Généralisation des tests LMC et KPSS Apparition d’une singularité Frédéric Proïa Université de Bordeaux (Ex-)Équipe ALEA (INRIA Bordeaux Sud-Ouest) Équipe Proba-Stat (Institut de Mathématiques de Bordeaux) Journées MAS Toulouse 27-29 août 2014 Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 1 / 25 Cadre de travail Sommaire 1 Cadre de travail Le processus autorégressif Deux approches complémentaires Quelques processus stochastiques utiles Principaux résultats 2 Focus sur un cas particulier 3 Conclusion Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 2 / 25 Cadre de travail Le processus autorégressif Le processus autorégressif Définition On dit que la série chronologique (Xt ) définie sur Z est un « processus autorégressif d’ordre p » si elle est définie, pour tout t ∈ Z, par Xt = µ + θ1 Xt−1 + . . . + θp Xt−p + εt où (εt ) est un bruit blanc de variance σ 2 et θp 6= 0. Pour tout t ∈ Z, on écrit A(L)Xt = µ + εt avec, pour tout z ∈ C, A(z) = 1 − θ1 z − . . . − θp z p . Proposition S’il existe z0 ∈ C tel que |z0 | = 1 et A(z0 ) = 0, alors le processus (Xt ) n’est pas stationnaire. Il est intégré et possède une racine unitaire. Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 3 / 25 Cadre de travail Deux approches complémentaires Deux approches complémentaires H0 : “(Xt ) est intégré" Pour tout t ∈ Z, (1 − L)A0 (L)Xt = Tt + εt {z } | vs sous H0 A(L)Xt = Tt + εt . | {z } sous H1 Principe des tests de racine unitaire : estimer la racine supposée unitaire et tester la significativité de sa proximité avec 1. −→ Test DF, test ADF, test PP. H0 : “(Xt ) est stationnaire" Pour tout t ∈ Z, A(L)Xt = Tt + εt | {z } sous H0 vs A(L)Xt = Tt + Stη {z } | sous H1 (Stη ) où est une marche aléatoire engendrée par (ηt ). Principe des tests de stationnarité : chercher la présence d’intégration dans les résidus. −→ Test KPSS, test LMC. Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 4 / 25 Cadre de travail Quelques processus stochastiques utiles Quelques processus stochastiques utiles Définition Le processus défini, pour t ∈ [0, 1] et d ∈ N, par W (d) (t) = Z t Z s1 sd−1 Z ... 0 0 W (sd ) dsd . . . ds1 0 est appelé un « processus de Wiener intégré d’ordre d ». Par convention, W (0) (t) ≡ W (t). Par exemple W (1) (t) = t Z W (s) ds, 0 W (2) (t) = W (u) du ds. 0 Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) s tZ Z 0 Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 5 / 25 Cadre de travail Quelques processus stochastiques utiles Quelques processus stochastiques utiles Définition Le processus défini, pour t ∈ [0, 1] et r ∈ N, par Br (t) = hr (W )(t) est appelé un « pont brownien généralisé d’ordre r ». La fonction hr de C ([0, 1]) dans C ([0, 1]) est donnée explicitement par MacNeill en 1978. Par exemple B0 (t) = h0 (W )(t) = W (t) − t W (1), 1 Z B1 (t) = h1 (W )(t) = W (t) + t (2 − 3t)W (1) − 6t (1 − t) W (s) ds. 0 Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 6 / 25 Cadre de travail Quelques processus stochastiques utiles Quelques processus stochastiques utiles Définition Le processus défini, pour t ∈ [0, 1] et r , d ∈ N, par Cr ,d (t) = hr (W (d) )(t) est appelé un « pont brownien intégré d’ordre r × d ». Par convention, Cr ,0 (t) ≡ Br (t). Par exemple C0,1 (t) = h0 (W (1) )(t) = Z t Z 1 Z W (s) ds + t (3t − 4) 0 Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) t W (s) ds, 0 0 C1,1 (t) = h1 (W (1) )(t) = 1 Z W (s) ds − t 1 Z W (s) ds + 6t (1 − t) 0 Généralisation des tests LMC et KPSS s W (s) ds. 0 28/08/2014 7 / 25 Cadre de travail Quelques processus stochastiques utiles Quelques processus stochastiques utiles Définition Le processus défini, pour t ∈ [0, 1] et r , d ∈ N, par Wr ,d (t) = dCr ,d+1 (t) dt est appelé un « processus de Wiener recentré d’ordre r × d ». Par exemple Z 1 dC0,1 (t) = W (t) − W (s) ds, dt 0 Z 1 Z 1 dC1,1 (t) W1,0 (t) = = W (t) + (6t − 4) W (s) ds + (6 − 12t) s W (s) ds. dt 0 0 W0,0 (t) = Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 8 / 25 Cadre de travail Principaux résultats Cadre général Modélisation Pour tout 0 ≤ t ≤ T , soit A(L)Xt = (α0 + α1 tT + . . . + αr tTr ) I{κ 6= 0} + Stη + εt avec η Stη = ρSt−1 + ηt où κ est un indicateur, |ρ| = 1 et (εt ) et (ηt ) sont des bruits blancs non corrélés. Estimation θ est estimé par maximum de vraisemblance (sous H0 : “ση2 = 0”). α est estimé par moindres carrés sur les résidus issus de la régression précédente. On définit les processus des sommes partielles et la statistique de test St = t X k=1 Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) εbk , Qt = t X εbk2 et bT = K k=1 Généralisation des tests LMC et KPSS T 1 X 2 S . TQT t=1 t 28/08/2014 9 / 25 Cadre de travail Principaux résultats Principaux résultats Proposition Sous H0 : “ση2 = 0”, L bT −→ K 1 Z 0 Br2 (s) ds. De plus, sous H1+ : “ση2 > 0 et ρ = 1”, P bT −→ K +∞ et R1 2 bT L K 0 Cr ,1 (s) ds −→ R 1 . 2 T 0 Wr ,0 (s) ds Enfin, sous H1− : “ση2 > 0 et ρ = −1”, P bT −→ K 0 et, lorsque κ = 0, L bT −→ TK 2σε2 R1 0 R Wε2 (s) ds + ση2 01 Wη2 (s) ds . R 2ση2 01 Wη2 (s) ds Les processus apparaissant dans les distributions limites sont identifiables et construits sur le processus de Wiener (intégrés, généralisés, ponts). Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 10 / 25 Cadre de travail Principaux résultats Distribution asymptotique Sous H0 : “ση2 = 0” Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 11 / 25 Cadre de travail Principaux résultats Distribution asymptotique Sous H1+ : “ση2 > 0, ρ = 1 et d = 1” Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 12 / 25 Cadre de travail Principaux résultats Distribution asymptotique Sous H1+ : “ση2 > 0, ρ1 = ρ2 = 1 et d = 2” Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 13 / 25 Focus sur un cas particulier Sommaire 1 Cadre de travail 2 Focus sur un cas particulier Bruit blanc ou marche aléatoire ? Principes d’invariance Distribution asymptotique de KbT 3 Conclusion Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 14 / 25 Focus sur un cas particulier Bruit blanc ou marche aléatoire ? Bruit blanc ou marche aléatoire ? Modélisation Pour tout 0 ≤ t ≤ T , soit A(L)Xt = (α0 + α1 tT + . . . + αr tTr ) I{κ 6= 0} + Stη + εt avec η Stη = ρSt−1 + ηt où κ est un indicateur, |ρ| = 1 et (εt ) et (ηt ) sont des bruits blancs non corrélés. Cas particulier Considérons le cas p = 0 et κ = 0. Pour tout 0 ≤ t ≤ T , soit Xt = Stη + εt avec η Stη = ρSt−1 + ηt . Estimation résiduelle On a tout simplement εbt = Xt et donc, pour tout 0 ≤ t ≤ T , St = t X Xk , k=0 Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Qt = t X Xk2 et bT = K k=0 Généralisation des tests LMC et KPSS T 1 X 2 S . TQT t=0 t 28/08/2014 15 / 25 Focus sur un cas particulier Bruit blanc ou marche aléatoire ? Sous H0 : “ση2 = 0” Pour tout 0 ≤ t ≤ T , Xt = εt . Le processus est stationnaire. Sous H1+ : “ση2 > 0 et ρ = 1” Pour tout 0 ≤ t ≤ T , Xt = t X ηk + εt . k=0 Le processus n’est pas stationnaire. Sous H1− : “ση2 > 0 et ρ = −1” Pour tout 0 ≤ t ≤ T , Xt = t X (−1)t−k ηk + εt . k=0 Le processus n’est pas stationnaire. Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 16 / 25 Focus sur un cas particulier Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Bruit blanc ou marche aléatoire ? Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 17 / 25 Focus sur un cas particulier Principes d’invariance Principes d’invariance associés à la marche aléatoire Théorème (Donsker) Pour tout 1 ≤ t ≤ T , soit la marche aléatoire Stη = t X ηk k=0 où (ηt ) est un bruit blanc de variance 0 < ση2 < ∞. Alors, pour 0 ≤ τ ≤ 1, η S[T τ] L √ −→ W (τ ). ση T Continuité Z 1 T T Z t+1 S η X X T 1 [Ts] L η √ S = ds −→ W (s) ds ≡ W (1) (1). t t ση T 3/2 t=0 ση T 0 t=0 T Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 18 / 25 Focus sur un cas particulier Principes d’invariance Principes d’invariance associés à la marche aléatoire alternée (Dedecker-Rio) Pour tout 1 ≤ t ≤ T , soit la marche aléatoire Stη = t X (−1)t−k ηk . k=0 Alors, pour 0 ≤ τ ≤ 1, η S[T τ] L √ −→ W (τ ) ση T car le processus ((−1)t ηt ) est stationnaire de variance ση2 . Compensation Supposons que T est pair. Alors, 1 √ ση T Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) T X t=0 Stη = 1 √ ση T T /2 X t=0 L η2t −→ W 1 2 Généralisation des tests LMC et KPSS L W (1) = √ . 2 28/08/2014 19 / 25 Focus sur un cas particulier bT Distribution asymptotique de K Distribution asymptotique de KbT Sous H0 : “ση2 = 0” Pour tout 0 ≤ t ≤ T , St = t X εk et Qt = k=0 t X εk2 . k=0 Ainsi, Z 1 T T Z t+1 S[Ts] 2 T 1 X 2 X L √ W 2 (s) ds, S = ds −→ t t σε2 T 2 t=0 σε T 0 t=0 T QT −→ σε2 T p.s. Finalement, L bT −→ K 1 Z W 2 (s) ds. 0 Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 20 / 25 Focus sur un cas particulier bT Distribution asymptotique de K Distribution asymptotique de KbT Sous H1+ : “ση2 > 0 et ρ = 1” Pour tout 0 ≤ t ≤ T , St = t X Skη + εk et Qt = k=0 t X Skη + εk 2 . k=0 Ainsi, 2 2 Z 1 Z s T Z t+1 T S[Ts] T 1 X 2 X L = ds, S −→ W (u) du ds t t ση2 T 4 t=0 ση T 3/2 0 0 t=0 T T T Z t+1 T QT 1 X η 2 X ∼ S = t ση2 T 2 ση2 T 2 t=0 t t=0 T η S[Ts] √ ση T !2 L 1 Z ds −→ W 2 (s) ds. 0 Finalement, P bT −→ K +∞ Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) et bT L K −→ T R1 W (1) 2 (s) ds . R1 2 0 W (s) ds 0 Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 21 / 25 Focus sur un cas particulier bT Distribution asymptotique de K Distribution asymptotique de KbT Sous H1− : “ση2 > 0 et ρ = −1” Pour tout 0 ≤ t ≤ T , St = t X Skη + εk et Qt = k=0 t X Skη + εk 2 . k=0 Ainsi, Z 1 Z T T Z t+1 S[Ts] 2 ση2 1 2 T 1 X 2 X L √ ds −→ σε2 Wε2 (s) ds + S = Wη (s) ds, t 2 t T t=0 2 0 T 0 t=0 T QT L −→ ση2 T 2 Z 0 1 Wη2 (s) ds. Finalement, P bT −→ K 0 Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) et L bT −→ TK 2σε2 R1 0 R Wε2 (s) ds + ση2 01 Wη2 (s) ds . R 2ση2 01 Wη2 (s) ds Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 22 / 25 Focus sur un cas particulier bT Distribution asymptotique de K Simulations en présence de racine unitaire négative KPSS : 0.957 Correction apportée : 0.058 Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 23 / 25 Conclusion Sommaire 1 Cadre de travail 2 Focus sur un cas particulier 3 Conclusion Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 24 / 25 Conclusion Conclusion Généralisation apportée aux cas p > 0, κ 6= 0 et r > 0. Gestion de la multi-intégration (processus ARIMA avec d > 0). Modélisation des signaux à haute fréquence par une racine unitaire négative ? Estimation jointe de α et de θ pour une amélioration conséquente du test LMC. Merci de votre attention ! Frédéric Proïa (Univ. Bordeaux) Généralisation des tests LMC et KPSS 28/08/2014 25 / 25