Exercices – Optique géométrique
publicité
Exercices – Optique géométrique « (. . . ) que mon corps est le prisme inaperçu, mais vécu, qui réfracte le monde aperçu vers mon « Je ». Ce double mouvement de conscience, à la fois centrifuge et centripète, qui me relie au monde, transforme celui-ci par là même, lui donne une détermination, une qualification nouvelle. » Edmond Barbotin – Humanité de l’homme Aubier, p. 48 (1970) Lois de Snell-Descartes Ex-O1.1 Mise en jambes 1) Refaire le schéma ci-contre en ne laissant que les rayons lumineux existant réellement. 2) Donner toutes les relations angulaires possibles en précisant pour chacune si elle est d’origine géométrique ou optique. Ex-O1.2 La loi de la réfraction Un rayon lumineux dans l’air tombe sur la surface d’un liquide ; il fait un angle α = 56◦ avec le plan horizontal. La déviation entre le rayon incident et le rayon réfracté est θ = 13, 5◦ . Quel est l’indice n du liquide ? Rép. : n = 1, 6. Ex-O1.3 Constructions de Descartes et de Huygens Montrer que les deux constructions suivantes permettent de tracer le rayon réfracté. 1) Construction de Descartes : ◦ tracer les cercles de rayons n1 et n2 ; ◦ soit M l’intersection du rayon incident avec le cercle de rayon n1 ; ◦ soit P l’intersection du cercle de rayon n2 et de la droite orthogonale à la surface de séparation passant par M ; ◦ le rayon réfracté n’est autre que OP . 2) Construction de Huygens : ◦ tracer les cercles de rayons 1/n1 et 1/n2 ; ◦ soit M l’intersection du rayon incident avec le cercle de rayon 1/n1 ; ◦ tracer la tangente en M au cercle de rayon 1/n1 ; ◦ soit I le point d’intersection de la tangente avec la surface de séparation ; ◦ soit P l’intersection du cercle de rayon 1/n2 et de la seconde tangente tracée ; ◦ le rayon réfracté n’est autre que OP . Ex-O1.4 Dispersion par le verre Le tableau ci-contre donne les longueurs d’onde, Couleur λ0 (nm) n (crown) n (flint) dans le vide, de deux radiations monochromarouge 656,3 1,504 1,612 tiques et les indices correspondants pour deux bleu 486,1 1,521 1,671 types de verre différents. 1) Calculer les fréquences de ces ondes lumineuses. Dépendent-elles de l’indice du milieu ? On prendra c0 = 2, 998.108 m.s−1 . O1 PTSI | Exercices – Optique géométrique 2011-2012 2) Calculer les célérités et les longueurs d’onde de la radiation rouge dans les deux verres. 3) a) Un rayon de lumière blanche arrive sur un dioptre plan air-verre, i sous l’incidence i = 60◦ . L’indice de l’air est pris égal à 1, 000. Rappeler les lois de Descartes relatives à la réfraction de la lumière. b) Calculer l’angle que fait le rayon bleu avec le rayon rouge pour un rR verre crown, puis pour un verre flint. Faire une figure. rB c) Quel est le verre le plus dispersif ? Ex-O1.5 Relation entre l’indice et la longueur d’onde On mesure l’indice d’un verre pour différentes longueurs d’onde (dans le vide) : λ (nm) n(λ) 400 1,500 500 1,489 600 1,482 700 1,479 On veut déterminer les coefficients A et B de la relation de Cauchy : n(λ) = A + 1) Déterminer les unités de A et de B. 800 1,476 B . λ2 2) Expliquer pourquoi il ne faut pas étudier n en fonction de λ, mais n en fonction de 1 . λ2 3) À l’aide d’une calculatrice, déterminer A et B par régression linéaire. 4) En déduire n pour λ = 633 nm. O1 Déviation d’un rayon lumineux ♦ Définition : La déviation d’un rayon lumineux est l’angle entre un rayon incident et un rayon émergent (réfléchi ou réfracté), les deux rayons étant orientés dans leur sens de propagation. ➜ C’est donc l’angle dont tournerait un véhicule qui se déplacerait en suivant les rayons. Cette déviation peut au besoin être algébrisée, ce qui est intéressant si le rayon subit plusieurs déviations : la déviation totale est la somme algébrique de toutes les déviations. Ex-O1.6 Déviation d’un rayon lumineux par deux miroirs Deux miroirs plans d’arête commune passant par O forment entre eux un angle α. Un rayon incident frappe l’un des miroirs puis se réfléchit sur l’autre. On note I et J les points d’incidence successifs, i et j les angles d’incidence correspondants. 1) Exprimer en fonction de l’angle i la déviation angulaire DI du rayon lors de la réflexion au point I. De même, exprimer DJ en fonction de j. I O J 2) En considérant le triangle (OIJ), établir la relation entre les angles i, j et α. 3) En déduire la déviation totale D du rayon lumineux lors des deux réflexions, en fonction de l’angle α uniquement. 4) Que se passe-t-il si les miroirs forment un angle droit ? Ex-O1.7 Réflexion sur une boule argentée Un rayon lumineux frappe la surface d’une boule réfléchissante de rayon R, avec un paramètre d’impact x par rapport au centre O de la boule. 2 http://atelierprepa.over-blog.com/ [email protected] Exercices – Optique géométrique | PTSI 2011-2012 1) Exprimer l’angle d’incidence i en fonction de x et R. 2) En déduire l’expression de la déviation D subie par le rayon lors de la réflexion. Tracer à l’aide d’une calculatrice l’allure de la courbe D(x) (pour 0 ≤ x ≤ R). 3) Quelle valeur faut-il donner à x pour que la déviation soit de 90◦ ? xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxx x x xxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxx x O Ex-O1.8 Courbure d’une fibre optique Une fibre optique est constitué d’une âme en verre d’indice n1 = 1, 66 et de diamètre d = 0, 05 mm entourée d’une gaine en verre d’indice n2 = 1, 52. On courbe la fibre éclairée sous incidence normale. Quel est est le rayon de courbure R minimal pour lequel toute la lumière incidente traverse la fibre ? d n1 + n2 Rép : Il faut R > . 2 n1 − n2 Ex-O1.9 Flotteur Un disque en liège de rayon r flotte sur l’eau d’indice n ; il soutient une tige placée perpendiculairement en son centre. Quelle est la longueur h de la partie de la tige non visible pour un observateur dans l’air ? Citer les phénomènes mis en jeu. √ Rép. : h = r n2 − 1. Ex-O1.10 Le point de vue du poisson Un poisson est posé sur le fond d’un lac : il regarde vers le haut et voit à la surface de l’eau (d’indice n = 1, 33) un disque lumineux de rayon r, centré à sa verticale, dans lequel il aperçoit tout ce qui est au-dessus de l’eau. 1) Expliquer cette observation. 2) Le rayon du disque est r = 3, 0 m. À quelle profondeur se trouve le poisson ? Rép. : h = 2, 6 m. Ex-O1.11 Trajet d’un rayon dans une demi- boule On étudie le comportement d’un rayon dans une demi-boule de centre O et de rayon R, constituée d’un milieu transparent d’indice n. L’air environnant a un indice qu’on prendra égal à 1. I xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx x x x x d x x x x x O H A Le rayon arrive normalement sur la face plane de la demi-boule, il est écarté d’une distance d par rapport à l’axe optique. On note I le point d’incidence sur la partie sphérique, i l’angle d’incidence et r l’angle de réfraction en ce point. Le rayon émergent, lorsqu’il existe, coupe l’axe optique en A. 1) Pour quelle valeur limite dlim y a-t-il réflexion totale en I ? On considère que d < dlim . 2) Exprimer la distance OA en fonction de R, i et r. On pourra s’aider du point auxiliaire H. 3) En déduire la position limite F du point A lorsque d est « très » petit. On donnera l’expression de OF en fonction de R et n. 4) On prend R = 10 cm et n = 2. En faisant un tableau de valeurs, tracer sur un même dessin les trajets des rayons lumineux pour d = 1 cm, d = 2 cm, d = 3 cm, d = 4 cm et d = 5 cm. [email protected] http://atelierprepa.over-blog.com/ 3 PTSI | Exercices – Optique géométrique 2011-2012 Ex-O1.12 Lame à faces parallèles On considère une lame à faces parallèles en verre (indice n) plongée dans l’air. Elle peut être considérée comme l’association de deux dioptres plans parallèles. Il y a donc stigmatisme approché dans les conditions de Gauss (Cf. leçon suivante). 1) Faire une figure montrant qu’un rayon d’incidence i a subi à sa sortie un simple déplacement d telle que : sd’une distance 2 sin(i − r) 1 − sin i r est l’angle de réfraction à la 1ère réfraction = e. sin i 1 − d = e. e est l’épaisseur de la lame cos r n2 − sin2 i 2) Montrer que la position de l’image est telle que AA′ = e(1 − n1 ) et que ce déplacement apparent a lieu dans le sens de la lumière. Calculer AA′ pour une vitre d’épaisseur 1 mm. Conclusion ? Ex-O1.13 Indice d’un liquide Une cuve en verre a la forme d’un prisme de section droite rectangle isocèle. Elle est posée horizontalement sur une des arêtes de longueur l du triangle isocèle, et le sommet opposé à ce côté est ouvert pour permettre de remplir la cuve d’un liquide transparent d’indice n. Un pinceau de lumière est envoyé horizontalement sur la face verticale de la cuve, dans un l plan de section droite, à la hauteur . 2 Ce rayon émerge au-delà de l’hypothénuse et rencontre en un point P un écran E placé verticalement à la distance l de la face d’entrée du dispositif. On néglige l’effet dû aux parois en verre sur la propagation du pinceau de lumière. 1) Quelle limite supérieure peut-on donner à la valeur de l’indice ? 2) Quel est l’indice n du liquide contenu dans la cuve en fonction de l et de z ? 3) A.N. : calculer n avec : l = 30 cm et z = 6, 7 cm. √ l − 2z ; 3) n = 1, 36 (éthanol peut-être). Rép. : 1) n ≤ 1, 414 ; 2) n = 2 sin i + arctan l Ex-O1.14 Deux prismes accolés Deux morceaux de verre taillés sous forme de triangles rectangles et isocèles d’indices respectifs N et n ont leur face AB commune. Un rayon incident frappe AD sous une incidence normale, se réfracte en I1 , se réfléchit en I2 puis ressort en I3 sous l’incidence i. Les valeurs de N et n sont telles que la réflexion soit totale en I2 . 1) Écrire la relation de Snell-Descartes aux points I1 et I3 . 2) Quelles relations vérifient les angles r et α ; α et β ? 3) Quelle relation vérifient N et n pour que la réflexion soit limite en I2 ? 3 Calculer N , r, α, β et i pour n = quand cette condition limite est réalisée. 2 On appelle N0 cette valeur limite de N . Pour que la réflexion soit totale en I2 , N doit-il être plus grand ou plus petit que N0 ? 4) Écrire la relation vérifiée par N et n pour que l’angle i soit nul. Que vaut N ? p 4 Rép : 3) N0 = 2(n2 − 1) ; 4) N = n = 3 Ex-O1.15 Taille d’un miroir Quelle taille minimum doit avoir un miroir plan pour qu’un homme de 1, 80 m puisse s’y voir 4 http://atelierprepa.over-blog.com/ [email protected] Exercices – Optique géométrique | PTSI 2011-2012 entièrement et où le miroir doit-il se trouver ? Rép. : Miroir de 90 cm placé à 85 cm du sol. Ex-O1.16 Mesure d’un angle de rotation par la méthode de Poggendorff Montrer que lorsque le miroir tourne d’un angle α le rayon réfléchi tourne de 2α. (on peut ainsi mesurer l’angle dont tourne un objet mobile en collant un petit miroir sur lequel on envoie un rayon lumineux et en mesurant l’angle dont tourne le réfléchi.) Ex-O1.17 Angle de Brewster déterminer l’angle d’incidence iB , ap- pelé « angle de Brewtser », pour lequel le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont à angle droit en fonction des indices n1 et n2 . Ex-O1.18 Détermination de la radiation émise par la lampe à vapeur de cadmium On éclaire un prisme avec une lampe à vapeur de mercure, pour laquelle on a mesuré Dm pour différentes longueurs d’onde et obtenu les valeurs de n correspondantes : λ (µm) n 1/λ2 (µm−2 ) 0,4047 1,803 6,11 0,4358 1,791 5,27 0,4916 1,774 4,14 0,5461 1,762 3,35 i n1 n2 r 0,5770 1,757 3,00 B , où A et B sont des constantes. λ2 2) Pour une lampe à vapeur de cadmium, on mesure un indice égal à n = 1, 777. En déduire la longueur d’onde et la couleur correspondante. 1) Montrer que n peut se mettre sous la forme : n = A + Ex-O1.19 Guidage par fibre optique [d’après xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Mines-Ponts] xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx a b On considère une fibre optique à saut d’indice, forxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx i xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx r xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx mée d’un cœur cylindrique d’axe (Oz), de rayon a, xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxx z xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxx d’indice uniforme n1 , entouré d’une gaine d’axe (Oz), xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx θ xxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxx de rayon extérieur b, et d’indice n2 < n1 . Le milieu xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx n1 coeur xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx extérieur est l’air. Un rayon pénètre dans la fibre avec xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx n2 gaine xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx une incidence θ (voir figure ci-contre). 1) Montrer que le rayon lumineux est guidé dans le cœur (c’est-à-dire qu’il n’en sort pas) si l’angle i est supérieur à une valeur critique ic , que l’on exprimera en fonction de n1 et n2 . Calculer ic , pour n1 = 1, 456 (silice) et n2 = 1, 410 (silicone). 2) Exprimer, en fonction de n1 et n2 , l’angle limite θ0 d’incidence du rayon sur la face d’entrée de la fibre optique, correspondant à une propagation possible dans la fibre. 3) On définit l’ouverture numérique d’une fibre par la grandeur O.N. = n0 . sin θ0 , où n0 = 1, 000 ici (air). Calculer l’ouverture numérique de la fibre en silice/silicone. Calculer l’ouverture numérique d’une fibre à arsénure de gallium, caractérisée par n1 = 3, 9 et n2 = 3, 0. Commenter. 4) La fibre optique est maintenant coudée. 4.a) Expliquer en utilisant un schéma pourquoi une partie des rayons guidés dans la tranche rectiligne ne le sont plus dans la partie coudée. 4.b) On suppose que la fibre optique prend une position extrême en tournant sur elle-même de 180° (voir ci-contre). Trouver la relation entre n1 , n2 et les rayons a et b du cœur et de a gaine, qui assure la réflexion totale, dans la partie coudée, d’un rayon axial (θ = 0◦ ). [email protected] http://atelierprepa.over-blog.com/ 5 PTSI | Exercices – Optique géométrique 2011-2012 Ex-O1.20 Reconnaissance de gemmes [CCP PC 2007(1) | http ://ccp.scei-concours.fr] 1) Un solide transparent d’indice de réfraction n1 , est plongé dans un liquide transparent d’indice de réfraction n2 (Figure ci-contre). Un faisceau lumineux, en incidence normale, vient éclairer le solide, et après la traversée de celui-ci, illumine un écran situé sous le solide. En reproduisant fidèlement la figure ci-contre, tracer l’allure du prolongement des rayons réfractés issus de A, B, C et D, jusqu’à l’écran, dans le cas où l’indice de réfraction n1 est supérieur à n2 , puis dans le cas où l’indice de réfraction n1 est inférieur à n2 . On ne tiendra pas compte des rayons réfléchis. En déduire les zones de plus forte et de plus faible intensité lumineuse sur l’écran. 2) Application : Un collectionneur de gemmes possède trois petites pierres transparentes et incolores : une moissanite, un zircon et un morceau de verre ‘a fort indice (flint), ainsi qu’un flacon de iodure de méthylène liquide. Les propriétés physiques de ces quatre substances sont résumées dans le tableau ci-dessous : Substance Zircon Moissanite Verre flint Iodure de méthylène Masse volumique (kg.m−3 ) 4 690 3 210 3 740 3 330 Indice de réfraction 1, 95 2, 70 1, 64 1, 75 2.a) L’immersion des trois pierres dans le iodure deméthylène, permet de reconnaître immédiatement l’une des trois pierres. Laquelle ? 2.b) Les deux pierres restantes sont posées sur un morceau de verre dépoli, recouvertes de iodure de méthylène, puis éclairées depuis le haut. Un miroir incliné situé sous le verre dépoli permet d’observer le verre dépoli par en dessous. La pierre numéro 1 est entourée d’un contour brillant, et ses arêtes vives sont sombres. La pierre numéro 2 est entourée d’un contour sombre, et les arêtes paraissent brillantes (Figure ci-contre). Identifier les pierres numéro 1 et numéro 2. Ex-O1.21 Spectroscope à prisme [Banque PT 2005(B) | http ://www.banquept.fr] Un spectroscope est un appareil destiné à étudier le spectre d’une source lumineuse. Un collimateur permet de réaliser un faisceau de rayons parallèles qui va éclairer un prisme. Un viseur permet ensuite d’étudier la lumière ayant traversé le prisme. Le prisme utilisé est caractérisé par un indice n qui dépend de la longueur d’onde. Sa section droite est un triangle d’angle A. Le prisme est placé dans l’air dont l’indice sera pris égal à 1. Un rayon incident rencontre la face d’entrée au point I sous l’angle d’incidence i et l’émergent associé ressort par l’autre face au point J sous l’angle i′ . On utilisera les angles orientés définis sur la figure cicontre. On suppose d’abord la lumière monochromatique et l’indice du prisme égal à n. 1) Rappeler les lois de Descartes pour la réflexion et la réfraction. En déduire des relations sur les angles i et r en I, puis sur les angles r′ et i′ en J. On suppose que le prisme permet l’existence du rayon émergent et on néglige, dans la suite, toute réflexion. Trouver une relation simple entre r, r′ et A. 6 http://atelierprepa.over-blog.com/ [email protected] 2011-2012 Exercices – Optique géométrique | PTSI 2) Établir la relation : D = i + i′ − A. En appliquant le principe du retour inverse de la lumière, montrer que, pour une valeur de D possible donnée, il existe deux couples de solutions (i, i′ ). En déduire l’égalité de i et de i′ lorsque D passe par un minimum Dm (supposé unique). 3) Déterminer la valeur im de i correspondant au minimum de déviation en fonction de n et de A. Établir une relation entre n, l’angle A et la déviation minimale Dm . A + Dm f 2 4) En déduire que l’indice n, les angles A et Dm vérifient une relation du type n = A f 2 où f est une fonction que l’on précisera. 5) On éclaire le prisme avec une lampe à vapeur de mercure, pour laquelle on a mesuré Dm pour différentes longueurs d’onde et obtenu les valeurs de n correspondantes. λ (µm) 0, 4047 0, 4358 0, 4916 0, 5461 0, 5770 n 1, 803 1, 791 1, 774 1, 762 1, 757 2 −2 1/λ (µm ) 6, 11 5, 27 4, 14 3, 35 3, 00 1 Montrer que n peut se mettre sous la forme n = A + B. 2 avec A et B des constantes. Pour λ cela, effectuer une régression linéaire ; on précisera les valeurs des constantes A et B ainsi que le carré du coefficient de régression linéaire R2 . Est-ce que le prisme est dispersif — si oui, pourquoi ? 6) Pour une lampe à vapeur de cadmium, on mesure un indice égal à n = 1, 777. En déduire la longueur d’onde et donner la couleur correspondante. [email protected] http://atelierprepa.over-blog.com/ 7 PTSI | Exercices – Optique géométrique 2011-2012 Solution Ex-O1.4 1) νR = 4, 568.1014 Hz, νB = 6, 167.1014 Hz. Les fréquences ne dépendent pas du milieu. c c0 1 λ0 c0 = . 2) c = , et donc : λ = = n ν ν n n • Dans le verre de crown : cR = 1, 993.108 m.s−1 et λR = 436, 3 nm . • Dans le verre de flint : cR = 1, 86.108 m.s−1 et λR = 407, 1 nm . 3) a) Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence et n sin i = n′ sin r. b) • Pour le verre de crown : rR = 35, 16◦ et rB = 34, 71◦ : le rayon bleu est plus dévié que le rayon rouge. L’angle entre le rayon rouge et le rayon bleu vaut ∆r = 0, 45◦ . • Pour le verre de flint : rR = 32, 50◦ et rB = 31, 22◦ : le rayon bleu est plus dévié que le rayon rouge. L’angle entre le rayon rouge et le rayon bleu vaut ∆r = 1, 28◦ . c) → Le « flint » est un verre plus dispersif que le « crown » car l’angle entre les deux rayons est le plus important. Solution Ex-O1.5 1) n n’a pas d’unité, donc A n’a pas d’unité et B a la même unité que λ2 , i.e le mètre carré (m2 ). 2) n(λ) n’est pas une fonction affine, en re1 vanche n λ2 est une fonction affine d’ordonnée à l’origine A et de cœfficient directeur B. 3) A = 1, 468 et B = 5, 2.10−15 m2 . 4) n(633 nm) = 1, 468 + 5, 2.10−15 (633.10−9 )2 soit n = 1, 481 . Solution Ex-O1.10 1) Par application du principe du retour inverse de la lumière, l’œil du poisson voit la zone de l’espace d’où il peut être vu. Le poisson voit donc tout l’espace situé dans l’air au travers d’un cône de sommet son œil et de demi-angle au sommet égal à l’angle limite de réfraction pour le dioptre Eau/Air. En dehors de ce cône, il y a réflexion totale. nair 1 = arcsin ≈ 49◦ , neau 1, 33 le poisson voit donc l’espace situé au-delà de la surface de l’eau sous un cône d’angle 98◦ , dont l’intersection avec la surface de l’eau est un disque de rayon r. r r Avec tan il = , on a h = = 2, 6 m . h tan il 2) il = arcsin Solution Ex-O1.13 1) En I, l’incidence étant normale, le rayon incident n’est pas dévié. Par contre, en J, l’angle d’incidence est i = 45◦ . Or l’énoncé dit que le rayon est transmis 1 1 en J, donc i ≤ il = arcsin , d’où sin i ≤ n n √ 1 = 2 = 1, 414 . et donc n ≤ sin i 2) En J on a n sin i = sin r, sin r √ = 2 sin r. donc : n = sin i On peut calculer r à l’aide des données fournies 8 par la tache lumineuse sur l’écran E. Dans le triangle JKP , l −z KP l − 2z 2 tan(r − i) = = . = l JK l 2 l − 2z Ainsi, r = i + arctan et donc : l √ l − 2z n = 2 sin i + arctan l 3) n = 1, 36 (éthanol peut-être). http://atelierprepa.over-blog.com/ [email protected] Exercices – Optique géométrique | PTSI 2011-2012 Solution Ex-O1.14 1) En I1 : N sin 45 = N ◦ √ 2 1 = n sin r , 2 2 et en I3 , n sin β = sin i ,. 2) La normale à BC et la normale à AB sont perpendiculaires entre elles. dans le triangle formé par ces normales et I1 I2 , on a : π r+α= ,. 3 2 De plus, avec le triangle I2 CI3 , on établit : π ,. 4 α+β = 4 3) • La condition de réflexion (avec phénomène de réfraction) limite en I2 s’écrit : n sin α = 1 , 5 Grâce à , 1 et ,, 3 la relation , 5 conduit à : Solution Ex-O1.18 N 2 = 2 (n2 − 1) • AN : ,. 6 N ≡ N0 = 1, 58 r ≡ r0 = 48, 19◦ α = α0 = 41, 81◦ β = 3, 19◦ i = 4, 79◦ • Pour que la réflexion soit totale en I2 , il faut que l’angle α soit plus grand que l’angle d’incidence pour la réfraction limite α0 que l’on vient de calculer (car alors la loi de Descartes pour la réfractrion n’est plus vérifiée : , 5 devient n sin α > 1). Alors , 3 ⇒ r < r0 , et donc , 1 ⇒ N < N0 , p ce qui revient à dire N < 2 (n2 − 1) . π 4) Si i est nul, alors β est nul, soit α = r = , 4 3 et donc , 1 ⇒ N = n, soit : N =n= 2 1 1 ou tracer n = n pour les cinq 1) Effectuer une régression linéaire de n = n 2 λ λ2 longueurs d’onde données et constater que les points s’alignent sur une droite ; déterminer le coefficient directeur de cette droite et son ordonnées à l’origine ; identifier alors A et B. On trouve B = 1, 48.10−2 µm−2 et A = 1, 713 Rq : Attention ! A est sans dimension tandis que B est homogène à L−2 , inverse d’une surface. 2) Utiliser la loi de Cauchy avec les coefficients A et B calculés précédemment. On trouve : λ = 0, 4809 µm . Solution Ex-O1.20 1) Lorsque les rayons arrivent dans un milieu d’indice plus grand (n1 > n2 ), les rayons se rapprochent de la normale. Les rayons C et D ont tendance à se focaliser sous l’arête au sommet, dans une zone qui apparaîtra ainsi plus lumineuse (voir première figure ci-contre). Le rayon B est lui aussi détourné, et le rayon A n’étant pas dévié, il existe une zone qui ne reçoit pas de lumière et qui apparaîtra sombre. En revanche, lorsque les rayons arrivent dans un milieu d’indice plus faible (n1 < n2 ), les rayons s’éloignent de la normale. Les rayons C et D vont donc diverger, la zone située sous ces rayons sera sombre (voir seconde figure ci-contre). Le rayon A n’est toujours pas dévié et le rayon B semble converger vers lui, cette zone de l’écran sera lumineuse. 2.a) D’après le tableau, la moissanite étant la seule gemme à avoir une masse volumique (et donc une densité) plus faible que celle de l’iodure de méthylène, La moissanite flotte dans l’iodure de méthylène, les deux autres pierres coulent. 2.b) La pierre 1, observée à travers le verre dépoli, a des bords lumineux, l’intensité étant faible au niveau des arêtes. Cela correspond au second cas de la question 1) (n1 < n2 ), c’est-à-dire au cas où l’indice de la pierre (n1 ) est plus faible que l’indice du liquide (n2 ) ; il s’agit donc du verre flint. La pierre 2 a des bords sombres et des arêtes brillantes. Cela correspond au premier cas de la question 1) (n1 > n2 ), c’est-à-dire au cas où l’indice de la pierre (n1 ) est plus grand que celui du liquide (n2 ), il s’agit donc du zircon. [email protected] http://atelierprepa.over-blog.com/ 9 PTSI | Exercices – Optique géométrique 2011-2012 Solution Ex-O1.21 1) ➜ Cf Cours O1/TPC : sin i = n. sin r , 1 ′ ′ sin i = n. sin r , 2 r + r′ = A , 3 2) ➜ Cf Cours O1/TPC : D = i + i′ − A , 4 Supposons i′ langle d’émergence associé à l’angle d’inD cidence i. D0 Si on prend comme angle d’incidence l’angle d’émergence initial i′ , le nouvel angle d’émergence sera i par D1,2 principe du retour inverse de la lumière. Dm Si la déviation passe par un minimum lorsque i varie (c’est-à-dire lorsqu’on fait tourner le prisme par rapi port à la lumière incidente), on peut tracer l’allure de π /2 i i i i 2 m 0 1 D = i + i′ − A en fonction de i (figure ci-contre). Ainsi, sur ce tracé, (i = i1 , i′ = i2 ) et (i = i2 , i′ = i1 ) correspondent à la même déviation D = D1,2 . Une parallèle à l’axe des i d’équation D = D1,2 coupe donc la courbe D = D(i) en deux points dont les abscisses représentent les deux incidences i1 et i2 pour lesquelles la déviation a la même valeur. On en déduit que i = i′ = im lorsque la déviation est minimale puisqu’alors la parallèle à l’axe des i d’équation D = Dm est tangente à la courbe (i1 = i2 = im ). A ′ = r 3 on a : rm = 3) Puisque i′m = im , rm . Le relation de Descartes pour la m et d’après ,, 2 A A réfraction en I ou en J donne : sin im = n. sin soit : im = arcsin n. sin 2 2 A −A D’après ,, 4 on en déduit : D = 2. arcsin n. sin 2 Dm + A A + Dm sin f 2 2 4) Soit : n = de la forme n = avec f = sin A A sin f 2 2 B avec λ2 2 une bonne précision (R > 0, 99) : 5) On vérifie que n = A + A = 1, 712 B = 0, 0149µm2 R = 0, 99993 R2 = 0, 9998 6) La connaissance de n, A et B permet d’obtenir 1 ≃ 4, 3463 µm−2 λ2 et donc λ = 0, 4797 µm ≃ 480 nm Il s’agit d’une lumière bleue (puisque la gamme du bleu correspond à l’intervalle ∼ 445−520 nm) 10 http://atelierprepa.over-blog.com/ [email protected]
