ROLLE + (PRÉPA), LAGRANGE + COROLLAIRE Définition. Soit une fonction réelle f définie sur un intervalle ouvert I =]a; b[ et m ∈ I. On appelle m un maximum local de f s’il existe un voisinage Um de m tel que f (x) ≤ f (m) ∀x ∈ Um . Evidemment, un minimum local se définit de manière analogue. Le but de cette note est de montrer que des propriétés élémentaires de f 0 et de f 00 permettent d’obtenir de nombreuses informations sur le comportement de f (minima, maxima, (c’est-à-dire les extrema), points d’inflexion, concavité, convexité,...). Définition (Rappel). . On dit qu’une fonction réelle f définie dans un voisinage de a (a) est dérivable en a si limh→0 f (a+h)−f existe, et dans ce cas se note f 0 (a), la dérvée de f h évaluée au point a. Théorème 1. Si f est dérivable en a alors f est continue en a. Démonstration. Nous devons prouver que limx→a f (x) = f (a) ce qui équivalent à prouver que limx→a f (x) − f (a) = 0, or f (x) − f (a) f (x) − f (a) lim f (x) − f (a) = lim · (x − a) = lim · lim x − a = f 0 (a) · 0 = 0 x→a x→a x→a x→a x−a x−a Théorème 2 (de préparation). Si f est défini sur I = [a; b; ], admet un maximum local en m et est dérivable en m ∈]a; b[ alors f 0 (m) = 0. (x) Démonstration. Par hypothèses, il existe δ > 0 tel que si x ∈]m − δ[ alors f (m)−f ≥ 0 et m−x f (m)−f (x) 0 si x ∈]m + δ[ alors m−x ≤ 0. Si δ tend vers 0 alors f (m) ne peut être que nulle. Définition. On dira qu’un nombre c est point critique si f 0 (c) = 0. Conclusion : pour localiser les extrema (maxima ou minima) d’une fonction f définie sur [a; b] il suffit de s’intéresser aux points critiques, aux extrémités a et b, ainsi qu’aux points non dérivables de f . Théorème 3 (de Rolle 1690). Si f est continue sur I = [a; b], dérivable sur ]a; b[ et que f (a) = f (b) alors il existe x0 ∈]a; b[ tel que f 0 (x0 ) = 0. Démonstration. Par continuité on sait que f atteint son maximum M et son minimum m sur I. Si M = m alors la fonction est constante. Sinon, il existe un x0 ∈]a; b[ dont l’image est soit m ou M , pour lequel on a f 0 (x0 ) = 0 par le résultat précédent. Théorème 4 (des accroissements finis ou "formule de Lagrange", 1797). Si f est continue (a) sur I = [a; b], dérivable sur ]a; b[ alors il existe x0 ∈]a; b[ tel que f 0 (x0 ) = f (b)−f . b−a Démonstration. Si f n’est pas la fonction constante (pour laquelle le théorème est vrai), il (a) suffit d’appliquer Rolle à la fonction g(x) = f (x)− f (b)−f (x−a). On a g(a) = g(b) = f (a) b−a et g vérifie toutes les hypothèses de Rolle (à expliquer) donc il existe x0 ∈ I tel que (a) 0 = g 0 (x0 ) = f 0 (xo ) − f (b)−f . b−a Corollaire 1. a) Si f 0 (x) = 0 ∀x ∈ I alors f est une fonction constante. b) Si f 0 (x) = g 0 (x) ∀x ∈ I alors il existe c ∈ R tel que g(x) = f (x) + c (unicité de la primitive à une constante près). c) Si f 0 (x) > 0 ∀x ∈ I alors f est strictement croissante sur I (résultat analogue pour la décroissance). 1 2 ROLLE + (PRÉPA), LAGRANGE + COROLLAIRE Démonstration. a) Par l’absurde : sinon il existerait deux nombres c et d dans l’intervalle I avec c < d et f (c) 6= f (d). Or Lagrange garantit l’existence d’un x entre c et d pour lequel f (c) − f (d) 0 6= = f 0 (x) ce qui est contraire à notre hypothèse c−d b) Appliquer le point a) à la fonction (f − g)(x). c) Application directe du théorème de Lagrange : si x1 et x2 sont deux nombres dans I avec x1 < x2 alors il existe x entre les deux tel que f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (x) > 0 d’où f (x2 ) > f (x1 ) x2 − x 1 Définition. On dit qu’une fonction f est convexe sur un intervalle I si ∀x1 < x2 < x3 ∈ I on a que f (x2 ) est situé "en-dessous" de la droite passant par (x1 ; f (x1 )) et (x3 ; f (x3 )). En d’autres termes Tvf (x1 ; x2 ) < Tvf (x2 ; x3 ) où Tvf (a; b) est le taux de variation de f entre a et b. Si −f est convexe alors on dit que f est concave. On appelle un point d’inflexion un point qui sépare une zone convexe d’une zone concave. Théorème 5. Si f 0 (x0 ) = 0 et que f 00 (x0 ) > 0 alors x0 est un minimum local de f . De plus, si f 00 est continue dans un voisinage de x0 alors f est localement convexe autour de x0 . Démonstration. Comme f 00 (x0 ) > 0 alors pour tout h > 0 suffisamment petit on a 0 f 0 (x0 +h)−f 0 (x0 ) = f (xh0 +h) > 0. Par le corollaire c) de Lagrange f est croissant à droite h 0 0 (x ) 0 0 0 −h) = f (x−h >0 de x0 . De même pour tout h > 0 suffisamment petit on a f (x0 −h)−f −h 0 D’où f (x0 − h) < 0. Par le corollaire c) de Lagrange f est décroissant à gauche de x0 . D’où x0 est un minimum local sur un voisinage de x0 . Si f 00 est continue dans un voisinage de x0 alors par corollaire c) de Lagrange (sur f 0 et non sur f ) f 0 est strictement croissant sur un voisinage I de x0 . Supposons que la fonction ne soit pas convexe sur I alors il existerait x1 < x2 < x3 dans l’intervalle I pour lesquels Tvf (x1 ; x2 ) > Tvf (x2 ; x3 ). Dans ce cas, par Lagrange il existerait x12 et x23 dans I avec x1 < x12 < x2 et x2 < x23 < x3 tels que f 0 (x12 ) = Tvf (x1 ; x2 ) > Tvf (x2 ; x3 ) = f 0 (x23 ) ce qui est contraire au fait que f 0 soit croissant sur I. Evidemment, le théorème symétrique est vrai pour les fonctions concaves : Si f 0 (x0 ) = 0 et que f 00 (x0 ) < 0 alors x0 est un maximum local de f . De plus, si f 00 est continue dans un voisinage de x0 alors f est localement concave autour de x0 Corollaire 2. Une condition suffisante pour que x0 soit un point d’inflexion de f est que f 00 (x0 ) = 0 et que f 000 (x0 ) 6= 0