18 Séries de Fourier 18.1 Séries entières et séries de Fourier Nous allons dans un premier temps introduire la notion de série de Fourier en partant des développements en séries entières. Le théorème relatif aux projections orthogonales d’un espace préhilbertien sur un sous-espace de dimension finie nous donnera une autre présentation de cette notion de série de Fourier. P n Si αn z est une série entière de rayon de convergence R > 0 éventuellement infini, on peut définir, en notant f la somme de cette série entière, pour tout réel r ∈ ]0, R[ la fonction ϕr par : +∞ ¡ ix ¢ X ∀x ∈ R, ϕr (x) = f re = αn rn einx n=0 La fonction f étant continue sur le disque ouvert D (0, R) = {z ∈ C | |z| < R} , on en déduit que, pour r fixé dans ]0, R[ , la fonction ϕr est continue sur tout R. P n inx Remarque 18.1 Avec e | = |αn | rn pour tout réel x et |αn | rn < +∞, on déduit que P |αnnr inx la série de fonctions αn r e est normalement convergente sur R, ce qui permet de retrouver la continuité de ϕr avec celle des fonctions x 7→ einx pour tout entier naturel n. Remarque 18.2 Si p est un entier naturel non nul, on sait que la série dérivée : X n (n − 1) · · · (n − p + 1) αn z n−p P P p a même rayon de convergence que αn z n , donc la série n |αn | rn est convergente pour tout réel r ∈ ]0, R[ (puisque np |αn | rn ∼ rp n (n − 1) · · · (n − p + 1) |αn | rn−p ) et avec |(in)p αn rn einx | = +∞ P p n n |αn | r pour tout entier naturel n et tout réel x, on déduit que la série de fonctions (in)p αn rn einx est normalement convergente sur R. Comme les fonctions x 7→ einx sont de classe C ∞ sur R pour tout entier naturel n, on en déduit que la fonction ϕr est aussi de classe C ∞ sur R. De la 2π-périodicité des fonctions x 7→ einx , on déduit que la fonction ϕr est périodique de période 2π, c’est-à-dire que : ∀x ∈ R, ϕr (x + 2π) = ϕr (x) . En utilisant les formules d’Euler : ∀n ∈ N, einx = cos (nx) + i sin (nx) 409 410 Séries de Fourier on peut écrire que : +∞ X ϕr (t) = = +∞ X αn rn cos (nx) + i n=0 n=0 +∞ X +∞ X αn rn cos (nx) + i n=0 αn rn sin (nx) αn rn sin (nx) n=1 P P chacune des séries de fonctions αrn cos (nx) et αn rn sin (nx) étant normalement convergente sur R (le terme général est majoré par |αn | rn ). Un tel développement est appelé développement en série de Fourier de la fonction ϕr . Nous allons étudier un peu plus loin, de façon plus générale, cette notion de série de Fourier. Les coefficients αn peuvent s’exprimer à l’aide de formules intégrales comme suit. Théorème 18.1 (Cauchy) Avec les notations qui précèdent, on a : Z 2π 1 n ∀n ≥ 0, αn r = ϕr (t) e−int dt 2π 0 Démonstration. Avec la convergence normale sur R de la série de fonctions peut écrire pour tout entier n ≥ 0 : Z 2π −int ϕr (t) e dt = 0 +∞ X Z αk r Z ½ 2π e i(k−n)t 0 1 f (0) = α0 = 2π n 0 si k 6= n 2π si k = n dt = On a en particulier : ei(k−n)t dt 0 k=0 = 2παn r puisque : 2π k Z 2π ϕr (t) dt 0 Remarque 18.3 Pour n ≥ 1, on a : Z 2π int ϕr (t) e dt = 0 +∞ X Z αk r 2π k ei(k+n)t dt = 0 0 k=0 et : Z 2π 0 Z 2π 0 Z ¢ ¡ 1 2π ϕr (t) cos (nt) dt = ϕr (t) eint + e−int dt 2 0 Z 1 2π = ϕr (t) e−int dt = παn rn 2 0 1 ϕr (t) sin (nt) dt = 2i Z 1 =− 2i 2π ¡ ¢ ϕr (t) eint − e−int dt 0 Z 2π 0 ϕr (t) e−int dt = iπαn rn P αn rn eint , on Séries entières et séries de Fourier 411 Soit, pour n ≥ 1 : 1 αn r = 2π Z 2π n et : ϕr (t) e −int 0 1 iαn r = π Z 1 dt = π Z 2π ϕr (t) cos (nt) dt 0 2π n ϕr (t) sin (nt) dt 0 Les coefficients Z 1 2π an = αn r = ϕr (t) cos (nt) dt (n ≥ 0) π 0 Z 1 2π n ϕr (t) sin (nt) dt (n ≥ 1) bn = iαn r = π 0 n sont les coefficients de Fourier trigonométriques de ϕr et les coefficients : Z 2π 1 n cn = αn r = ϕr (t) e−int dt (n ∈ Z) 2π 0 sont les coefficients de Fourier exponentiels de ϕr . Nous utiliserons par la suite les coefficients trigonométriques un peu plus commodes pour les fonctions à valeurs réelles paires ou impaires. Exercice 18.1 Montrer que les seules fonctions développables en série entière et bornées sur C sont les fonctions constantes (théorème de Liouville). Solution 18.1 On a f (z) = +∞ P αn z n pour tout z ∈ C et il existe un réel M > 0 tel que n=0 |f (z)| ≤ M pour tout z ∈ C. En utilisation les notations qui précèdent, on a pour tout réel r > 0 et tout entier n ≥ 1 : ¯Z ¯ Z 2π ¯ ¡ it ¢¯ ¯ 1 ¯¯ 2π 1 −int ¯ ¯f re ¯ dt ≤ M → 0 |αn | = ϕ (t) e dt ≤ r ¯ ¯ 2πrn 0 2πrn 0 rn r→+∞ donc αn = 0 pour tout n ≥ 1 et f = α0 . P Exercice 18.2 Soit f (z) = αn z n une fonction développable en série entière sur C. Que n≥0 peut–on dire de f s’il existe une fonction polynomiale P telle que |f (z)| ≤ |P (z)| pour tout z ∈ C? Solution 18.2 Soit P (z) = p P pj z j un polynôme de degré p qui majore f. En utilisant les j=0 notations qui précèdent, on a pour tout réel r > 0 et tout entier n ≥ p + 1 : ¯ ¯Z Z 2π ¯ ¯ ¡ it ¢¯ 1 1 ¯¯ 2π −int ¯ ¯f re ¯ dt ≤ ϕ (t) e dt |αn | = r ¯ ¯ 2πrn 0 2πrn 0 Z 2π p X ¯ ¡ it ¢¯ 1 1 ¯P re ¯ dt ≤ ≤ |pj | rj → 0 r→+∞ 2πrn 0 rn j=0 donc αn = 0 pour tout n ≥ p + 1 et f est une fonction polynomiale. Dans le cas où le polynôme majorant est constant, on retrouve le théorème de Liouville de l’exercice précédent. 412 Séries de Fourier L’utilisation du produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes permet de donner la version particulière qui suit du théorème de Parseval que nous retrouverons plus loin. Théorème 18.2 (Parseval) Soit f (z) = Démonstration. Les séries αn z n une fonction développable en série entière n=0 sur D (0, R) avec 0 < R ≤ +∞. Pour tout réel r ∈ ]0, R[ , on a : 1 2π +∞ P Z 2π +∞ X ¯ ¡ it ¢¯2 ¯f re ¯ dt = |αn |2 r2n 0 +∞ P n=0 n=0 αn rn eint et +∞ P n=0 αn rn e−int étant absolument convergentes pour tout réel t ∈ [0, 2π] , leur produit de Cauchy est aussi une série absolument convergente et on a: +∞ X n X ¯ ¡ it ¢¯2 ¡ ¢ ¯f re ¯ = f reit f (reit ) = αk rk eikt αn−k rn−k e−i(n−k)t = Avec : +∞ X à n X n=0 k=0 n=0 k=0 ! αk αn−k e−i(n−2k)t rn ¯ ¯ ! à n n ¯ ¯X X ¯ ¯ |αk | |αn−k | rn αk αn−k e−i(n−2k)t ¯ rn ≤ ¯ ¯ ¯ k=0 k=0 pour tout t ∈ [0, 2π] et : à n +∞ X X n=0 ! |αk | |αn−k | rn = +∞ X n X |αk | rk |αn−k | rn−k n=0 ! à +∞ ! à +∞k=0 X X |αn | rn |αn | rn < +∞ = k=0 n=0 n=0 (encore un produit de Cauchy de séries absolument convergentes), on déduit que la série de 2 fonctions de somme |f (reit )| est normalement convergente sur [0, 2π] et on peut écrire que : à n ! Z 2π Z 2π +∞ X X ¯ ¡ it ¢¯2 −i(n−2k)t ¯f re ¯ dt = αk αn−k e dt rn 0 n=0 k=0 +∞ X 0 |αp |2 r2p = 2π p=0 puisque : Z 2π 0 0 si n = 2p + 1 −i(n−2k)t 0 si n = 2p et k 6= p e dt = 2π si n = 2p et k = p L’espace préhilbertien D de Dirichlet Exercice 18.3 Soit f (z) = +∞ P n=0 413 αn z n une fonction développable en série entière sur D (0, R) avec 0 < R ≤ +∞. Montrer que si |f | admet un maximum local en 0, elle est alors constante (principe du maximum). Solution 18.3 Si |f | admet un maximum local en 0, il existe alors un réel r0 ∈ ]0, R[ tel que |f (0)| = sup |f (z)| . On a alors, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz : |z|≤r0 ¯ ¯Z Z 2π ¯ ¡ it ¢¯ 1 1 ¯¯ 2π ¡ it ¢ ¯¯ ¯f r0 e ¯ · 1dt ≤ |f (0)| = f r e dt 0 ¯ 2π 2π ¯ 0 0 µZ 2π µZ 2π ¶ 12 µZ 2π ¶ 12 ¶ 21 ¯ ¡ it ¢¯2 ¯ ¡ it ¢¯2 1 1 ¯f r0 e ¯ dt ¯f r0 e ¯ dt ≤ =√ dt 2π 2π 0 0 0 µZ 2π ¶ 12 1 ≤√ = |f (0)| |f (0)|2 dt 2π 0 1 donc |α0 | = |f (0)| = √ 2π µZ 2π 2 |f (r0 eit )| dt ¶ 12 , soit : 0 1 |α0 | = 2π Z 2π 2 0 +∞ X ¯ ¡ it ¢¯2 ¯f r0 e ¯ dt = |αn |2 r02n n=0 et αn pour tout n ≥ 1, ce qui signifie que f est constante. 18.2 L’espace préhilbertien D de Dirichlet Pour ce paragraphe, les fonctions considérées sont définies sur R et à valeurs réelles. Définition 18.1 On dit qu’une fonction 2π-périodique, f : R → R, est continue par morceaux s’il existe une subdivision de [0, 2π] : 0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π avec p ∈ N∗ , telle que f soit continue sur chaque intervalle ]ak , ak+1 [ (0 ≤ k ≤ n − 1) et admette une limite à droite et à gauche en chaque point de discontinuité (s’il en existe). Si f : R → R, est continue par morceaux, on notera en tout point de discontinuité a de f (s’il en existe) : ¡ ¢ ¡ ¢ lim f (x) f a− = x→a lim f (x) et f a+ = x→a x<a x>a Si f : R → R, 2π-périodique est continue par morceaux, en utilisant les notations de la définition qui précède, on vérifie facilement que f se prolonge en fonction continue sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] . Et réciproquement, si pour une telle subdivision de [0, 2π] , la fonction f se prolonge en fonction continue sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] , elle est alors continue par morceaux. On rappelle qu’une fonction continue par morceaux sur R est Riemann-intégrable sur tout segment [a, b] . 414 Séries de Fourier On désigne par D l’espace des fonctions f : R → R qui sont 2π-périodiques, continues par morceaux et telles qu’en tout point de discontinuité a de f, on ait : f (a) = f (a− ) + f (a+ ) . 2 On dit que D est l’espace des fonctions de Dirichlet. Il est facile de vérifier que D est un R-espace vectoriel. On peut remarquer qu’une fonction de D est bornée avec : sup |f (t)| = sup |f (t)| t∈R t∈[−π,π] du fait de la 2π-périodicité. Remarque 18.4 On peut aussi travailler avec des fonctions périodiques µ ¶ de période T > 0. Si f T est une telle fonction, alors la fonction g définie par g (x) = f x est périodique de période 2π 2π. La limitation à la période 2π n’est donc pas vraiment restrictive. Exemple 18.1 Soient [a, a + 2π] un intervalle de longueur 2π et f une fonction continue de [a, a + 2π] dans R telle que f (a) = f (a + 2π) . Montrer qu’il existe une unique fonction fe : R → R continue et 2π-périodique qui coïncide avec f sur [a, a + 2π] . Solution 18.4 En utilisant la partition : [ [a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ R= k∈Z on définit la fonction fe par : ∀k ∈ Z, ∀x ∈ [a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ , fe(x) = f (x − 2kπ) on a fe(x) = f (x) , pour tout x ∈ [a, a + 2π[ , fe(a + 2π) = f (a) = f (a + 2π) et pour tout k ∈ Z, tout x ∈ [a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ , on a : fe(x + 2π) = f (x + 2π − 2 (k + 1) π) = f (x − 2kπ) = fe(x) Donc fe coïncide avec f sur [a, a + 2π] et est 2π-périodique. La fonction fe[est comme f continue sur ]a, a + 2π[ et par 2π-périodicité, on déduit qu’elle est continue sur ]a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ . En effet, pour x, x0 dans l’ouvert ]a + 2kπ, a + 2 (k + 1) π[ , on a : k∈Z fe(x) = f (x − 2kπ) → f (x0 − 2kπ) = fe(x0 ) . x→x0 Enfin pour tout k ∈ Z et h ∈ ]0, π[ , on a a − h ∈ ]a − 2π, a[ , a + h ∈ ]a, a + 2π[ et : fe(a + 2kπ − h) = fe(a − h) = f (a − h + 2π) → f (a + 2π) = f (a) h→0 fe(a + 2kπ + h) = fe(a + h) = f (a + h) → f (a) = f (a) h→0 L’espace préhilbertien D de Dirichlet donc : lim x→a+2kπ 415 fe(x) = f (a) = fe(a) = fe(a + 2kπ) et fe est continue en a + 2kπ. L’unicité de fe provient du fait qu’une fonction 2π-périodique est uniquement déterminée par ses valeurs sur un intervalle de longueur 2π. Le lemme qui suit, de démonstration élémentaire, nous sera très utile. Lemme 18.1 Pour toute fonction f ∈ D et tout réel a, on a : Z a+2π Z 2π f (t) dt = f (t) dt a 0 Démonstration. En utilisant la relation de Chasles pour l’intégrale de Riemann, on a : Z a+2π Z 0 Z 2π Z a+2π f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt + f (t) dt a a 0 2π et le changement de variable t = 2π + u dans la troisième intégrale nous donne, compte tenu de la 2π-périodicité de f : Z a+2π Z a Z a Z 0 f (t) dt = f (2π + u) du = f (u) du = − f (u) du 2π 0 0 a ce qui donne le résultat annoncé. En particulier on a, pour toute fonction f ∈ D, en prenant a = −π : Z π Z 2π f (t) dt = f (t) dt −π 0 Ce résultat est intéressant dans le cas particulier où la fonction f est paire ou impaire. Il sera aussi commode de noter que : Z Z a+π Z (a−π)+2π f (t) dt = f (t) dt = a−π a−π Z 2π π f (t) dt = 0 f (t) dt. −π Théorème 18.3 L’application : Z 2π (f, g) 7→ hf | gi = f (t) g (t) dt 0 définit un produit scalaire sur l’espace vectoriel D. Démonstration. Des propriétés de l’intégrale de Riemann sur un segment, on déduit que l’application h· | ·i est bilinéaire, symétrique et positive. Si hf | f i = 0, en notant 0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π les éventuels points de discontinuité de f, on a : Z 2π p−1 Z ak+1 X 2 0= (f (t)) dt = (f (t))2 dt 0 k=0 ak 416 Séries de Fourier Z ak+1 donc (f (t))2 dt = 0 pour tout k et f est nulle sur ]ak , ak+1 [ puisque f 2 est continue ak positive. On a alors : ¡ ¢ ¡ ¢ f a− lim f (x) = 0 et f a+ lim f (x) = 0 k = x→a k = x→a k k x<ak x>ak ¡ ¢ ¡ +¢ f a− k + f ak et f (ak ) = = 0. La fonction f est donc nulle sur [0, 2π] et sur R par 2π2 périodicité. L’application h· | ·i est donc définie et c’est un produit scalaire sur D. Définition 18.2 Soit k un entier naturel. On dit qu’une fonction 2π-périodique, f : R → R, est de classe C k par morceaux s’il existe une subdivision de [0, 2π] : 0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π avec p ∈ N∗ , telle que la restriction de f à chaque intervalle ]ai , ai+1 [ se prolonge par continuité en une fonction de classe C k sur [ai , ai+1 ] (0 ≤ i ≤ n − 1) . Avec les notations de la définition qui précède, si f : R → R, est 2π-périodique et de classe C par morceaux, elle est alors de classe C 1 sur [0, 2π] \ {a0 , a1 , · · · , ap } et en chacun des points ak , la fonction f admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche non nécessairement égales. On notera respectivement : ¡ −¢ ¡ +¢ f (x) − f a f (x) − f ak k fg0 (ak ) = x→a lim et fd0 (ak ) = x→a lim k k x − ak x − ak x<ak x>ak 1 la dérivée à gauche et à droite en ak . Le théorème des accroissements finis nous dit que : ¡ ¢ ¡ +¢ 0 0 0 fg0 (ak ) = x→a lim f 0 (x) = f 0 a− et f (a ) = lim f (x) = f ak k d k x→a k k x<ak x>ak La fonction f 0 sera considérée comme un élément de D en posant, pour chaque ak : ¡ ¢ ¡ +¢ 0 f 0 a− k + f ak 0 f (ak ) = 2 Par dérivée d’une fonction f : R → R, qui est 2π-périodique et de classe C 1 par morceaux nous entendrons ce prolongement. De manière plus générale, pour k ≥ 1, si f est de classe C k par morceaux, elle est alors de classe C k sur [0, 2π] éventuellement privé d’un nombre fini de points {a0 , a1 , · · · , ap } et sa dérivée est une fonction de classe C k−1 par morceaux. 18.3 Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D Pour tout entier naturel n, on note Pn l’ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions de R dans R la forme : P : x 7→ a0 + n X k=1 (ak cos (kx) + bk sin (kx)) Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D 417 où les coefficients ak et bk sont des réels. On vérifie facilement que Pn est un sous-espace vectoriel de D de dimension 2n + 1 engendré par la famille {ck | 0 ≤ k ≤ n} ∪ {sk | 1 ≤ k ≤ n} , où on a noté : ck : x 7→ cos (kx) pour k ≥ 0 et sk : x 7→ sin (kx) pour k ≥ 1 En effet, cette famille est génératrice, formée de fonctions non nulles et orthogonale pour le produit scalaire défini [ sur D, elle est donc libre (voir le cours d’algèbre). Pn l’espace de tous les polynômes trigonométriques. On note P = n∈N C’est un sous-espace vectoriel de D de base orthogonale : {ck | k ∈ N} ∪ {sk | k ∈ N∗ } Avec : Z 2π 2 kc0 k = dt = 2π 0 et pour n ≥ 1 : Z Z 2π 2 kcn k = 2π 2 2 cos (nt) dt = ksn k = 0 sin2 (nt) dt = π 0 (voir le cours d’algèbre) on déduit que la famille de fonctions : ¾ ½ ¾ ½ 1 1 1 ∗ ∗ B = √ c0 ∪ √ cn , √ sm | (n, m) ∈ N × N π π 2π est une base orthonormée de P et pour tout n ≥ 0 : ½ ¾ ½ ¾ 1 1 1 Bn = √ c0 ∪ √ ck , √ sk | 1 ≤ k ≤ n π π 2π est une base orthonormée de Pn . Exercice 18.4 Montrer que pour tout entier naturel n les fonctions : t 7→ (cos (t))n et t 7→ (sin (t))n sont des polynômes trigonométriques. Solution 18.5 Pour n = 0 et n = 1, c’est évident. En supposant le résultat acquis pour n ≥ 1, on a : (cos (t))n+1 = (cos (t))n cos (t) à ! m X = a0 + (ak cos (kt) + bk sin (kt)) cos (t) k=1 = a0 cos (t) + m X (ak cos (kt) cos (t) + bk sin (kt) cos (t)) k=1 avec : cos (kt) cos (t) = cos ((k + 1) t) + cos ((k − 1) t) ∈P 2 418 Séries de Fourier et : sin (kt) cos (t) = sin ((k + 1) t) + sin ((k − 1) t) ∈P 2 pour k ≥ 1, ce qui entraîne (cos (t))n+1 ∈ P. On procède de même pour (sin (t))n . On peut aussi utiliser les exponentielles complexes et la formule du binôme pour écrire : n n (eit + e−it ) 1 X k ikt −i(n−k)t (cos (t)) = = n C e e 2n 2 k=0 n n = et : à n (cos (t)) = < n 1 X k i(2k−n)t C e 2n k=0 n n 1 X k i(2k−n)t C e 2n k=0 n ! = n X Ck n k=0 2n cos ((2k − n) t) ∈ Pn On rappelle que pour toute fonction f ∈ D, la projection orthogonale de f sur Pn , pour n ≥ 0 fixé, est le polynôme trigonométrique Sn (f ) défini par : ½ Sn (f ) ∈ Pn f − Sn (f ) ∈ Pn⊥ Son expression dans la base orthonormée Bn est donnée par : ¿ À À À n ¿ n ¿ X X c0 ck s c0 ck sk √ + √ + √k Sn (f ) = f | √ f|√ f|√ π π k=1 π π 2π 2π k=1 n n 1X 1 1X hf | ck i ck + hf | sk i sk = hf | c0 i c0 + 2π π k=1 π k=1 Soit, pour tout réel x : Sn (f ) (x) = n n X a0 (f ) X ak (f ) cos (kx) + bk (f ) sin (kx) + 2 k=1 k=1 où on a noté, pour tout entier naturel k : Z Z 1 2π 1 2π ak (f ) = f (t) cos (kt) dt et bk (f ) = f (t) sin (kt) dt π 0 π 0 (18.1) Définition 18.3 Avec les notations qui précèdent, on dit les réels ak (f ) pour k ∈ N et bk (f ) pour k ∈ N∗ , sont les coefficients de Fourier trigonométriques de la fonction f et la série de fonctions : a0 (f ) X + (an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx)) 2 est la série de Fourier de la fonction f. Remarque 18.5 Les applications an et bn sont des formes linéaires sur D. De manière plus générale, on donne la définition suivante. Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D 419 Définition 18.4 On appelle série trigonométrique toute série de fonctions de la forme : X (an cos (nx) + bn sin (nx)) où (an )n∈N et (bn )n∈N sont des suites réelles ou complexes. Remarque 18.6 Dans le cas où f est un polynôme trigonométrique, on a Sn (f ) = f pour n assez grand et la série de Fourier de f converge vers f en tout point x ∈ R. Remarque 18.7 De manière plus générale, on peut définir les coefficients de Fourier trigonométriques d’une fonction f : R → C qui est 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout segment par les formules (18.1) . Le résultat qui suit est élémentaire, mais utile pour le calcul des coefficients de Fourier des fonctions paires ou impaires. Lemme 18.2 Si f ∈ D est paire, on a alors bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ et : Z 2 π f (t) cos (nt) dt ∀n ∈ N, an (f ) = π 0 Si f ∈ D est impaire, on a alors an (f ) = 0 pour tout n ∈ N et : Z 2 π ∗ f (t) sin (nt) dt ∀n ∈ N , bn (f ) = π 0 Démonstration. Résulte immédiatement du lemme 18.1 et du fait que la fonction t 7→ f (t) cos (nt) est paire [resp. impaire] et la fonction t 7→ f (t) sin (nt) est impaire [resp. paire] pour f paire [resp. impaire]. Nous verrons plus loin que la réciproque du résultat précédent est vraie, c’est-à-dire que si f ∈ D est telle que bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ [resp. an (f ) = 0 pour tout n ∈ N] alors f est paire [resp. impaire] (exercice 18.9). Il sera parfois commode d’utiliser les coefficients de Fourier exponentiels de f ∈ D (ou plus généralement de f : R → C, 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout segment) définis pour n ∈ Z par : Z 2π 1 f (t) e−int dt cn (f ) = 2π 0 On a alors c0 (f ) = a0 (f ) : 2 an (f ) − ibn (f ) cn (f ) = 2 an (f ) + ibn (f ) c−n (f ) = ∀n ∈ N∗ , 2 an (f ) = c−n (f ) + cn (f ) bn (f ) = i (cn (f ) − c−n (f )) 420 Séries de Fourier et : Sn (f ) (x) = n n X a0 (f ) X + ak (f ) cos (kx) + bk (f ) sin (kx) 2 k=1 k=1 = c0 (f ) + n X (c−k (f ) + ck (f )) cos (kx) + i n X k=1 = c0 (f ) + n X k=1 ck (f ) eikx + k=1 = n X (ck (f ) − c−k (f )) sin (kx) n X c−k (f ) e−ikx k=1 ck (f ) eikx k=−n Remarque 18.8 Pour toute fonction f : R → C qui est 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout segment, les suites (an (f ))n≥0 , (bn (f ))n≥1 et (cn (f ))n≥0 sont bornées. En effet, la fonction |f | est Riemann-intégrable sur [0, 2π] et on a pour tout n ∈ Z : ¯Z ¯ Z 2π ¯ 1 ¯¯ 2π 1 −int ¯ |cn (f )| = f (t) e dt¯ ≤ |f (t)| dt 2π ¯ 0 2π 0 ce qui donne pour tout n ∈ N : 1 |an (f )| ≤ |c−n (f )| + |cn (f )| ≤ π Z 2π |f (t)| dt 0 et pareil pour bn (f ) . Exercice 18.5 Soit f ∈ D et g ∈ D définie par g (x) = f (x + a) où a est un réel fixé. Exprimer les coefficients de Fourier de g en fonction de ceux de f. Solution 18.6 Pour n ∈ Z, on a : Z 2π Z 2π 1 1 −int cn (g) = g (t) e dt = f (t + a) e−int dt 2π 0 2π 0 Z a+2π Z 2π 1 −in(x−a) ina 1 = f (x) e dt = e f (x) e−inx dt 2π a 2π 0 ina = e cn (f ) Il en résulte que : an (g) = c−n (g) + cn (g) = e−ina c−n (f ) + eina cn (f ) an (f ) − ibn (f ) an (f ) + ibn (f ) + eina = e−ina 2 2 ina −ina ina −ina e +e e −e = an (f ) + bn (f ) 2 2i = cos (na) an (f ) + sin (na) bn (f ) et : ¡ ¢ bn (g) = i (cn (g) − c−n (g)) = i eina cn (f ) − e−ina c−n (f ) µ ¶ −ina an (f ) + ibn (f ) ina an (f ) − ibn (f ) −e =i e 2 2 ina −ina ina −ina e −e e +e bn (f ) − an (f ) = 2 2i = cos (na) bn (f ) − sin (na) an (f ) Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D 421 Ce qui peut aussi se vérifier avec : Z Z 1 2π 1 2π an (g) = f (t + a) cos (nt) dt = f (x) cos (n (x − a)) dt π 0 π 0 µ ¶ Z 2π Z 2π 1 = cos (na) f (x) cos (nx) dt + sin (na) f (x) sin (nx) dt π 0 0 = cos (na) an (f ) + sin (na) bn (f ) et : Z Z 1 2π 1 2π bn (g) = f (t + a) sin (nt) dt = f (x) sin (n (x − a)) dt π 0 π 0 µ ¶ Z 2π Z 2π 1 = cos (na) f (x) sin (nx) dt − sin (na) f (x) cos (nx) dt π 0 0 = cos (na) bn (f ) − sin (na) an (f ) Exercice 18.6 Soit f ∈ D continue et de classe C 1 par morceaux. Montrer que : ∀n ∈ Z∗ , cn (f ) = ∀n ∈ N∗ , an (f ) = − cn (f 0 ) in bn (f 0 ) an (f 0 ) et bn (f ) = n n Solution 18.7 Si f ∈ D est de classe C 1 par morceaux, il existe alors une subdivision de [0, 2π] : 0 = a0 < a1 < · · · < ap = 2π telle que la restriction de f à chaque intervalle ]ak , ak+1 [ se prolonge par continuité en fonction de classe C 1 sur [ak , ak+1 ] et on a, pour tout n ∈ Z∗ : 1 cn (f ) = 2π Z 2π f (t) e 0 −int p−1 Z 1 X ak+1 f (t) e−int dt dt = 2π k=0 ak et comme f est de classe C 1 sur [ak , ak+1 ] , une intégration par parties donne : · ¸a Z ak+1 Z f (t) e−int k+1 i ak+1 0 −int f (t) e dt = i − f (t) e−int dt n n ak ak ak ¡ − ¢ −ina ¡ ¢ Z k+1 − f a+ e−inak f aa+1 e i ak+1 0 k f (t) e−int dt − =i n n ak ¡ +¢ ¡ ¢ Si on suppose de plus que f est continue sur R, on a alors f a− k = f ak = f (ak ) pour tout k compris entre 0 et p et : p−1 p−1 Z ak+1 ¢ iX i X¡ −inak+1 −inak 2πcn (f ) = f 0 (t) e−int dt f (ak+1 ) e − f (ak ) e − n k=0 n k=0 ak Z p−1 Z i X ak+1 0 1 2π 0 −int =− f (t) e dt = f (t) e−int dt n k=0 ak in 0 422 Séries de Fourier cn (f 0 ) puisque f est 2π-périodique et cn (f ) = . in Il en résulte que : cn (f 0 ) − c−n (f 0 ) bn (f 0 ) =− an (f ) = c−n (f ) + cn (f ) = in n 0 0 0 c (f ) + c (f ) a n n (f ) bn (f ) = i (cn (f ) − c−n (f )) = −n = n n Remarque 18.9 Avec les notations et hypothèses de l’exercice précédent, on a : Z 2π 1 0 f 0 (t) dt = 0 c0 (f ) = 2π 0 puisque f est 2π-périodique. Donc la relation cn (f 0 ) = incn (f ) est valable pour tout n ∈ Z. 18.4 L’inégalité de Bessel On rappelle que la projection orthogonale Sn (f ) de f ∈ D sur Pn est aussi la meilleure approximation de f (pour la distance induite par le produit scalaire que nous avons défini sur D) par un polynôme trigonométrique de degré au plus égal à n, c’est à dire que : kf − Sn (f )k = inf kf − P k P ∈Pn Du théorème de Pythagore, on déduit que : kf k2 = k(f − Sn (f )) + Sn (f )k2 = kf − Sn (f )k2 + kSn (f )k2 ce qui donne l’inégalité de Bessel : kSn (f )k2 ≤ kf k2 et en tenant compte de : ¿ 2 kSn (f )k = c0 f|√ 2π À2 + n ¿ X k=1 n X ck f|√ π À2 + n ¿ X k=1 n X sk f|√ π 1 1 1 hf | c0 i2 + hf | cki2 + hf | ski2 2π π k=1 π k=1 à ! n 2 X ¡ ¢ a0 (f ) =π + a2k (f ) + b2k (f ) 2 k=1 = cela s’écrit : n ¢ 1 a20 (f ) X ¡ 2 + ak (f ) + b2k (f ) ≤ 2 π k=1 Z 2π f 2 (t) dt 0 On en déduit alors le résultat suivant. Théorème 18.4 (Bessel) Pour toute fonction f ∈ D, la série numérique a20 (f ) P 2 + (an (f ) + b2n (f )) est convergente et on a : 2 Z +∞ ¢ 1 2π 2 a20 (f ) X ¡ 2 2 + f (t) dt an (f ) + bn (f ) ≤ 2 π 0 n=1 À2 L’inégalité de Bessel 423 Nous verrons un peu plus loin qu’on a en fait l’égalité (théorème de Parseval). Avec : µ ¶2 |an (f )| + |bn (f )| |an (f )|2 + |bn (f )|2 2 |c±n (f )| ≤ ≤ 2 2 P on déduit que les séries |c±n (f )|2 sont convergentes. Remarque 18.10 Du théorème de Bessel, on déduit que la suite (kf − Sn (f )k)n∈N est convergente avec : lim kf − Sn (f )k2 = kf k2 − lim kSn (f )k2 n→+∞ ! à +∞ 2 X ¢ ¡ a (f ) 0 = kf k2 − π + a2n (f ) + b2n (f ) 2 n=1 n→+∞ Avec le théorème de Parseval, nous verrons que cette limite est nulle, ce qui signifie que la suite (Sn (f ))n∈N est convergente dans l’espace normé (D, k·k) , mais cela ne signifie pas qu’il y a convergence simple de la série de Fourier. Remarque 18.11 On peut aussi remarquer que la suite (kf − Sn (f )k)n∈N est décroissante minorée par 0, donc convergente. En effet, pour n ≥ 1, on a Sn (f ) ∈ Pn+1 et considérant que Sn+1 (f ) est la meilleure approximation de f dans Pn+1 , on a : kf − Sn+1 (f )k ≤ kf − Sn (f )k De l’inégalité de Bessel, on déduit le résultat suivant. Corollaire 18.1 (Riemann-Lebesgue) Pour toute fonction f ∈ D, on a : lim an (f ) = lim bn (f ) = 0 n→+∞ n→+∞ et : lim cn (f ) = 0 |n|→+∞ Démonstration. Les séries vers 0 et avec : P a2n (f ) et P |c±n (f )| ≤ on déduit que b2n (f ) étant convergentes, leur terme général tend |an (f )| + |bn (f )| 2 lim cn (f ) = 0. |n|→+∞ P sin (nx) √ est convergente sur R, mais n qu’elle ne peut être la série de Fourier d’une fonction f ∈ D. Exercice 18.7 Montrer que la série trigonométrique Solution 18.8 Le théorème d’Abel nous assure la convergence de la série trigonométrique pour tout x ∈ R \ 2πZ (théorème 6.25) et pour x ∈ 2πZ cette série est nulle. Si cette série est la série de Fourier d’une fonction f ∈ D, cela signifie que an (f ) = 0 pour 1 tout n ≥ 0, bn (f ) = √ pour tout n ≥ 1 et le théorème de Bessel nous dit que la série n P P 1 (bn (f ))2 = est convergente, ce qui n’est pas. n ¶ µ 1 par n’importe quelle suite réelle (un )n∈N qui tend On peut en fait remplacer la suite √ n n≥1 P 2 vers 0 en décroissant et telle que un = +∞. 424 Séries de Fourier Exercice 18.8 Soit f ∈ D continue et de classe C 1 par morceaux. Montrer que : µ ¶ µ ¶ 1 1 an (f ) = o et bn (f ) = o n n Solution 18.9 Si f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, sa dérivée se prolonge en une fonction de D. Le résultat se déduit alors de l’exercice 18.6 et du théorème de RiemannLebesgue. De manière plus générale, on a le résultat suivant. Théorème 18.5 Si f ∈ D est de classe C p et de classe C p+1 par morceaux avec p ≥ 0, on a alors : µ ¶ µ ¶ 1 1 an (f ) = o et bn (f ) = o np+1 np+1 Démonstration. Avec l’exercice 18.6, on a vu que cn (f 0 ) = incn (f ) pour f ∈ D continue et de classe C 1 par morceaux et n ∈ Z. Par récurrence, on en déduit que pour f ∈ D de classe C p et de classe C p+1 par morceaux, on a : ¡ ¢ ∀n ∈ Z, cn f (k) = (in)k cn (f ) pour tout k ∈ {0, · · · , p + 1} . On en déduit que : ¯ p+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯n an (f )¯ ≤ ¯np+1 cn (f )¯ + ¯np+1 c−n (f )¯ ¯ ¡ ¢¯ ¯ ¡ ¢¯ ≤ ¯cn f (p+1) ¯ + ¯c−n f (p+1) ¯ → 0 n→+∞ µ et pareil pour bn (f ) . On a donc an (f ) = o 1 np+1 ¶ µ et bn (f ) = o 1 np+1 ¶ . Lemme 18.3 Si f ∈ D est dePclasse C p et de classe C p+1 par morceaux avec p ≥ 0, alors pour P tout k ∈ {0, · · · , p} les séries nk an (f ) et nk bn (f ) sont absolument convergentes. Démonstration. Pour tout k ∈ {0, · · · , p} et n ≥ 1, on : ¯ 1¯ ¡ ¢¯ 1 ¯¯ k+1 n c±n (f )¯ = ¯c±n f (k+1) ¯ nµ n ¶ ¯ ¡ (k+1) ¢¯2 1 1 ¯ ¯ + c±n f ≤ 2 n2 P k ce qui entraîne la convergence de la série n |c±n (f )| (inégalité de Bessel) et celles des séries P k P k n |an (f )| et n |bn (f )| . nk |c±n (f )| = 18.5 Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D Nous allons tout d’abord montrer qu’une fonction f ∈ D est uniquement déterminée par ses coefficients de Fourier, ce qui compte tenu de la linéarité des coefficients de Fourier revient à montrer le résultat suivant. Théorème 18.6 Une fonction f ∈ D est telle que an (f ) = bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N (ce qui équivaut à cn (f ) = 0 pour tout n ∈ Z) si, et seulement si, elle est identiquement nulle. Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D 425 Démonstration. Soit f non identiquement nulle dans D ayant tout ses coefficients de Fourier nuls. Z 2π Dans ce cas, on a f (t) P (t) dt = 0 pour tout polynôme trigonométrique P. 0 Supposons qu’il existe un réel a tel que f (a) 6= 0 et tel que f soit continue en a. Quitte à changer f en −f, on peut supposer que f (a) > 0 (avec la linéarité des coefficients de Fourier, on a cn (−f ) = −cn (f ) = 0 pour tout n ∈ Z). i πh Avec la continuité de f en a, on peut trouver un réel δ ∈ 0, tel que : 2 ∀t ∈ [a − δ, a + δ] , |f (t) − f (a)| < f (a) 2 ce qui entraîne : f (a) 2 On désigne par P le polynôme trigonométrique défini par : ∀t ∈ [a − δ, a + δ] , f (t) > P (t) = 1 + cos (t − a) − cos (δ) i π πh Pour t ∈ [a − δ, a + δ] , on a t − a ∈ [−δ, δ] ⊂ − , , ce qui donne en tenant compte de la 2 2 h πi : parité de cos et sa décroissance sur 0, 2 0 ≤ cos (δ) ≤ cos (t − a) ≤ 1 soit : ∀t ∈ [a − δ, a + δ] , P (t) ≥ 1 Toujours avec les propriétés de la fonction cos, on a : · ¸ µ ¶ δ δ δ ∀t ∈ a − , a + , cos (t − a) ≥ cos 2 2 2 et : · ¸ µ ¶ δ δ δ ∀t ∈ a − , a + , P (t) ≥ 1 + cos − cos (δ) = 1 + ε 2 2 2 µ ¶ i πh δ avec ε = cos − cos (δ) > 0 (stricte décroissance de cos sur 0, ) 2 2 Enfin pour δ ≤ |t − a| ≤ π, on a : −1 ≤ cos (t − a) ≤ cos (δ) puisque cos est décroissante sur [0, π] et paire, ce qui donne : P (t) = 1 + cos (t − a) − cos (δ) ≤ 1. On définit alors la suite (P )n∈N polynômes trigonométriques par : Pn (t) = (P (t))2n et on écrit que : Z Z 2π 0 = In = a+π f (t) Pn (t) dt = 0 f (t) Pn (t) dt = Jn + Kn + Ln a−π 426 Séries de Fourier avec : Z Jn = a+ 2δ a− 2δ f (t) Pn (t) dt ≥ δ f (a) (1 + ε)2n 2 → +∞ n→+∞ Z Kn = δ ≤|t−a|≤δ 2 f (t) Pn (t) dt ≥ 0 f (a) > 0 pour |t − a| ≤ δ et Pn (t) ≥ 0 pour tout t et : 2 Z Z |Ln | ≤ |f (t)| Pn (t) dt ≤ |f (t)| dt ≤ 2π sup |f (t)| = M car f (t) > δ≤|t−a|≤π t∈R δ≤|t−a|≤π ce qui donne : Jn + Kn + Ln ≥ Jn − M → +∞ n→+∞ et est en contradiction avec In = 0. On a donc ainsi montré que f est nulle en tout point de continuité. En un point de discontinuité a ∈ [0, 2π] (s’il en existe, il n’y en a alors qu’un nombre fini), on a : ¡ ¢ ¡ ¢ f a− = x→a lim f (x) = 0, f a+ = x→a lim f (x) = 0 x<a et : f (a) = x>a f (a− ) + f (a+ ) = 0. 2 Théorème 18.7 Si f, g dans D sont telles que an (f ) = an (g) pour tout n ∈ N et bn (f ) = bn (g) pour tout n ∈ N∗ (ce qui équivaut à cn (f ) = cn (g) pour tout n ∈ Z) on a alors f = g. Démonstration. Avec la linéarité des applications cn , on a cn (f − g) = 0 pour tout n ∈ Z et f − g = 0. Exercice 18.9 Montrer que si f ∈ D est telle que bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ [resp. an (f ) = 0 pour tout n ∈ N] alors f est paire [resp. impaire]. Solution 18.10 Les fonctions g, h définies sur R par : g (x) = f (x) + f (−x) f (x) − f (−x) et h (x) = 2 2 sont respectivement paire et impaire et on a f = g + h avec g et h dans D. Si bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N∗ , on a alors an (f ) = an (g) + an (h) = an (g) (an (h) = 0 puisque h est impaire) pour tout n ≥ 0 et bn (f ) = bn (g) = 0 pour tout n ≥ 1 (bn (g) = 0 puisque g est paire), donc f = g est paire. Du théorème précédent, nous allons déduire un premier théorème de convergence de la série de Fourier. P P Théorème 18.8 Si f ∈ D est telle que les séries an (f ) et bn (f ) sont absolument convergentes, alors sa série de Fourier converge normalement (donc uniformément) sur R vers f et la fonction f est continue sur R Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D Démonstration. Si les séries P an (f ) et P 427 bn (f ) sont absolument convergentes, avec |an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx)| ≤ |an (f )| + |bn (f )| pour tout n ≥ 1, on déduit alors que la série de Fourier de f est normalement convergente, donc uniformément convergente, sur R et sa somme g (x) est une fonction continue sur R. Avec la convergence uniforme sur [0, 2π] des séries : X a0 (f ) cos (mt) + (an (f ) cos (nt) cos (mt) + bn (f ) sin (nt)) cos (mt) 2 pour tout m ≥ 0 et l’orthogonalité de {ck | k ∈ N}∪{sk | k ∈ N∗ } , on déduit que les coefficients de Fourier de g sont donnés par : Z 2π πa0 (g) = g (t) dt 0 ! Z 2π Z 2π ÃX +∞ a0 (f ) = dt + (an (f ) cos (nt) + bn (f ) sin (nt)) dt 2 0 0 n=1 ¶ Z 2π Z 2π +∞ µ X = πa0 (f ) + an (f ) cos (nt) dt + bn (f ) sin (nt) dt 0 n=1 0 = πa0 (f ) et, pour m ≥ 1 : Z 2π g (t) cos (mt) dt πam (g) = Z 0 2π a0 (f ) cos (mt) dt 2 0 Z 2π Z +∞ µ X + an (f ) cos (nt) cos (mt) dt + bn (f ) = n=1 0 Z 2π = am (f ) 2π ¶ sin (nt) cos (mt) dt 0 cos2 (mt) dt = πam (f ) 0 Z 2π πbm (g) = bm (f ) sin2 (mt) dt = πbm (f ) 0 Il en résulte que f = g puisque ces deux fonctions sont dans D avec les mêmes coefficients de Fourier. Exercice 18.10 Étudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique, paire valant x (π − x) sur [0, π] . +∞ +∞ P 1 P (−1)n+1 En déduire les valeurs des sommes et . 2 n2 n=1 n n=1 Solution 18.11 On a bn (f ) = 0 pour tout n ≥ 1 puisque f est paire et : Z 2 π π2 a0 (f ) = t (π − t) dt = π 0 3 428 Séries de Fourier 2 an (f ) = π Z π t (π − t) cos (nt) dt 0 si n = 2p + 1 2 n 1 = − 2 (1 + (−1) ) = − 2 si n = 2p n p 0 pour n ≥ 1. P 4 Avec |an (f )| ≤ 2 pour tout n ≥ 1, on déduit que la série an (f ) est absolument convergente n et la série de Fourier de f converge normalement vers f. On a donc, pour tout réel x : +∞ +∞ a0 (f ) X π 2 X cos (2nx) f (x) = + an (f ) cos (nx) = − 2 6 n2 n=1 n=1 ce qui équivaut à : +∞ π 2 X cos (2nx) ∀x ∈ [0, π] , x (π − x) = − 6 n2 n=1 Les évaluations en x = 0 et x = π respectivement nous donnent : 2 +∞ +∞ X X 1 π2 (−1)n+1 π2 π2 π2 = et = − = . n2 6 n2 4 6 12 n=1 n=1 Exercice 18.11 Étudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique, valant |x| sur [−π, π] . +∞ X 1 En déduire la valeur de la somme 2. (2n + 1) n=0 Solution 18.12 On a bn (f ) = 0 pour tout n ≥ 1 puisque f est paire et : Z 2 π tdt = π a0 (f ) = π 0 Z 2 π 2 an (f ) = t cos (nt) dt = ((−1)n − 1) π 0 πn2 0 si n = 2p 4 = si n = 2p + 1 − π (2p + 1)2 pour n ≥ 1. P 4 Avec |an (f )| ≤ 2 pour tout n ≥ 1, on déduit que la série an (f ) est absolument convergente n et la série de Fourier de f converge normalement vers f. On a donc : ∀x ∈ [0, π] , x = +∞ π 4 X cos ((2n + 1) x) − 2 π n=0 (2n + 1)2 L’évaluation en x = 0 nous donne : +∞ X n=0 1 π2 = 8 (2n + 1)2 Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D 429 En utilisant le lemme 18.3, on en déduit le résultat suivant qui est un cas particulier du théorème de Dirichlet. Corollaire 18.2 Si f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, alors sa série de Fourier converge normalement (donc uniformément) sur R vers f. P P Démonstration. Le lemme 18.3 nous dit que les séries an (f ) et bn (f ) sont absolument convergentes, ce qui donne le résultat. Exercice 18.12 Soit f (x) = |sin (x)| . 1. Etudier sa série de Fourier. +∞ +∞ P P (−1)n 1 2. Calculer et . 2 2 n=1 4n − 1 n=1 4n − 1 3. Développer f sous la forme f (x) = +∞ P λn sin2 (nx) . n=0 Solution 18.13 1. La fonction f étant 2π-périodique continue et de classe C 1 par morceaux, est développable en série de Fourier, la convergence étant uniforme sur R tout entier. Ces coefficients de Fourier trigonométriques sont donnés par bn = 0 puisque la fonction f est paire et pour n ∈ N \ {1} : Z Z 2 π 1 π an = sin (t) cos (nt) dt = (sin ((1 + n) t) + sin ((1 − n) t)) dt π 0 π 0 2 (−1)n+1 − 1 0 si n = 2p + 1 1 4 = = si n = 2p − π n2 − 1 π 4p2 − 1 et pour n = 1 : On a donc : 1 a1 = π Z π sin (2t) dt = 0 0 +∞ 4 X cos (2nx) 2 ∀x ∈ R, |sin (x)| = − . π π n=1 4n2 − 1 2. En prenant respectivement x = 0 et x = +∞ X n=1 π , on a : 2 1 1 = . −1 2 4n2 Ce qui peut se montrer de manière élémentaire avec : n X k=1 n X 1 1 = 2 4k − 1 k=1 (2k − 1) (2k + 1) ¶ n µ 1X 1 1 = − 2 k=1 2k − 1 2k + 1 à n ! n+1 X X 1 1 1 − = 2 k=1 2k − 1 j=2 2j − 1 µ ¶ 1 1 1 = 1− → 2 2n + 1 n→+∞ 2 430 Séries de Fourier et : µ ¶ +∞ X (−1)n π 2 1 π = −1 = − 2 4n − 1 4 π 2 4 n=1 3. On a : 4 |sin (x)| = π à +∞ 1 X cos (2nx) − 2 n=1 4n2 − 1 ! +∞ +∞ 4 X 1 − cos (2nx) 8 X sin2 (nx) = = π n=1 4n2 − 1 π n=1 4n2 − 1 Exercice 18.13 À tout réel a ∈ ]0, π[ on associe la fonction fa , 2π-périodique et impaire telle que : ½ x (π − a) si 0 ≤ x ≤ a ∀x ∈ [0, π] , fa (x) = a (π − x) si a ≤ x ≤ π 1. Étudier la série de Fourier de fa . 2. En déduire les valeurs des sommes : +∞ X sin (nx) sin (na) n2 n=1 , +∞ X sin2 (nx) n=1 n2 et +∞ X cos (2nx) n=1 n2 pour x, a dans ]0, π[ . Solution 18.14 1. La fonction fa étant 2π-périodique continue et de classe C 1 par morceaux, est développable en série de Fourier, la convergence étant uniforme sur R tout entier. Ces coefficients de Fourier trigonométriques sont donnés par an = 0 puisque la fonction f est impaire et pour n ≥ 1 : ¶ µ Z a Z π 2 (π − t) sin (nt) dt bn = t sin (nt) dt + a (π − a) π 0 a µ µ· ¸a ¶¶ Z 2 cos (nt) 1 a = (π − a) −t + cos (nt) dt π n n 0 0 ¶¶ µ µ· ¸π Z 2 cos (nt) 1 π + a − (π − t) − cos (nt) dt π n n a a ¶¶ µ µ 2 1 cos (na) = + 2 sin (na) (π − a) −a π n n ¶¶ µ µ 1 2 cos (na) + 2 sin (na) + a (π − a) π n n 2 = 2 sin (na) n 2. Ce qui donne, pour tout réel x ∈ ]0, π[ : 2 +∞ X sin (nx) sin (na) n=1 n2 ½ = fa (x) = x (π − a) si 0 ≤ x ≤ a a (π − x) si a ≤ x ≤ π Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D 431 (pour x = 0 ou x = π tout est nul) et x = a ∈ ]0, π[ donne : +∞ X sin2 (nx) n2 n=1 = x (π − x) 2 En écrivant que cos (2nx) = 1 − 2 sin2 (nx) , on en déduit que : +∞ X cos (2nx) n2 n=1 +∞ +∞ X X 1 sin2 (nx) = −2 n2 n2 n=1 n=1 = Prenant x = π2 − x (π − x) 6 π , on retrouve : 2 +∞ X (−1)n n=1 n2 = π2 π2 π2 − =− . 6 4 12 Exercice 18.14 Soient a ∈ ]−1, 1[ \ {0} , f définie sur R par : f (x) = 1 1 − 2a cos (x) + a2 et (un )n≥0 la suite définie par : Z π f (x) cos (nx) dx un = 0 Z π 1. Calculer u0 = f (x) dx. Z 0 2. Calculer u1 = π f (x) cos (x) dx. 0 3. Établir une relation de récurrence entre un+1 , un et un−1 pour n ≥ 1. 1 + a2 2 x + 1. 4. Calculer les racines du polynôme P (x) = x − a 5. Expliciter un . 6. En déduire le développement de f en série de Fourier. 7. Exprimer, pour tout réel x : 1 1 + −1 1 − ae−ix 1 − aeix en fonction de f (x) . 8. Retrouver le développement de Fourier de f en utilisant des développements en série entière. Solution 18.15 Comme 0 < |a| < 1, on a : 1 − 2a cos (x) + a2 = (a − cos (x))2 + sin2 (x) > 0 pour tout réel x et la fonction f est bien définie sur R. 432 Séries de Fourier ³x´ 1. En effectuant le changement de variable u = tan , pour x ∈ ]0, π[ , on a du = 2 1 (1 + u2 ) dx : 2 ³ ´ 2 2 x ¡ ¢ −1 cos (x) = 2 cos −1= 2 1 + tan2 x2 ¡ ¢ 1 − tan2 x2 1 − u2 ¡ ¢ = = 1 + u2 1 + tan2 x2 et : Z Z π +∞ 1 2du 2 1−u 1 + u2 0 0 2 1 − 2a + a 1 + u2 Z +∞ 2 = du 2 1 − 2a + a + (1 + 2a + a2 ) u2 0 Z +∞ 2 = du 2 (1 − a) + (1 + a)2 u2 0 Z +∞ du 2 = µ ¶2 2 (1 − a) 0 1+a 1+ u2 1−a u0 = f (x) dx = 1+a u donne : 1−a Z 1 − a +∞ dx 2 u0 = (1 − a)2 1 + a 0 1 + x2 2 π π = = . 2 1−a 2 1 − a2 puis le changement de variable x = 2. En écrivant que : ¡ ¢ 1 − 2a cos (x) + a2 f (x) = 1 on déduit que : f (x) cos (x) = (1 + a2 ) f (x) − 1 2a et : Z Z 1 + a2 π π u1 = f (x) cos (x) dx = f (x) dx − 2a 0 2a 0 2 2 π 1+a π 1+a π u0 − = − = 2 2a 2a ¶ 2a 1 − a 2a µ π 1 + a2 πa = −1 = . 2a 1 − a2 1 − a2 π 3. Avec : cos ((n + 1) x) + cos ((n − 1) x) = 2 cos (x) cos (nx) Convergence ponctuelle des séries de Fourier sur D 433 on déduit que : Z π un+1 + un−1 = 2 f (x) cos (x) cos (nx) dx Z 0 π (1 + a2 ) f (x) − 1 cos (nx) dx 2a 0 Z Z 1 + a2 π 1 π = f (x) cos (nx) dx − cos (nx) dx a a 0 0 1 + a2 = un . a =2 4. On a : ¡ ¢ aP (x) = ax2 − 1 + a2 x + a = (ax − 1) (x − a) et le polynôme P a deux racines réelles, à savoir a et 5. On en déduit que un = λan + 1 . a µ , les réels λ, µ étant déterminés par : an π λ + µ = u0 = 1 − a2 µ λa + = u1 = πa = a (λ + µ) a 1 − a2 ce qui donne µ = 0 (a2 6= 1) et λ = π . On a donc : 1 − a2 ∀n ∈ N, un = π an 1 − a2 2 2 un = an pour 2 π 1 − a tout n ≥ 0. Comme f est C ∞ , sa série de Fourier converge normalement vers f et pour tout réel x, on a : à ! +∞ X 1 1 = 1+2 an cos (nx) . 1 − 2a cos (x) + a2 1 − a2 n=1 6. La fonction f étant impaire, on a bn = 0 pour tout n ≥ 1 et an = 7. On a : 1 1 2 (1 − a cos (x)) 2 − 2a cos (x) + = = −ix ix −ix ix 1 − ae 1 − ae (1 − ae ) (1 − ae ) |eix − a|2 2 − 2a cos (x) = 1 − 2a cos (x) + a2 et : 1 1 2 − 2a cos (x) + −1= −1 −ix ix 1 − ae 1 − ae 1 − 2a cos (x) + a2 ¢ ¡ 1 − a2 = 1 − a2 f (x) = 2 1 − 2a cos (x) + a 434 Séries de Fourier 8. On en déduit que : ¡ +∞ +∞ X X ¢ 1 − a2 f (x) = an e−inx + an einx − 1 n=0 =1+ n=0 +∞ X ¡ ¢ an einx + e−inx n=1 +∞ X =1+2 Exercice 18.15 Soit f (z) = P an cos (nx) n=1 αn z n une série entière de rayon de convergence R ∈ ]0, +∞] n≥0 telle que f (z) 6= 0 pour tout z ∈ D (0, R) . Pour tout r ∈ ]0, R[ , on désigne par ϕr la fonction 1 définie sur R par ϕr (t) = . f (reit ) 1. Montrer que ϕr est développable en série de Fourier. On note cn (r) ses coefficients de Fourier exponentiels. cn (r) 2. Montrer que la fonction hn définie sur ]0, R[ par hn (r) = est dérivable et calculer rn sa dérivée. 3. Montrer que cn (r) = 0 pour tout r dans ]0, R[ et tout n < 0. 1 4. En déduire que est développable en série entière de rayon de convergence R. f Solution 18.16 1. La fonction ϕr est 2π-périodique et indéfiniment dérivable, sa série de Fourier est alors normalement convergente vers ϕr sur R tout entier. 2. Pour tout r ∈ ]0, R[ et tout n ∈ Z, on a : Z 2π −int Z 2π it 0 e e f (reit ) −int 1 1 0 dt, cn (r) = − e dt cn (r) = 2π 0 f (reit ) 2π 0 f 2 (reit ) −int (la fonction (t, r) 7−→ fe(reit ) est indéfiniment dérivable sur [0, 2π] × ]0, R[ et on intègre sur un intervalle fermé borné). On a alors : Z 2π it 1 re f (reit ) + nf (reit ) −int 0 ∀r ∈ ]0, R[ , ∀n ∈ Z, hn (r) = − e dt. 2πrn+1 0 f 2 (reit ) En remarquant que : ∂ reit f 0 (reit ) + nf (reit ) −int e =i 2 it f (re ) ∂t µ e−int f (reit ) ¶ , le résultat précédent donne, en tenant compte de la périodicité : µ −int ¶ Z 2π i ∂ e 0 ∀r ∈ ]0, R[ , ∀n ∈ Z, hn (r) = − dt = 0. n+1 2πr ∂t f (reit ) 0 On déduit donc que, pour tout n ∈ Z, la fonction hn est constante sur ]0, R[ . En notant encore hn cette constante on a alors : ∀r ∈ ]0, R[ , ∀n ∈ Z, cn (r) = hn rn . De la continuité de chaque fonction r − 7 → cn (r) sur [0, R[ , on déduit que hn = 0 pour tout n < 0. Et toujours par continuité, on a cn (r) = hn rn pour n ∈ N et r ∈ [0, R[ . Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques 435 3. De ce qui précède, on déduit que pour tout r ∈ [0, R[ et tout t ∈ R, on a : +∞ X 1 = hn rn eint , f (reit ) n=0 c’est-à-dire +∞ P 1 = hn z n pour tout z ∈ C tel que |z| < R. C’est-à-dire que la fonction f (z) n=0 1 est développable en série entière avec un rayon de convergence R0 ≥ R . En appliquant f µ ¶−1 1 1 le raisonnement précédent à la fonction , on déduit que f = a un rayon de f f 1 convergence R ≥ R0 . En définitive f et ont même rayon de convergence. f 18.6 Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques Les lemmes techniques qui suivent nous seront utiles. Lemme 18.4 Pour tout entier naturel n, la fonction t 7→ (1 + cos (t))n est un polynôme trigonométrique. Plus précisément, on a : ! à n X 1 n−k n (1 + cos (t))n = n C2n C2n cos (kt) . +2 2 k=1 Démonstration. On a déjà vu avec l’exercice 18.4 que les fonctions cosk (t) sont des polynômes trigonométriques pour tout entier naturel k. Il en résulte que (1 + cos (t))n est un polynôme trigonométrique. En posant, pour t réel, z = eit , on a : µ 2 ¶n z + 2z + 1 (1 + z)2n n = Pn (t) = (1 + cos (t)) = 2z 2n z n et avec la formule du binôme de Newton : à ! n−1 2n X X 1 n k −(n−k) k k−n Pn (t) = n C2n + C2n z + C2n z , 2 k=0 k=n+1 soit en posant j = n − k dans la première somme et j = k − n dans la deuxième : à ! n n X X 1 n−j n+j n C2n z −j + C2n z j + Pn (t) = n C2n 2 j=1 j=+1 n+j n−j et avec C2n = C2n , on a : 1 Pn (t) = n 2 à n C2n + n X j=1 ¡ n−j C2n zj + z ¢ −j ! , 436 Séries de Fourier c’est-à-dire : 1 Pn (t) = n 2 à n C2n +2 n X ! n−j C2n cos (jt) . j=1 On peut aussi écrire que : µ ¶ t Pn (t) = (1 + cos (t)) = 2 cos 2 ´ ³ t 2n t 2n ei 2 + e−i 2 1 X k ik t −i(2n−k) t 2 = = 2n C e 2e 22n 2n k=0 2n n = n 2n 2n 2n 1 X k i(2k−2n) t 1 X k i(k−n)t 2 = C e C e 2n k=0 2n 2n k=0 2n et : à ! 2n 2n 1 X k i(k−n)t 1 X k Pn (t) = < C e = n C cos ((k − n) t) 2n k=0 2n 2 k=0 2n à ! n X 1 n−j n +2 C2n cos (jt) ∈ Pn = n C2n 2 j=1 Exercice 18.16 Montrer que pour tout entier naturel n, on a : Z π π n (1 + cos (t))n dt = n−1 C2n . 2 −π Solution 18.17 Résulte immédiatement du lemme précédent. Remarque 18.12 On a aussi : Z π Z n n (1 + cos (t)) dt = 2 µ ¶ t cos dt 2 −π µ ¶ Z π t n+1 2n dt =2 cos 2 0 Z π 2 n+2 =2 cos2n (x) dx −π π 2n 0 et on reconnaît l’intégrale de Wallis : Z π 2 0 cos2n (x) dx = n C2n π 22n 2 Lemme 18.5 Pour tout entier naturel n, on a : ¶n Z πµ 4 1 + cos (t) dt ≥ In = 2 n+1 −π Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques 437 Démonstration. On a : ¶n ¶n Z πµ Z πµ 1 + cos (t) 1 + cos (t) dt = 2 dt 2 2 −π 0 ¶n Z πµ 1 + cos (t) ≥2 sin (t) dt = 2Jn 2 0 et le changement de variable x = cos (t) nous donne : Z 1 Jn = −1 µ 1+x 2 ¶n " 2 dx = n+1 µ 1+x 2 ¶n+1 #1 = −1 2 . n+1 i πh : Lemme 18.6 En notant, pour tout réel δ ∈ 0, 2 µ ¶n Z 1 + cos (t) In (δ) = dt 2 δ≤|t|≤π on a : In (δ) =0 n→+∞ In lim Démonstration. Par parité, on a : ¶n ¶n µ Z Z πµ 1 + cos (t) 1 + cos (t) In (δ) = dt = 2 dt. 2 2 δ≤|t|≤π δ Avec la décroissance de la fonction cos sur [0, π] et la positivité de la fonction 1 + cos, il vient : µ ¶n µ ¶n 1 + cos (δ) 1 + cos (δ) 0 < In (δ) ≤ 2 (π − δ) ≤π 2 2 soit en notant λ = 1 + cos (δ) ∈ ]0, 1[ : 2 0< In (δ) π π ≤ λn ≤ (n + 1) λn In In 4 → 0 n→+∞ À toute fonction f ∈ D, on associe la suite de fonctions (Pn (f ))n∈N définie par : ¶n Z µ 1 π 1 + cos (t) Pn (f ) (x) = f (x − t) dt In −π 2 ¶n Z πµ 1 + cos (t) où In = dt. 2 −π On peut remarquer que pour f = 1, on a Pn (f ) = 1. Lemme 18.7 Pour toute fonction f ∈ D et tout entier naturel n, la fonction Pn (f ) est un polynôme trigonométrique. 438 Séries de Fourier Démonstration. La fonction f étant fixée, on note Pn pour Pn (f ) . Le changement de variable u = x − t nous donne : ¶n Z x+π µ 1 + cos (x − u) In Pn (x) = f (u) du 2 x−π ce qui s’écrit aussi, compte tenu de la 2π-périodicité de la fonction intégrée : ¶n Z πµ 1 + cos (x − u) In Pn (x) = f (u) du 2 −π Il en résulte que : 1 In Pn (x) = n 4 à Z n C2n π f (u) du + 2 −π n X k=1 Z n−k C2n ! π f (u) cos (k (x − u)) dt −π et en écrivant que : cos (k (x − u)) = cos (kx) cos (ku) + sin (kx) sin (ku) Z π f (u) cos (k (x − u)) dt est un polynôme trigonoméon constate que chaque fonction x 7→ trique, ce qui donne le résultat. −π Lemme 18.8 Toute fonction continue f ∈ D est uniformément continue sur R. Démonstration. Toute fonction continue f ∈ D est uniformément continue sur le compact J = [−π − 1, π + 1] . Donc pour tout ε > 0, on peut trouver un réel η ∈ ]0, 1[ tel que : (t, x) ∈ J 2 , |t − x| ≤ η =⇒ |f (t) − f (x)| ≤ ε. Pour x ∈ [−π, π] et t ∈ R tels que |t − x| ≤ η on a nécessairement t ∈ [−π − 1, π + 1] (η ∈ ]0, 1[ et faire un dessin), donc |f (t) − f (x)| ≤ ε. Pourµ(t, x) ∈¶R2 tels que |t − x| ≤ η, il existe un entier n ∈ Z tel que x − 2nπ ∈ [−π, π] x+π (n = E ) et on a |(t − 2nπ) − (x − 2nπ)| ≤ η, ce qui entraîne : 2π |f (t) − f (x)| = |f (t − 2nπ) − f (x − 2nπ)| ≤ ε. On a donc ainsi prouvé que f est uniformément continue sur R. Théorème 18.9 Pour toute fonction continue f ∈ D, la suite de polynômes trigonométriques (Pn (f ))n∈N converge uniformément vers f. Démonstration. Z π µLa fonction¶fn étant fixée, on note Pn pour Pn (f ) . 1 + cos (t) dt, on a pour tout réel x : Comme In = 2 −π ¶n Z µ 1 π 1 + cos (t) Pn (x) − f (x) = (f (x − t) − f (x)) dt In −π 2 Comme i π h f est uniformément continue sur R, pour tout réel ε > 0, on peut trouver un réel δ ∈ 0, tel que : 2 ¡ ¢ (u, v) ∈ R2 et |u − v| ≤ δ ⇒ (|f (u) − f (v)| ≤ ε) Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques 439 On a alors pour tout réel x et tout réel t ∈ [−δ, δ] : |f (x − t) − f (x)| < ε et : ¶n Z µ 1 δ 1 + cos (t) |Pn (x) − f (x)| ≤ |f (x − t) − f (x)| dt In −δ 2 µ ¶n Z 1 1 + cos (t) + |f (x − t) − f (x)| dt In δ≤|t|≤π 2 In (δ) ≤ ε + 2M In où on a posé M = sup |f (x)| . x∈R In (δ) = 0, on déduit qu’il existe un entier nε tel que : n→+∞ In Puis avec lim ∀n ≥ nε , 0 < In (δ) ≤ε In ce qui donne : ∀n ≥ nε , ∀x ∈ R, |Pn (x) − f (x)| ≤ (1 + 2M ) ε On a donc ainsi prouvé la convergence uniforme sur R de (Pn )n∈N vers f. Le résultat précédent nous dit que toute fonction continue f ∈ D peut être approchée uniformément par une suite de polynômes trigonométriques, ce qui se traduit en disant que l’espace P des polynômes trigonométriques est dense dans l’espace D ∩ C 0 des fonctions continues et 2π-périodiques muni de la norme f 7→ kf k∞ = sup |f (x)| (norme de la convergence uniforme). x∈R Ce résultat ne peut être vrai sur D car il existe des fonctions non continues dans D. Mais nous allons en déduire que P est dense dans l’espace D muni de sa structure hilbertienne, ce qui permettra de montrer le théorème de Parseval et de retrouver l’unicité des coefficients de Fourier d’une fonction f ∈ D. Lemme 18.9 Pour toute fonction f ∈ D, il existe une suite (fn )n≥n0 de fonctions continues dans D telle que lim kfn − f k = 0 (ce qui signifie que (fn )n≥n0 converge vers f dans (D, k·k) . n→+∞ Démonstration. Si f est continue, le résultat est alors évident. En supposant f non continue, on se donne un point de continuité a de f et on note : a0 = a < a1 < · · · < ap < ap+1 = a + 2π les points de discontinuité de f sur [a, a + 2π] . On désigne par n0 ≥ 1 un entier tel que : 1 ≤ 2 min (ak+1 − ak ) 0≤k≤p n0 et pour tout entier n ≥ n0 , par fn la fonction continue et 2π-périodique définie par : ¸ p · [ 1 1 ∀x ∈ [a, a + 2π] \ , fn (x) = f (x) ak − , a k + n n k=1 440 Séries de Fourier · ¸ 1 1 f est affine sur ak − , ak + pour 1 ≤ k ≤ p n n 1 ≤ 2 min (ak+1 − ak ) nous assure que ces intervalles sont disjoints). 0≤k≤p n0 · ¸ 1 1 On peut préciser l’expression de fn sur chaque intervalle ak − , ak + , c’est : n n ¶ µ ¶ µ µµ ¶ µ ¶¶ n 1 1 1 1 fn (x) = x − (ak − ) f ak + + (ak + ) − x f ak − . 2 n n n n ¸ · 1 1 : En notant kf k∞ = sup |f (x)| , on a pour tout k compris entre 1 et p et tout x ∈ ak − , ak + n n x∈R µµ ¶ µ ¶¶ n 1 1 |fn (x)| ≤ x − (ak − ) + (ak + ) − x kf k∞ = kf k∞ 2 n n (la condition Les fonctions considérées étant continues par morceaux et 2π-périodiques, on a pour tout n ≥ n0 : Z a+2π 2 kfn − f k = |fn (x) − f (x)|2 dx a = p Z X k=1 1 ak + n 1 ak − n |fn (x) − f (x)|2 dx ≤ 4pkf k2∞ 2 n → 0 n→+∞ Théorème 18.10 Pour toute fonction f ∈ D, la suite de polynômes trigonométriques (Sn (f ))n∈N converge vers f dans (D, k·k) . Démonstration. Pour ε > 0 donné, on peut trouver une fonction continue g ∈ D telle que kf − gk < ε et avec la convergence uniforme de la suite de polynômes trigonométriques (Pn (g))n∈N vers g, on déduit qu’il existe un polynôme trigonométrique P = Pn0 (g) tel que kP − gk∞ < ε, ce qui entraîne : Z 2π 2 kP − gk = |P (x) − g (x)|2 dx ≤ 2π kP − gk2∞ < 2πε2 0 et : kP − f k ≤ kP − gk + kg − f k < ³√ ´ 2π + 1 ε En notant nε le degré de P, on a P ∈ Pn pour tout n ≥ nε et : ³√ ´ kSn (f ) − f k ≤ kP − f k < 2π + 1 ε ce qui prouve que lim kSn (f ) − f k = 0, soit que lim Sn (f ) = f dans (D, k·k) . n→+∞ n→+∞ Ce résultat est en fait équivalent au théorème de Parseval qui suit. Théorème 18.11 (Parseval) Pour toute fonction f ∈ D, la série numérique a20 (f ) P 2 + (an (f ) + b2n (f )) est convergente et on a : 2 Z +∞ ¢ 1 2π 2 a20 (f ) X ¡ 2 2 + f (t) dt an (f ) + bn (f ) = 2 π 0 n=1 Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques 441 Démonstration. Résulte de : kf − Sn (f )k2 = kf k2 − kSn (f )k2 Z 2π 2 f 2 (t) dt et : avec kf k = 0 à kSn (f )k2 = π n ¢ a20 (f ) X ¡ 2 + ak (f ) + b2k (f ) 2 k=1 ! Corollaire 18.3 Une fonction f ∈ D est telle que an (f ) = bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N si, et seulement si, elle est identiquement nulle. Démonstration. Les égalités an (f ) = bn (f ) = 0 pour tout n ∈ N sont équivalentes à Z 2π kf k2 = f 2 (t) dt, soit à f = 0. 0 Exercice 18.17 Étudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique valant x2 sur [−π, π] . +∞ +∞ P 1 +∞ P (−1)n+1 P 1 En déduire les valeurs des sommes , et . 2 4 n2 n=1 n n=1 n=1 n Solution 18.18 On a bn (f ) = 0 pour tout n ≥ 1 puisque f est paire et : Z π2 2 π 2 t dt = 2 a0 (f ) = π 0 3 Z π 2 (−1)n ∀n ≥ 1, an (f ) = t2 cos (nt) dt = 4 2 π 0 n P 4 Avec |an (f )| ≤ 2 pour tout n ≥ 1, on déduit que la série an (f ) est absolument convergente n et la série de Fourier de f converge normalement vers f. On a donc, pour tout réel x : +∞ +∞ X a0 (f ) X π2 (−1)n f (x) = + an (f ) cos (nx) = +4 cos (nx) 2 3 n2 n=1 n=1 ce qui équivaut à : +∞ X (−1)n π2 +4 cos (nx) ∀x ∈ [0, π] , x = 3 n2 n=1 2 Les évaluations en x = 0 et x = π respectivement nous donnent : +∞ X (−1)n+1 n=1 n2 = +∞ X π2 1 π2 et = 12 n2 6 n=1 La formule de Parseval nous donne : Z +∞ X π4 1 2 π 4 π4 2 + 16 = t dt = 2 9 n4 π 0 5 n=1 et : +∞ X π4 1 = . 4 n 90 n=1 442 Séries de Fourier Exercice 18.18 Soit f la fonction paire et 2π-périodique, telle que f (x) = sh (x) sur [0, π] . 1. Tracer le graphe de f. 2. Calculer les coefficients de Fourier de f. 3. Étudier la série de Fourier de f. 4. En déduire les valeurs des sommes : S= +∞ X n=1 +∞ X (−1)n 1 et T = . n2 + 1 n2 + 1 n=1 5. Que déduire du théorème de Parseval ? Solution 18.19 1. Le lecteur est invité à dessiner. 2. On a bn (f ) = 0 pour tout n ≥ 1 puisque f est paire et pour tout n ≥ 0 : µZ π ¶ Z 2 π 2 int an (f ) = sh (t) cos (nt) dt = < sh (t) e dt π 0 π 0 ¶ µZ π ¡ t ¢ int 1 −t = < e − e e dt π 0 avec, pour ε ∈ {−1, 1} : Z π (−1)n eεπ − 1 ((−1)n eεπ − 1) (ε − in) In (ε) = e(ε+in)t dt = = ε + in n2 + 1 0 ce qui donne : ((−1)n eπ − 1) + ((−1)n e−π − 1) π (n2 + 1) n π (−1)n ch (π) − 1 (−1) (e + e−π ) − 2 = = 2 π (n2 + 1) π (n2 + 1) an (f ) = P λ Avec |an (f )| ≤ 2 pour tout n ≥ 1, on déduit que la série an (f ) est absolument n convergente et la série de Fourier de f converge normalement vers f. On a donc, pour tout réel x : +∞ a0 (f ) X f (x) = + an (f ) cos (nx) 2 n=1 +∞ ch (π) − 1 2 X (−1)n ch (π) − 1 + cos (nx) = π π n=1 n2 + 1 ce qui équivaut à : +∞ ch (π) − 1 2 X (−1)n ch (π) − 1 + cos (nx) ∀x ∈ [0, π] , sh (x) = π π n=1 n2 + 1 Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques 443 3. Les évaluations en x = 0 et x = π, nous donne : +∞ X (−1)n ch (π) − 1 n2 n=1 et : +1 +∞ X (−1)n ch (π) − 1 n2 n=1 +1 = (−1)n = 1 − ch (π) 2 π sh (π) − ch (π) + 1 2 soit le système linéaire : ( −S + ch (π) T = ch (π) S − T = de solution : S= +∞ X n=1 et : 1−ch(π) 2 π sh(π)−ch(π)+1 2 1 1 = 2 n +1 2 µ ¶ π −1 th (π) µ ¶ +∞ X (−1)n π 1 T = = −1 n2 + 1 2 sh (π) n=1 4. Le théorème de Parseval nous donne : Z +∞ 2 (ch (π) − 1)2 2 π 2 4 X ((−1)n ch (π) − 1) 2 = + 2 sh (t) dt π2 π n=1 π 0 (n2 + 1)2 = sh (2π) −1 2π soit : +∞ 2 X ((−1)n ch (π) − 1) n=1 (n2 + 1)2 π2 = 4 à sh (2π) (ch (π) − 1)2 −1−2 2π π2 ! π π 2 (ch (π) − 1)2 = sh (2π) − − 8 4 2 Exercice 18.19 Soit f ∈ D continue et de classe C 1 par morceaux de R dans R. 1. Montrer que : +∞ X p a2n (f ) + b2n (f ) ≤ n=1 r sZ 2π π |f 0 (t)|2 dt. 6 0 2. Montrer que pour tous réels a, b, t, on a : |a cos (t) + b sin (t)| ≤ 3. Montrer que : Solution 18.20 √ a2 + b2 ¯ ¯ s Z 2π Z 2π ¯ ¯ 1 π sup ¯¯f (x) − f (t) dt¯¯ ≤ |f 0 (t)|2 dt. 2π 6 x∈R 0 0 444 Séries de Fourier 1. Dans le cas où f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, on a : ∀n ∈ N∗ , an (f ) = − bn (f 0 ) 1 et bn (f ) = an (f 0 ) n n (exercice 18.6) et l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans l’espace des suites réelles de carré sommable nous dit que : +∞ X p a2n (f ) + n=1 ce qui donne, compte tenu de fonction f 0 ∈ D : +∞ X p n=1 b2n +∞ X 1p 2 0 (f ) = an (f ) + b2n (f 0 ) n n=1 v v u +∞ u +∞ uX 1 uX t ≤t a2n (f 0 ) + b2n (f 0 ) 2 n n=1 n=1 1 π2 = et de l’égalité de Parseval appliquée à la 2 6 n=1 n +∞ P s π a2n (f ) + b2n (f ) ≤ √ 6 1 π Z 2π 0 r sZ 2π π |f 0 (t)|2 dt = |f 0 (t)|2 dt. 6 0 (on rappelle que a0 (f 0 ) = 0). 2. Si a2 + b2 = 0, c’est évident, sinon il existe un réel θ tel que : a b = cos (θ) et √ = sin (θ) 2 2 +b a + b2 ³ ´2 ³ ´2 (puisque √a2a+b2 + √a2b+b2 = 1) et : √ √ a2 a b cos (t) + √ sin (t) = cos (θ) cos (t) + sin (θ) sin (t) a 2 + b2 a 2 + b2 = cos (θ − t) ∈ [−1, 1] On peut aussi écrire que : eit + e−it eit − e−it +b 2 2i a − ib it a + ib −it = e + e 2 2 a cos (t) + b sin (t) = a et : ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a − ib ¯ ¯ a + ib ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + |a cos (t) + b sin (t)| ≤ ¯ 2 ¯ ¯ 2 ¯ √ ≤ |a + ib| = a2 + b2 Le théorème de Dirichlet 445 3. Comme f ∈ D est continue et de classe C 1 par morceaux, sa série de Fourier converge normalement vers f sur R et on a pour tout réel x : ¯ ¯ ¯¯ +∞ ¯ ¯ X ¯ ¯ a (f ) ¯ ¯f (x) − 0 ¯ = ¯¯ (a (f ) cos (nx) + b (f ) sin (nx)) ¯ n n ¯ ¯ 2 ¯ ¯ ≤ n=1 +∞ X |an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx)| n=1 ≤ s +∞ X p a2n (f ) + b2n (f ) ≤ n=1 π 6 Z 2π |f 0 (t)|2 dt 0 c’est-à-dire que : ¯ ¯ s Z 2π Z 2π ¯ ¯ 1 π sup ¯¯f (x) − f (t) dt¯¯ ≤ |f 0 (t)|2 dt 2π 0 6 0 x∈R 18.7 Le théorème de Dirichlet Dans un premier temps nous allons donner une expression intégrale des sommes partielles d’une série de Fourier. Lemme 18.10 Pour tout entier naturel p strictement positif, la fonction θp définie sur R \ Zπ par : sin (px) x 7→ sin (x) se prolonge en une fonction continue et périodique de période 2π sur R. Démonstration. L’ensemble R \ Zπ est stable par la translation x 7→ x + 2π et la fonction θp est continue et périodique sur R \ Zπ comme quotient de deux fonctions continues et périodiques, le dénominateur ne s’annulant jamais sur R \ Zπ. Pour k entier relatif et x = kπ + t avec t voisin de 0 on a : θp (x) = (−1)(p−1)k sin (pt) v (−1)(p−1)k p. sin (t) t→0 On peut donc prolonger la fonction θp par continuité en tout point kπ avec k ∈ Z en posant θp (kπ) = (−1)(p−1)k p. La fonction obtenue est bien continue et 2π-périodique sur R. Pour la suite, on note encore θp le prolongement à R de la fonction θp . Pour tout entier naturel n, on désigne par Dn la fonction définie sur R par : n Dn (x) = 1 X + cos (kx) 2 k=1 Ces fonctions Dn sont appelées noyaux de Dirichlet. Lemme 18.11 Pour tout entier naturel n et tout réel x on a : ³x´ 1 Dn (x) = θ2n+1 . 2 2 446 Séries de Fourier Démonstration. Pour tout entier naturel k et pour tout réel x on a : µ µµ ¶ ¶ µµ ¶ ¶¶ ³x´ 1 1 1 sin cos (kx) = sin k+ x − sin k− x , 2 2 2 2 ce qui nous donne : ³x´ 1 sin Dn (x) = 2 2 à sin 1 = sin 2 µ ³x´ 2 + n µ X k=1 2n + 1 x 2 ¶ µ sin ¶ µ ¶¶! 2k + 1 2k − 1 x − sin x 2 2 ³x´ 1 et Dn (x) = θ2n+1 . 2 2 Théorème 18.12 Pour toute fonction f ∈ D, tout réel x et tout entier n, on a : µ ¶ Z π 1 x−t Sn (f ) (x) = dt f (t) θ2n+1 2π −π 2 µ ¶ Z π 1 t = f (x − t) θ2n+1 dt 2π −π 2 µ ¶ Z π t 1 (f (x − t) + f (x + t)) θ2n+1 = dt 2π 0 2 Démonstration. On a : Sn (f ) (x) = = = = = n n X a0 (f ) X bk (f ) sin (kx) ak (f ) cos (kx) + + 2 k=1 k=1 Z 2π Z 2π n X 1 1 (cos (kt) cos (kx) + sin (kt) sin (kx)) dt f (t) dt + f (t) 2π 0 π 0 k=1 Z 2π Z 2π n X 1 1 f (t) dt + f (t) cos (k (x − t)) dt 2π 0 π 0 k=1 à ! Z n 1 2π 1 X f (t) + cos (k (x − t)) dt π 0 2 k=1 µ ¶ Z Z π 1 2π 1 x−t dt f (t) Dn (x − t) dt = f (t) θ2n+1 π 0 2π −π 2 et le changement de variable u = x − t, nous donne : Z x+π ³u´ 1 Sn (f ) (x) = f (x − u) θ2n+1 du 2π x−π 2 la fonction : ¡ ¢ sin (2n + 1) u2 ¡ ¢ u 7→ θ2n+1 = 2 sin u2 ³u´ et on a : étant 2π-périodique, il en est de même de u 7→ f (x − u) θ2n+1 2 Z π ³u´ 1 Sn (f ) (x) = f (x − u) θ2n+1 du 2π −π 2 ³u´ Le théorème de Dirichlet 447 En exploitant la parité de u 7→ θ2n+1 Z 0 f (x − u) θ2n+1 1 Sn (f ) (x) = 2π Z π 0 2 ³u´ −π et : ³u´ 2 , le changement de variable u = −t nous donne : Z π du = 0 µ ¶ t dt f (x + t) θ2n+1 2 µ ¶ t dt. (f (x − t) + f (x + t)) θ2n+1 2 En remarquant que Sn (1) = 1 pour tout n ≥ 0, on déduit que : µ ¶ Z t 1 π θ2n+1 dt = 1. π 0 2 En fait cette égalité peut aussi se démontrer directement avec : ! µ ¶ Z π Z π Z πà n t 1 X θ2n+1 dt = 2 Dn (t) dt = 2 + cos (kt) dt = π. 2 2 k=1 0 0 0 Pour toute fonction f ∈ D et tout réel x, on rappelle qu’on a noté : ¡ ¢ ¡ ¢ f x− = lim f (t) et f x+ = lim f (t) t→x t<x t→x t>x les limites à gauche et à droite en x. Si la fonction f est continue en x, on a f (x− ) = f (x+ ) = f (x) . Lemme 18.12 Soient f ∈ D de classe C 1 par morceaux, x un réel fixé et ϕx la fonction définie sur ]0, π] par : f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ ) ¡ ¢ . ϕx (t) = sin 2t La fonction ϕx se prolonge par continuité en 0 et est de classe C 1 par morceaux sur ]0, π] . Démonstration. Comme f ∈ D est de classe C 1 par morceaux, on a : lim+ t→0 f (x − t) − f (x− ) f (x + t) − f (x+ ) = fg0 (x) et lim+ = fd0 (x) t→0 t t u = 1, on déduit que : u→0 sin (u) et comme lim f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ ) 2t ¡ ¢ lim ϕx (t) = 2 lim+ t→0+ t→0 t sin 2t ¡ ¢ = 2 fg0 (x) + fd0 (x) et ϕx se prolonge par continuité en 0. µ ¶ t Comme f est de classe C par morceaux sur R, et t 7→ sin de classe C ∞ sur R, ne 2 s’annulant pas sur ]0, π] , on déduit que ϕx est de classe C 1 par morceaux sur ]0, π] . 1 448 Séries de Fourier Remarque 18.13 La fonction ϕx n’est pas 2π-périodique car : ϕx (t + 2π) = f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ ) ¡ ¢ = −ϕx (t) . sin 2t + π Nous aurons besoin de la version suivante du théorème de Riemann-Lebesgue. Lemme 18.13 Si ϕ : [0, π] → R est une fonction continue en 0 et de classe C 1 par morceaux sur ]0, π] , on a alors : Z π lim ϕ (t) sin (λt) dt = 0. λ→+∞ 0 Démonstration. Avec : Z π Z π Z π ϕ (t) sin (λt) dt = (ϕ (t) − ϕ (0)) sin (λt) dt + ϕ (0) sin (λt) dt 0 0 0 Z π 1 − cos (λπ) = (ϕ (t) − ϕ (0)) sin (λt) dt + ϕ (0) λ 0 1 − cos (λπ) = 0, on se ramène au cas où ϕ (0) = 0. λ→+∞ λ Comme ϕ est continue en 0, pour ε > 0 donné, on peut trouver δ ∈ ]0, π[ tel que |ϕ (t)| < ε pour tout t ∈ [0, δ] et on a : ¯Z π ¯ Z δ ¯Z π ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤ ¯ ¯ ϕ (t) sin (λt) dt |ϕ (t)| dt + ϕ (t) sin (λt) dt ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 δ ¯Z π ¯ ¯ ¯ ≤ πε + ¯¯ ϕ (t) sin (λt) dt¯¯ et lim δ Comme ϕ est de classe C 1 par morceaux sur [δ, π] , il existe une subdivision a0 = δ < a1 < · · · < ap = π telle que ϕ se prolonge par continuité en une fonction de classe C 1 sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] pour k compris entre 0 et p − 1 et on écrit que : ¯Z ¯ ¯ ¯ π δ ¯ X ¯Z ¯ p−1 ¯ ¯ ϕ (t) sin (λt) dt¯¯ ≤ ¯ k=0 ak+1 ak ¯ ¯ ϕ (t) sin (λt) dt¯¯ Une intégration par parties sur chaque intervalle [ak , ak+1 ] nous donne pour λ > 0 : · ¸a Z ak+1 Z ak+1 cos (λt) cos (λt) k+1 ϕ0 (t) ϕ (t) sin (λt) dt = −ϕ (t) + dt λ λ ak ak ak et : ¯ ¯ 2 π ϕ (t) sin (λt) dt¯¯ ≤ sup |ϕ (t)| + sup |ϕ0 (t)| λ [0,π] λ [ak ,ak+1 ] ak Mk ≤ → 0 λ λ→+∞ ¯R π ¯ ¯R π ¯ Il existe donc un réel λε tel que ¯ δ ϕ (t) sin (λt) dt¯ < ε pour λ > λε et on a ¯ 0 ϕ (t) sin (λt) dt¯ ≤ (π + 1) ε pour tout λ > λε . Z ¯Z ¯ ¯ ¯ ak+1 π On a donc ainsi prouvé que lim λ→+∞ ϕ (t) sin (λt) dt = 0. 0 Le théorème de Dirichlet 449 Théorème 18.13 (Dirichlet) Si f ∈ D est de classe C 1 par morceaux sur R, sa série de Fourier converge alors simplement vers f sur R, c’est-à-dire que pour tout réel x, on a : f (x) = avec f (x) = +∞ +∞ X a0 (f ) X + an (f ) cos (nx) + bn (f ) sin (nx) 2 n=1 n=1 f (x− ) + f (x+ ) dans le cas où x est un point de discontinuité de f. 2 Démonstration. Les lemmes qui précèdent nous disent que, pour tout réel x et tout entier naturel n, on a : µ ¶ µ ¶ Z π Z 1 1 π t t Sn (f ) (x) − f (x) = dt − f (x) dt (f (x − t) + f (x + t)) θ2n+1 θ2n+1 2π 0 2 π 0 2 µ ¶ Z π 1 t = (f (x − t) + f (x + t) − 2f (x)) θ2n+1 dt 2π 0 2 µ ¶ Z π 1 f (x − t) − f (x− ) + f (x + t) − f (x+ ) 2n + 1 ¡ ¢ = sin t dt 2π 0 2 sin 2t µ ¶ Z π 2n + 1 1 = ϕx (t) sin t dt 2π 0 2 et le lemme de Riemann-Lebesgue nous permet de conclure à : lim (Sn (f ) (x) − f (x)) = 0. n→+∞ Exercice ³ x ´ 18.20 Étudier la série de Fourier de la fonction f, 2π–périodique telle que f (x) = sin sur [−π, π] . 2 Solution 18.21 On a an (f ) = 0 pour tout n ≥ 0 puisque f est paire et pour tout n ≥ 1 : µ ¶ Z t 2 π bn (f ) = sin sin (nt) dt π 0 2 µZ π µµ ¶ ¶ µµ ¶ ¶¶ 1 1 2 cos − n t − cos +n t dt = π 2 2 0 8 (−1)n−1 n = π 4n2 − 1 Comme f est continue par morceaux et C 1 par morceaux, les points de discontinuité étant les (2k + 1) π ou k décrit Z, on a, pour x ∈ ]−π, π] : ³x´ ( +∞ n−1 X 8 (−1) n si x ∈ ]−π, π[ sin sin (nx) = 2 2 π n=1 4n − 1 0 si x = π 450 18.8 Séries de Fourier Séries de Fourier et équations aux dérivées partielles On se contente ici d’étudier quelques exemples. On s’intéresse tout d’abord à l’équation des ondes. Le problème est de déterminer une fonction u : [0, π] × R → R de classe C 2 telle que : 2 ∂2u 2∂ u (x, t) − c (x, t) = 0 ∀ (x, t) ∈ [0, π] × R, ∂t2 ∂x2 ∂u (18.2) ∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = f (x) , (x, 0) = g (x) ∂t ∀t ∈ R, u (0, t) = u (π, t) = 0 où c > 0, f et g sont des fonctions données, les hypothèses sur ces fonctions seront précisées en cours d’étude. Lemme 18.14 Soit f : [0, π] → R une fonction continue telle que f (0) = f (π) = 0. Si on prolonge cette fonction en une fonction fe : R → R qui est 2π-périodique et impaire, alors fe est continue sur R. Démonstration. En utilisant l’exercice 18.1, il nous suffit de vérifier la continuité de fe sur [−π, π] , ce qui est clair par imparité sur [−π, π] \ {0} et en 0, cela se déduit de : lim fe(x) = lim+ f (x) = f (0) = 0 x→0+ et : x→0 lim fe(x) = − lim− fe(−x) = − lim+ f (t) = f (0) = 0. x→0− x→0 t→0 On suppose que la fonction f est de classe C 1 sur [0, π] avec f (0) = f (π) = 0 et on la prolonge en une fonction impaire et 2π-périodique sur R qu’on note encore f. Cette fonction f est continue, de classe C 1 par morceaux sur R et le théorème de Dirichlet (plus précisément le corollaire 18.2) nous dit que sa série de Fourier converge normalement vers f sur R. Compte tenu du fait que les an (f ) sont tous nuls (f est impaire), on a : ∀x ∈ R, f (x) = +∞ X bn (f ) sin (nx) n=1 On suppose maintenant que f : [0, π] → R est de classe C 3 avec f (0) = f (π) = 0, f 00 (0) = f (π) = 0 et on la prolonge en une fonction impaire et 2π-périodique sur R qu’on note encore f. 00 Lemme 18.15 Avec nos hypothèses, le prolongement f est de classe C 2 sur R. Démonstration. On vient de voir que : ∀x ∈ R, f (x) = +∞ X n=1 la convergence étant normale sur R. bn (f ) sin (nx) Séries de Fourier et équations aux dérivées partielles 451 Pour tout entier n ≥ 1, on a : · ¸π Z π Z π 1 π 0 cos (nt) bn (f ) = f (t) sin (nt) dt = −f (t) + f (t) cos (nt) dt 2 n n 0 0 0 ¶ µ· ¸π Z 1 sin (nt) 1 π 00 0 = f (t) − f (t) sin (nt) dt n n n 0 0 µ· ¸π ¶ Z 1 cos (nt) 1 π 000 00 =− 2 −f (t) + f (t) cos (nt) dt n n n 0 0 Z π 1 =− 3 f 000 (t) cos (nt) dt n 0 1 soit bn (f ) = − 3 an (g) , où g : R → R est 2π-périodique, paire coïncidant avec f 000 sur [0, π] . n Cette fonction g est dans D et avec : µ ¶ ¯ 2 ¯ ¯n bn (f )¯ = 1 |an (g)| ≤ 1 1 + |an (g)|2 n 2 n2 on déduit que les séries dérivées : +∞ X nbn (f ) cos (nx) et − n=1 +∞ X n2 bn (f ) sin (nx) n=1 sont uniformément convergentes sur R puisque : ¶ ¯ ³ ´¯ ¯ ³ ´¯ 1 µ 1 ¯ ¯ ¯ 2 ¯ 2 e e + |an (g)| ¯nbn f ¯ ≤ ¯n bn f ¯ ≤ 2 n2 P 1 P < +∞ et |an (g)|2 < +∞ (théorème de Bessel). Les fonctions x 7→ sin (nx) , étant 2 n indéfiniment dérivables, on en déduit que f est de classe C 2 sur R. avec Théorème 18.14 Avec nos hypothèses, les fonctions u1 et u2 définies par : ½ u1 (x, t) = f (x − ct) ∀ (x, t) ∈ [0, π] × R, u1 (x, t) = f (x + ct) sont solutions de l’équation des ondes : 2 ∂ 2u 2∂ u (x, t) − c (x, t) = 0 ∂t2 ∂x2 avec la condition initiale : ∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = f (x) et la fonction u3 = 1 (u1 + u2 ) est solution du problème : 2 2 ∂2u 2∂ u (x, t) − c (x, t) = 0 ∀ (x, t) ∈ [0, π] × R, ∂t2 ∂x2 ∂u (x, 0) = 0 ∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = f (x) , ∂t ∀t ∈ R, u (0, t) = u (π, t) = 0 452 Séries de Fourier Démonstration. Le lemme précédent nous dit que la fonction f est de classe C 2 sur R. Il en est donc de même des fonctions u1 et u2 et pour k = 1, 2, on a : 2 ∂ 2 uk 2 00 2 ∂ uk (x, t) = c f (x − ct) = c (x, t) ∂t ∂x2 uk (x, 0) = f (x) avec : ∂u1 ∂u2 (x, 0) = −cf 0 (x) = − (x, 0) ∂t ∂t u1 (0, t) = f (−ct) = −f (ct) = −u2 (0, t) u1 (π, t) = f (π − ct) = f (−π − ct) = −f (π + ct) = −u2 (π, t) 1 ∂ 2u ∂ 2u Il en résulte que la fonction u3 = (u1 + u2 ) vérifie (x, t) = c2 2 (x, t) , u (x, 0) = f (x) , 2 ∂t ∂x ∂u (x, 0) = 0 et u (0, t) = u (π, t) = 0. ∂t On suppose que la fonction g est de classe C 3 sur [0, π] avec g (0) = g (π) = 0, g 00 (0) = g 00 (π) = 0. On prolonge g en une fonction impaire et 2π-périodique sur R qu’on note encore g. Cette fonction g est de classe C 2 sur R. Z π G (x) dx = 0. Elle est définie On désigne par G la primitive de g sur R telle que 0 Z π Z x G (x) dx = 0, qui s’écrit g (t) dt + λ pour x ∈ [0, π] et la condition par G (x) = 0 0 ¶ Z π µZ x g (t) dt dx + πλ = 0, détermine λ de manière unique. De plus G est de classe C 3 0 sur R. 0 Théorème 18.15 Avec nos hypothèses, les fonctions v1 et v2 définies par : ½ v1 (x, t) = G (x − ct) ∀ (x, t) ∈ [0, π] × R, v2 (x, t) = G (x + ct) sont solutions de l’équation des ondes : 2 ∂ 2u 2∂ u (x, t) − c (x, t) = 0 ∂t2 ∂x2 avec la condition initiale : ∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = f (x) et la fonction v3 = 1 (v2 − v1 ) est solution du problème : 2c 2 ∂2u 2∂ u (x, t) − c (x, t) = 0 ∀ (x, t) ∈ [0, π] × R, ∂t ∂x2 ∂u ∀x ∈ [0, π] , u (x, 0) = 0, (x, 0) = g (x) ∂t ∀t ∈ R, u (0, t) = u (π, t) = 0 Séries de Fourier et équations aux dérivées partielles 453 Démonstration. La fonction G étant de classe C 3 sur [0, π] il en est de même de vk , pour k = 1, 2 et : 2 ∂ 2 vk 2 00 2 0 2 ∂ uk (x, t) = c G (x − ct) = c g (x − ct) = c (x, t) ∂t ∂x2 vk (x, 0) = G (x) avec : ∂v1 ∂v2 (x, 0) = −cG0 (x) = −cg (x) = − (x, 0) ∂t ∂t v1 (0, t) = G (−ct) = G (ct) = v2 (0, t) v1 (π, t) = G (π − ct) = G (−π − ct) = G (π + ct) = v2 (π, t) Théorème 18.16 Si les fonctions f et g sont de classe C 3 sur [0, π] avec f (0) = f (π) = 0, f 00 (0) = f 00 (π) = 0, g (0) = g (π) = 0 et g 00 (0) = g 00 (π) = 0, alors une solution du problème (18.2) est donnée par : ¶ +∞ µ X bn (g) u (x, t) = bn (f ) cos (nct) + sin (nct) sin (nx) n n=1 Démonstration. Le théorèmeZ de Dirichlet nous dit que G est développable en série de 2 π bn (g) Fourier sur R et avec a0 (G) = G (x) dx = 0, an (G) = pour tout n ≥ 0, on déduit π 0 n que, pour tout réel x, on a : +∞ X bn (g) G (x) = − cos (nx) n n=1 la convergence étant uniforme. En utilisant les théorèmes 18.14 et 18.15, on voit que la fonction u = u3 + v3 est solution de (18.2) et elle s’écrit : u (x, t) = 1 1 (f (x + ct) + f (x − ct)) + (G (x + ct) − G (x − ct)) 2 2c avec : f (x + ct) + f (x − ct) = +∞ X bn (f ) (sin (nx + nct) + sin (nx − nct)) n=1 +∞ X =2 bn (f ) sin (nx) cos (nct) n=1 et : G (x + ct) − G (x − ct) = +∞ X bn (g) n=1 +∞ X =2 n=1 ce qui donne : n (cos (nx − nct) − cos (nx − nct)) bn (g) sin (nx) sin (nct) n ¶ +∞ µ X bn (g) sin (nct) sin (nx) u (x, t) = bn (f ) cos (nct) + n n=1 454 Séries de Fourier