Trigonométrie

I.U.T. de Brest
Département GMP
Connaissances de base
Trigonométrie
1. Cercle trigonométrique
1
cos2 x + sin2 x = 1
M
sin x
tan x =
x
−1
π
sin x
pour x 6= + kπ (k ∈ Z)
cos x
2
cos x 1
0
−1
Valeurs remarquables
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
cos x
1
√
3
2
√
2
2
1
2
0
− 12
sin x
0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
√
3
2
√
2
2
tan x
0
√
3
3
1
imp.
√
− 3
−1
√
3
1
3π
4
−
√
2
2
5π
6
−
−
√
3
2
π
−1
1
2
0
√
3
3
0
√
axe des
sinus
3
axe des
tangentes
π
2
√
3
2
√
2
2
3π
4
1
π
3
1
2π
3
π
4
√
3
3
π
6
5π
6
1
2
axe des
π
−
√
3
2
−
√
2
2
0
− 12
1
2
√
2
2
− 21
− 5π
6
− π6
√
2
2
√
− 23
−
− 3π
4
− 2π
3
√
3
2
1
cosinus
−
√
3
3
− π4
− π3
− π2
−1
√
− 3
2
2. La fonction cosinus
Pour tout réel x,
cos0 (x) = − sin x
(dérivée)
cos(x + 2π) = cos(x)
cos(−x) = cos x
(fonction périodique de période 2π)
(fonction paire)
Tracé de la fonction cosinus :
1
− 3π
2
− π2
y = cos x
π
2
0
−1
3
π
3π
2
5π
2
3. La fonction sinus
Pour tout réel x,
sin0 (x) = cos x
(dérivée)
sin(x + 2π) = sin(x)
sin(−x) = − sin x
(fonction périodique de période 2π)
(fonction impaire)
Tracé de la fonction sinus :
y = sin x
1
−2π
−π
π
2
0
−1
4
π
2π
4. La fonction tangente
Pour tout réel x différent de
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
π
+ kπ (avec k ∈ Z quelconque),
2
(définition)
tan0 (x) = 1 + tan2 (x) =
1
cos2 (x)
(dérivée)
tan(x + π) = tan(x)
(fonction périodique de période π)
tan(−x) = − tan(x)
(fonction impaire)
Tracé de la fonction tangente :
y = tan x
− 5π
2
−2π
− 3π
2
−π
− π2
3π
2
π
2
π
0
5
5π
2
2π
5. Formulaire
Relations fondamentales
2
1 + tan2 x =
2
cos x + sin x = 1
1
cos2 x
Fonctions de l’arc double
cos(2x) = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
sin(2x) = 2 sin x cos x
tan(2x) =
2 tan x
1 − tan2 x
Formules d’addition
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a tan b
Équations trigonométriques
I cos x = cos α ssi ( x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ avec k ∈ Z).
I sin x = sin α ssi ( x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ avec k ∈ Z).
I tan x = tan α ssi ( x = α + kπ avec k ∈ Z).
Formule de transformation de produit en somme
1
cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]
2
Formule de transformation de somme en produit
p+q
p−q
cos
2
2
p+q
p−q
sin p + sin q = 2 sin
cos
2
2
p+q
p−q
sin
2
2
p−q
p+q
sin p − sin q = 2 sin
cos
2
2
cos p + cos q = 2 cos
cos p − cos q = −2 sin
6
6. Compléments
1
cos(−x) = cos(x)
−1
sin(−x) = − sin(x)
M
sin x
x
−x
0
tan(−x) = − tan(x)
cos x 1
− sin x
−1
1
cos(x + π) = − cos(x)
−1
− cos x
sin(x + π) = − sin(x)
M
sin x
x+π
tan(x + π) = tan(x)
x
cos x 1
0
− sin x
−1
1
cos x
π
) = − sin(x)
2
π
sin(x + ) = cos(x)
2
cos(x +
M
sin x
x
−1
− sin x
0
cos x 1
−1
7