Module « Logique et raisonnement » (IODAA) Exercices

Module « Logique et raisonnement » (IODAA)
Exercices
1
Logique des propositions
1.1
Expression de propositions logiques et tables de vérité
1. On considère les propositions suivantes :
• Si Alice et Julie viennent à Paris, Zoé viendra aussi
• Si Julie vient à Paris, Alice aussi
• Julie ou Zoé, l’une des deux au moins, viendra à Paris.
Exprimer ces 3 propositions en logique des propositions.
2. On considère les propositions suivantes :
• Si Alice et Julie viennent à Paris, Zoé viendra aussi
• Si Julie vient à Paris, Alice aussi
• Julie ou Zoé, l’une des deux au moins, viendra à Paris.
Alice viendra-t-elle à Paris ? Et Julie ? Et Zoé ?
3. Montrez que la formule F = (p ∧ q) ∨ r ∨ (¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬r) est une tautologie.
1.2
Règles d’équivalence et simplification
4. Simplifier les formules suivantes :
(a) F = ¬((p ∨ q) ⇒ p) ∧ q
(b) G = (a ∨ (b ⇒ c)) ⇒ (a ∨ b ∨ c)
5. Lors de ses aventures au pays des merveilles rapportées par Lewis Carroll, Alice est souvent accompagnée par le
chat de Cheshire. Ce félin énigmatique s’exprime sous la forme d’affirmations logiques qui sont toujours vraies.
Alice se trouve dans un corridor dont toutes les portes à sa taille sont fermées. La seule porte ouverte est
nettement trop petite pour qu’elle puisse l’emprunter. Une étagère est fixée au-dessus de cette porte. Le chat
dit alors à Alice : « L’un des flacons posés sur cette étagère contient un liquide qui te permettra de prendre
une taille plus adéquate. Mais attention, les autres flacons peuvent contenir un poison fatal. » Trois flacons
sont effectivement posés sur l’étagère. Le premier est rouge, le second jaune, le troisième bleu. Une étiquette
est collée sur chaque flacon. Alice lit l’inscription figurant sur chaque étiquette :
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• Flacon rouge : Le flacon jaune contient un poison ; le bleu n’en contient pas ;
• Flacon jaune : Si le flacon rouge contient un poison, alors le bleu aussi ;
• Flacon bleu : Je ne contiens pas de poison, mais au moins l’un des deux autres si.
Nous noterons R, J et B les variables propositionnelles correspondant au fait que les flacons rouge, jaune et
bleu contiennent un poison. Nous noterons IR, IJ et IB les propositions correspondant aux inscriptions sur les
flacons rouge, jaune et bleu.
On résoudra les questions suivantes d’abord en utilisant une table de vérité, puis en utilisant des simplifications
et règles d’équivalence des formules.
(a) Exprimez les formules IR, IJ et IB sous la forme de formules dépendant de R, J et B.
(b) Les inscriptions sur les trois flacons sont-elles compatibles ?
(c) Dans le cas où aucun des trois flacons ne contient un poison, est-ce qu’une ou plusieurs inscriptions sont
fausses ?
(d) Si les trois inscriptions sont vraies, est-ce qu’un ou plusieurs flacons contiennent un poison ?
(e) Si seuls les flacons ne contenant pas un poison ont une inscription vraie, est-ce qu’un ou plusieurs flacons
ne contiennent pas un poison ?
1.3
Premières preuves syntaxiques
6. Soient les formules :
F = ((p ⇒ q) ∨ s) ∧ ((s ⇒ p) ∨ ¬p)
G = (¬q ∧ ¬p) ∨ (q ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q) ∨ r
(a) Écrire leurs tables de vérité.
(b) SANS écrire la table de vérité de F ⇒ G, montrer que ` F ⇒ G.
7. Soit la base de connaissances BC comprenant les clauses suivantes :
(a) b ∧ c ⇒ a
(b) d ⇒ b
(c) e ⇒ b
(d) c
(e) h ⇒ d
(f) e
(g) b ∧ g ⇒ f
(h) c ∧ k ⇒ g
(i) a ∧ b ⇒ j
• Calculer toutes les conséquences logiques de BC par une méthode preuve ascendante.
• f n’est pas une conséquence logique de BC. Donnez un modèle de BC dans lequel f est fausse.
• a est une conséquence logique de BC. Donnez-en une preuve guidée par le but.
(tiré de [Poole & Macworth, p.210])
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1.4
Mise sous forme normale
8. Soit la formule F = ((p ⇒ q) ∧ (r ∨ p)) ⇔ (r ⇒ ¬q)
(a) Donner la table de vérité de : F ≡ ((¬p ∨ q) ∧ (r ∨ p)) ⇔ (¬r ∨ ¬q)
(b) Mettez F sous forme DNF (forme normale disjonctive)
(c) Mettez F sous forme CNF (forme normale conjonctive)
9. Soit la formule F = ((p ∧ q) ∨ (¬p ∨ r)) ⇒ (q ⇒ r)
(a) Mettez F sous forme DNF (forme normale disjonctive)
(b) Mettez F sous forme CNF (forme normale conjonctive)
10. Soit la formule F = ((¬p ∨ q) ∧ r) ⇔ (p xor r)
(a) Mettez F sous forme DNF (forme normale disjonctive)
(b) Mettez F sous forme CNF (forme normale conjonctive)
1.5
Preuve par résolution
11. Il existe en Écosse un club très fermé qui obéit aux règles suivantes :
• Tout membre non écossais porte des chaussettes rouges.
• Tout membre porte un kilt ou ne porte pas de chaussettes rouges.
• Les membres mariés ne sortent pas le dimanche.
• Un membre sort le dimanche si et seulement s’il est écossais.
• Tout membre qui porte un kilt est écossais et marié.
• Tout membre écossais porte un kilt.
Montrer que ce club est si fermé qu’il ne peut accepter personne
12. Utiliser la méthode de résolution pour prouver ou infirmer les affirmations suivantes :
(a) |= p ⇒ p
(b) |= ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)
(c) |= ((s ⇒ r) ∧ p ∧ ¬r) ⇒ ¬r ∧ ¬s ∧ p
(d) |= [(p ∧ q) ∨ (r ∧ q)] ⇒ (p ∨ r)
(e) {q ⇒ (¬q ∨ r), q ⇒ (p ∧ ¬r) } |= q ⇒ r
(f) {q ⇒ (¬q ∧ r), q ⇒ (p ∧ ¬r)} |= q ∧ r
(g) {p ⇒ q, q ⇒ r, p ∨ ¬r } |= p ∧ q ∧ r
(h) {p ⇒ q, q ⇒ r, p ∨ ¬r } |= (p ∧ q ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r)
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Logique des prédicats
2.1
Expression de connaissances en logique des prédicats
13. Exprimer les assertions suivantes en logique des prédicats :
(a) Tous les hommes sont mortels
(b) Il y a des héros qui sont mortels
(c) Pierre est un héros
(d) Seuls les professeurs ont droit à la parole
(e) Tous les Européens ne sont pas intelligents
(f) Tous, sauf les joueurs de football, boivent du vin
(g) Quelques élèves réussissent les examens s’ils sont bien préparés
(h) Certains élèves ne réussissent que s’ils sont bien préparés
(i) Tous les Belges à l’exception des Flamands aiment les frites
2.2
Variables libres, variables liées
14. Préciser quelles sont les variables libres et les variables liées dans les expressions suivantes :
2.3
Mise sous forme Prénex
15. Mettez les formules suivantes sous forme prenex en précisant les étapes de calcul :
(a) ∀X∀Y (e(X, Y ) ⇒ ∃Z a(X, Z))
(b) ∀X((∃Y (a(X, Y )) ⇒ b(X))
(c) φ = [∃X∀Y (∃Zp(X, Y, Z) ∧ q(X, Y ))] ⇒ ∃Y (∀Xp(X, Y, Z) ∧ ∃Xq(Y, X))
2.4
Unification
16. Les formules suivantes sont-elles unifiables ? :
• p(f (X), a) et p(Y, f (W ))
• p(f (X), Z) et p(Y, a)
• p(f (X), h(Y ), a) et p(f (X), Z, a) et p(f (X), h(Y ), b)
• p(f (a), g(X)) et p(Y, Y )
• p(a, X, h(g(Z))) et p(Z, h(Y ), h(Y ))
• p(X, X) et p(Y, f (Y ))
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2.5
Preuve par résolution en logique des prédicats
17. Soient les assertions suivantes :
(A1) Les chevaux sont plus rapides que les chiens
(A2) Il existe un lévrier plus rapide que tout lapin
(A3) Les lévriers sont des chiens
(A4) Harry est un cheval
(A5) Ralph est lapin
Peut-on déduire que Harry est plus rapide que Ralph ?
18. Mettre les assertions de l’exercice précédent sous forme Prolog.
19. Soit l’ensemble S des clauses suivantes :
(C1) p(a)
(C2) ¬s(f (f (X)) ∨ p(g(X))
(C3) p(X) ∨ ¬q(g(X))
(C4) ¬p(X) ∨ r(f (X))
(C5) ¬r(X) ∨ t(g(X))
(C6) r(b)
(C7) ¬t(X) ∨ q(X)
(C8) ¬q(g(X)) ∨ ¬r(X) ∨ s(X)
(C9) ¬s(f (X)) ∨ r(g(X))
(C10) ¬s(f (g(f (g(f (X))))))
(C11) ¬s(f (g(g(g(X)))))
Montrer que S est satisfiable ou non.
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