Equation de Schrödinger non linéaire scalaire

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université Abou-Bekr Belkaïd de Tlemcen
Faculté des Sciences
Département de Physique
Thèse
ThèseThèse
Thèse
Présentée en vue de l’obtention du diplôme de
Docteur
Spécialité : Physique Théorique
Par
Tsouria ZENDAGUI épouse BENDELHOUM
Soutenue le 30 Avril 2013 devant le Jury :
Mammar BOUAMOUD Professeur (Université de Tlemcen) Président du jury
Mourad MAHBOUB MC (Université de Tlemcen) Directeur de thèse
Yann LEGRAND Professeur (Université de Bretagne) Examinateur
Toufik BOUCHAOUR Professeur (Université de Tlemcen) Examinateur
Boumediène LASRI MC Classe A (Université de Saïda) Examinateur
Benamar BOUHAFS MC Classe A (Université de Tlemcen) Examinateur
P ROPAGATION D ’ IMPULSIONS PICOSECONDES ET FEMTOSECONDES
DANS LES FIBRES OPTIQUES NON LINEAIRES ET DISPERSIVES
CONVENTIONNELLES ET A CRISTAUX PHOTONIQUES

Remerciements
Je tiens à remercier très particulièrement mon directeur de thèse, Mr Mourad Mahboub
qui m’a proposé le sujet me fournissant ainsi la possibilité de découvrir le monde
merveilleux de la fibre optique. De par les efforts qu’il a déployés et les conseils qu’il
m’a prodigués, il a permis à ce travail d’avancer dans un esprit toujours amical. Qu’il
trouve ici, l’expression de ma profonde reconnaissance.
Je formule mes remerciements les plus sincères à Monsieur le Professeur BOUAMOUD
Mammar pour m’avoir fait l’honneur de présider ce jury de thèse.
J’exprime ma profonde gratitude à Monsieur Yann LEGRAND Professeur à
l’Université de Bretagne Occidentale, Brest, pour m’avoir fait l’honneur d’examiner ce
travail de thèse.
Je tiens à exprimer mes plus vifs remerciements à Monsieur BOUCHAOUR Taoufik,
Professeur à l’université de Tlemcen, Monsieur LASRI Boumediene Maître de
conférences à l’université de Saïda et Monsieur BOUHAFS Benamar Maître de
conférences à l’université de Tlemcen, pour avoir bien voulu examiner ce travail.
Mes plus profonds remerciements sont adressés à mes parents, pour leur patience et
pour le soutient qu’ils m’ont apporté tout au long de mon cursus universitaire. J’espère
que la réalisation de ce travail soit un aboutissement à leurs efforts et espoirs. Qu’ils
trouvent ici l’expression de ma gratitude la plus affectueuse.
Je ne peux pas oublier de remercier mes frères Djawad, Maître de conférences à
l’université de Tlemcen, département de génie Civil et Boubekeur, Docteur en
informatique, Université du Maine, Laval, qui m’ont aidé dans ma recherche
bibliographique et qui n’ont pas cessé de m’encourager.
Qu’il me soit permis aussi d’adresser mes remerciements à tous mes collègues et amis
de la faculté des sciences, en particulier à Mme Rahmoun Khadidja Professeur à
l’université de Tlemcen et à tous ceux qui ont accompagné ce travail depuis l’origine.

A mon mari
A mes enfants, Zineb, Riad et Amina
A toute ma famille

Résumé
RésuméRésumé
Résumé
Les travaux, exposés dans cette thèse, concernent l’étude de la propagation des
impulsions ultracourtes dans les fibres optiques conventionnelles et microstructurées, en
tenant compte des différents effets linéaires (dispersion chromatique d’ordre supérieur)
et non linéaires (effet Kerr, effet d’auto-raidissement et effet Raman) qui sont
susceptibles d’influencer la propagation. Deux méthodes numériques sont détaillées et
utilisées pour approcher la solution numérique de l’équation de Schrödinger non
linéaire. La première est la méthode de Fourier split-step symétrique (MFSS-S) qui est
une méthode pseudo-spectrale, la deuxième est la méthode RK4IP qui est basée sur la
méthode de Runge-Kutta mais qui fait appel à la transformée de Fourier. L’optimisation
de ces méthodes repose sur le calcul de l’erreur relative globale (ERG) pour déterminer
la précision, et l’étude de la complexité par le calcul du nombre de transformées de
Fourier requis (FFT). Nos résultats montrent que l’ordre de l’ERG de la MFSS-S
dépend du terme non linéaire choisi. Nous montrons que pour les grandes précisions, la
méthode RK4IP est plus performante et moins coûteuse que la MFSS-S.
Mots clés :
Fibres optiques standards; fibres optiques microstructurées; équation de Schrödinger
non linéaire ; dispersion chromatique; effets non linéaires; méthode de Fourier split-step
symétrique; méthode de RK4IP; erreur relative globale.

Liste des tableaux
Tableau 2.1 : Tableau donnant les constantes utilisées dans l’équation de
Sellmeier pour le développement de l’indice de réfraction de la silice
39
Tableau 6.1 : Erreur relative globale calculée pour les deux implémentations
dans le cas z = 200km
103
Tableau 6.2 : Erreur relative globale calculée pour les quatre implémentations
dans le cas z = 200km
Tableau 6.3 : Temps d’exécution des deux méthodes S-SSFM et RK4IP, pour
différentes longueurs de propagation.
107
113
Tableau 6.4 : Erreur relative globale
δ
et nombre de FFT des deux méthodes
S-SSFM et RK4IPdans le cas
114
Tableau 6.5 : Nombre total de FFT correspondant à plusieurs valeurs de l’ERG 115