Université Lille I 2013-2014 L3 Maths M-52 7 - APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLE Notation. La différentielle d’une application f en un point a est notée d f x ou d f (x). La dérivée directionnelle d’une application f en un point x suivant le vecteur v est notée ∂v f (x). On note Mn (R), GL(n, R) l’espace des matrices carrées réelles n × n et le groupe des éléemnts inversibles de Mn (R). Exercice 1 a) Rappeler la définition de différentiabilité et de dérivée directionnelle suivant un vecteur. b) Soit f : R2 → R définie par { f (x, y) = x2 y x 2 +y 2 si (x, y) ̸= (0, 0) 0 sinon . Montrer que f est continue en (0, 0) et que pour tout v ∈ R2 la dérivée directionnelle ∂v f (0, 0) de f en (0, 0) suivant la direction v existe. Montrer que l’application v ∈ R2 7→ ∂v f (0, 0) n’est pas linéaire. En tirer les conséquences. c) On considère f : R2 → R définie par f (0, 0) = 0 et, si (x, y) ̸= (0, 0), f (x, y) = 0, pour tout v ∈ E , mais que f n’est pas différentiable en (0, 0). x3 y . Montrer que pour ∂v x 4 +y 2 f (0, 0) = Exercice 2 a) Dans un espace vectoriel réel E muni d’une norme ∥ · ∥, on considère l’application N : x ∈ E 7→ ∥x∥. En raisonnant par l’absurde, montrer que N n’est pas différentiable en 0 (on pourra regarder ses dérivées directionnelles). On suppose désormais que E est un espace pré-hilbertien sur R et que ∥ · ∥ est la norme associée au produit scalaire 〈·|·〉 sur E . b) Montrer que g : x 7→ ∥x∥2 est différentiable sur E et calculer sa différentielle dg . c) En déduire ( ) que f : x 7→ ∥x∥ est différentiable en tout point de E \{0}, et calculer sa différentielle d f . Décrire Ker d f x pour tout x ̸= 0. Exercice 3 Étudier la différentiabilité des applications suivantes définies sur Rn [X ] : ∫ f : P 7→ 0 1 (P 3 (t ) − P 2 (t )) d t et g : P 7→ P ′ − P 2 Exercice 4 a) Soit O = {(u, v) ∈ R3 × R3 | u ∧ v ̸= 0}. Calculer la différentielle de l’application (u, v) ∈ O 7→ ln ∥u ∧ v∥ où ∥ · ∥ désigne la norme euclidienne. b) Pour f et g deux applications dérivable d’un intervalle I ⊂ R dans R3 , déterminer, pour tout t ∈ I , les dérivées des fonctions t 7→ f (t ) ∧ g (t ) et t 7→ 〈 f (t ), g (t )〉. 1 c) Utiliser le résultat précédent pour montrer que ∥ f ∥ est constante si et seulement si 〈 f (t ), f ′ (t )〉 = 0, pour tout t ∈ I . Exercice 5 Les coordonnées cartésiennes (x, y, z) de l’espace euclidien R3 s’expriment en fonction des coordonnées paraboliques (ξ, η, φ) ∈ [0, +∞]2 × [0, 2π] via les formules √ √ 1 x = ξη cos φ, y = ξη sin φ, z = (ξ − η). 2 (Le nom coordonnées paraboliques vient du fait que les familles de surfaces ξ = Constante et η = Constante sont des paraboloïdes de révolution d’axe de symétrie z). Calculer la matrice jacobienne de l’application (ξ, η, φ) 7→ (x, y, z) et déterminer le lieu où le déterminant jacobien est non nul. Exercice 6 a) Soit f : A ∈ Mn (R) 7→ det A ∈ R l’application qui associe à une matrice A son déterminant. Rappelons que d f A (H ) = det(A) trace(A −1 H ), ∀A ∈ GL(n, R) En déduire, en utilisant l’expression de la matrice inverse A −1 en fonction de la matrice complémentaire de A et un argument de densité, une formule pour d f A pour tout A ∈ Mn (R). b) Retrouver cette formule à partir de la formule de Laplace pour le déterminant de A. Exercice 7 Soit (E , 〈·|·〉) un espace préhilbertien réel. Soit u ∈ L c (E ) un endomorphisme continu que l’on suppose symétrique : ∀x, y, 〈u(x)|y〉 = 〈x|u(y)〉. a) Montrer que l’application x ∈ E 7→ 〈u(x)|x〉 est différentiable sur E et calculer sa différentielle. En déduire que l’application x 7→ ∥x∥2 est différentiable. b) Pour x ∈ E , on pose ϕ(x) = 〈u(x)|x〉 〈x|x〉 . Montrer que ϕ est différentiable. Calculer ensuite dϕ. c) Soit a ∈ E \ {0}. Montrer que dϕa = 0 si et seulement si a est vecteur propre de u. Exercice 8 Soit F un fermé non vide de Rn muni de la norme euclidienne ∥·∥. Soit f : Rn → R définie par f (x) = dist(x, F ) = inf{∥z − x∥ | z ∈ F }. On rappelle que f est 1-lipschitzienne, et que pour chaque x ∈ Rn il existe un point y ∈ F tel que f (x) = ∥x − y∥. Soient x ∈ Rn \ F un point où f est différentiable et y ∈ F un point tel que f (x) = ∥x − y∥. a) Montrer que ∥d f x ∥L (Rn ;R) ≤ 1. b) On considère la fonction φ : t ∈ R 7→ f ((1−t )x+t y). En calculant φ′ (0) de deux façons, montrer que d f x 1. En déduire que ∥d f x ∥L (Rn ;R) = 1. ( x−y ∥x−y∥ ) = c) En déduire que y est l’unique point de F satisfaisant f (x) = ∥x − y∥. Exercice 9 a) Déterminer le lieu des points (x 1 , x 2 ) ∈ R2 où l’application f : R2 → R définie par f (x 1 , x 2 ) = ∥x∥∞ = max (|x 1 |, |x 2 |) et différentiable et calculer sa différentielle. b) Généraliser ceci à f : F → R, f (x) = ∥x∥∞ , avec F = Rn ou F l’ensemble des suites convergentes vers zéro. Exercice 10 Soit E un espace vectoriel de dimension finie et L (E ) l’espace des endomorphismes linéaires de E . On rappelle que l’exponentielle de A ∈ L (E ), notée exp A ou e A , est définie par exp(A) = 2 ∞ Aj ∑ j =0 j ! a) Soit ϕ l’application ϕ : t ∈ R 7→ exp(t A); Montrer que ϕ(s)ϕ(t ) = ϕ(s + t ) pour tout (t , s) ∈ R2 et que ϕ′ (t ) = A exp(t A) = exp(t A)A. b) On suppose désormais que E est un espace pré-hilbertien sur R et que ∥ · ∥ est la norme associée au produit scalaire 〈·|·〉 sur E . Soit A ∈ L (E ) tel que Ax ⊥ x pour tout x ∈ E ; montrer que exp A est une isométrie (c’està-dire que ∥ exp Ax∥ = ∥x∥ pour tout x ∈ E ). (Indication : Dériver la fonction t ∈ R 7→ ∥e t A x∥2 .) c) En déduire que si A ∈ Mn (R) est une matrice antisymétrique alors M = exp A est une matrice orthogonale (c-à-d. M M T = I ) de déterminant égal à 1. Exercice 11 (*) Soit f : R2 → R l’application x = (x 1 , x 2 ) 7→ ∥x∥1 = |x 1 | + |x 2 |. Est-elle différentiable ? ∑ Considérons maintenant l’espace l 1 des suites réelles x = (x j )∞ muni de la norme ∥x∥1 = ∞ j =1 |x j |. j =1 a) Montrer que pour toute forme linéaire continue L sur l 1 il existe une suite bornée α = (α1 , α2 , . . . ) telle que L(x) = ∞ ∑ j =1 αj x j . b) Montrer que la norme ∥ · ∥1 : l 1 → R n’est différentiable en aucun point de l 1 (raisonner par l’absurde en utilisant (1)). 3