corrigé

Spé ψ 2004-2005 page 1/7 Devoir n°2
Spé ψ 2004-2005 Devoir n°2
THERMODYNAMIQUE-DIFFUSION
corrigé
Partie I
BANQUE FILIERE PT 1998 (partiel)
I-1) La transformation dans la turbine est adiabatique et réversible. Le gaz est parfait avec γ
indépendant de T. On peut donc utiliser la loi de Laplace T P
3
3
1
γ
γ
−
=T P
4
4
1
γ
γ
−
. Comme P3 = P2 et
P4 = P1, il vient τ
γγ
= =
F
H
G
I
K
J−
P
PT T
2
1
4
3
1 . Numériquement, on trouve τ =
F
H
G
I
K
J−
203
333
1 4
1 1 4
,, = 5,65.
La transformation dans le compresseur est adiabatique donc T2 = T1.
τ
γγ −1 d’après la loi de
Laplace. A. N . T2 = 383 K.
I-2-a) A travers le compresseur, une masse δm de gaz passe de l’état P1, δV1 à l’état P2, δV2.
Elle reçoit le travail des forces de pression –P2δV2 + (–P1)(–δV1) et le travail du moteur wC.δm. Le
premier principe appliqué à cette masse de gaz s’écrit δU2 – δU1 = –P2δV2 + (–P1)(–δV1) + wC.δm
car δQ = 0 puisque la transformation est adiabatique. Il vient donc [δU
2
+ P2δV2] –
[δU1 + P1δV1] = wC.δm. On reconnaît δH = [δU + PδV] qui est l’enthalpie de la masse δm. On peut
donc écrire δm.h2 – δm.h1 = wC.δm d’où wC = h2 – h1
I-2-b) Comme le système est décrit par le modèle du gaz parfait, on a h2 – h1 = cP.[T2 – T1]
et il vient donc wC = cP.[T2 – T1]. Comme T2 = T1.
τ
γγ −1, il reste
w c T
C P
= −
L
N
M
M
O
Q
P
P
−
1
11τγγ
A.N. : wC= −
L
N
M
M
O
Q
P
P
−
233 565 1
1 4 1
1 4
( , ) ,, = 149,1 kJ.kg–1
Ÿ La transformation subie par le gaz dans la turbine est du même type que celle dans
le compresseur. Le travail massique reçu algébriquement de la part de la turbine est donc
wT = cP.[T4 - T3].
A.N. wT = [203 – 333] = – 130 kJ.kg–1
Ÿ Le travail total massique fourni par le moteur est tel que wC = wM – wT donc
wM = [wC + wT]
A.N. wM = [149,1 – 130] = 19,1 kJ.kg–1.
Ÿ Entre l’état 1 et l’état 4, la masse δm de gaz subit une transformation monobare
puisque P4 = P1. On peut donc écrire le premier principe sous la forme δH4 - δH1 = δQ = δm.q1–4.
Comme δH4 - δH1 = δmcP.[T4 - T1] puisque le gaz est parfait, il vient q1-4 = cP.[T4 - T1]. La quantité
δQ est reçue algébriquement par le gaz du local, auquel il est donc « pris » en valeur massique
qLOCAL = cP.[T1 - T4]
A.N. qLOCAL = [233 - 203] = 30 kJ.kg–1.

Spé ψ 2004-2005 page 2/7 Devoir n°2
I-3) La grandeur utile est la chaleur prise au local qLOCAL et la grandeur payée est le travail
fourni par le moteur wM pour obtenir ce résultat. Il est donc justifié de définir le coefficient d’effet
frigorifique par η=
q
LOCAL
M
w.
A.N. η=
30
19,1 = 1,6.
Partie II
BANQUE FILIERE PT 2002 (partiel)
II-A-1) Par définition du vecteur densité de flux d’énergie, on peut écrire δQE = JQ(x)σδt et
δQS = –JQ(x + dx)σδt en orientant les transferts dans le sens des x croissants.
La variation d’enthalpie de la tranche est d2H = ρdτ.c.
∂
∂
T
x
t
t
(
,
)
δt. Cette variation est
uniquement due aux transferts thermiques puisque la transformation est isobare donc
ρdτ.c.
∂
∂
T
x
t
t
(
,
)
δt = [JQ(x) – JQ(x + dx)]σδt = −
∂
∂
J
x
t
x
Q
(
,
)
dxσδt.
On reconnaît dτ = σdx et avec la loi de Fourier, projetée sur
r
u
X, il reste
ρdτ.c.
∂
∂
T
x
t
t
(
,
)
δt = λ∂
∂
2
2
T x t
x
( , )dτ.δt d’où finalement ρ∂
∂
λ∂
∂
cT x t
t
T x t
x
( , ) ( , )
=2
2.
II-A-2) Le régime étant stationnaire, l’équation précédente devient : d T x
dx
2
20
( ) = d’où la
solution , compte tenu des conditions aux limites : T
T
T
L
x T=
−
+
2 1 1
II-A-3-a) La puissance thermique traversant une section est P = JQσ = –λ
T
T
L
2 1
−
σ. On peut
donc écrire (T1 – T2) =
L
λσ
P, relation qui est formellement identique à la loi d’Ohm (V1 – V2) = RI.
On peut donc faire l’analogie suivante
ELECTRICITE CONDUCTION THERMIQUE
grandeur intensive potentiel Vtempérature T
grandeur extensive transportée charge électrique énergie
vecteur densité surfacique de
flux densité de courant
r
J
densité de courant thermique
r
J
Q
caractéristique du milieu conductivité électrique Kconductivité thermique λ
relation locale
phénoménologique loi d’Ohm locale
r
J K V= −  → grad
loi de Fourier
r
J T
Qgrad= −  →
λ
flux intensité : I J n dS=
zz
r
r
.Σpuissance thermique :
P=
zz
r
r
J n dS
Q.Σ
relation intégrale loi d’ohm : (V1 – V2) = RI.(T1 – T2) = RTH P.
résistance R
K
=
1
longueur
section
R
L
TH =
λσ
b) A.N. RTH =−
5
0 7 10 1 2 , . ( )π = 227 K.W-1 ; P =
350
290
227 4
−
, = 0,3 W

Spé ψ 2004-2005 page 3/7 Devoir n°2
II-A-4) Par définition, l’entropie échangée par un système est de la forme δ
δ
S
Q
T
ECH =. Pour
la tranche considérée, l’échange thermique se produit à travers les deux sections donc on peut
écrire : δ
σδ
S
J
x
t
T x
EQ
=
(
)
( ) et δ
σδ
S
J
x
dx
t
T x dx
SQ
=
−
+
+
(
)
( ) . On constate que l’on peut écrire à travers chaque
section δSECH = JENTROPIE.σδt avec J
J
T
ENTROPIE Q
= soit, vectoriellement, r
JT
T
ENTROPIE grad
= −
 →
λ.
La variation d’entropie d2S de la tranche est nulle pendant δt en régime stationnaire. Or
d2S = δSECH(x) + δSECH(x + dx) + δSC d’après le deuxième principe. On a donc
0 = JENTROPIE(x)σδt – JENTROPIE(x + dx)σδt + sC.σdx.δt = –
dJ
x
dx
dx
ENTROPIE
(
)
σδt + sC.σdx.δt
d’où s
dJ
x
dx
CENTROPIE
=
(
)
ou encore sd
dx T x dT x dx
C= −
F
H
G
I
K
J
λ1
( ) ( ) . On a vu qu’en régime stationnaire
d T x
dx
2
20
( ) = donc il vient sT x dT x
dx
C=
F
H
G
I
K
J
λ
2
2
( ) ( )
On a sC > 0 quel que soit le signe de
dT
x
dx
(
)
. L’entropie crée est toujours positive comme
attendue d’après le deuxième principe.
II-A-5)L’entropie totale crée dans la conduite est :
S s x dx d
dx T x dT x dx dx
L L
C C
= = −
F
H
G
I
K
J
z
z
( ) ( ) ( ) σ σ λ
0 0
1= − == − ==
F
H
G
I
K
J
σλ 1 1 00
T x L dT dx x L T x dT dx x ( ) ( ) ( ) ( )
avec
dT
dx
T
T
L
=
−
2 1 quel que soit x d’où ST T
L T T
C= − −−
F
H
G
I
K
J
σλ 2 1
2 1
1 1 .
On reconnaît R
L
TH =
λσ
d’où SR
T T
TT
CTH
=−
12 1
2
1 2
b
g
qui est bien positive.
II-A-6) On fait un bilan enthalpique comme en II-A-1 en ajoutant δQEXT avec dσ1 = 2πa.dx.
On obtient finalement : 0 2
2
220
= − −λ π δ α π δ
d T x t
dx
dx a t T x T adx t
( , ) ( ) en régime permanent soit
d T x
dx
a
T x T
2
20
20 ( ) ( )− − = α
λ
II-A-7) En notant Θ(x) = T(x) – T0, on obtient l’équation différentielle
d x
dx
a
x
2
220
ΘΘ ( ) ( )− = α
λ
dont la solution est du type Θ( )x Ae Be
x
dx d
= + − en posant da
=λ
α
2
.
Les constantes d’intégration se calculent grâce aux conditions aux limites qui sont ici
T(0) = T1 et T(L) = T2; d désigne une distance caractéristique des transferts thermiques : si la tige est
infinie, c’est sur une distance de l’ordre de grandeur de d que les variations de température sont
significatives. Si la longueur de la tige est petite devant d, la solution pourra être linéarisée et les
échanges thermiques latéraux seront négligeables.
A.N. d1 = 010 7
214 10 3
, . ,
. , ×− = 5 m; d2 = 0,9 m.
Pour α = 0 (pas de pertes latérales) la fonction
T(x) est affine. D’après l’expression de d, plus α est
grand, plus d est petit et plus on s’éloigne de la solution
linéaire correspondant à l’absence de pertes latérales. On
peut donc attribuer les graphes ci-contre.
α
2

Spé ψ 2004-2005 page 4/7 Devoir n°2
II-A-8-a) On peut écrire la puissance dissipée par la surface latérale de la tranche sous la
forme dPEXT = gTH,F.dx[T(x) – T0] où gTH,F.dx est l’inverse d’une résistance thermique d’après II-A-
3, c’est-à-dire une conductance thermique. On peut donc définir une conductance thermique de fuite
linéique gTH,F = α2πa.
D’après II-A-3-a, on sait de plus que la résistance thermique de la tranche de conduite est
dRTH =
dx
λ
σ
.
que l’on peut écrire dRTH = rTH.dx en posant
rTH =
1
λ
σ
.
la résistance thermique linéique de la conduite.
En notant P(x) = JQ(x)σ la puissance thermique qui
traverse la section d’abscisse x, le bilan des puissances entre x
et x + dx s’écrit P(x) = P(x + dx) + α2πa[T(x) – T0]dx. On
reconnaît une loi des noeuds et le schéma électrique équivalent
est donc
b) A.N. rTH =
1
0 7 01 2 , . ,π
b
g
= 45,5 K.W-1.m-1 ;
gTH,F1 = 1,4×10–3.2π.0,1 = 8,8.10-4 W.m-1.K-1 ; gTH,F2 = 2,5.10-2 W.m-1.K-1.
II-B-1) Par hypothèse, l’enthalpie du fluide ne dépend que de T donc, pour une tranche de
masse δm, on peut écrire δH = δm.cT à une constante près que l’on peut prendre nulle. L’enthalpie
massique du liquide est donc h(x) = c.T(x).
Au cours d’une transformation isobare de la tranche, on peut écrire d(δH) = δ2Q. En
supposant la transformation réversible, le deuxième principe s’écrit d(δS) =
δ
2
Q
T
d’où
d(δS) =
δ
mcdT
T
dont une primitive est δS = δm.c.ln T
T1
F
H
G
I
K
J. L’entropie massique est donc
s x c T
T
( ) .ln=
F
H
G
I
K
J
1.
II-B-2-a) La masse de fluide qui traverse la section se trouve, entre t et t + δt dans le
cylindre de section σ et de longueur vδt. Elle vaut donc δm = ρσvδt.
II-B-2-b) Considérons le système fermé constitué du fluide qui
Ÿ à l’instant t se trouve entre les sections d’abscisses x1 et x2 ;
Ÿ à l’instant t + δt se trouve entre les sections d’abscisses x1 + vδt et x2 + vδt ;
Son enthalpie varie de d(δH) = δm.h(x2) – δm.h(x1) entre t et t + δt car, en régime
stationnaire, l’enthalpie du fluide compris entre les sections AB et CD ne varie pas.
Le premier principe des systèmes fermé s’écrit, pour une transformation
isobare d(δH) = δ2Q soit δm.[h(x2) – h(x1)] = JQ(x1)σδt – JQ(x2)σδt en l’absence de pertes latérales.
On a donc ρσvδt.[h(x2) – h(x1)] = JQ(x1)σδt – JQ(x2)σδt
soit ρv.h(x2) + JQ(x2) = ρv.h(x1) + JQ(x1)
d’où ρv.h(x) + JQ(x) = Cte
Avec les expressions de h(x) et JQ(x), la relation précédente devient
T(x)T(x + dx)
P
(x)rTHdx
g
THdx
P
(x + dx)
T0
x
1
x
2
x
1
x
2
à tà t + dt
A
B
C
D

Spé ψ 2004-2005 page 5/7 Devoir n°2
ρ λvcT x
dT
x
dx
C( )
(
)
− =
II-B-3) L’équation différentielle est du premier ordre avec un deuxième membre constant
donc la solution générale est du type T x C
vc Ae x
D
( ) = +
ρ où A est une constante d’intégration. Il
apparaît la distance Dvc
=
λ
ρ. Les conditions aux limites imposent T
C
vc A
1= +
ρ et TC vc AeL
D
2= +
ρ.
On en déduit A
T
T
e
L
D
=
−
−
1 2
1
et C
vc TT T
e
T Te
e
L
D
L
D
L
D
ρ= − −
−
=−
−
11 2 2 1
1
1
d’où l’expression
T x T Te T T e
e
L
Dx D
L
D
( ) ( ) =− + −
−
2 1 1 2
1
A.N. D=×
0
7
10 0 54 18 10
3 3
,
. , . , = 3,4×10–7m.. On constate
que D est très petit devant L et
e
L
D >> 1. Alors, T(x) s’écrit
pratiquement T(x) = T1 – T2.
e
L
D
− + (T1 – T2)
e
x L
D
−
avec
e
L
D
− << 1 et
e
x L
D
−
<< 1 tant que x < L. Pratiquement, on a donc
T(x) = T1 pour x ≠ L et T = T2 pour x = L.
Si v = 0, on retrouve le cas sans perte de la question
précédente donc T(x) est affine. On obtient donc les allures
suivantes :
On constate qu’en présence d’écoulement, la répartition de la température est complètement
différente de celle imposée par la diffusion longitudinale. On peut conclure que dans le cas de
l’écoulement, la diffusion longitudinale a un effet négligeable sur la répartition de température
Partie III
CCP PSI I 1997 (partiel)
III-1-a. La température de l’eau dans le tube est inférieure à T donc l’échange thermique se
fait du fluide vaporisé vers l’eau de la conduite. Comme la température T ne varie pas et que le
fluide reste dans un état diphasé, cette perte d’énergie par le fluide de l’enceinte entraîne la
condensation d’une partie de la vapeur.
b) Une masse δm = Dm dt est prise comme système thermodynamique. Elle entre
dans le tube à la température TE et en sort à TS. Son enthalpie varie donc de dH = δm.c(TS – TE).
Elle subit une transformation à pression constante donc dH = δQ = PCdt où PC est la
puissance calorifique totale reçue par la masse δm.
On en déduit PC = Dm.c(TS – TE).
c) Considérons une tranche d’eau comprise entre les sections d’abscisse x et x + dx
du tube. Sa masse est δm. La puissance thermique qu’elle reçoit est par hypothèse
dPC = α.ds.[T - θ(x)] = α πd dx [T – θ(x)].
Considérons maintenant la masse δm = Dmdt qui a la température θ(x) lorsqu’elle passe en x
et θ(x + dx) lorsqu’elle passe en x + dx. Sa variation d’enthalpie est dH = .cDm dt[θ(x + dx) – θ(x)].
v = 0
v = 0,5 m.s
–1
T
x