Seconde Nombres-calcul algébrique Notions de troisième et exemples 1 Les ensembles de nombres 1.1 notations-symboles d’appartenance et d’inclusion L’ensemble N = {0; 1; 2; . . .} est appelé ensemble des entiers naturels et se note N . L’ensemble Z = {. . . ; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . .} est appelé ensemble des entiers relatifs et se note Z . a Un nombre est appelé nombre décimal s’il peut s’écrire sous la forme n (partie décimale finie) où a ∈ Z 10 et n ∈ N. Cet ensemble se note D . Un nombre est appelé nombre rationnel s’il peut s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs. L’ensemble des nombres rationnels se note Q . Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels. . L’ensemble formé par ces nombres et les nombres rationnels est appelé ensemble des nombres réels. On le note R . Tout élément de N appartient également à Z. On dit que N est inclus dans Z, c’est-à-dire que N est une partie (ou un sous-ensemble) de Z. On note N ⊂ Z. a De même, tout entier relatif est un décimal car a = , tout nombre décimal est rationnel car peut s’écrire 1 sous forme d’une fraction décimale (dénominateur multiple de 10) et tout nombre rationnel est un nombre réel. Ainsi : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R (se lit N est inclus (ou contenu)dans Z....) On peut illustrer comme ci-dessous : Remarques : • Le symbole ⊂ se lit ”inclus dans”. • La proposition N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R signifie que tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs qui sont eux-même des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels. • Un même nombre admet plusieurs écritures différentes. Par exemple le nombre 2 peut aussi s’écrire 2, 0 √ 2 4 (écriture décimale) ou etc. (écriture fractionnaire) 4 (écriture avec un radical). 1 2 • Attention à ne pas confondre le symbole ∈ et ⊂. Le premier s’utilise pour noter un élément appartenant à un ensemble et le second pour noter un ensemble qui est contenu dans un autre. Par exemple, on note 4 ∈ N et {3; 9} ⊂ N. Exemple 1 Compléter avec ∈, ∈ / et ⊂ * Solution: √ 2∈R { 2 ; 3, 4 ; 8 }⊂D √ 2∈N / 1/6 Nombres-calcul algébrique Seconde 1.2 Intervalles a et b sont deux réels quelconques avec a < b : Exemple 2 Compléter le tableau suivant : inégalité intervalle inégalité intervalle x<5 x ∈] − ∞; 5[ −5 < x ≤ 3 ] − 5; 3] 2≤x x ∈ [2; +∞[ x<3 ] − ∞; 3[ √ [ 2; +∞[ 1 3 − <x< 2 4 1 3 ]− ; [ 2 4 √ 2 2≤x Identités remarquables forme développée a2 + 2ab + b2 a2 − 2ab + b2 a2 − b2 forme factorisée = (a + b)2 = (a − b)2 = (a − b)(a + b) Exemple 3 • Développer (2x − 3)2 * Solution: (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 × 2x × 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9 (deuxième identité remarquable avec a = 2x et b = 3) • Factoriser 4x2 − 5 (voir fiche méthode factoriser) * Solution: √ √ √ √ 4x2 −5 = (2x)2 −( 5)2 = (2x− 5)(2x+ 5) (troisième identité remarquable avec a = 2x et b = 5) 2/6 Seconde 3 Nombres-calcul algébrique Calculs avec des racines carrées 3.1 Simplifications Exemple 4 : Simplifications √ 1. Simplifier 72 * Solution: q √ √ √ √ 72 = 36 × 2 = 36 × 2 = 6 2 √ √ √ Ecrire 3 50 − 2 32 sous la forme a b avec a ∈ Z et b ∈ N 2. * Solution: q q √ √ √ √ √ 3 25 × 2 − 2 16 × 2 = 3 × 5 2 − 2 × 4 2 = 15 2 − 8 2 = 7 2 Remarque : Il faut faire apparaitre sous la racine le carré d’un nombre entier, soit par exemple 4 = 22 , 9 = 32 , 16 = 42 , 25, 36, 49.... 3.2 Supprimer les racines au dénominateur Exemple 5 : Supprimer les racines carrées au dénominateur 3 Supprimer les radicaux (les racines carrées) au dénominateur dans √ 2 3 √ Supprimer les radicaux (les racines carrées) au dénominateur dans 3− 2 1. 2. * Solution: √ √ 3 3× 2 3× 2 √ =√ √ = 2 2 2× 2 √ √ √ 3 × (3 + 2) 9+3 2 9+3 2 3 √ = √ √ = √ = 7 3− 2 (3 − 2)(3 + 2) 32 − ( 2)2 Pour supprimer les radicaux au dénominateur, on utilise la troisième identité remarquable : (a − b)(a + b) = a2 − b2 . √ √ √ √ Ce qui donne ici (3 − 2)(3 + 2) = 32 − ( 2)2 avec a = 3 et b = 2 √ √ 3 + 2 est appelée l’expression conjuguée de 3 − 2 1. 2. 4 Règles de calcul et exemples 4.1 Quelques rappels Quelques rappels pour éviter les erreurs les plus courantes : 1. La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction 2. Pour « éliminer » une parenthèse précédée d’un signe −, il faut changer le signe des termes dans cette parenthèse. −(3x2 − 4x + 2) = −3x2 + 4x − 2 3. Attention aux fractions précédée d’un signe −, il faut procéder comme s’il y avait des parenthèses au numérateur : 3x − 2 −(3x − 2) −3x + 2 − = = 4 4 4 3/6 Seconde 4. Nombres-calcul algébrique Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Attention à ne pas confondre inverse et opposé : −3 −5 −3 3 L’inverse de est mais l’opposé de est 5 3 5 5 Quand on multiplie ou divise chacun des membres d’une inégalité par un nombre strictement négatif , 5. le sens de cette inégalité change . 9 Par exemple : −3x > 9 ⇐⇒ x < ⇐⇒ x < −3 (on divise chacun des membres par −3 pour « isoler » −3 x) −9 ⇐⇒ x > −3 (on divise chacun des membres par 3 pour « isoler » x) mais 3x > −9 ⇐⇒ x > 3 −2 4 −3 De même : x < 4 ⇐⇒ x > ⇐⇒ x > 4 × ⇐⇒ x > −6 −2 3 2 3 4.2 exemples de calculs commentés Exemple 6 : Calcul avec des fractions 2 −3 Calculer et écrire sous forme d’une fraction irréductible : 3 1 4 + 4 5 * Solution: 2 −3 3 1 4 + 4 5 * On pourrait écrire 1 4 2 −3 ÷ + 3 4 5 2 9 − = 3 3 5 16 + 20 20 * Les calculs prioritaires sont donc 7 = 3 21 20 * Il faut réduire au même dénominateur pour additionner ou soustraire 7 20 =− × 3 21 * Diviser par 2 1 4 − 3 et + 3 4 5 − 7 20 =− × 3 7×3 −20 = 9 21 20 revient à multiplier par 20 21 * Simplifier si possible avant de multiplier Ici, 7 et 21 Exemple 7 : Développer-simplifier Développer et réduire : (3x − 1)(2x + 4) − (x2 − 4x + 1) * Solution: = 3x × 2x + 3x × 4 − 1 × 2x − 1 × 4 − x2 + 4x − 1 = 6x2 + 12x − 2x − 4 − x2 + 4x − 1 * Il faut multiplier 3x par +2x puis par +4 et ensuite −1 par +2x puis par +4 * Il faut multiplier 3x par +2x puis par +4 et ensuite −1 par +2x puis par +4 * Pour « supprimer » la parenthèse (x2 − 4x + 1) précédée du signe − il faut changer les signes des termes de l’expression x2 − 4x + 1 = 5x2 + 14x − 5 * Attention 3x × 2x = 6 x2 4/6 Nombres-calcul algébrique Seconde Exemple 8 : Equation Résoudre dans R l’équation 3 2 (x − 6) + 1 = x + 2 3 2 * Solution: 2 3 (x − 6) + 1 = x − 4 3 2 2 2 3 ⇐⇒ x − × 6 + 1 = x + 2 3 3 2 * Il faut distribuer 2 (« éliminer » les parenthèses) 3 2 3 ⇐⇒ x − 4 + 1 = x + 2 3 2 2 3 ⇐⇒ x − 3 = x + 2 3 2 * Simplifier au maximum les membres de gauche et de droite 4 18 9 12 ⇐⇒ x − = x+ 6 6 6 6 * Réduire au même dénominateur pour se débarrasser ⇐⇒ 4x − 18 = 9x + 12 * Multiplier ensuite les deux membres par 6 ⇐⇒ 4x − 9x = 12 + 18 * Isoler x ⇐⇒ −5x = 30 * Diviser par le facteur de x ici 7 ⇐⇒ x = 30 = −6 −5 La solution est x = −6 On peut écrire S = {−6} des fractions (pas obligatoire mais plus simple ensuite) * Donner la(les) solution(s) et contrôler en remplaçant x 2 3 par −6 dans (x − 6) + 1 puis x + 2 3 2 5/6 Nombres-calcul algébrique Seconde Exemple 9 : Inéquation Résoudre dans R l’inéquation 3 3 1 x+3< x− 2 5 4 * Solution: 1 3 3 x+3< x− 2 5 4 1 3 3 ⇐⇒ x − x < −3 − 2 5 4 ⇐⇒ 5 6 12 3 x− x<− − 10 10 4 4 ⇐⇒ − * Il faut « isoler » x * Simplifier au maximum les membres de gauche et de droite en réduisant au m 1 15 x<− 10 4 15 4 ⇐⇒ x > 1 − 10 − * Diviser ensuite les deux membres par −1 10 −1 est négatif donc on change le sens de l’inégalité 10 −10 −1 revient à multiplier par * Diviser par 10 1 Attention, ⇐⇒ x > − 10 15 ×− 4 1 ⇐⇒ x > 15 × 10 4 ⇐⇒ x > 15 × 5 2 * Simplifier si possible avant de multiplier, ici 10 et 4 75 * Donner l’ensemble de solution On peut s’aider d’un axe gradué 2 75 75 Il faut x > , on peut écrire S =] ; +∞[ 2 2 75 ou x ∈] ; +∞[ 2 ⇐⇒ x > 6/6