établir l’expression de l’éclairement E en fonction du temps t.
2. Donner l’allure de la courbe correspondante et le nombre de franges claires enregistrées entre deux annulations du contraste.
3. Quelle est la valeur de la fréquence du signal électrique produit par le capteur si la vitesse est de déplacement du miroir est V = 1 cm · h−1 ? Que faudrait-il faire pour obtenir sur un oscilloscope directement la
fonction de contraste ? Quelle application pourrait-on faire de cette expérience ?
2
2π∆λV t
t
λ
Réponses : δ = 2x = 2V t, E(t) = Emax
cos 2π2V
2 [1 + cos
λ2
λ ] ; contraste de période Tc = V ∆λ , interférences
Tc
λ
λ
λ
2V
de période Ti = 2V , Ti = 2 ∆λ , sur une demi-période ∆λ = 982 annulations ; fi = λ = 33940 Hz ; détecteur de
crêtes.
B. Applications
3. Mesure de la largeur d’une raie
Une source ponctuelle monochromatique éclaire un interféromètre de Michelson réglé en lame d’air de telle sorte
que l’un des miroirs M1 soit fixe et que l’autre puisse se déplacer parallèlement à lui-même à partir de sa position
initiale correspondant à une différence de marche nulle. Un détecteur P situé sur l’axe du faisceau donne un
signal électrique proportionnel à l’intensité I du faisceau qu’il reçoit.
1. Exprimer I en fonction de la fréquence ν0 de la radiation émise et de τ = 2x/c, x étant le déplacement de
M2 et c la vitesse de la lumière dans le vide.
2. La source n’émet pas une onde monochromatique, comme cela est supposé précédemment, mais une onde
quasi-monochromatique centrée sur la fréquence ν0 . On note ∆ν1/2 la largeur totale à mi-hauteur de
l’intensité spectrale de la source. Trouver l’intensité I(τ ) lorsque l’intensité spectrale de la raie Iν est
rectangulaire.
Imax − Imin
3. Un calculateur associé au détecteur fournit la fonction : V (τ ) =
. Trouver V (τ ). Tracer son
Imax + Imin
graphe.
4. La raie rouge du cadmium (λ0 = 643, 8 nm) présente une intensité spectrale Iν approximativement rectangulaire. On observe, pour la première fois V (τ ) = 0 pour x = 15 cm. En déduire ∆ν1/2 et ∆λ1/2 .
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
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Réponses : I = I0 (1 + cos 2πν0 τ ) ; I = I0 (1 + sinc π∆ν1/2 τ cos 2πν0 τ ) ; V (τ ) = | sinc π∆ν1/2 τ | ; ∆ν1/2 =
9
10 Hz, ∆λ1/2 =
c∆ν1/2
ν02
c
2x
=
= 1, 4 pm.
4. Spectrométrie par transformée de Fourier
On éclaire un interféromètre de Michelson monté en lame d’air d’épaisseur e avec une raie quasi-monochromatique,
caractérisée par son profil spectral :
dE0
(σ − σ0 )2
= f (σ) = C exp −
dσ
a2
où σ = 1/λ et où σ0 , C et a ≪ σ0 sont des constantes positives. Pour simplifier, on étendra la fonction f aux
valeurs négatives de σ, domaine où elle prend des valeurs négligeables.
1. Quelle est la signification de σ0 ? Calculer la largeur ∆σ du profil à mi-hauteur et interpréter la constante
a. Faire un graphique rapide du profil spectral.
2. On réalise un enregistrement de l’éclairement au centre de la figure d’interférences en fonction de l’épaisseur
de la lame d’air qu’on fait varier en déplaçant un des miroirs avec l’aide d’un moteur. Établir l’expression
de l’éclairement E(e) en fonction de constantes et de la transformée de Fourier du profil spectral définie
par :
Z ∞
b
f (x) =
f (σ) exp(2jπσx)dσ
Z
−∞
√
u2
exp(2jπux)du = a π exp −π 2 a2 x2 , établir l’expression de E(e) et tracer l’allure
2
a
−∞
de son graphe pour ∆σ ≪ σ0 . Comment évolue la visibilité des franges ? Comment peut-on mesurer ∆σ ?
Quelle valeur de e doit-on pouvoir atteindre ?
3. Sachant que
∞
exp −
5. Mesure de déformation
Un interféromètre de Michelson est réglé au contact optique : les deux miroirs sont orthogonaux, symétriques
relativement à la lame séparatrice (cf. figure 1). L’un des miroirs est en fait légèrement déformé et forme une
sphère, convexe, de grand rayon R. Les miroirs sont éclairés par un faisceau de lumière monochromatique
de longueur d’onde λ issu d’un point lumineux situé sur l’axe de l’interféromètre à la distance d de la lame
séparatrice. L’observation est réalisée au foyer d’une lentille convergente de focale f ′ .
Ensemble séparateur–compensateur
Figure 1 – Déformation du miroir d’un interféromètre
1. On néglige d’abord toute déformation du miroir.
Quel est, au contact optique, l’aspect de l’écran d’observation ? Le contact optique est réalisé lorsqu’une
même distance y sépare les deux miroirs du système séparateur–compensateur.
2. On prend maintenant en compte la déformation sphérique du miroir de l’interféromètre.
(a) Déterminer la position des deux images de la source données par les deux miroirs.
Quelle est la distance dim entre ces images ?
(b) Montrer que ces deux images sont déphasés et calculer leur déphasage. On précisera la convention de
signe choisie.
(c) Quel est l’aspect du champ d’interférence ?
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
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(d) La distance entre le centre de la figure et la troisième frange brillante est l = 5 cm ; on donne d = 1 m,
λ = 500 nm, f ′ = 50 cm et y = 10 cm. On fera l’hypothèse que le centre de la figure est un point
sombre. Cette hypothèse sera vérifiée ensuite. Calculer R ; commenter.
Réponses : δ = 2e cos i = 0 et cela ∀i lorsque e = 0, écran entièrement lumineux ; dim =
4(d+y)
R
2
(1 −
i2
2 ),
i=
2 2
2(d+y) l
l
f′ ,
Rf ′2
2(d+y)2
R
; δ =
= 2, 5λ, R = 19360 m, des défauts infimes peuvent être détectés.
6. Contrôle de déplacement
On utilise un interféromètre de Michelson en lame d’air d’épaisseur e avec une source monochromatique de
longueur d’onde λ = 643, 84896 nm. On désire, pour une application métrologique, mesurer un déplacement
∆e = 51225342 nm d’un des miroirs à 10 nm près, provoquant une augmentation ∆p = p′′ − p′ de l’ordre
d’interférences p. On note E(p) l’éclairement et Emax sa valeur maximale.
1. Comment mesurer très simplement la partie entière EN T (p) de p ?
2. Montrer que, compte tenu de la précision requise, il faut aussi mesurer la partie fractionnaire p − EN T (p).
dE
E(p)
Pour cela, on détermine le signe de
et on mesure ρ =
avec une incertitude absolue égale à
dp
Emax
′
0,01. Quel est le meilleur choix pour l’ordre d’interférences p avant déplacement du miroir ? La précision
est-elle suffisante ?
Réponses : Comptage des franges brillantes passant au centre ; 2∆e = ∆pλ d’où ∆p = 159122, 23 ; ∆e∗ = 10 nm,
dE(p)
∆p∗ = 0, 031, mesure de la partie fractionnaire de p indispensable ; E(p) = Emax
=
2 (1 + cos(2πp)) ;
dp
−πEmax sin(2πp),
dρ
dp
= −π sin(2πp), choisir sin(2πp′ ) = 1, ∆p =
∆ρ
π
= 0, 0031, précision suffisante.
C. Le problème de la localisation des franges
7. Utilisation d’une source à distance finie
On utilise un interféromètre monté en lame d’air d’épaisseur ℓ. Cet interféromètre est éclairé par une source
monochromatique émettant à la longueur d’onde λ0 . Cette source est ponctuelle, elle est placée en un point de
l’axe Ox (xS < 0). On considère un point M du champ d’interférences situé à des coordonnées (xM , yM ) par
rapport à l’origine O prise au centre du dispositif sur la lame semi-réfléchissante. Voir le schéma de la figure 2.
y
M2
b
a
S2
M
b
M1
ℓ
S
xS
b
b
x
O
a
D
θ
b
M
Figure 2 – Source à distance finie
1. Comment réalise-t-on en pratique une source monochromatique et ponctuelle, située à une distance finie
de l’interféromètre ?
2. Déterminer les coordonnées des deux sources secondaires S1 et S2 créées par l’interféromètre. S2 est l’image
de S par la lame semi-réfléchissante et le miroir M2 . En déduire la distance qui sépare S1 et S2 . Exprimer
alors la distance D en fonction de xS .
Dans toute la suite, on travaillera avec comme repérage du point M où l’on étudie les interférences, la
distance D et l’angle θ qu’on supposera suffisamment pour autoriser les développements limités classiques
sin θ ≃ tan θ ≃ θ et cos θ ≃ 1 − θ2 /2.
3. Montrer que la différence de marche des ondes qui interfèrent en M est donnée par :
ℓ
θ2
δ = 2ℓ 1 +
1−
D
2
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4. En déduire que la figure d’interférences en M observées avec une lentille convergente et un écran est formée
d’anneaux concentriques. Comment doit-on disposer la lentille et l’écran ? On note γ le grandissement
transversal apporté par la lentille convergente.
5. On suppose que le centre des anneaux correspond à un maximum d’intensité lumineuse. Déterminer, en
fonction de γ, λ0 , ℓ, D et n le rayon Rn du n ème anneau lumineux compté à partir du centre.
6. La figure d’interférences est-elle localisée ? Décrire son évolution si on déplace la source S perpendiculairement à l’axe Ox.
Le faisceau incident est maintenant issu d’une source étendue incohérente, monochromatique de longueur
d’onde λ0 , et située dans un plan perpendiculaire à l’axe Ox placé à une distance finie. Cette source est
circulaire de rayon R et de centre S.
7. Décrire comment se trouve modifiée la figure d’interférences.
8. On suppose que le nombre Nv d’anneaux visibles est grand. Évaluer l’ordre de grandeur de Nv en fonction
des paramètres λ0 , D, ℓ et R.
9. Comment rendre maximal le nombre d’anneaux théoriquement visibles ? Montrer que dans ces conditions
la figure d’interférences est localisée, et indiquer comment on dispose alors la lentille convergente et l’écran.
Dans ce dernier cas, calculer le rayon Rn′ du n ème anneau lumineux compté à partir du centre supposé
correspondre comme précédemment à une interférence constructive.
Réponses : On utilise un filtre interférentiel, un dépoli et un diaphragme de taille très petite devant la source ;
D
S2 (0, 2a − xS ) et S1 (0, 2ℓ + 2a − xS ), on a S1 S2 = 2ℓ et D = 2a − xS − yM ; S2 M = cos
θ , S1 M =
q
p
2
2
D
2ℓ
2ℓ
D
2
2
(2ℓ + D)2 + D2 tan2 θ = 4ℓ2 + 4ℓD + cos
2 θ d’où δ = cos θ (1 + D cos θ + D 2 cos θ − 1), on trouve δ =
2
2ℓ(1 + Dℓ )(1 − θ2 ) ; les franges brillantes sont données par δ = pλ avec p ∈ N, une frange correspond à p fixé
donc à θ fixé, par invariance par rotation autour de l’axe optique de la lentille, on obtient
des anneaux, le point
q
nλ0 D
M et l’écran doivent vérifier la relation de conjugaison de la lentille ; Rn = |γ|D ℓ(ℓ+D) ; la figure n’est pas
localisée car on a deux sources ponctuelles cohérentes S1 et S2 , les interférences sont visibles dans tout l’espace,
si on déplace la source S selon l’axe Oy de ∆yS , on obtient une translation de la figure observée sur l’écran
de |γ|∆y sur un axe parallèle à Ox ; on superpose toutes les translations évoquées précédemment pour ∆y
allant de 0 à R, la figure d’interférences va se brouiller selon toute vraisemblance et d’autant plus rapidement
sur la périphérie de la zone projetée sur l’écran ; il y a brouillage au niveau de l’anneau n = Nv si le bord
de la source décalée de R vient placer une frange brillante au milieu de la frange de rang Nv q
et de celle de
√
√
RNv +1 −RNv
2R
rang Nv + 1, cela veut dire alors que |γ|R =
, on en déduit Nv + 1 − Nv = D ℓ(ℓ+D)
avec
2
λ0 D
q
√
√
√
2
2
λ0 D
D λ0
D
Nv + 1 − Nv = Nv ( 1 + N1v − 1) ≃ 2√1N , on trouve Nv ≃ 16R
2 ℓ(ℓ+D) ≃ 16R2 ℓ ; il faut D grand et donc
v
observer à l’infini où seront localisées les franges d’interférences en plaçant l’écran dans le plan focal image de
la lentille convergente.
JR Seigne
Clemenceau
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