Compléments Séries de Fourier

Compléments Séries de Fourier
Théorème de Parseval 1 Soit f ∈ C M 2π , cad continue par morceaux et 2π-périodique à valeurs dans R ou C,
alors les sommes partielles S n ( f ) de la série de Fourier 2 de f « convergent en moyenne quadratique » vers f :
Z
°
°
° °2
1 2π
°
°
°
°
lim S n ( f ) − f 2 = 0
avec f 2 =
| f |2
n→∞
2π 0
Démo : On se place « restrictivement » dans le cadre d’une fonction continue qui d’ailleurs est la seule démonstration au programme. Ceci permet donc d’utiliser l’espace pré-Hilbert 3 ien complexe E = C 2π muni du produit
Z
³
´
1 2π
scalaire Hermite 4 ien usuel f |g =
f g . (Sur les fonctions continues par morceaux, ce n’est pas un produit
2π 0
scalaire car ? ?) On rappelle que (c −n , . . . , c n ) avec c k (t ) = e i kt est une famille orthormale de E et plus précisément
une BON de P n , C-ev des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n. On a aussi
S n ( f )(t ) =
n
X
c k ( f )e i kt =
n
X
(e k | f )e k (t ) = p n ( f )(t )
k=−n
k=−n
°
°
Où p n désigne la projection orthogonale sur P n (p n ∈ L (E ) ). Posons d n = °S n ( f ) − f °2 . On doit démontrer d n →
°
°
0. On remarque d n = °p n ( f ) − f °2 = d ( f , P n ). Or comme les espaces vectoriels P n vérifient trivialement P n ⊂ P n+1 ,
on en déduit immédiatement d n+1 ≤ d n , ou autrement dit (d n ) décroissante. Cette suite étant minorée (par 0 car
positive !) est convergente vers l . Reste à prouver l = 0 Pour ceci, on va utiliser le théorème de Weierstraß 5 , version
trigonométrique :
Soit ε > 0. f étant continue et 2π-périodique, il existe un polynôme Q m trigonométrique (de degré m) qui l’ap°
°
°
°
R 2π 2
R 2π
1
1
2
2
°
°
proche uniformément à ε près cad ° f −Q m °∞ < ε. Or kg k22 = 2π
0 |g | ≤ 2π 0 kg k∞ = kg k∞ , d’où f −Q m 2 ≤
°
°
° f −Q m ° < ε. En se rappelant que la distance est un inf sur tous les éléments, on obtient d m ≤ k f − Q m k2 et
∞
donc qu’il existe un entier (en l’occurence m) tel que d m < ε. Comme la suite d n est décroissante , il s’en suit que
ceci est vrai pour tous les n ≥ m, ce qui termine la preuve de Parseval1 .
Corollaire
ou
Formule
de
Parseval1
P
P
P
P
|a n ( f )|2
|b n ( f )|2
|c n ( f )|2
|c −n ( f )|2
1
2π
2π
Z
0
| f |2 =
Soit
f
∈
C M 2π .
Alors
les
séries
convergent et
∞
∞
X
|a 0 ( f )|2 1 X
+
|a n ( f )|2 + |b n ( f )|2 = |c 0 ( f )|2 +
|c n ( f )|2 + |c −n ( f )|2
4
2 n=1
n=1
°
°
°
°
° °
Démo : Si °S n − f °2 → 0, en particulier, °S n ( f )°2 −→ ° f °2 , car |kxk−kyk| ≤ kx − yk. Ensuite, par application du
n→+∞
calcul de la norme euclidienne dans des bases orthonormées, en l’occurence ici (c −n , . . . , c n ) :
°
°
Z
¯³
³
´ °2
´¯2
n
n
n
X
X
X
° °2
°
°2 °
1 2π
°
¯
°
¯
2
°S n ( f )° = °
°
°
c | f ck ° =
|c k ( f )| −→ f 2 =
| f |2
¯ ck | f ¯ =
2
n→+∞
°k=−n k
°
2π
0
k=−n
k=−n
2
1. Marc-Antoine Parseval : mathématicien français (1755-1836).
2. Joseph Fourier : mathématicien français (1768-1830). Travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en série.
3. David Hilbert : mathématicien allemand (1862-1943).
4. Charles Hermite : français (1822-1901). Nom adjectivé : endomorphisme, forme, matrice, norme hermitienne.
5. Karl Weierstraß : allemand (1815-1895). Spécialiste de la théorie des fonctions et du calcul matriciel.
1
Théorème de Dirichlet 6 Soit f une fonction de classe C 1 par morceaux, 2π périodique et à valeurs dans R
¡
¢
ou C, alors la série de Fourier2 de f converge simplement sur R « vers » 21 f (x + ) + f (x − ) (qui est égal à f (x)
si f est continue en x). Si, en plus, f est continue sur R, alors la convergence est normale et « vers » f (x).
Démo : Dans le cas où f est C 1 par morceaux et continue. On sait ∀ n ∈ Z c n ( f 0 ) = i nc n ( f ) ce qui s’écrit encore
¯
¯
µ¯ ¯
µ
¶
¶
¯ 1
¯ 1 ¯ 1 ¯2
¯ ¯ + |c n ( f 0 )|2 = 1 1 + |c n ( f 0 )|2
∀n ∈ Z
|c n ( f )| = ¯¯
c n ( f 0 )¯¯ ≤
in
2 ¯in ¯
2 n2
P
P
La série 1/n 2 converge ainsi que |c n ( f 0 )|2 par application de Parseval, puisque f 0 est continue par morceaux et
P
P
2π-périodique. On en déduit la convergence absolue des séries c n et c −n ce qui amène la convergence normale
de la série de Fourier de f en vertu d’un théorème du cours.
Pour conclure à la convergence « vers » f , on se rappelle que si l’on note S la somme de la série de Fourier de
f (qui existe donc ici) un autre théorème démontré en cours apprend que, comme la convergence est uniforme
car normale, les coeffs de la série trigonométrique (ici les c n ( f )), sont les coefficients de fourier de la somme,
c’est-à-dire S, donc ∀ n ∈ Z,
c n ( f ) = c n (S). La preuve sera achevée, si l’on peut en déduire S = f , ce qui vient de :
Théorème La fonction ϕ : C 2π → CZ , qui à toute fonction continue f et 2π-périodique associe la famille de
ses coefficients de Fourier (c n ( f ))n∈Z est linéaire et injective
Démo : Cette application étant linéaire, c n (α f +βg ) = αc n ( f )+βc n (g ), considérons son noyau, cad soit f continue
telle que tous ses coefficients de Fourier2 soient nuls. Alors par application de la formule de Parseval, on obtient
R 2π
immédiatement 0 | f |2 = 0 et donc | f | = 0 soit f = 0, car la fonction est continue.
Remarques
• Retenir que si deux fonctions continues (et 2π-périodiques) ont même coefficients de Fourier, elles sont
égales, et que, si une fonction continue a des coefficients de fourier nuls, c’est la fonction nulle.
• La fonction ϕ n’est pas surjective, par application du Lemme de Riemann 7 -Lebesgue 8 qui donne comme
condition nécessaire c n → 0 c −n → 0. Ces conditions ne sont d’ailleurs pas suffisantes. . .On démontre par
P
P
contre que si l’on suppose que les séries |c n |2 et |c −n |2 convergent (l’espace se note alors `2 (Z)), alors ce
sont des coefficients de Fourier d’une unique fonction, mais pas nécessairement continue. . .
Par application de l’identité de polarisation à la formule de Parseval1 , on obtient
Corollaire
Soient f et g deux fonctions continues par morceaux, 2π-périodiques à valeurs complexes ou réelles, on a :
Z 2π
∞
X
1
f g = c 0 ( f )c 0 (g ) +
c n ( f )c n (g ) + c −n ( f )c −n (g )
2π 0
n=1
6. Peter-Gustav Dirichlet : mathématicien allemand (1805-1859).
2. Joseph Fourier : mathématicien français (1768-1830). Travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en série.
7. Bernhard Riemann : mathématicien allemand de génie (1826-1866). Travaux fondamentaux sur les fonctions analytiques, la théorie
de l’intégration, la géométrie différentielle. Sa fonction ζ donne des indications sur la répartition des nombres premiers.
8. Henri-Léon Lebesgue : mathématicien français (1875-1941)
2