Terminale S - spécialité pour le lundi 18 mars Devoir non surveillé de mathématiques no 6 Exercice 1 : Soit n un entier non nul. On considère les nombres a et b tels que : a = 2n3 + 5n2 + 4n + 1 et b = 2n2 + n 1. Montrer que 2n + 1 divise a et b. On pourra factoriser a et b par 2n + 1 en utilisant la méthode de l’identification des coefficients. 2. Soit n ∈ N∗ . Montrer que n et n + 1 sont premiers entre eux. 3. Un élève affirme que le PGCD de a et b est 2n + 1. Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée). Exercice 2 : On considère une puce se déplaçant d’un sommet à l’autre d’un triangle ABC. À chaque instant, la puce saute sur un des deux sommets laissés libres avec la même probabilité pour chacun. n étant un entier naturel, on note an la probabilité que la puce se trouve sur le sommet A après le n-ième saut, bn la probabilité que la puce se trouve sur le sommet B après le n-ième saut, et cn la probabilité que la puce se trouve sur le sommet C après le n-ième saut. a0 , b0 et c0 sont des réels positifs tels que a0 +b0 +c0 = 1. Pour tout entient n, on note Pn = an bn cn la matrice ligne traduisant la loi de probabilité donnant l’état après le n-ième saut. 1. Décrire la situation à l’aide d’un graphe probabiliste. 2. M étant la matrice de transition du graphe précédent, donner la matrice M. 3. a. Exprimer Pn (n ∈ N) en fonction de M, n et P0 . b. Calculer M 4 puis déterminer en fonction de a0 , b0 et c0 , la probabilité que la puce soit sur le sommet A après la quatrième saut. 4. Dans cette question, on souhaite déterminer la limite des coefficients de M n lorsque n tend vers +∞. 1 1 1 a. Établir que M = 21 (N − I), où I est la matrice identité d’ordre 3 et N = 1 1 1 . 1 1 1 b. Vérifier que l’égalité N 2 = 3N. c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n non nul, M = n 1 3 N+ n − 21 d. En déduire la limite des coefficients de la matrice M n lorsque n tend vers +∞. 3I − N . 5. En remarquant que a0 + b0 + c0 = 1, calculer la « limite » de l’état probabiliste Pn lorsque n tend vers +∞. Cette limite correspond-t’elle à un état stationnaire pour M ? Un simple calcul matriciel suffit. 6. Interpréter les résultats des questions précédentes. http://mathematiques.ac.free.fr