Modélisation et simulations numériques de l`épidémie du VIH

N dordre 2012-ISAL-0068
Th`ese
Mod´elisation et simulations num´eriques
de l’´epid´emie du VIH-SIDA au Mali
Pr´esent´ee par
Mahamadou ALASSANE
le 30 Juillet 2012,
devant
la Facult´e des Sciences et Techniques
de l’Universit´e des Sciences, des Techniques
et des Technologies de Bamako
Pour l’obtention du DIPL ˆ OME DE DOCTORAT
Mention : Math´ematiques Appliqu´ees
Directeurs de th`ese
Ouat´eni Diallo et J´erˆome Pousin
Rapporteurs
Abdou S`ene UGB de Saint-Louis (S´en´egal)
Ang´elique St´ephanou Facult´e de M´edecine de Grenoble (France)
Jury
Pr´esident : Blaise Som´e Universit´e de Ouagadougou (Burkina Faso)
Membres : Bassidy Demb´el´e Grambling State University (U.S.A)
Ouat´eni Diallo USTTB (Mali)
Yaya Kon´e USTTB (Mali)
J´erˆome Pousin INSA de Lyon (France)
Abdou S`ene UGB de Saint-Louis (S´en´egal)
Invit´e: Ousmane Ko¨ıta USTTB (Mali)
Cette thèse est accessible à l'adresse : http://theses.insa-lyon.fr/publication/2012ISAL0068/these.pdf
© [M. Alassane], [2012], INSA de Lyon, tous droits réservés

Résumé
L’objectif de cette thèse est la modélisation, l’analyse mathématique et la simulation
numérique de quelques modèles de transmission du VIH-SIDA dans une population
sexuellement active donnée en général et en particulier dans celle du Mali.
Nous proposons de modèles basés sur les connaissances actuelles de la transmission
du virus du VIH. A cet effet, nous présentons trois modèles : un modèle comportemental
en épidémiologie, un modèle qui incorpore le rôle des campagnes de sensibilisation en
santé publique et un modèle de co-circulation de deux formes recombinantes du VIH-1.
Dans le premier modèle, des résultats d’existence et d’unicité de la solution d’un
problème parabolique semi-linéaire décrivant l’évolution d’une population soumise à l’in-
fection du VIH sont présentés. La population est divisée en individus dont le risque
comportemental est faible et en individus dont les comportement sont très risqués et qui
interagissent entre eux. Une variable continue représentant ce risque comportemental
est introduit. Le comportement asymptotique en temps du problème est étudié. Cer-
tains résultats numériques concernant la répartition de la population selon la variable
représentant le risque comportemental sont présentés dans le cas de l’infection du VIH-
SIDA au Mali.
Dans les deux derniers modèles, nous obtenons une analyse complète de la stabilité de
ces modèles à l’aide des techniques de Lyapunov suivant la valeur du taux de reproduction
de base . Nous proposons une méthode alternative au taux de reproduction de base qui
permet de confiner l’évolution de la maladie dans des limites fixées. Nous illustrons ces
modèles par des simulations numériques. Ces dernières sont faites à partir de nos modèles
confrontés aux données du Mali concernant la propagation du VIH-SIDA.
Mots clés : Modélisation, équation parabolique semi-linéaire, comportement
asymptotique, systèmes dynamiques non linéaires, méthode de Van den Driessche et
Watmough , fonction de Lyapunov, taux de reproduction de base R0, stabilité locale et
globale, modèles épidémiologiques, contrôlabilité, virus du VIH, simulations numériques,
Mali.
Cette thèse est accessible à l'adresse : http://theses.insa-lyon.fr/publication/2012ISAL0068/these.pdf
© [M. Alassane], [2012], INSA de Lyon, tous droits réservés

Abstract
The objective of this thesis is the modeling, mathematical analysis and numerical simu-
lation of a few models of transmission of the HIV-AIDS in a sexually active population
given in general and in particular in that of Mali.
We propose models based on the epidemiology currently known from the transmission
of the HIV virus. Thus, we present three models of the transmission of HIV : a individual
behavior and epidemiological model, a model that incorporates the role of public health
education program on HIV and a mathematical model for the co-circulating into two
circulating recombinants forms of HIV-1.
In the first model, some results of existence and uniqueness of solution of a semi-
linear parabolic problem describing the evolution of a population subjected to a disease
are presented. The population is divided into individuals whose behavioral risk is low
and in individuals whose behavior are very risky and that interact between them. A
continuous variable representing a behavioral risk is introduced. The asymptotic in time
of the problem is studied, and the existence of a non zero stationary state is proved.
Some numerical results concerning the distribution of the population according to the
variable representing a behavioral risk are presented within the disease of the HIV-AIDS
in Mali.
In the last two models, we obtain a thorough analysis of the stability of these models
using the Lyapunov techniques according to the value of the basic reproduction ratio,
R0. We propose an alternative method to the basic reproductive rate R0which allows to
confine the evolution of the disease in the fixed limits. Numerical simulations are done
to illustrate the behaviour of the model, using data collected in the literature regarding
the spread of HIV in Mali.
Keywords :Modelling, semi-linear parabolic equation, asymptotic behavior, non-
linear dynamical system, Van den Driessche et Watmough method, Lyapunov function,
basic reproduction ratio R0, local and global stability, epidemiological models, control-
lability, HIV virus, numerical simulations, Mali.
Cette thèse est accessible à l'adresse : http://theses.insa-lyon.fr/publication/2012ISAL0068/these.pdf
© [M. Alassane], [2012], INSA de Lyon, tous droits réservés

Avant-propos
Ce travail s’inscrit dans le cadre d’une thèse en cotutelle internationale entre l’Ins-
titut National des Sciences Appliquées (INSA) de Lyon en France et l’Université de
Bamako (UB) au Mali. Il porte sur les modèles mathématiques qui, sont utilisés pour
décrire une large classe de phénomènes de la vie réelle. La modélisation a déjà apporté
d’importantes contributions aux sciences de la santé et aux disciplines connexes. Ces
dernières années, les modèles mathématiques ont été grandement utilisés dans les pro-
cessus de la recherche épidémiologique. Ils peuvent aider à l’élaboration des politiques,
notamment en ce qui concerne l’économie de la santé, l’élaboration de plans d’urgence
et l’évaluation des risques, l’évaluation du programme de contrôle, tout en favorisant la
collaboration interdisciplinaire.
Cette thèse même si elle s’inscrit dans le cadre des nouvelles lignes de recherche du
Laboratoire d’Analyse Numérique de la Faculté des Sciences et Techniques de l’Université
de Bamako, marque pour moi une étape importante dans un parcours universitaire
commencé il y a bien longtemps. En nous attaquant à l’épidémie du VIH-SIDA qui
pose un problème majeur de santé publique par son développement récent et rapide, son
caractère toujours mortel lorsqu’elle est déclarée et son extension imprévisible, nous nous
sommes consacrés à développer de nouveaux modèles mathématiques pour ce fléau, dans
le scénario malien. Le but de ces modèles est de prédire le comportement de l’épidémie
simulée, et d’évaluer les actions du système de santé, apportant ainsi des informations
utiles qui permettront de contrôler l’épidémie en question, d’une manière plus efficace.
Dans cette thèse chaque chapitre a été rédigé dans la perspective d’une publication
scientifique. Le premier chapitre est publié, les autres le seront ultérieurement après avoir
été mis au format de la revue ciblée. Par conséquent chaque chapitre est conçu pour pou-
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voir être lu de façon indépendante. Cela amène à des répétitions en particulier lorsqu’il
s’agit des sections d’introduction, de justification de la méthode ou de présentation du
contexte.
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