TD09 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – Exercices : 09 - Interf´erom`etre de Michelson Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 09 - Interf´erom`etre de Michelson
A. Formes de la figure d’interf´erences
1. Anneaux de Haidinger
On consid`ere un interf´erom`etre de Michelson r´egl´e en lame d’air (on appellera M1le miroir mobile et M2). Il
est ´eclair´e par la raie verte de la lampe `a vapeur de mercure de longueur d’onde λ= 546,1 nm. L’´epaisseur de
la lame d’air constitu´ee est e, elle est tr`es voisine de 1 cm.
1. D´ecrire un tel interf´erom`etre.
2. En admettant qu’il y ait au centre un maximum d’intensit´e lumineuse, calculer les rayons des 4 premiers
anneaux brillants dans le plan focal d’un objectif de focal 1 m.
3. Calculer la longueur d’onde λ′qui provoquerait un d´eplacement des anneaux d’une frange vers l’ext´erieur
de la figure. Que pensez-vous de la valeur trouv´ee ?
On ´eclaire maintenant avec uniquement la raie verte du mercure l’interf´erom`etre r´egl´e au contact optique.
4. D´ecrire la figure d’interf´erences.
En fait, `a la suite d’une mauvaise manipulation, le miroir M2pr´esente une l´eg`ere d´eformation au niveau
de son centre. Cette d´eformation est mod´elis´ee par une callote sph´erique de rayon R= 10 m.
5. Expliquer pourquoi la figure d’interf´erences est `a nouveau constitu´ee d’anneaux. Calculer les rayons des 4
premiers anneaux brillants.
2. Doublet du sodium - Influence sur le contraste
Un interf´erom`etre de Michelson est r´egl´e de telle sorte que ses miroirs soient exactement perpendiculaires et
qu’on se trouve au contact optique. Il est ´eclair´e en lumi`ere parall`ele au moyen d’une lampe `a vapeur de Sodium
ne fournissant que les seules raies du doublet de la raie D:λ1= 589,0 nm et λ2= 589,6 nm. Un moteur d´eplace
lentement un des miroirs perpendiculairement `a son plan `a vitesse constante V. On note xl’´epaisseur de la lame
d’air ainsi constitu´ee. On mesure en permanence l’´eclairement au centre de la figure d’interf´erence en disposant
un capteur CCD au foyer principal image d’une lentille mince convergente dispos´ee en sortie de l’interf´erom`etre.
1. ´ Etablir l’expression de l’´eclairement Een fonction du temps t.
2. Donner l’allure de la courbe correspondante et le nombre de franges claires enregistr´ees entre deux annu-
lations du contraste.
3. Quelle est la valeur de la fr´equence du signal ´electrique produit par le capteur si la vitesse est de d´eplace-
ment du miroir est V= 1 cm ·h−1? Que faudrait-il faire pour obtenir sur un oscilloscope directement la
fonction de contraste ? Quelle application pourrait-on faire de cette exp´erience ?
R´eponses : δ= 2x= 2V t,E(t) = Emax
2[1 + cos 2π∆λV t λ2cos 2π2V t λ] ; contraste de p´eriode Tc=λ2 V∆λ, interf´erences
de p´eriode Ti=λ
2V,Tc Ti= 2 λ ∆λ, sur une demi-p´eriode λ ∆λ= 982 annulations ; fi=2V λ= 33940 Hz ; d´etecteur de
crˆetes.
B. Applications
3. Mesure de la largeur d’une raie
Une source ponctuelle monochromatique ´eclaire un interf´erom`etre de Michelson r´egl´e en lame d’air de telle sorte
que l’un des miroirs M1soit fixe et que l’autre puisse se d´eplacer parall`element `a lui-mˆeme `a partir de sa position
initiale correspondant `a une diff´erence de marche nulle. Un d´etecteur Psitu´e sur l’axe du faisceau donne un
signal ´electrique proportionnel `a l’intensit´e Idu faisceau qu’il re¸coit.
1. Exprimer Ien fonction de la fr´equence ν0de la radiation ´emise et de τ= 2x/c,x´etant le d´eplacement de
M2et cla vitesse de la lumi`ere dans le vide.
2. La source n’´emet pas une onde monochromatique, comme cela est suppos´e pr´ec´edemment, mais une onde
quasi-monochromatique centr´ee sur la fr´equence ν0. On note ∆ν1/2la largeur totale `a mi-hauteur de
l’intensit´e spectrale de la source. Trouver l’intensit´e I(τ) lorsque l’intensit´e spectrale de la raie Iνest
rectangulaire.
3. Un calculateur associ´e au d´etecteur fournit la fonction : V(τ) = Imax −Imin
Imax +Imin
. Trouver V(τ). Tracer son
graphe.
4. La raie rouge du cadmium (λ0= 643,8 nm) pr´esente une intensit´e spectrale Iνapproximativement rec-
tangulaire. On observe, pour la premi`ere fois V(τ) = 0 pour x= 15 cm. En d´eduire ∆ν1/2et ∆λ1/2.
JR Seigne Clemenceau Nantes

Sciences Physiques MP 2016-2017 Exercices : 09 - Interf´erom`etre de Michelson – 2
R´eponses : I=I0(1 + cos 2πν0τ) ; I=I0(1 + sinc π∆ν1/2τcos 2πν0τ) ; V(τ) = |sinc π∆ν1/2τ|; ∆ν1/2=c
2x=
109Hz, ∆λ1/2=c∆ν1/2
ν2
0
= 1,4 pm.
4. Spectrom´etrie par transform´ee de Fourier
On ´eclaire un interf´erom`etre de Michelson mont´e en lame d’air d’´epaisseur eavec une raie quasi-monochromatique,
caract´eris´ee par son profil spectral :
dE0
dσ=f(σ) = Cexp −(σ−σ0)2 a2
o`u σ= 1/λ et o`u σ0,Cet a≪σ0sont des constantes positives. Pour simplifier, on ´etendra la fonction faux
valeurs n´egatives de σ, domaine o`u elle prend des valeurs n´egligeables.
1. Quelle est la signification de σ0? Calculer la largeur ∆σdu profil `a mi-hauteur et interpr´eter la constante
a. Faire un graphique rapide du profil spectral.
2. On r´ealise un enregistrement de l’´eclairement au centre de la figure d’interf´erences en fonction de l’´epaisseur
de la lame d’air qu’on fait varier en d´epla¸cant un des miroirs avec l’aide d’un moteur. ´ Etablir l’expression
de l’´eclairement E(e) en fonction de constantes et de la transform´ee de Fourier du profil spectral d´efinie
par :
b
f(x) = Z∞
−∞
f(σ) exp(2jπσx)dσ
3. Sachant que Z∞
−∞
exp −u2
a2exp(2jπux)du =a√πexp −π2a2x2, ´etablir l’expression de E(e) et tracer l’allure
de son graphe pour ∆σ≪σ0. Comment ´evolue la visibilit´e des franges ? Comment peut-on mesurer ∆σ?
Quelle valeur de edoit-on pouvoir atteindre ?
5. Mesure de d´eformation
Un interf´erom`etre de Michelson est r´egl´e au contact optique : les deux miroirs sont orthogonaux, sym´etriques
relativement `a la lame s´eparatrice (cf. figure 1). L’un des miroirs est en fait l´eg`erement d´eform´e et forme une
sph`ere, convexe, de grand rayon R. Les miroirs sont ´eclair´es par un faisceau de lumi`ere monochromatique
de longueur d’onde λissu d’un point lumineux situ´e sur l’axe de l’interf´erom`etre `a la distance dde la lame
s´eparatrice. L’observation est r´ealis´ee au foyer d’une lentille convergente de focale f′.
Ensemble s´eparateur–compensateur
Figure 1 – D´eformation du miroir d’un interf´erom`etre
1. On n´eglige d’abord toute d´eformation du miroir.
Quel est, au contact optique, l’aspect de l’´ecran d’observation ? Le contact optique est r´ealis´e lorsqu’une
mˆeme distance ys´epare les deux miroirs du syst`eme s´eparateur–compensateur.
2. On prend maintenant en compte la d´eformation sph´erique du miroir de l’interf´erom`etre.
(a) D´eterminer la position des deux images de la source donn´ees par les deux miroirs.
Quelle est la distance dim entre ces images ?
(b) Montrer que ces deux images sont d´ephas´es et calculer leur d´ephasage. On pr´ecisera la convention de
signe choisie.
(c) Quel est l’aspect du champ d’interf´erence ?
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(d) La distance entre le centre de la figure et la troisi`eme frange brillante est l= 5 cm ; on donne d= 1 m,
λ= 500 nm, f′= 50 cm et y= 10 cm. On fera l’hypoth`ese que le centre de la figure est un point
sombre. Cette hypoth`ese sera v´erifi´ee ensuite. Calculer R; commenter.
R´eponses : δ= 2ecos i= 0 et cela ∀ilorsque e= 0, ´ecran enti`erement lumineux ; dim =2(d+y)2
R;δ=
4(d+y)2
R(1 −i2 2), i=l f′,2(d+y)2l2 Rf′2= 2,5λ,R= 19360 m, des d´efauts infimes peuvent ˆetre d´etect´es.
6. Contrˆole de d´eplacement
On utilise un interf´erom`etre de Michelson en lame d’air d’´epaisseur eavec une source monochromatique de
longueur d’onde λ= 643,84896 nm. On d´esire, pour une application m´etrologique, mesurer un d´eplacement
∆e= 51225342 nm d’un des miroirs `a 10 nm pr`es, provoquant une augmentation ∆p=p′′ −p′de l’ordre
d’interf´erences p. On note E(p) l’´eclairement et Emax sa valeur maximale.
1. Comment mesurer tr`es simplement la partie enti`ere ENT (p) de p?
2. Montrer que, compte tenu de la pr´ecision requise, il faut aussi mesurer la partie fractionnaire p−EN T (p).
Pour cela, on d´etermine le signe de dE
dpet on mesure ρ=E(p) Emax
avec une incertitude absolue ´egale `a
0,01. Quel est le meilleur choix pour l’ordre d’interf´erences p′avant d´eplacement du miroir ? La pr´ecision
est-elle suffisante ?
R´eponses : Comptage des franges brillantes passant au centre ; 2∆e= ∆pλ d’o`u ∆p= 159122,23 ; ∆e∗= 10 nm,
∆p∗= 0,031, mesure de la partie fractionnaire de pindispensable ; E(p) = Emax
2(1 + cos(2πp)) ; dE(p) dp=
−πEmax sin(2πp), dρ
dp=−πsin(2πp), choisir sin(2πp′) = 1, ∆p=∆ρ π= 0,0031, pr´ecision suffisante.
C. Le probl`eme de la localisation des franges
7. Utilisation d’une source `a distance finie
On utilise un interf´erom`etre mont´e en lame d’air d’´epaisseur ℓ. Cet interf´erom`etre est ´eclair´e par une source
monochromatique ´emettant `a la longueur d’onde λ0. Cette source est ponctuelle, elle est plac´ee en un point de
l’axe Ox (xS<0). On consid`ere un point Mdu champ d’interf´erences situ´e `a des coordonn´ees (xM, yM) par
rapport `a l’origine Oprise au centre du dispositif sur la lame semi-r´efl´echissante. Voir le sch´ema de la figure 2.
M
xS
S
Ox
y
ℓ
M1
M2
a
a
S2
M
θ
D
Figure 2 – Source `a distance finie
1. Comment r´ealise-t-on en pratique une source monochromatique et ponctuelle, situ´ee `a une distance finie
de l’interf´erom`etre ?
2. D´eterminer les coordonn´ees des deux sources secondaires S1et S2cr´e´ees par l’interf´erom`etre. S2est l’image
de Spar la lame semi-r´efl´echissante et le miroir M2. En d´eduire la distance qui s´epare S1et S2. Exprimer
alors la distance Den fonction de xS.
Dans toute la suite, on travaillera avec comme rep´erage du point Mo`u l’on ´etudie les interf´erences, la
distance Det l’angle θqu’on supposera suffisamment pour autoriser les d´eveloppements limit´es classiques
sin θ≃tan θ≃θet cos θ≃1−θ2/2.
3. Montrer que la diff´erence de marche des ondes qui interf`erent en Mest donn´ee par :
δ= 2ℓ1 + ℓ
D1−θ2 2
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4. En d´eduire que la figure d’interf´erences en Mobserv´ees avec une lentille convergente et un ´ecran est form´ee
d’anneaux concentriques. Comment doit-on disposer la lentille et l’´ecran ? On note γle grandissement
transversal apport´e par la lentille convergente.
5. On suppose que le centre des anneaux correspond `a un maximum d’intensit´e lumineuse. D´eterminer, en
fonction de γ,λ0,ℓ,Det nle rayon Rndu n`eme anneau lumineux compt´e `a partir du centre.
6. La figure d’interf´erences est-elle localis´ee ? D´ecrire son ´evolution si on d´eplace la source Sperpendiculai-
rement `a l’axe Ox.
Le faisceau incident est maintenant issu d’une source ´etendue incoh´erente, monochromatique de longueur
d’onde λ0, et situ´ee dans un plan perpendiculaire `a l’axe Ox plac´e `a une distance finie. Cette source est
circulaire de rayon Ret de centre S.
7. D´ecrire comment se trouve modifi´ee la figure d’interf´erences.
8. On suppose que le nombre Nvd’anneaux visibles est grand. ´ Evaluer l’ordre de grandeur de Nven fonction
des param`etres λ0,D,ℓet R.
9. Comment rendre maximal le nombre d’anneaux th´eoriquement visibles ? Montrer que dans ces conditions
la figure d’interf´erences est localis´ee, et indiquer comment on dispose alors la lentille convergente et l’´ecran.
Dans ce dernier cas, calculer le rayon R′
ndu n`eme anneau lumineux compt´e `a partir du centre suppos´e
correspondre comme pr´ec´edemment `a une interf´erence constructive.
R´eponses : On utilise un filtre interf´erentiel, un d´epoli et un diaphragme de taille tr`es petite devant la source ;
S2(0,2a−xS) et S1(0,2ℓ+ 2a−xS), on a S1S2= 2ℓet D= 2a−xS−yM;S2M=D
cos θ,S1M=
p(2ℓ+D)2+D2tan2θ=q4ℓ2+ 4ℓD +D2
cos2θd’o`u δ=D cos θ(1 + 2ℓ Dcos2θ+2ℓ2 D2cos2θ−1), on trouve δ=
2ℓ(1 + ℓ
D)(1 −θ2 2) ; les franges brillantes sont donn´ees par δ=pλ avec p∈N, une frange correspond `a pfix´e
donc `a θfix´e, par invariance par rotation autour de l’axe optique de la lentille, on obtient des anneaux, le point
Met l’´ecran doivent v´erifier la relation de conjugaison de la lentille ; Rn=|γ|Dqnλ0D
ℓ(ℓ+D); la figure n’est pas
localis´ee car on a deux sources ponctuelles coh´erentes S1et S2, les interf´erences sont visibles dans tout l’espace,
si on d´eplace la source Sselon l’axe Oy de ∆yS, on obtient une translation de la figure observ´ee sur l’´ecran
de |γ|∆ysur un axe parall`ele `a Ox ; on superpose toutes les translations ´evoqu´ees pr´ec´edemment pour ∆y
allant de 0 `a R, la figure d’interf´erences va se brouiller selon toute vraisemblance et d’autant plus rapidement
sur la p´eriph´erie de la zone projet´ee sur l’´ecran ; il y a brouillage au niveau de l’anneau n=Nvsi le bord
de la source d´ecal´ee de Rvient placer une frange brillante au milieu de la frange de rang Nvet de celle de
rang Nv+ 1, cela veut dire alors que |γ|R=RNv+1 −RNv
2, on en d´eduit √Nv+ 1 −√Nv=2R Dqℓ(ℓ+D) λ0Davec
√Nv+ 1 −√Nv=√Nv(q1 + 1
Nv−1) ≃1
2√Nv, on trouve Nv≃D2
16R2
λ0D
ℓ(ℓ+D)≃D2λ0 16R2ℓ; il faut Dgrand et donc
observer `a l’infini o`u seront localis´ees les franges d’interf´erences en pla¸cant l’´ecran dans le plan focal image de
la lentille convergente.
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