Unité 9 – La Géométrie Reproduire un segment de droite avec un

Unité 9 – La Géométrie
Les segments congrus et les angles congrus
Reproduire un segment de droite avec un compas
Reproduire un angle avec un compas
La bissection des angles et des segments
Bissecter un segment avec un compas
Étape 1 – Trace à partie de A, un arc plus grand que la moitié du segment.
Étape 2 – Trace à partir de B, un arc de même longueur. Place les points C et D.
Étape 3 – Trace un segment droit qui rejoint C et D.
Le segment CD est appelé la bissectrice perpendiculaire (médiatrice). M est le point d’intersection.
Bissecter un angle avec un compas
Étape 1
Étape 2
Étape 3
Le centre du cercle inscrit est un point situé à égale distance de chacun des côtés d’un triangle.
Pour le trouver il suffit de bissecter chaque angle.
Dans le schéma ci-dessus le point O est le centre du cercle inscrit.
Le centre du cercle circonscrit est le point d’intersection des médiatrices des 3 côtés d’un
triangle.
Dans le schéma ci-dessus le point O est le centre du cercle circonscrit.
Le centroïde (ou le centre de gravité) est le point d’intersection des médianes d’un triangle. Dans son
sens le plus courant, une médiane désigne, dans un triangle, une droite joignant un des sommets du
triangle au milieu du côté opposé.
Le segment AH représente la hauteur du triangle. Le segment AI représente une médiane du
triangle.
L’orthocentre est le point de rencontre des hauteurs d’un triangle.
Construiredes droites perpendiculaires
Construire une perpendiculaire à une droite avec un compas
Construire des droites parallèles
Construire des droites parallèles avec un compas
Ne changez pas la largeur du compas
Construire des triangles
Pour construire un triangle connaissant ses 3 côtés, il est souvent plus facile de tracer en
premier le plus grand côté.
Exemple
Construire un triangle ABC tel que AB = 8 cm ; AC = 6 cm et BC = 4 cm.
Construction de triangles connaissant des angles
a. Avec deux longueurs et un angle
Exemple
Tracer un triangle ABC tel que AB = 8 cm ; AC = 5 cm et
= 55°.
b. Avec deux angles et une longueur
Exemple
Tracer un triangle ABC tel que AB = 8 cm ; et
= 45° et
= 25°.
Formule de congruence avec les triangles
Les 3 côtés d’un triangle sont congrus aux 3 côtés de l’autre triangle (CCC).
Deux des côtés d’un triangle, ainsi que l’angle qu’ils forment sont congrus à deux des côtés de
l’autre triangle et à l’angle qu’ils forment (CAC).
Deux des angles d’un triangle, ainsi que leur côté commun sont congrus à deux des angles de
l’autre triangle et à leur côté commun (ACA).
Construire des cercles
NOMS
DÉFINITIONS et FORMULES
Ligne fermée dont tous les points sont situés à égale distance
d'unmême point intérieur appelé centre.
Le cercle
Formules pour calculer le périmètre ou circonférence du
cercle:
C = π x D où π = 3,14... et D représente la longueur du
diamètre.
C = 2 π xR où π = 3.14... et R représente la longueur du
rayon.
Région du plan comprenant le cercle et son intérieur.
Le disque
Le rayon
Formule pour calculer l'aire du disque:
A = Π r2
segment ou longueur du segment ayant comme extrémités le
centre et un point quelconque du cercle.
r = d\2 (le rayon égale le diamètre divisé par 2)
La tangente
droite n'ayant qu'un seul point de commun avec le cercle.
angle formé par deux rayons.
L'angle au centre
L'angle au centre sert à délimiter et calculer la longueur d'un
arc ou l'aire d'un secteur.
partie du disque délimitée par deux rayons.
Le secteur
Formule pour calculer l’aire d’un secteur :
Aire du secteur = mesure de l’angle au centrex aire
360o
La corde
segment joignant deux points quelconques d'un cercle.
corde passant par le centre du cercle.
Le diamètre
d = 2r (le diamètre égale 2 fois le rayon)
partie du cercle délimitée par une corde ou par deux rayons.
L'arc de cercle
Formule pour calculer la longueur de l’arc :
Longueur arc = mesure de l’angle au centrex circonférence
360o
Retrouver le centre d'un cercle donné
Question : Peux-tu trouver le centre du cercle ci-dessous ?
Solution et explications
Comme on l'a appris, l'intersection des 3 médiatrices d'un triangle donne le centre du cercle
circonscrit à ce triangle. Ainsi en partant du raisonnement inverse on peut retrouver ce point
d'intersection :
Action
Dessin
On place 3 points au hasard sur le cercle
On trace le triangle ABC
On trace les 3 médiatrices du triangle.
(la médiatrice est la perpendiculaire passant
par le milieu du segment)
On remarque sur le dernier dessin que les 3 médiatrices sont concourantes en un point qui est
le centre du cercle.
Angle rentrant est plus grand que 180⁰ mais plus petit que 360⁰
Angle plein mesure 360⁰
Utiliser un rapporteur d’angles
Angles pris deux à deux
Droites parallèles et les angles qu’elles forment
Les angles alternes internes sont égaux et forment un Z
Les angles correspondants sont égaux et forment un F
Les angles co-internesmesurent 180° en tout et forment un C
Indique la mesure de tous les angles
Rappel des propriétés des triangles
La somme des angles intérieurs est de 180°
Catégorie de
triangles
Triangle équilatéral
Représentation
Caractéristiques



3 côtés congrus.
3 angles congrus de 60°.
3 axes de symétrie


2 angles congrus.
2 côtés congrus opposés
aux angles congrus.
1 axe de symétrie
Triangle isocèle

Triangle rectangle




3 côtés non congrus.
3 angles non congrus.
1 angle de 90°.
Le côté opposé à l'angle de 90° est
le plus long et il se nomme
hypoténuse.
Triangle rectangle
isocèle
Triangle scalène




2 côtés congrus.
2 angles congrus de 45°.
1 angle de 90°.
Le côté opposé à l'angle de 90° est
le plus long et il se nomme
hypoténuse.



3 côtés non congrus.
3 angles non congrus.
0 axe de symétrie
Trouve la mesure des angles inconnus.
Rappel des propriétés des quadrilatères
La somme des angles intérieurs est de 360°
Catégorie de
quadrilatères
Représentation
Caractéristiques


Carré



Rectangle



Losange




Parallélogramme


Les 4 côtés sont congrus et
parallèles deux à deux.
Les 4 angles sont congrus
et mesurent 90°.
Les diagonales congrues se
coupent en leur milieu
perpendiculairement.
Les côtés opposés sont
congrus et parallèles.
Les 4 angles sont congrus
et mesurent 90°.
Les diagonales sont
congrues
et se coupent en leur milieu.
Les 4 côtés sont congrus
et parallèles deux à deux.
Les angles opposés sont
congrus.
Les angles consécutifs sont
supplémentaires.
Les diagonales se coupent
en leur milieu
perpendiculairement.
Les côtés opposés sont
congrus et parallèles.
Les angles opposés sont
congrus.
Les angles consécutifs sont
supplémentaires.
Les diagonales se coupent
en leur milieu.



Trapèze



Trapèze
rectangle





Trapèze
isocèle


Cerf-volant




Les 4 côtés sont non
congrus.
Possède 2 côtés parallèles
(petite et grande bases).
Les 4 angles sont non
congrus.
Les angles adjacents au
même
côté non parallèle sont
supplémentaires
Les diagonales sont non
congrues.
Les 4 côtés sont non
congrus.
Possède 2 côtés parallèles
(petite et grande base).
Possède 2 angles de 90°,
les deux autres angles sont
supplémentaires.
Possède 2 côtés parallèles.
Les deux côtés non
parallèles sont congrus.
Les angles adjacents à la
même base
sont congrus.
Les angles opposés sont
supplémentaires.
Les diagonales sont
congrues.
Pas de côtés parallèles.
2 paires de côtés égaux.
Diagonales sont
perpendiculaires
1 axe de symétrie
Trouve la mesure des angles inconnus.
Détermine la mesure de l’angle inconnu de chaque quadrilatère.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Détermine la mesure de ADE. Montre toutes les étapes nécessaires.
Les angles à l’intérieur d’un cercle
Sortes d'angles dans un cercle:
a) Angle au centre: angle dont le sommet est le centre du cercle et les côtés sont deux rayons.
Exemple :
est un angle au centre .
b) Angle inscrit : Angle dont le sommet est situé sur la circonférence,
ses côtés sont deux cordes
est un angle inscrit.
ou
à la limite 1 corde et une tangente
est un angle inscrit.
c) Angle intérieur : angle qui a son sommet entre le centre et la circonférence et dont les côtés
sont des cordes sécantes.
est un angle intérieur.
est un angle intérieur.
d) Angle extérieur : angle qui a son sommet à l'extérieur du cercle et dont les côtés sont des
cordes sécantes ou des tangentes au cercle ou une tangente et une sécante.
est un angle extérieur.
est un angle extérieur.
THÉORÈME: Tout angle au centre a la même mesure (en degrés) que l'arc compris
entre ses côtés.
Si l'arc AB mesure
, alors l'angle O mesure
, car c'est un angle au centre.
THÉORÈME: Un angle inscrit a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses
côtés.
Si l'arc MP mesure
, alors l'angle F mesure
, car c'est un angle inscrit et
un angle inscrit a comme mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés.
Les angles inscrits qui sont sous-tendus par le même arc sont égaux.
L’angle ANO = l’angle AMB parce qu’ils sont sous-tendus par le même arc AB.
L’angle au centre est deux fois plus grand que l’angle inscrit qui est sous-tendu
par le même arc.
L’angle AOB est deux fois plus grand que l’angle AEB.
THÉORÈME: L'angle (intérieur) dont le sommet est situé entre la circonférence et
le centre a pour mesure la moitié de la somme des arcs compris entre ses côtés
prolongés.
Si l'arc AB mesure 110 degrés et l'arc DC mesure 40 degrés , alors
En effet,
75 degrés
est un angle intérieur donc :
THÉORÈME: L’angle (extérieur) dont le sommet est situé en dehors de la
circonférence a pour mesure la moitié de la différence des arcs compris entre ses
côtés.
Si l'arc MF =
et l'arc BC =
, alors
, car
est un angle extérieur
et qu'un angle extérieur à un cercle égale la moitié de la différence des arcs compris
entre ses côtés.