CORRIGE EPAS
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CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS Problématique : Comment assurer la stabilité de la plateforme ? Contexte Une E.P.A.S. est une Echelle Pivotante Automatique à commande Séquentielle. Ce système conçu et commercialisé par la société CAMIVA est monté sur le châssis d’un camion de pompiers et permet de déplacer une plate-forme pouvant recevoir deux personnes et un brancard le plus rapidement possible et en toute sécurité. Correction d’aplomb PARC ECHELLE PLATE-FORME Y Axe 1 TOURELLE 2 Axe 2 BERCEAU TOURELLE 1 Axe 3 Z CHASSIS X STABILISATEUR Correction de dévers Le déplacement de la plate-forme est réalisé suivant trois axes : Le déploiement du parc échelle (axe 1) : Chaque plan de l’échelle peut se translater par rapport aux autres ; seul le quatrième plan d’échelle est solidaire du berceau. Le pivotement autour de l’axe Y (axe 2) : La tourelle 1 peut pivoter par rapport au châssis autour d’un axe vertical. La rotation autour de l’axe Z (axe 3) : Le berceau peut tourner par rapport à la tourelle 2 autour d’un axe horizontal. Pour garantir la sécurité, le système maintient toujours la plateforme en position horizontale : La correction d’aplomb oriente la plate-forme autour d’un axe horizontal parallèle à l’axe Z. La correction de devers oriente l’ensemble parc échelle et plate-forme autour de l’axe X : la tourelle 2 s’oriente par rapport à la tourelle 1 suivant un axe perpendiculaire aux axes 3 et 2. Lors des déplacements suivant les axes 2 et 3, le système « VARIMAX » de commande des actionneurs maintient la vitesse de la plate-forme la plus constante possible afin de limiter les mouvements de balancier qui résulteraient d’une commande trop « brusque ». Un système de sécurité peut, à tout moment, stopper le déplacement de la plate-forme s’il y a un risque de basculement du camion porteur : Des capteurs d’efforts placés sur le parc échelle permettent de tenir compte de la charge dans la plate-forme. Des capteurs de position sur les trois axes permettent de définir la position de la plate-forme. Des capteurs inductifs détectent la position de sortie des stabilisateurs. ETUDE DE LA STABILITE DU VEHICULE PORTEUR Le véhicule porteur de l’E.P.A.S. doit être équipé de stabilisateurs. Une fois en place, les stabilisateurs le soulèvent, afin qu’il ne repose plus sur les roues (les roues touchent le sol mais ne supportent aucun poids) : le mouvement des suspensions du véhicule mettrait en danger sa stabilité. Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 1/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS L’objet de cette partie est de déterminer la longueur de déploiement maximale que le système de sécurité pourra autoriser. y L L/2 GP GE C A B h H GV a O M b b x N Le véhicule est dans la configuration de la figure précédente : Parc échelle horizontale. Stabilisateurs sortis au maximum. Charge maximale dans la plate-forme. Le problème sera traité en statique plane dans le plan (O, x, y) de la figure précédente. Les efforts pris en compte sont : Les actions de pesanteur sur chaque élément. Elément Centre d’inertie Masse Véhicule + charge utile GV mV OG a y V Parc échelle GE mE Plate-forme + charge utile GP mP L x h y 2 OGP L x H y OGE Les actions de contact de la route sur les stabilisateurs. Ces actions seront modélisées par des glisseurs passant l’un par M, tel que OM b x et l’autre par N tel que ON b x Les résultantes de ces glisseurs seront notées respectivement : RM X M x YM y et RN X N x YN y Questions Q1 - Exprimez la condition de non basculement de l’ensemble. La condition de non basculement de l’ensemble est que la réaction normale du contact avec le sol en M soit positive : YM 0 Remarque : La position limite demandée (calcul de statique) provoquera le basculement dès lors que les effets dynamiques (rentrée ou sortie du parc échelle) rentreront en compte !!! Q2 Calculez la longueur Lmax de déploiement au-delà de laquelle il y aura basculement. Appliquons le théorème du moment statique à l’ensemble projeté suivant N , z0 pour éliminer de l’équation les inconnues de liaisons X N , YN , X M qui ne nous intéressent pas. M N g Pf .z0 M GP g Pf .z0 NGP mP g y0 .z0 mP g y0 z0 .NGP mP g x0 .NGP mP g L b L b 0 De la même manière : M N g Veh Charge.z0 M GV g Veh Charge.z0 NGV mV g y0 .z0 mV g x0 .NGV mV gb 0 b L M N g Parc éch .z0 M GV g Parc éch .z0 NGE mE g y0 .z0 mE g x0 .NGE mV g b 2 L b 2 0 Pour les réactions du sol sur les stabilisateurs : Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 2/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS M N solstabilisateurN 0 M N solstabilisateurM .z0 M M solstabilisateurM .z0 NM RN .z0 2bYM 0 D’où l’équation du moment à l’ensemble projeté suivant N , z0 : L mP g L b mE g b mV gb 2bYM 0 2 L Lmax LYM 0 mP g Lmax b mE g max b mV gb 0 , soit : 2 m mE mV Lmax 2b P 2mP mE Etude de l’aplomb de la plateforme La plateforme est prévue pour recevoir deux personnes et un brancard soit une charge d’environ 270kg. Lors des mouvements de l’échelle, la plateforme doit rester horizontale. L’échelle étant de longueur variable, l’utilisation de l’énergie hydraulique disponible au niveau du véhicule imposerait de raccorder la plateforme avec des canalisations de longueur variable entre des valeurs très éloignées et avec des pertes de charges importantes. La solution retenue est donc une chaîne d’action comportant un moteur électrique à courant continu, une pompe hydraulique et deux vérins rotatifs installés directement au niveau de la plateforme. Pour éviter que les mouvements de la plateforme dus aux flexions de l’échelle résultant de sollicitations dynamiques (entre autres, les mouvements des personnes embarquées), ne sollicite inutilement le système, la consigne provient d’un capteur donnant l’angle entre l’échelle et l’horizontale. Un potentiomètre installé au niveau de la plateforme donne une image de l’angle qu’elle fait avec le parc échelle. Modélisation et paramétrage de l’installation Moteur électrique Pompe hydraulique Vérin rotatif Plateform e i L R1 uC R3 CV1 CS1 e JM CV2 R2 CS2 C JP Moteur JPL JV Pompe Vérin Hypothèses : - on néglige l’inductance du moteur électrique ; on néglige la compressibilité du fluide et la déformation des contenants du fluide sous pression. Schéma fonctionnel (schéma bloc) avec les hypothèses précédentes c UC +- +- +- Cplateforme CyP CP CyP +- +- CyV CS1 + +- 1/p s CS2 ke Moteur CyV Pompe Vérin Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 3/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS Notations : uC : tension de commande. R1 : résistance électrique de l’induit du moteur. e : f.c.e.m. du moteur , sa vitesse de rotation. ke : constante électrique du moteur : e = ke. J1 : moment d’inertie du moteur et de la pompe ramené sur l’arbre moteur. J2 : moment d’inertie du vérin et de la plateforme ramené sur l’axe du vérin. 1 et 2 respectivement coefficient de frottement visqueux (CV1 et CV2. CS1 : couple de frottement sec de l’ensemble moteur+pompe ramené sur l’arbre moteur. CS2: couple de frottement sec de l’ensemble vérin+liaison nacelle/échelle ramené sur l’axe du vérin. Cplateforme : moment de l’action mécanique de la plateforme sur l’échelle suivant l’axe de rotation de la plateforme / l’échelle CyP , CyV respectivement cylindrée de la pompe et du vérin. R2 coefficient de perte de charge des fuites internes du moteur. R3 coefficient de perte de charge entre la pompe et le moteur. C : angle que fait le parc échelle avec l’horizontale S :angle que fait la plateforme avec le parc échelle. Equations et hypothèses utilisées : Le moteur est supposé électriquement parfait d’où: - Couple délivré par le moteur CM = k.i - En régime permanent : u k La pompe est supposée hydrauliquement parfaite d’où : - Couple résistant de la pompe CP= CyP.(Pa-Pb) - Débit QP = CyP.pompe Le vérin est supposé hydrauliquement parfait d’où : - Couple délivré par le vérin CV = CyV.(Pa-Pb) - Débit QV = CyV.vérin Q3 Sur le document réponse indiquer la nature des grandeurs et leurs unités dans les cases prévues. En considérant uniquement le moteur : - non relié à la pompe ; - électriquement parfait ; - en négligeant les frottements ; UC(p) Moteur p + ke Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 4/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS Q4 Exprimer la constante ke en fonction des données de l’énoncé. k k Soit la fonction de transfert globale : M R1 J1 p , ce qui donne une vitesse de rotation kk UC 1 kke R1 J1 p e R1 J1 p 1 1 U C à comparer à M U C du moteur supposé électriquement ke k M en régime permanent (p=0) : parfait de l’énoncé. On a donc : ke k Le fonctionnement du système est perturbé par des frottements secs. Il est possible de modifier la tension de commande pour compenser leurs actions, et obtenir ainsi un système dont le comportement ne soit pas perturbé. CP(p) UC(p) p +- +- CS1(p) On considère que UC = 0. ke Q5 A partir de la figure ci-dessus, déterminer dans le cadre des hypothèses l’expression de la transmittance en boucle fermée : H1(p)= M p CS1 p CP p On peut « progressivement » se ramener à un schéma bloc « classique » : On considère que U C 0 , et on regroupe - + C P et CS1 Ce qui se présente sous forme « classique » : D’où la fonction de transfert ou transmittance en boucle fermée demandée : 1 M R1 1 J1 p kke CP CS1 1 kke R11 R1 J1 p R1 1 J1 p , soit + - M R1 CP CS1 kke R11 R1 J1 p On prend maintenant Cplateforme = CS2= 0 , on pose H2 p CP(p) CS1(p) - - H1(p) p CyV , ce qui conduit à considérer le schéma : ( 2 J 2 p ) +- +- H2(p) s1(p) CyV Q6 Déterminer, sans expliciter H1 et H2, l’expression de F1(p)= S1 (p) CS1 (p) Le schéma bloc de l’énoncé peut aussi s’écrire : Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 5/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS - - + + - On peut remplacer la boucle entourée ci-dessus par le bloc : - H 2 R3 H2 , ce qui donne le schéma H 2C yV R3 H 2C yV 1 R3 bloc ci-dessous : - - + - On déplace ensuite le point « de prélèvement » comme indiqué en pointillé ci-dessus : - - + - On peut remplacer la boucle entourée en pointillée par : H 2 R3 R2 R3 H 2 C yV , soit le H 2 R3 H 2 R3C yV H 2 R3C yV R2 R3 H 2 C yV 1 R2 R3 H 2 C yV schéma bloc : - - Ce qui donne la fonction de transfert : CP CS1 1 H1 H 2 R3 H 2 R3C yV R2 R3 H 2C yV R3 H 2C yV H1 H 2 R3 H 2 R3C yV R2 R3 H 2C yV H 2 R3 H1 H 2 R3 H 2 R3C yV R2 R3 H 2C yV H1 R3 H 2C yV 1 H 2 R3C yV R2 R3 H 2C yV H1H 2 R3 CP CS1 H1 R3 H 2C yV H 2 R3C yV R2 R3 H 2C yV Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 6/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS ème 2 méthode : analytique : On pose les fonctions en sortie des comparateurs, définies sur le schéma bloc redessiné ci-dessous : - - + + - - On écrit le système à 4 équations : S 1 H 2 3 C 1 2 yV S1 3 R2 R3 les équations (3) et (4) permettent d’écrire : H C 1 1 yV S1 2 C 1 S1 2 1 R2 2 H1 CS1 1 2 C yV S1 , soit R2 R2 H1 CS1 H1 C yV S1 . En « injectant » ce résultat dans (1) et 1 2 CS1 H1 C yV S1 , d’où : 2 R R 2 H1 2 HC (2), on a : S1 H 2 2 2 yV S1 , soit l’équation reliant les deux fonctions CS1 et S1 : R2 R3 S1 H 2 R2 CS1 H1 C yV S1 R2 R2 H1 H RC 2 yV S1 . En factorisant, on obtient : 3 H 2C yV H 2C yV H 2 H1 S1 1 CS1 . On en déduit le rapport souhaité : R3 R2 H1 R2 H1 S1 H 2 H1 R3 ère expression identique à la 1 méthode. CS 1 R3 R2 H1 H 2C yV R3 R2 H1 En prenant CS1 = CS2= Cplateforme = 0 , on obtient FU(p)= U (p) U C (p) , l’expression S(p) = U(p) +S1(p) = 0 permet de déterminer la tension de compensation pour CS1 CS2 est additionné à Cplateforme qui est de signe constant, d’intensité variable et d’un ordre de grandeur différent. Cette perturbation dépend, de la charge de la plateforme, des mouvements de l’échelle et des mouvements des personnes embarquées. Il n’est donc pas possible de prévoir une compensation complète de cette perturbation, comme cela à été possible pour les frottements au niveau du moteur. La compensation pourrait prendre en compte CS2 et la valeur moyenne de Cplateforme par exemple. La difficulté à modéliser, de façon précise le système, a conduit le fabricant à réaliser une série d’essais sur le système réel afin de déterminer les caractéristiques d’un correcteur proportionnel intégral. La fonction de transfert identifiée présente les caractéristiques suivantes : - on observe un retard de 0,2 s. - on obtient la fonction (sans le retard) G(p) S (p) 3, 24 2 C (p) p 3, 24p 3, 24 Où C est l’angle de consigne (angle que fait le parc échelle avec l’horizontale) et S l’angle que fait la plateforme avec le parc échelle. 2 Q7 Donner les paramètres canoniques de la fonction G(p) non retardée, quel est le type de ce système. (1,8 = 3,24). Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 7/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS Mise sous forme canonique de la fonction sans retard On identifie donc un second ordre de d’amortissement tel que 2 0 S 3,24 C p 2 3,24 p 1 . p2 1 p 2 1,8 gain unitaire , de pulsation propre 0 1,8 rad.s -1 , de facteur G p 1 1 , soit 0,9 L’asservissement étant à retour unitaire, il peut être représenté par le schéma suivant : C(p) HBO(p) +- Retard Sp Q8 En considérant le retard nul : -a- Montrer que l’écart statique de ce système est nul. -b- Déterminer l’expression de HBO(p). Gain statique unitaire, DONC S 0 La formulation de la question semble inviter les candidats à redémontrer ce résultat de cours. Avec un retard considéré nul, on a un système à retour unitaire pour lequel : H H BO G( p) , d’où, en BF 1 H BO 1 inversant la relation : H BO H BF 1 H BF p2 . Soit : 1 G 1 1,8 2 H BO p 1 1 G p2 p 1 1 p 3,24 p2 1,8 2 1 p 2 1,8 1 p Un intégrateur en boucle ouverte donne bien une erreur statique nulle. Q9 Donner, en fonction de HBO(p) (non explicitée), l’expression de GR(p) transmittance en boucle fermée avec le retard de 0,2 s Retard de 0,2 s : 0, 2 p e 0, 2 p . Donc : GR ( p) H BO e 0, 2 p 1 H BO e Pour simplifier les applications numériques on prend : H BO (p) 4 . p(p 3, 6) Pendant le dressage de l’échelle le système est soumis à une entrée en rampe de pente 0,1 rd/s Q10 Donner la valeur de l’erreur de traînage correspondant à cette entrée, en négligeant le retard. On a la présence d’un intégrateur en Boucle Ouverte, on doit donc trouver une erreur de traînage finie non nulle. H BO , soit en explicitant les la fonction de transfert en boucle ouverte : 0,1 t lim p 1 p 0 p2 H BO 1 H sans retard pourune rampe de pente 0,1rad.s -1 C t lim p 0 BF 0,1 1 0,1 p p 3,6 0,1 p 3,6 . lim lim p 0 p 0 p 1 H BO p p p 3,6 4 p p 3,6 4 t 0,36 0,09 rad 5,15 4 On souhaite avoir un système précis, un correcteur proportionnel intégral est donc prévu. Soit C(p) K c 1 Tc p , la fonction de transfert de ce correcteur. Tc p C(p) +- Correcteur HBO(p) Retard rp Q11 Sur le document réponse, tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de H BO(p) pour des pulsations comprises entre 0,5 rd/s et 50 rd/s. Indiquer clairement les coordonnées des points intéressants. Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 8/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS H BO p 10 . C’est une fonction de transfert correspondant à un premier ordre (gain statique = 4 9 p p 3,6 p1 p 3,6 10/9, constante de temps = 1/3,6 s) intégré. L’allure des diagrammes asymtotiques de Bode est donc la suivante : Pente -20 dB/déc Pente -40 dB/déc -90° -180° Soit le document réponse complété ci-dessous : 1 décade : -40 dB soit -50 dB à 36 rad.s -1 Q12 Sur le document réponse, tracer les diagrammes de Bode d’un retard de 0,2s pour des pulsations comprises entre 0,5 rd/s et 50 rd/s . e0, 2 p e j 0, 2 soit un module de 1 c'est-à-dire 0dB et un argument de dresser le tableau ci-dessous : 0,2 , ce qui permet de 0,5 1 10 20 30 40 50 -5,7° -11,5° -114,6° -229,2° -343,8° -458,4° -573° D’où le document réponse complété : Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 9/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS REPONSE FREQUENTIELLE GAIN 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 10 0 5 2 5 PULSATION PHASE -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 10 0 5 2 5 Q13 A partir du diagramme de Bode en boucle ouverte (avec le retard) de la transmittance identifiée, donné ci dessus. Déterminer : Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 10/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS -a- le gain Kc qui donne une marge de phase M = 50°. -b- La constante Tc qui laisse subsister une marge de phase d’environ 45° Le correcteur PI a pour diagrammes de Bode asymtotiques, l’allure ci-dessous : C ( p) K 1 TC p K C 1 T p C C TC p TC p Pente -20 dB/déc -90° Donc en choisissant une constante de temps TC assez grande, la pulsation 1 sera suffisamment petite pour que TC 1 . Dans ce la marge de phase du système corrigé soit celle de la correction proportionnelle K C C 0 non corrigée T C cas, on cherche à déterminer le gain K C qui permet d’avoir une marge de phase de 50°. On procède donc au relevé ci-dessous : On relève par une règle de trois 20LogKC 4,3dB , soit KC 1,64 2 a b -180°+50°= -130° 1 Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 11/12 TSI Eiffel Dijon CI8 Les systèmes automatiques asservis CORRIGE EPAS En relevant les distance a et b, on en déduit 1 par la relation Log1 Log1 a Log 2 Log1, soit ab a Log 2 , d’où : 1,46 rad.s -1 1 ab Le correcteur serait de type C ( p) KC 1,64 , on aurait donc une marge de phase de 50°. Log1 On cherche C ( p) K C désormais à « dimensionner » TC , de façon à ce que avec le correcteur 1 TC p K C 1 TC p , on « conserve » 45°. Ce qui signifie que l’on doit vérifier: TC p TC p 1 jTC1 et 1 jTC1 Arg 5 jTC1 jTC1 négligeabl e : dB tan 85 1 jTC1 7,8 s . Arg 90 arctan TC1 , d’où : arctan TC1 85 , soit TC 1 jTC1 2 On vérifie bien : 1 jTC1 20Log 1 TC1 0,03 dB jTC1 dB TC1 Q14 Quelle est l’erreur de traînage du système corrigé pour l’entrée en rampe considérée (en négligeant le retard). On a 2 intégrateurs en Boucle Ouverte, l’erreur de traînage sera donc nulle : t 0 Q15 Quel est l’influence du correcteur précédent sur le comportement du système vis-à-vis de la perturbation. En observant le schéma bloc complet de l’énoncé, on observe que le seul intégrateur de la boucle ouverte non corrigée est placé après la perturbation Cplate-forme et ne « gommera » donc pas ses effets, ce que fera en revanche l’intégrateur du correcteur PI, placé avant la perturbation. + Denis Guérin crédits : concours CCP PSI 12/12 - TSI Eiffel Dijon
