i - puissance d`un point par rapport a un cercle cercles

I - PUISSANCE D’UN POINT
PAR RAPPORT A UN CERCLE
CERCLES ORTHOGONAUX
POLES ET POLAIRES
Théorème - Définition Soit un cercle (O, R)et un point M. Une droite passant par Mcoupe
le cercle en deux points Aet B. le produit
P=MA ·MB
est indépendant de la droite choisie et est appelé puissance de Mpar rapport au cercle.
En effet, si une autre droite coupe le cercle en A′et B′, les triangles MAB′et MA′Bsont semblables
et donc
MA
MA′=MB′ MB ,
ce qui prouve que
MA ·MB =MA′·MB′.
M
A
B
A′
B′
M
A
B′
A′
B
Corollaire Soit quatre points A,B,A′,B′du plan tels que les droites AB et A′B′se coupent
en M. Les points sont cocycliques si et seulement si
MA ·MB =MA′·MB′.
Conséquences : le signe de Pdonne la position du point Mpar rapport au cercle :

I 2
P>0:Mest extérieur au cercle
P<0:Mest intérieur au cercle
P= 0 :Mest sur le cercle
Diverses expressions de la puissance d’un point par rapport à un cercle
1) En prenant un diamètre du cercle pour sécante
P= (MO +OA)(MO +OB) = MO2−R2=d2−R2.
2) Soit Cet Dles extrémités d’un diamètre quelconque du cercle. On a
P=d2−R2=−−→ MO2−−−→ OC2= (−−→ MO +−−→ OC)(−−→ MO +−−→ OD) = −−→ MC ·−−→ MD .
M
C
D
O
3) Si Mest extérieur au cercle et si Test un point du cercle tel que M T est tangent au cercle
P=MT 2.
M
T
O
4) Si le cercle est donné par son équation cartésienne
x2+y2−2ax −2by +c= 0
et si Ma pour coordonnées (x, y), alors
P=x2+y2−2ax −2by +c .
En effet le cercle a pour centre O= (a, b)et pour rayon R=√a2+b2−c, alors
P=d2−R2= (x−a)2+ (y−b)2−(a2+b2−c).

I 3
Différence des puissances d’un point par rapport à deux cercles - axe radical de deux
cercles
Soit deux cercles (O, R)et (O′, R′)et un point Mdu plan. Soit Pet P′les puissances de Mpar
rapport à (O, R)et (O′, R′)respectivement. On a
P−P′=MO2−R2−(MO′2−R′2) = (−−→ MO +−−−→ MO′)(−−→ MO −−−−→ MO′)−(R2−R′2).
Donc si ωest le milieu de OO′, on a
P−P′= 2−−→ ωM ·−−→ OO′−(R2−R′2),
ou encore, en appelant M′le projection de Msur OO′,
P−P′= 2ωM′·OO′−(R2−R′2).
M
M′
ω
O O′
Théorème L’ensemble des points Mdu plan tels que la différence des puissances par rapport à
deux cercles non concentriques est une constante Cest une droite, orthogonale à la ligne des centres
en un point M′tel que
ωM′=R2−R′2+C
2OO′.

I 4
Définition La droite obtenue dans le cas où C= 0 est appelée l’axe radical des deux cercles.
C’est donc l’ensemble des points d’égales puissances par rapport aux deux cercles, et elle est ortho-
gonale à la ligne des centres en un point Htel que
ωH =R2−R′2
2OO′.
Remarques :
1) Si R′est inférieur à R, les nombres OO′et ωH sont de même signe, donc Met O′se trouvent du
même côté de ω.
2) Si les cercles sont sécants ou tangents, leurs points d’intersection vérifient
P=P′= 0
et se trouvent sur l’axe radical, d’où une construction évidente dans ce cas.
3) Si les cercles ne se coupent pas, l’axe radical ne coupe aucun d’eux.
4) Si les cercles ont même rayon, l’axe radical est la médiatrice de OO′.
5) L’axe radical de deux cercles extérieurs passe par le milieu de leurs tangentes communes, ce qui
permet de le construire.
6) Ce qui précède reste valable si l’un ou les deux cercles sont réduits à des points.
Centre radical de trois cercles
Théorème - Définition Soit trois cercles dont les centres ne sont pas alignés. Il existe un point
Iet un seul, ayant la même puissance par rapport aux trois cercles. On l’appelle le centre radical
des trois cercles. Ce point est l’intersection des trois axes radicaux des cercles pris deux à deux.
En effet, un point d’égal puissance est nécessairement sur les trois axes radicaux. Réciproquement, si
Iappartient aux axes radicaux de (O, R),(O′, R′)et de (O′, R′),(O′′ , R′′ )il a même puissance par
rapport aux trois cercles dont appartient à l’axe radical de (O, R),(O′′ , R′′ ).
Ceci permet de construire l’axe radical de deux cercles. On les coupe par un troisième cercle. D’après
la remarque 2), on a facilement deux des trois axes radicaux. Ils se coupent en un point qui est sur
l’axe radical cherché. On prend alors la droite orthogonale à la ligne des centres passant par ce point.
Sur le dessin suivant, Iest le centre radical des trois cercles.

I 5
axe radical
de (O, R)et de (O′, R′)
O O′
O′′
I
Cercles orthogonaux
Définition Deux cercles sécants sont dits orthogonaux si leurs tangentes en un point d’inter-
section sont orthogonales. Il en est alors de même pour l’autre point d’intersection.