banque d`épreuves fesic

CPE Lyon – EPMI – ESAIP – ESCOM – ESEO – ESIEE Amiens – ESIEE Paris – ESIGELEC
HEI – ISEN Brest – ISEN Lille – ISEN Toulon – ISEP – LASALLE Beauvais
BANQUE D’ÉPREUVES FESIC
Concours Puissance 11 - LaSalle Beauvais
Admission en 1 année après bac
ère
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Samedi 17 mai 2014 de 13h30 à 16h00
INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS
L'usage de la calculatrice est interdit ainsi que tout document ou formulaire.
L'épreuve comporte 16 exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que 12 maximum. Si
vous en traitez davantage, seuls les 12 premiers seront corrigés.
Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour
chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).
Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée
(l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse).
Toute réponse exacte rapporte un point.
Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point.
L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne
retire aucun point.
Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement en entier
(c'est-à-dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes).
L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'exercices proposés, une lecture
attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées
étant très précis.
INSTRUCTIONS POUR REMPLIR LA FEUILLE DE RÉPONSES
Les épreuves de la FESIC sont des questionnaires à correction automatisée. Votre feuille sera
corrigée automatiquement par une machine à lecture optique. Vous devez suivre
scrupuleusement les instructions suivantes :
Pour remplir la feuille de réponses, vous devez utiliser un stylo bille ou une pointe feutre de couleur
noire ou bleue. Ne jamais raturer, ni gommer, ni utiliser un effaceur. Ne pas plier ou froisser la
feuille.
1. Collez l’étiquette code-barres qui vous sera fournie (le code doit être dans l’axe vertical indiqué).
Cette étiquette, outre le code-barres, porte vos nom, prénom, numéro de table et matière. Vérifiez
bien ces informations.
Exemple :
2. Noircissez les cases correspondant à vos réponses :
Faire
Ne pas faire
Pour modifier une réponse, il ne faut ni raturer, ni gommer, ni utiliser un effaceur. Annuler la
réponse par un double marquage (cocher F et V) puis reporter la nouvelle réponse éventuelle dans
la zone tramée (zone de droite). La réponse figurant dans la zone tramée n'est prise en compte
que si la première réponse est annulée. Les réponses possibles sont :
V
F
V
F
vrai
faux
abstention
abstention
vrai
faux
abstention
Attention : vous ne disposez que d'une seule feuille de réponses. En cas d'erreur, vous devez
annuler votre réponse comme indiqué ci-dessus. Toutefois, en cas de force majeure, une seconde
feuille pourra vous être fournie par le surveillant.
Banque d’épreuves FESIC 2014
Épreuve de Mathématiques
Exercice n°1
Bases en Analyse.
Les questions sont indépendantes.
a) Soit x  , la dérivée de
est
.
x
  .
x e x
b) lim
Soit f une fonction définie sur 0; telle que, pour tout x  0 :
c) lim f  x   0 .
1
x
 f  x  x .
x
e
x
1
Soit  un  la suite définie, pour tout entier naturel n non nul, par un  ln   .
n
d) La suite  un  converge vers 0.
Exercice n°2
Bases en Géométrie.
Les questions sont indépendantes.
Soit (P) et (Q) les plans d’équations respectives  P  : 2 x  y  z  2 et  Q  : x  y  z  0 .
a) L’intersection des plans (P) et (Q) a pour équation x + 2z = 2.
x  t  3

Soit (D) la droite dont une représentation paramétrique est  y  t  1 avec t  .
z  2

b) (D) est perpendiculaire au plan (P) d’équation x  y + 2z = 0.
c) Sur le graphique ci-dessous, nous avons tracé les courbes représentatives des fonctions f : x  x et
9
2
g : x   x  2  . L’aire A du domaine hachuré est égale à A  unités d’aire.
2
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
 2 x2  x  3 
d) La courbe représentative  de la fonction f définie sur 1;  par f  x   ln 
 admet une
 x 1 
asymptote horizontale d’équation y = ln 2.
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Épreuve de Mathématiques
Exercice n°3
Lecture graphique :
f est une fonction définie et dérivable sur [3 ;5] de courbe représentative (c).
On donne ci-dessous la courbe () représentative de sa fonction dérivée f ’.
2
()
1
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
5
-1
-2
a) (c) admet une tangente horizontale en x = 0.
b) f admet un minimum relatif en x =  2.
c) La fonction f est strictement décroissante sur [ 0 ; 5 ].
3
d) Les tangentes à (c) aux points d’abscisses  et 2 sont parallèles.
2
Exercice n°4
Suite définie par un algorithme
Soit n   , on considère la suite  un  où un est le réel affiché
par l’algorithme ci-contre lorsque l’utilisateur entre la valeur de
n.
a) u3  11 .
b) Pour tout entier naturel n, un1  un  2n  1 .
c) La suite  un  est strictement croissante.
d) Pour tout entier naturel n, un  n 2  2 .
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Épreuve de Mathématiques
Exercice n°5
Bases sur les complexes
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  O; u , v  .
On considère les nombres complexes z1 

 
6  2 i

6  2 et z2 
1 i
.
3 i
a) z12  8 3  8i .
b) z2  2 .
c) arg  z12  
d) z2 
5
 2  .
6
2 i12
e .
2
Exercice n°6
Bases de logique.
 
Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct  O; u , v  . x et y sont deux nombres réels et z est le
nombre complexe x + iy.
a) La négation de la proposition : « x  0 et y  0 » est la proposition « x < 0 et y < 0 ».

(modulo 2).
4
c) La réciproque de la proposition précédente est vraie.
1
d) On suppose z ≠ 0. Si z  , alors x = 0 ou y = 0.
z
b) Si x = y alors arg(z) =
Exercice n°7
Calculs de limites.
a) La fonction x  x  sin  x  n’a pas de limite lorsque x tend vers +.
b) lim
x
cos  x   2
 1.
cos  x   x
e x  3x
 0.
x x  1
ln 1  x 
1.
d) lim
x 0
x2
c) lim
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Épreuve de Mathématiques
Exercice n°8
Calculs d’intégrales.
4
a)
3
x
2
2
dx 
5
.
4
la fonction définie sur 0; par. f  x  
Soit
x 1
.
x  2x
2
b) La fonction F définie sur 0; par F ( x)  1 
ln( x 2  2 x)
est une primitive de f.
2
e
c)
1 t
1
dt  2  .
2
t
e
1

1
e x  xe x
1
d) 
dx  .
2x
e
e
0
Exercice n°9
Transformation complexe.
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  O; u , v  . Soit f la transformation du plan
complexe qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ = (1 + i) z + 1.
a)
b)
c)
d)
L’image, par f, du point B d’affixe 2 est le point C d’affixe 3+2i.
Le point A d’affixe i est le seul point invariant par f.
L’image, par f, de l’axe des réels est la droite (BC).
Soit D le point d’affixe 1. Pour tout point M distinct de A et de D, le triangle DMM’ est isocèle en M.
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Épreuve de Mathématiques
Exercice n°10
Loi normale.
Dans tout l’exercice, on suppose T une variable aléatoire qui suit la loi normale n(;avec  et  deux
entiers naturels.
La densité de probabilité de cette loi, notée f, est représentée ci-dessous par la courbe (c).
On suppose que (c) admet la droite x = 5 comme axe de symétrie et que l’aire du domaine A1 (représentée
en gris) est environ égale à 0,68.
0,2
(c)
0,1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10
11
12
10
11
12
a)  = 5 et  = 4.
b) L'aire du domaine A2, représentée ci-dessous, est environ égale à 0,8.
0,2
(c)
0,1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
c) L'aire du domaine A3, représentée ci-dessous, est environ égale à 0,135.
0,2
0,1
(c)
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
- 0,1
On admet, dans cette question, que P T     2 ;   2   0,95 .
d) P T  9   0,975 .
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Épreuve de Mathématiques
Exercice n°11
Nombres complexes et géométrie
 
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct  O; u , v  .
2
z 
A chaque point M d’affixe z ≠ 0, on associe l’unique point M’ d’affixe z’ tel que : z    .
 z

x2  y 2
 x '  x2  y 2

a) En posant z  x  iy , avec x  0 ou y  0 , et z  x  iy ' , on a : 
.
2 xy
y' 

x2  y 2
b) M’ appartient à l’axe des ordonnées si et seulement si M appartient à la droite d’équation y  x privée
de O.
c) M’ est un point du cercle trigonométrique.
d) M’ a pour affixe −1 si et seulement si z = i ou z = −i.
Exercice n°12
Etude d’une fonction logarithme
On considère la fonction f définie sur  par f  x   ln  x ²  x  1 de courbe représentative c.
a) f est croissante sur .
b) c admet une unique asymptote verticale.
3
c) Pour tout x   , f  x   ln   .
4
d) Il existe deux points de c ayant une tangente à c parallèle à la droite  d’équation y = x – ln7.
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Épreuve de Mathématiques
Exercice n°13
Etude d’une fonction exponentielle :
1
Soit f la fonction définie sur  par f  x   e2 x  e x  2 x . On désigne par C f sa représentation graphique
2
dans un repère orthonormé du plan.
a) Pour tout réel x, on a : f   x    e x  1   e x  2  .
3
.
2
c) C f admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale en +.
b) Pour tout réel x, on a : f  x  
d) lim f  x    .
x
Exercice n°14
Probabilités conditionnelles :
Un joueur effectue des parties successives d’un jeu vidéo.
 La probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,2.
 S’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,7.
 S’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,5.
Pour tout entier naturel n non nul, on note :

l’événement : « le joueur gagne la nème partie » ;

la probabilité de l’événement .
a) p2 = 0,54.
b) Le joueur gagne la deuxième partie. La probabilité qu’il ait perdu la première est 0,6.
1
1
c) Pour tout entier naturel n non nul, on a pn1  pn 
5
2
Pour le d), on donne l’algorithme ci-contre :
d) Si on teste le programme pour n = 5 alors cet algorithme restitue
la probabilité que le joueur gagne la cinquième partie.
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Épreuve de Mathématiques
Exercice n°15
Différentes lois de probabilités.
Les questions sont indépendantes.
a) Soit t > 0. Si X suit une loi uniforme sur [0 ; t] telle que p ( X  5)  0, 4 alors t = 20.
b) Soit n  *. Si X suit une loi binomiale B( n ; 0,3) d’espérance 12, alors n = 40.
c) Si X suit une loi exponentielle de paramètre  = 2  103, alors E(X) = 5 000.
d) On considère A et B deux évènements d’une même expérience aléatoire tels que p(A) ≠ 0 et p(B) ≠ 0.
Si pB  A   p A  B  , alors p(A) = p(B).
Exercice n°16
Repérage dans un cube :
  
Dans le cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1, on considère le repère orthonormé A; AB, AD, AE .


On rappelle que :
 Le plan médiateur d'un segment est le plan passant par le milieu
de ce segment tout en lui étant perpendiculaire.
 Si M est un point de l’espace et (P) un plan de l’espace, on
appelle distance du point M au plan (P) la plus petite distance d
entre le point M et un point H du plan (P).
a) (GDF) est le plan médiateur du segment [EB].
b) Le plan (BEG) a pour équation : x – y + z = 1.
2 1 2
c) I  ; ;  est le point d’intersection de la droite (DF) avec le
3 3 3
plan (BEG).
3
d) La distance du point D au plan (BEG) est égale à
.
3
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