G - Les Thèses de l`INSA de Lyon

N° D'odre: 98 ISAL 0001
Année 1998
THESE
présentée
DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR
FORMATION DOCTORALE: Dispositifs de l'Electronique Intégrée
ECOLE DOCTORALE: Electronique, Electrotechnique, Automatique
par
Philippe LAUTIER
Ingénieur de l'Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
Modélisation des convertisseurs à découpage
pour la conception et la commande:
Application à l'onduleur
Soutenue le 9 Janvier 1998 devant la commission d'examen
Jury MM.
Joseph BERETTA
Jean-Pierre CHANTE
Bernard De FORNEL
François FOREST
Daniel MEDAULE
Hervé MOREL
Robert PERET
Jean-Marie RETIF
Industriel
Professeur
Professeur
Professeur
Industriel
Chargé de recherches
Professeur
Maître de Conférences
Examinateur
Examinateur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Rapporteur
Directeur
Cette thèse à été préparée au laboratoire CEGELY de l'INSA de LYON
Cette page a été intentionnellement laissée vide
Janvier 1998
Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
Directeur : J. Rochat
Professeurs
S.
J.C.
B.
D.
G.
C.
M.
J.M.
C.
M.
H.
G.
J.
M.
M.
J.C.
J.Y.
J.P.
B.
B.
M.
M.
A.
R.
J.C.
H.
C.
L.
G.
M.
J.
AUDISIO
BABOUX
BALLAND
BARBIER
BAYADA
BERGER (Mlle)
BETEMPS
BLANCHARD
BOISSON
BOIVIN
BOTTA
BOULAYE
BRAU
BRISSAUD
BRUNET
BUREAU
CAVAILLE
CHANTE
CHOCAT
CLAUDEL
COUSIN
DIOT
DOUTHEAU
DUFOUR
DUPUY
EMPTOZ
ESNOUF
EYRAUD (Prof. Émérite)
FANTOZZI
FAYET
FAVREL
G.
Y.
L.
P.
A.
R.
F.
L.
R.
M.
G.
P.
P.
M.
R.
G.
G.
M.
G.
A.
FERRARIS-BESSO
FETIVEAU
FLAMAND
FLEISCHMANN
FLORY
FOUGERES
FOUQUET
FRECON
GAUTHIER
GERY
GIMENEZ
GOBIN (Prof. émérite)
GONNARD
GONTRAND
GOUTTE (Prof. Émérite)
GRANGE
GUENIN
GUICHARDANT
GUILLOT
GUINET
J.L.
J.P.
J.M.
J.F.
A.
R.
H.
J.
M.
M.
A.
M.
P.
A.
Ch.
P.
GUYADER
GUYOMAR
JOLION
JULLIEN
JUTARD
KASTNER
KLEIMANN
KOULOUMDJIAN
LAGARDE
LALANNE
LALLEMAND
LALLEMAND (Mme)
LAREAL
LAUGIER
LAUGIER
LEJEUNE
PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE
GEMPPM*
PHYSIQUE DE LA MATIERE
PHYSIQUE DE LA MATIERE
MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE
PHYSIQUE DE LA MATIERE
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
LAEPSI**
VIBRATIONS ACOUSTIQUES
MECANIQUE DES SOLIDES
EQUIPE DEVELOPPEMENT URBAIN
INFORMATIQUE
CENTRE DE THERMIQUE
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
MECANIQUE DES SOLIDES
THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE
GEMPPM*
COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONS
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
LAEPSI**
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE
CHIMIE ORGANIQUE
MECANIQUE DES STRUCTURES
PHYSIQUE DE LA MATIERE
RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION
GEMPPM*
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
GEMPPM*
MECANIQUE DES SOLIDES
GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE
DES SYSTEMES MANUFACTURIERS
MECANIQUE DES STRUCTURES
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
MECANIQUE DES CONTACTS
GEMPPM*
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
GEMPPM*
GEMPPM*
INFORMATIQUE
PHYSIQUE DE LA MATIERE
CENTRE DE THERMIQUE
CREATIS***
GEMPPM*
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONS
CREATIS***
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
GEMPPM*
BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIE
PHYSIQUE DE LA MATIERE
GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE
DES SYSTEMES MANUFACTURIERS
VIBRATIONS ACOUSTIQUES
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIE
MECANIQUE DES STRUCTURES
CENTRE DE THERMIQUE
CENTRE DE THERMIQUE
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
PHYSIQUE DE LA MATIERE
BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIE
GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES
A.
Y.
H.
P.
J.
J.P.
M.
N.
R.
P.
P.
A.
A.
M.
J.P.
G.
J.
G.
J.
P.
J.M.
D.
J.
P.
LUBRECHT
MARTINEZ
MAZILLE
MERLE
MERLIN
MILLET
MIRAMOND
MONGEREAU (Prof. Émérite)
MOREL
MOSZKOWICZ
NARDON
NAVARRO
NOURI (Mme)
OTTERBEIN
PASCAULT
PAVIC
PERA
PERRACHON
PEREZ (Prof. Émérite)
PINARD
PINON
PLAY
POUSIN
PREVOT
R.
M.
J.M.
E.
J.
D.
P.
C.
J.F.
H.
S.
D.
M.
R.
J.
G.
A.
P.
PROST
RAYNAUD
REYNOUARD
RIEUTORD (Porf. Émérite)
ROBERT-BAUDOUY (Mme)
ROUBY
RUBEL
RUMELHART
SACADURA
SAUTEREAU
SCARVARDA
THOMASSET
TROCCAZ
UNTERREINER
VERON
VIGIER
VINCENT
VUILLERMOZ
MECANIQUE DES CONTACTS
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE
GEMPPM*
GEMPPM*
PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
MECANIQUE DES FLUIDES
LAEPSI**
BIOLOGIE APPLIQUEE
LAEPSI**
MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE
LAEPSI**
MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
VIBRATIONS ACOUSTIQUES
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE
GEMPPM*
PHYSIQUE DE LA MATIERE
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUES
MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE
GROUPE DE RECHERCHE EN APPRENTISSAGE, COOPERATION
ET INTERFACES MULTIMODALES
CREATIS***
CENTRE DE THERMIQUE
UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL
MECANIQUE DES FLUIDES
GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES
GEMPPM*
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
MECANIQUE DES SOLIDES
CENTRE DE THERMIQUE
MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
CREATIS***
LAEPSI**
GEMPPM*
GEMPPM*
PHYSIQUE DE LA MATIERE
Directeurs de recherche C.N.R.S.
Y.
BERTHIER
P.
CLAUDY
COTTE-PATTAT (Mme)
N.
P.
FRANCIOSI
J.F.
GERARD
MANDRAND (Mme)
M.A.
J.F.
QUINSON
A.
ROCHE
MECANIQUE DES CONTACTS
THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE
GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES
GEMPMM
MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES
GEMPMM
MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
Directeurs de recherche I.N.R.A.
G.
BONNOT
G.
FEBVAY
S.
GRENIER
Y.
MENEZO
BIOLOGIE APPLIQUEE
BIOLOGIE APPLIQUEE
BIOLOGIE APPLIQUEE
BIOLOGIE APPLIQUEE
Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M.
PRINGENT (Mme)
A.F.
MAGNIN (Mme)
I.
BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE
CREATIS***
GEMPMM* : Groupe d'etude metallurgie physique et physique des matériaux
LAEPSI** : Laboratoire d'analyse environnementale des procédés et systèmes industriels
CREATIS*** : Centre de recherche et d'applications en traitement de l'image et du signal
INSA de Lyon
Département des études doctorales
ECOLES DOCTORALES
¾ MATERIAUX DE LYON
INSAL – ECL -UCB. Lyon1 – Univ. De Chambéry – ENS
Responsable : Professeur A. HOAREAU, UCBL
(Tél. : 04.72.44.85.66)
Formations doctorales associées :
ƒ Génie des Matériaux
ƒ Matière condensée surfaces et interfaces
ƒ Matériaux polymères et composites
(Pr. R. FOUGERES, Tél : 04. 72. 43. 81 .49)
(Pr. G. GUILLOT, Tél : 04.72.43.81.61)
(Pr. H. SAUTEREAU, Tél : 04.72.43.81.78)
¾ MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUE (MEGA)°
Responsable : Professeur J. BATAILLE, ECL (Tél : 04.72.43.8079)
Formations doctorales associées :
ƒ Acoustique
(Pr. J.L. GUYADER, Tél : 04.72.43.80.80)
ƒ Génie Civil : Sols, matériaux, structures, physique du bâtiment
(Pr. P. LAREAL, Tél : 04.72.43.82.16)
ƒ Mécanique
(Pr. G. DALMAZ, Tél : 04.72.43.83.03)
ƒ Thermique et Energétique
(Pr. M. LALLEMAND, Tél : 04.72.43.81.54)
¾ ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE (EEA)
INSAL - ECL – UCB. Lyon1 – Univ. de Saint-Etienne
Responsable : Professeur G. GIMENEZ, INSAL (Tél : 04.72.43.83.32)
Formations doctorales associées :
ƒ Acoustique
ƒ Automatique Industrielle
ƒ Dispositifs de l’électronique intégrée
ƒ Génie biologique et médical
ƒ Génie électrique
ƒ Signal, Image, Parole
(Pr. J.L. GUYADER, Tél : 04.72.43.80.80)
(Pr. SCAVARDA, Tél : 04.72.43.83.41)
(Pr. P. PINARD, Tél : 04.72.43.80.79)
(Pr. I MAGNIN, Tél : 04.72.43.85.63)
(Pr. J.P. CHANTE, Tél : 04.72.43.87.26)
(Pr. G. GIMENEZ, Tél : 04.72.43.83.32)
¾ ECOLE DOCTORALE INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE (EDISS)
INSAL – UCB Lyon1 – Univ. de Saint-Etienne – Univ. Aix-Marseille2
Responsable : Professeur A. COZZONE, CNRS-Lyon (Tél 04.72.72.26.75)
Formations doctorales associées :
ƒ Biochimie
ƒ Génie biologique et médical
(Pr. M. LAGARDE, Tél : 04.72.43.82.40)
(Pr. I. MAGNIN, Tél : 04.72.43.85.63)
INSA de LYON
Département des Etudes Doctorales
AUTRES FORMATIONS DOCTORALES
¾ ANALYSE ET MODELISATION DES SYSTEMES BIOLOGIQUE
Responsable : Professeur S. GRENIER, INSAL
Tél : 04.72.43.83.56
¾ CHIMIE INORGANIQUE
Responsable : Professeur P. GONNARD, INSAL
Tél : 04.72.43.81.58
¾ CONCEPTION EN BATIMENT ET TECHNIQUE URBAINES
Responsable : Professeur M. MIRAMOND, INSAL
Tél : 04.72.43.82.09
¾ DEA INFORMATIQUE DE LYON
Responsable : Professeur J.M. JOLION, INSAL
Tél : 04.72.43.87.59
¾ PRODUCTIQUE : ORGANISATION ECONOMIQUE ET GENIE INFORMATIQUE POUR L’ENTREPRISE
Responsable : Professeur J. FAVREL, INSAL
Tél : 04.72.43.83.63
¾ SCIENCES ET TECHNIQUES DU DECHET
Responsable : Professeur P. MOSZKOWICZ, INSAL
Tél : 04.72.43.83.45
Je mesure le mal qu'on fait mes ancêtres
parce que je suis eux. C'est un équilibre
délicat à l'extrême. Je sais que peu d'entre
vous, qui lisez ces lignes, avez jamais songé
de cette manière à vos ancêtres. Sans doute
ne vous est-il pas venu à l'idée qu'ils étaient
faits pour survivre et que cette survie ellemême exigeait quelquefois des décisions
brutales, marquées par cette sorte de sauvagerie absurde que l'humanité civilisée s'est
toujours efforcée à grand-peine de faire
disparaître. Mais quel prix êtes-vous prêts à
payer pour cette disparition? Acceptez-vous
l'idée de votre propre extinction?
Les mémoires volées
Extrait de "L'Empereur-Dieu de Dune"
Frank Herbert
A mes Parents.
A Denise.
AVANT-PROPOS
Cette étude, menée au Centre de Génie Electrique de Lyon, résulte d'une coopération
entre notre laboratoire et la société Peugeot SA.
A ce titre, je souhaite remercier PSA et tout particulièrement nos interlocuteurs
M. BERETTA, Mlle DEROU et M. DELHOM pour la qualité des relations que nous avons eu
et la confiance qu'ils nous ont accordée. J'espère sincèrement que nous avons répondu à vos
attentes et que cette petite pierre contribuera à créer une base solide à votre édifice.
Un grand merci à M. NICOLAS, directeur du CEGELY, et M. CHANTE, responsable
du site INSA du laboratoire, pour m'avoir accueilli (et supporté !) durant ces trois années (et
des poussières !).
J'exprime toute ma reconnaissance à M. De FORNEL, Professeur à l'Institut National
Polytechnique de Toulouse, et M. PERRET, Professeur à l'Institut National Polytechnique de
Grenoble, pour m'avoir fait l'honneur d'être rapporteur de cette thèse et à M. FOREST,
Professeur au LESIR à Cachan pour avoir accepté d'en présider le jury.
Je tiens aussi à remercier M. MEDAULE de la société Mitsubishi Electric pour avoir
accepté de participer à mon jury de thèse ainsi que pour sa sympathie.
Un banc pour toi Jean-Marie. Au delà de la direction de mon travail où tu as su me
laisser m'exprimer, nous sommes devenus amis et avons passé de très bons moments ensemble.
Un triple "Hip Hip Hip ..." pour Hervé et Bruno, pour leur soutien technique quotidien et
leur amitié.
Une mention spéciale à Marie-Laure, Sylvie (ma co-burette !), Nicole et Denise, bref, la
gent féminine du laboratoire. Je suis sûr que vous vous souviendrez de mon passage, j'espère
que ce sera avec un sourire ...
Citer ici toutes les personnes qui ont, de près ou de loin, professionnellement ou non,
participé à ces quelques années de travail serait trop long et je risquerais d’oublier certains. Je
vous adresse cependant une pensée amicale, certain que vous vous reconnaîtrez.
Mon dernier hommage sera pour la société ARCEL, et tout particulièrement pour
M. PARIS et M. LECOQ, sans qui la partie pratique de ce travail n’aurait pu être menée à
bien, et plus encore ...
MODELISATION DES CONVERTISSEURS A DECOUPAGE
POUR LA CONCEPTION ET LA COMMANDE:
APPLICATION A L'ONDULEUR.
Le travail présenté ici s'inscrit dans une action de recherche sur la traction électrique
menée au Centre de Génie Electrique de Lyon (CEGELY).
Ce projet fait partie d'une coopération entre le Département de Recherche sur les
Véhicules Electriques de la société Peugeot S.A. et le CEGELY.
Le projet initial concernait la commande des machines pour la traction électrique sur
véhicules personnels. Devant le manque de modèles de convertisseurs de puissance adaptés à la
commande, il s'est peu à peu dirigé vers la recherche de modèles susceptibles de répondre aux
contraintes de l'automatique. L'aspect industriel de ce projet nous a mené à consacrer une large
partie de notre travail à la validation des résultats théoriques et à la recherche de méthodes
simples et rapides à mettre en œuvre. Les résultats pratiques ne sont qu'une application
ponctuelle de la théorie servant à la validation. L'évolution rapide des composants de
l'électronique de puissance les rendra rapidement obsolètes. Par contre, les méthodes
présentées pourront continuer à être utilisées.
L'avènement de l'électronique de puissance et l'amélioration des performances de composants à
commutation forcée (Transistors MOS, IGBTs, ...) ce cette décennie ont accru les champs
d'utilisation des machines électriques. Les premières applications en vitesse variable
exploitaient les machines à courant continu, plus simples à commander que celles à courant
alternatif. Mais ce type de moteur souffre d'une faible durée de vie due à ses balais de
collecteur et d'une puissance massique limitée.
La baisse des prix des composants de puissance à semiconducteur ont rendu plus rentable
l'ensemble onduleur / machine à courant alternatif. La machine asynchrone a tout d'abord été
choisie pour son très faible coût de fabrication, lié à la nature de son rotor: une simple cage.
Mais sa commande est complexe et son rotor inaccessible prive le système de contrôle d'un
degré de liberté très intéressant: le flux rotorique.
Ainsi, nous voyons maintenant apparaître de nombreuses applications basées sur les machines
synchrones à rotor bobiné ou à aimant permanent. Ce choix a été motivé par la puissance
massique importante de ce type de machine et ses performances dynamiques bien meilleures
que les machines asynchrones. Notons aussi que, dans le cas des machines synchrones à rotor
bobiné, l'accès au flux rotorique permet de disposer d'une grandeur de contrôle supplémentaire
et d'envisager le contrôle de deux grandeurs (le couple et le rendement par exemple) au lieu
d'une seule dans le cas des machines asynchrones. Le surcoût peut alors être justifié par la
qualité des résultats envisageables.
Les problèmes de pollution et de nuisances sonores dans les grandes agglomérations ont amené
les pouvoirs publics et les constructeurs automobiles à se tourner vers le véhicule électrique
personnel. Tout d'abord à courant continu, puis asynchrone, et bientôt synchrone, la "voiture
électrique" fait peu à peu son entrée sur le marché grand public.
Mais, ce véhicule au concept révolutionnaire souffre de sa faible autonomie et est généralement
boudé par le public. Pour palier ce problème, en attendant de nouveaux moyens de stockage de
l'énergie électrique (la pile à combustible semble prometteuse), les constructeurs automobiles
se dirigent vers le véhicule mixte. Ici, le moteur électrique est relayé (structure parallèle) ou
alimenté (structure série) par un moteur thermique. Notons que la société TOYOTA a annoncé
la commercialisation de leur premier véhicule mixte pour la fin d'année 1997. Dans ce véhicule,
le moteur thermique prendra le relais du moteur électrique au delà d'une certaine vitesse.
Que le véhicule soit "tout électrique" ou non, avec une machine à courant continu, synchrone
ou asynchrone, le moteur de traction doit fournir un couple le plus constant possible sur une
large plage de vitesse. L'asservissement de cette dernière est assurée par le chauffeur.
Les principaux constructeurs automobiles Européens se sont rencontrés pour mettre sur pied
un cahier des charges précisant un certain nombre de contraintes pour les chaînes de tractions
électriques. Par exemple, le projet EUROPED, précise les principales grandeurs pour les chaînes
de traction asynchrone: puissance permanente et transitoire, encombrement, couple, ... etc.)
Ainsi, l'oscillation de couple, selon cette spécification, ne doit pas dépasser ±2%.
Les techniques de contrôle avancées qui ont vu le jour ces dernières années (commande
vectorielle, contrôle direct de couple, ...etc.) permettent de répondre à ces contraintes de plus
en plus sévères sur le couple. Cependant, des problèmes persistent aux faibles vitesses,
principalement dus à la nature des machines et aux convertisseurs utilisés.
10
Si l'algorithmie a fait d'énormes progrès dans ce domaine, nous constatons que les
automaticiens considèrent toujours le convertisseur de puissance (principalement l'onduleur)
comme un actionneur idéal. Ceci est principalement dû à l'absence de modèles compatibles
avec les temps de simulation nécessaires à la mise au point de boucles de commande et
pouvant être exploités simplement dans un environnement temps réel.
En effet, de nombreux travaux sont menés dans le domaine de la modélisation des composants
à semiconducteur, mais les modèles développés, bien que relativement précis, ne sont d'aucune
utilité pour les automaticiens pour des raisons de complexité et donc de temps de calcul.
Par contre, la notion de schéma électrique "moyen" équivalent, qui permet de ne représenter
que les grandeurs variant lentement devant la fréquence de commutation du convertisseur, peut
permettre de combler cette lacune. Notons toutefois, que leur champ d'application sort
largement du contexte de l'automatique et peut être utilisé pour la conception des
convertisseurs.
C'est ce type de modélisation que nous proposons de présenter ici et d'appliquer à
l'automatique. Ainsi, nous souhaitons obtenir un modèle nécessitant un temps de calcul
compatible avec les contraintes de l'automatique et permettant d'observer (et, éventuellement,
de corriger) les altérations des signaux électriques engendrées par le convertisseur. Notons
aussi, que pour être facilement exploitable, les paramètres de notre modèle devront être
aisément identifiables.
Le complément indispensable au modèle est l'outil de simulation. Même si le modèle se doit
d'être indépendant du logiciel qui servira à l'exploiter, la formulation utilisée est intimement liée
à ce dernier. En effet, les méthodes numériques utilisées pour obtenir les résultats de simulation
conditionnent la nature du modèle, et donc, lui donnent (ou lui enlèvent) un certain nombre de
propriétés. Dans le domaine de l'électronique en général et de l'électronique de puissance en
particulier, les logiciels de simulation foisonnent et sont basés sur différents formalismes et
méthodes de calcul.
Dans le premier chapitre, nous ferons un point sur les principaux formalismes et les principales
méthodes de calcul en résultant. Nous nous attacherons à mettre en relief les propriétés
découlant de chacun d'entre eux. Nous verrons ainsi l'avantage indéniable des graphes de liens
pour la simulation et de la méthode de mise en équation associée. Nous conclurons en
présentant le logiciel PACTE, outil de simulation par graphes de liens développé au CEGELY.
11
Le second chapitre sera consacré à un bilan sur les différents niveaux de modélisation utilisés
en électronique de puissance. Nous verrons pourquoi les modèles comportementaux ne sont
pas exploitables en automatique et introduirons la notion de "modèle moyen". Nous
présenterons un algorithme de construction de tels modèles et traiterons le cas du hacheur
abaisseur de tension à titre d'exemple.
Ainsi, les deux premiers chapitres, nous permettront de choisir le formalisme et le type de
modèle que nous envisageons d'utiliser. Mais la validation d'un modèle passe systématiquement
par une phase de confrontation des résultats de simulation avec des mesures correspondantes
dans un cas réel. Pour cela, nous avons mis en place un banc de test de convertisseur à l'échelle
de la traction électrique pour véhicules personnels, soit 30KVA. Notre troisième chapitre sera
dédié à la présentation de cette installation et du système de commande "temps réel"
l'accompagnant.
Le quatrième chapitre sera consacré aux modèles choisis pour représenter les différents
éléments constituant le banc de test en simulation et à l'identification de leurs paramètres. C'est
une phase clef qui conditionnera la qualité des résultats et permettra de comparer les résultats
fournis par notre modèle d'onduleur aux essais sur le banc. Nous nous attacherons à y
présenter des méthodes générales de mesure et d'identification, et appliquerons ces dernières
au cas nous concernant. Nous refermerons ce chapitre en traitant le problème de l'identification
des paramètres des modèles présentés dans le second chapitre et donnerons les résultats
obtenus pour le modèle moyen de l'onduleur.
Enfin, nous présenterons les résultats de nos investigations dans le cinquième et dernier
chapitre. Nous établirons le modèle moyen de l'onduleur et définirons ses limites de validité par
comparaison avec l'expérience. Puis, dans un objectif de simplification, nous mettrons en relief
l'importance relative de chaque paramètre en fonction des conditions d'essais. Nous
terminerons en donnant un exemple d'exploitation de notre modèle en automatique pour
l'amélioration de la qualité du contrôle de couple, démontrant ainsi l'intérêt de tels modèles
pour les automaticiens.
12
SOMMAIRE
CHAPITRE PREMIER
LA SIMULATION EN GENIE ELECTRIQUE................................................................................. 15
1.1. Les formalismes de modélisation utilisés en Génie Electrique ......................................... 17
1.1.1. Généralités sur la modélisation des systèmes............................................................ 17
1.1.2. Les Méthodes classiques d’assemblage.................................................................... 20
1.2. Les Graphes de Liens et l’Analyse de Causalité .............................................................. 27
1.2.1. Les composants élémentaires................................................................................... 28
1.2.2. La causalité............................................................................................................. 31
1.2.3. Analyse de la causalité............................................................................................. 36
1.2.4. Exemples d'application ............................................................................................ 43
1.3. PACTE.......................................................................................................................... 46
1.4. Conclusion..................................................................................................................... 46
CHAPITRE SECOND
NIVEAUX DE REPRESENTATION ET OBJECTIFS DE SIMULATION ................................................ 49
2.1. Les modèles de commutation ......................................................................................... 51
2.1.1. Les modèles de comportement ................................................................................ 51
2.1.2. Les modèles simplifiés............................................................................................. 52
2.1.3. Conclusion.............................................................................................................. 55
2.2. Les modèles moyens ...................................................................................................... 56
2.2.1. Les différentes approches ........................................................................................ 56
2.2.2. Un algorithme de construction de modèle moyen..................................................... 59
2.2.3. Application au hacheur abaisseur de tension non-idéal ............................................. 65
2.3. Conclusion..................................................................................................................... 73
CHAPITRE TROISIEME
UN BANC DE TEST DE PUISSANCE .......................................................................................... 75
3.1. Cahier des charges ......................................................................................................... 76
3.2. La source de tension ...................................................................................................... 76
3.3. La charge....................................................................................................................... 77
3.4. L'onduleur ..................................................................................................................... 78
3.5. L'unité de commande ..................................................................................................... 82
3.5.1. Un circuit de génération d'impulsions ...................................................................... 82
3.5.2. Le contexte de la commande des machines électriques............................................. 84
3.5.3. L'unité de commande algorithmique ........................................................................ 90
3.6. Conclusion..................................................................................................................... 93
CHAPITRE QUATRIEME
MODELISATION, MESURES ET IDENTIFICATION DES ELEMENTS DU BANC D'ESSAIS .................. 95
4.1. Les Méthodes d'Optimisation ......................................................................................... 96
4.1.1. Généralités.............................................................................................................. 96
4.1.2. Expression pratique de la fonction coût ................................................................... 97
4.1.3. Expression des contraintes ...................................................................................... 97
4.1.4. Classification des méthodes d'optimisation............................................................... 98
SOMMAIRE
4.1.5. Les méthodes de descente ....................................................................................... 98
4.1.6. Programmation linéaire, la méthode du symplexe................................................... 102
4.1.7. Les méthodes stochastiques................................................................................... 102
4.2. Le Condensateur.......................................................................................................... 104
4.2.1. Méthodologie........................................................................................................ 104
4.2.2. Application à l'onduleur......................................................................................... 108
4.3. La charge..................................................................................................................... 111
4.4. L'IGBT........................................................................................................................ 115
4.4.1. Caractéristiques statiques ...................................................................................... 117
4.4.2. Problématique de l'obtention des caractéristiques dynamiques................................ 118
4.4.3. Identification......................................................................................................... 120
4.5. La Diode ..................................................................................................................... 121
4.5.1. Caractéristique statique ......................................................................................... 121
4.5.2. Caractéristiques dynamiques ................................................................................. 122
4.5.3. Identification......................................................................................................... 124
4.6. Identification des paramètres des modèles moyens ....................................................... 125
4.6.1. Considérations sur les retards virtuels.................................................................... 126
4.6.2. Mesure des retards virtuels.................................................................................... 130
4.7. Conclusion................................................................................................................... 133
CHAPITRE CINQUIEME
UN MODELE MOYEN D'ONDULEUR ...................................................................................... 135
5.1. Etablissement du modèle de l'onduleur ......................................................................... 136
5.1.1. Modèle moyen d'un bras d'onduleur....................................................................... 137
5.1.2. Modélisation de la commande du bras ................................................................... 140
5.1.3. La chaîne de commande en simulation................................................................... 142
5.2. Comparaisons entre simulation et expériences .............................................................. 143
5.2.1. Au régime nominal................................................................................................ 144
5.2.2. Aux autres régimes ............................................................................................... 147
5.3. Sensibilité du modèle d'onduleur à ses différents paramètres......................................... 151
5.4. Exploitation des modèles moyens en automatique ........................................................ 153
5.5. Conclusion................................................................................................................... 159
CONCLUSION .................................................................................................................. 160
BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................. 163
ANNEXES
DOCUMENTATION DE L'INTERFACE DE GENERATION D'IMPULSIONS ...................................... 168
14
CHAPITRE PREMIER
FORMALISMES POUR LA SIMULATION EN GENIE
ELECTRIQUE
De nos jours, la modélisation et la simulation sont devenues un enjeu scientifique et
technologique. L’outil de conception informatisé devient peu à peu indispensable dans
l’industrie. En effet, ces outils de prédiction et d’analyse de comportement d’un système,
permettent de réduire les coûts et les délais d’étude d’un nouveau produit en reportant la phase
de prototypage le plus loin possible (le "time-to-market" en anglais).
Des modèles de plus en plus fiables sont mis au point chaque jour. Mais fiabilisation rime le
plus souvent avec complexification. Nous arrivons parfois ainsi à des modèles, certes d’une
bonne précision, mais qui sont une abstraction du système réel qu’ils représentent, et
l’identification des paramètres du modèle ou la recherche de causes de dysfonctionnement
représente un investissement temporel et financier non négligeable. Il est préférable d'avoir des
paramètres physiques pour les modèles et des outils de simulation donnant des indications
claires à l'utilisateur en cas d'échec de la simulation, plutôt que des messages d'erreur du type
"Jacobien singulier" !
L’évolution des outils de calcul numériques nous permet d’envisager très sérieusement la
modélisation d’un système complet, comme, par exemple, un véhicule électrique. La grande
variété des domaines physiques et des spécialités mis en jeux dans un tel projet implique un
travail d’équipe parfaitement préparé. Le choix du formalisme adopté pour la modélisation est
la clef de voûte d’un tel édifice. Il faut certes adapter le niveau de représentation de chaque
modèle aux objectifs de l’utilisateur mais il faut avant tout prévoir l’interconnexion de tous ces
modèles entre eux de manière à disposer, à terme, d’un "macro-modèle" représentant le
véhicule dans sa totalité.
D’autre part, l’outil numérique utilisé pour la simulation a pour rôle principal de résoudre un
système d’équations différentielles. Il est donc principalement architecturé autour d’un
intégrateur numérique. Comme tout système numérique de résolution d’équations, se pose
souvent des problèmes de convergence. Plus grave, le système peut fournir une réponse
réaliste et reproductible, mais non conforme à la "réalité".
CHAPITRE PREMIER
Par une brève présentation des différentes approches utilisées dans le domaine du Génie
Electrique et plus particulièrement en Electronique de Puissance, nous montrerons dans un
premier chapitre que certains formalismes permettent de limiter le risque de divergence ou de
fausse réponse. Nous aborderons les réseaux de Kirchhoff, les schémas blocs, les graphes de
liens (ou bond graphs) et enfin, les réseaux de Pétri.
Nous verrons que le formalisme par réseaux de Kirchhoff, bien que d’utilisation aisée en
électronique (car classique), peut poser des problèmes de convergence des algorithmes de
résolution et est mal adapté à un contexte multi-domaine.
L’approche basée sur une représentation énergétique des phénomènes physiques, les graphes
de liens, semble très prometteuse. Outre son aspect explicitement multi-domaine, ce
formalisme présente des avantages indéniables pour la résolution numérique des équations du
système et pour l’assistance à l’utilisateur. Nous nous attarderons plus particulièrement sur
cette méthode d’assemblage.
Enfin, nous présenterons un outil de simulation en électronique de puissance basé sur le
formalisme des graphes de liens : le logiciel PACTE, développé au CEGELY.
16
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
1.1.
LES FORMALISMES DE MODELISATION UTILISES EN GENIE ELECTRIQUE
Avant d’aborder le corps de ce premier chapitre, il est nécessaire de présenter brièvement un
certain nombre de définitions, théorèmes et notions concernant la modélisation des systèmes
[Morel-97].
1.1.1. Généralités sur la modélisation des systèmes
Nous nous attacherons ici à résumer les principales définitions et résultats majeurs concernant
la notion de système et plus particulièrement les systèmes fortement non linéaires très présents
en électronique de puissance.
1.1.1.1.Notion de modèle et de système
Un modèle est une représentation formelle et abstraite de l’analyse que l’on
sait faire d’un phénomène physique.
Un système est une association de composants (de modèles). C’est, par
exemple un circuit électrique, un circuit hydraulique ou un véhicule
électrique au complet.
Au niveau d’un système, on peut définir des variables d’entrée et des variables de sortie. C’est
typiquement ce que représente un schéma bloc (block diagram). Connaissant les entrées du
système à un instant donné, le modèle du système permet de calculer l’évolution future de
l’état de celui-ci. A chaque instant, l’état du système résume le passé de celui-ci. C’est la
connaissance minimale nécessaire pour déterminer son évolution, connaissant l’évolution des
variables d’entrée. L’état du système est décrit par ses variables d’état.
Remarques :
Un système est autonome s’il n’a pas de variables d’entrée ni de
dépendance explicite du temps. C’est le seul type de système qui puisse être
simulé.
Un système est déterministe si, pour des conditions initiales données, il
possède une solution unique. Tous les systèmes physiques (sauf peut-être
les systèmes quantiques) sont déterministes. Un modèle non déterministe
résulte donc d’une erreur de modélisation.
17
CHAPITRE PREMIER
1.1.1.2.Equations différentielles et modèles à variables d’état
Tous les systèmes d’équations différentielles n’ont pas les mêmes propriétés d’existence et
d’unicité de la solution. Il en résulte des comportements très différents face aux techniques
d‘intégration numérique.
EQUATION DIFFERENTIELLE ET ALGEBRIQUE (EDA)
C’est un système d’équations qui a la forme suivante :
 dz

G , z, t  = 0
 dt

Eq. 1- 1
où z est le vecteur des variables d’état et t le temps
Remarque : une EDA s’appelle an anglais "Differential and Algebraic Equation" (DAE).
Un cas particulier d’une EDA est la forme
dx
= g( x , a )
dt
0 = L( x , a )
Eq. 1- 2
Eq. 1- 3
où x est le vecteur constitué d’une partie des éléments de z, x est appelé vecteur d’état du
système, a est le vecteur constitué des autres éléments de z, c’est le vecteur des variables
algébriques.
Le théorème des fonctions implicites permet d’affirmer que si la fonction L,
( x , a) 
→ L( x , a) est continûment dérivable autour du point (x,a) et que
L
∂ L
( x , a ) ≠ 0 , alors
∂a
il existe une fonction h qui permet de calculer la variable a, à partir de x: a = h( x) . Nous
pouvons alors réécrire le système (1-2, 1-3) comme suit :
EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE (EDO) OU PROBLEME DE CAUCHY
dx
= f ( x, t )
dt
x (t = 0) = x0
Eq. 1- 4
Eq. 1- 5
Remarque : une EDO s’appelle an anglais "Ordinary Differential Equation" (ODE).
Notons que la transformation n’est pas toujours possible, car la dérivée peut s’annuler.
Le théorème de Cauchy - Lipschitz stipule que si la fonction f est
lipschitsienne (continûment dérivable) au voisinage de x0 , alors le
problème de Cauchy admet une solution unique au voisinage de t=0, t>0.
Un problème de Cauchy qui satisfait cette condition est dit régulier.
Et donc, un système physique dont le modèle est un problème de Cauchy
régulier est déterministe.
18
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
L’initialisation d’un problème de Cauchy est simple. Il suffit de donner la valeur initiale de
x : x0. Si le système est linéaire, il existe une solution unique, quelle que soit la valeur de x0.
Sinon la fonction f peut avoir un domaine de définition plus restreint et toutes les valeurs
initiales ne sont pas forcément valides.
Une solution au problème de Cauchy est donc complètement décrite par la valeur initiale du
vecteur d’état x : x0. Cela signifie qu’à l’instant t, le vecteur x(t) décrit complètement le
système : il s’agit du vecteur d’état.
1.1.1.3.Définitions générales d’un modèle à variables d’état
Nous allons donner ici quelques définitions et propriétés concernant les modèles à variables
d’état qui nous seront utiles par la suite.
Œ Modèle à variables d’état
C’est un système d’équations de la forme suivante :
dx
= f ( x , u, t )
Eq. 1- 6
dt
y = h( x , u, t )
Eq. 1- 7
où x est le vecteur d’état, u est le vecteur des variables d’entrée, y est le vecteur des
variables de sortie et t est le temps. L’équation 1-6 est l’équation d’état et 1-7 est la
relation de sortie (ou règle de causalité). Pour éviter tout problème de régularité des
solutions, il est nécessaire de supposer que les fonctions f et h sont continûment
dérivables par rapport à x et u.
• Modèle à variables d’état contraint
C’est un système d’équations de la forme :
dx
= f ( x , a , u, t )
Eq. 1- 8
dt
0 = L( x , a , u , t )
Eq. 1- 9
y = h( x , a , u , t )
Eq. 1- 10
où x est le vecteur d’état, a est le vecteur des variables algébriques, u est le vecteur des
variables d’entrée, y est le vecteur des variables de sortie et t est le temps. L’équation 18 est l’équation d’état, l’équation 1-9 est l’équation algébrique et 1-10 est la relation de
sortie. Pour éviter tout problème de régularité, il est ici nécessaire de supposer que les
fonctions f et h sont continûment dérivables par rapport à x, a et u.
Ž Modèle dégénéré à variables d’état
C’est un système d’équations de la forme :
 dz

m , z , u, y , t  = 0
 dt

19
Eq. 1- 11
CHAPITRE PREMIER
où z est le vecteur des variables du système, u est le vecteur des variables d’entrée, y est
le vecteur des variables de sortie et t est le temps.
Souvent, un modèle dégénéré à variables d’état peut se présenter comme un modèle à variables
d’état contraint. L’avantage de la forme • est que les variables d’état sont clairement
identifiées. Dans la forme Ž on ne sait pas quelles composantes du vecteur z ont le droit d’être
initialisées.
Le théorème de Cauchy - Lipschitz montre que si u est une fonction continue du temps, un
modèle à variables d’état (non dégénéré) a un comportement unique, c'est-à-dire une solution
unique pour des conditions initiales données. Malheureusement, cela n’est pas le cas d’un
modèle à variables d’états dégénéré. Pourtant, la plupart des simulateurs modernes permettent
de définir des modèles à variables d’état dégénérés à l’aide d’un langage permettant la
description directe des équations représentatives sous l’une des formes Œ, • ou Ž. Par
exemple SABER utilise le langage MAST, ELDO utilise HDL-A , SMASH utilise ABCD et
PACTE utilise M++. Mais, si nous ne pouvons réécrire un tel modèle dégénéré sous la
forme Œ, il est probable de rencontrer des problèmes de simulation.
1.1.1.4.Conclusion
Une EDA ne correspond pas forcément à un système déterministe. Son traitement numérique
est très complexe et peut poser énormément de problèmes et le risque est très grand d’obtenir
des résultats de simulation très différents de l’expérience.
Par contre, une EDO ne pose pas de problème formel. Au pire son comportement est très
complexe ou raide. Il faudra alors faire appel à des méthodes d’intégration très stables.
Un système physique étant déterministe, il est forcément représentable par une EDO.
Le problème réside donc dans la modélisation d’un phénomène par une EDO, et la question qui
est posée est la suivante : "existe-t’il un ou des formalismes de modélisation menant
systématiquement à une EDO ou au moins détectant que le système à simuler n’est pas une
EDO ?"
1.1.2. Les Méthodes classiques d’assemblage
Les méthodes d’assemblage de modèles permettent de représenter plus ou moins aisément un
système. Outre leur souplesse d’utilisation, leur représentation plus ou moins directe de ce que
20
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
nous avons l’habitude de voir, ces méthodes conditionnent directement les règles
d’établissement du système d’équations correspondant au schéma à simuler.
1.1.2.1.Les Réseaux de Kirchhoff et la méthode nodale
Un réseau de Kirchhoff est une représentation graphique de la connexion des composants d’un
circuit électrique ou d’un système en général. Cette représentation matérialise très bien le
câblage des circuits électriques. Les composants sont connectés à des noeuds par des branches.
Ces réseaux sont évidemment très prisés par l’électronicien et ont été étendus à d'autres
domaines physiques (acoustique, thermique, mécanique). Néanmoins, ils sont nettement moins
bien adaptés à ces autres domaines et il devient alors fastidieux de représenter un système
multi-domaine.
1
R
2
E
D
L
3
4 Rg 5
M
G
0
Figure 1- 1 : Un circuit hacheur représenté par un réseau de Kirchhoff
Nombre de logiciels dits "type Spice" (Spice, Saber, Eldo, Smash ...) utilise les réseaux de
Kirchhoff. La méthode de déduction des équations du circuit utilisée est généralement la
méthode nodale modifiée [Ho-75], extension de la méthode nodale [Chua-75].
La méthode nodale consiste à décrire le circuit à partir de ses noeuds. A chaque noeud est
associée une variable qui définit le potentiel électrique à ce noeud. L’idée principale de la
méthode est de considérer le système d’équations implicites correspondant aux équations des
noeuds (sans considérer le noeud de référence, généralement numéroté 0).
Les équations de noeud traduisent que, en chaque noeud du circuit, la somme des courants est
nulle. Le modèle de chaque composant du circuit doit donc exprimer le courant dans chaque
branche de celui-ci en fonction des potentiels aux noeuds. En conséquence un modèle de
21
CHAPITRE PREMIER
composant dans la méthode nodale modifiée est un modèle dégénéré à variable d’état. Un
modèle de composant à deux noeuds a donc la forme suivante :
dv1 dv 2 

i = f N  v1, v 2,
,

Eq. 1- 12

dt dt 
où i est le courant dans le composant et v1, v2 sont les potentiels des noeuds de connexion.
Par exemple, le modèle d’une résistance sera :
v 2 − v1
R⇒i =
R
et celui d’un condensateur sera :
 dv 2 dv1
C ⇒ i = C
−

 dt
dt 
Eq. 1- 13
Eq. 1- 14
En revanche, il est clair que dans cette approche, une inductance ou une source de tension ne
sont pas directement représentables. C’est là qu’intervient la différence entre la méthode
nodale et la méthode nodale modifiée. Dans cette dernière, on utilise la notion de variable
supplémentaire qui permet d’utiliser comme variable du système d’équations, les variables z,
lesquelles ne correspondent pas à un potentiel à un noeud du circuit. Pour que le système
d’équations reste régulier, il est nécessaire d’ajouter une nouvelle équation à résoudre
simultanément avec les équations des noeuds du circuit. Dans le cas d’une inductance, la
variable supplémentaire est le courant qui la traverse, et l’équation supplémentaire correspond
au modèle d’état du composant :
dv *

v 2 − v1 = L
dt
L⇒
Eq. 1- 15
i = v *
Pour une source de tension, nous aurons :
V 2 − V 1 = E (t )
Eq. 1- 16
V ⇒
i = V *
Le système d’équations associé à un circuit a donc la forme générale suivante :
 dz

F  , z, t  = 0
Eq. 1- 17
 dt

ou z est constitué des potentiels aux noeuds du circuit, suivi des variables supplémentaires dues
aux sources de tension et inductances. Il s’agit d’une EDA.
Commentaire :
La méthode nodale modifiée n’est pas causale : il n’est pas précisé de variable d’entrée ou de
sortie. Par exemple, dans l’approche nodale, il est impossible de savoir si le courant de base
d’un transistor bipolaire à jonction est une cause du fonctionnement ou bien une conséquence.
22
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
1.1.2.2.Les Schémas Blocs
Cette méthode a pour avantage de représenter graphiquement la hiérarchie d’un système en
montrant les variables d’entrée et de sortie.
Ce type de représentation est particulièrement bien adapté à l’étude de l’Automatique dans la
mesure où figurent clairement les boucles de (contre-)réaction. Chaque bloc est un modèle à
variable d’état (voire dégénéré).
B1
B2
B3
Figure 1- 2 : Un schéma bloc
D’autre part, chaque flèche entre deux blocs unifie une variable d’entrée et une variable de
sortie. Aussi un schéma bloc décrit une liste de relations entre les variables d’entrée et les
variables de sortie de chaque bloc, en plus des modèles des blocs.
Finalement, les équations du schéma bloc correspondent à une EDA de la forme :
dx s
= f s ( x s , as , t )
dt
as = h ( xs , a s , t )
Eq. 1- 18
Eq. 1- 19
où xs est le vecteur d’état du système (l’ensemble des vecteurs d’état des blocs), as est
l’ensemble des variables d’entrée des blocs, fusionné avec l’ensemble des variables de sorties
des blocs, fs et hs rassemblent les fonctions f et h de tous les blocs.
Le système sera déterministe s’il n’y a pas de boucle, ou si toutes les boucles sont causales.
C'est-à-dire, si le long de ces boucles l’effet n’est observable qu’après l’application des causes.
Les schémas blocs sont utilisés dans les logiciels commerciaux destinés à l’automatique :
Matlab/Simulink, MatrixX, Tutsim, Acsl ...
1.1.2.3.Les Graphes de Liens
La théorie des Graphes de Liens (Bond Graph) [Karnopp-90] a été introduite en 1961 par
H. Painter. Elle a été établie surtout par des mécaniciens et des automaticiens. L’utilisation de
cette théorie dans le domaine de l’électronique (de puissance) date de 1987 (Asher).
On peut considérer que les graphes de liens unifient la représentation par schémas blocs et les
réseaux de Kirchhoff. En effet, un graphe de liens est une représentation graphique de type
23
CHAPITRE PREMIER
réseau où les connexions entre les composants sont explicites. Mais dans un graphe de liens , la
notion de causalité exprime clairement les variables d’entrée et de sortie.
Le paragraphe 1.1.2 sera consacré à la présentation des principes de base des graphes de liens
et de l’analyse de causalité. Nous nous limiterons ici à une présentation des notions générales
et nous résumerons les principales propriétés d’un système décrit par un graphe de liens.
Notions générales :
Les graphes de liens sont basés sur une expression énergétique de la dynamique des systèmes.
Un système est divisé en sous-sytèmes, et le graphe de liens indique comment l’énergie est
échangée entre ces sous-sytèmes. Le modèle d’un sous-système indique comment l’énergie est
stockée, modifiée ou dégradée à l’intérieur du bloc.
Le Premier Principe impose la continuité temporelle de l’énergie.
Le premier principe de la thermodynamique exprime la conservation de l’énergie. Ainsi le
stockage d'énergie indique l'effet mémoire. Comme on peut toujours décomposer les systèmes
physiques utilisés par les ingénieurs en micro-systèmes qui vérifient eux aussi le Premier
Principe, nous pouvons légitimement supposer la conservation spatiale de l’énergie. Une
variation d’énergie à un endroit du système doit correspondre à un flux de puissance venant
d’un autre endroit du système (excepté pour les sources d’énergie). Mais, si nous n’avions que
la continuité temporelle, il serait possible que l’énergie "disparaisse" dans un composant A du
système (défini par une position spatiale) pour "réapparaître" dans un autre composant B du
système (défini par une autre position spatiale). L'hypothèse de continuité spatiale de l'énergie
impose que ce cas de figure ne soit pas possible : il doit exister un flux d'énergie, un transfert
d'énergie, caractérisé par une puissance qui s'écoule de A vers B. En fait, tous les systèmes
réels étudiés dans les sciences de l'ingénieur et le génie électrique en particulier, sont constitués
d'un continuum de micro-systèmes qui vérifient eux-mêmes les lois physiques fondamentales et
particulièrement le Premier Principe. Ainsi, l'hypothèse de continuité spatiale est aisément
satisfaite dans les sciences de l'ingénieur.
Comme tout système est un continuum de micro-systèmes, il y a aussi continuité spatiale de
l'énergie. Les variations d'énergie résultent d'un transfert d'énergie.
Nous venons d'exprimer que nécessairement une variation d'énergie dans un composant du
système s'expliquait par un flux d'énergie. Mais, toujours pour les sciences de l'ingénieur, nous
pouvons considérer qu'un flux d'énergie correspond à un flux de particules : la décomposition
24
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
en micro-systèmes identifie toujours la notion de particule fictive ou réelle. Dans le domaine
électrique, l'électron est manifestement la particule qui contribue au transfert d'énergie. Dans le
domaine thermique, il est classique dans les représentations cristallines d'utiliser la notion de
phonon.
Un transfert d'énergie résulte d'un flux de particules (réelles ou fictives).
Alors le Second Principe de la thermodynamique, et en particulier la relation d'Onsager, affirme
que le flux d'énergie s'exprime comme le produit d'une variable de flux par une variable
d'effort. La variable de flux, notée f, est le flux de particules, c'est-à-dire le nombre de
particules par unité de temps. La variable d'effort, notée e, est une variable intensive, c'est-àdire dépendante de la quantité de matière ou de particules.
Le Second Principe impose qu'un transfert d'énergie est proportionnel au flux de particules. Le
coefficient de proportionnalité est une variable intensive appelée "effort".
Représentation graphique :
Considérons deux composants A et B d'un système physique. Une énergie qui transite de A
vers B est représentée par un lien (demi-flèche) dirigé dans le sens d'écoulement de l'énergie.
Par convention, la puissance est positive si l'écoulement d'énergie suit la flèche. Ce lien est
connecté entre deux ports. Un port de sortie du composant A et un port d'entrée du composant
B. A chaque port sont associées deux variables (flux et effort). Le lien impose que les variables
correspondantes de chaque port connecté soient identiques. On dit qu'il y a identification des
variables de ports de même type.
Ports
B
A
lien
Figure 1- 3 : Représentation graphique d'un lien par une demi-flèche.
Remarque :
L'identification des variables des ports connectés impose que la causalité soit respectée. En
d'autres termes, les deux composants ne peuvent pas imposer tous les deux le flux ou l'effort.
Par convention, et pour des commodités graphiques, on surchargera le lien reliant deux
composants d'une barre verticale du côté du composant imposant le flux.
25
CHAPITRE PREMIER
Soit, si A impose le flux, B doit imposer l'effort (et réciproquement). Le schéma précédent
aura alors l'allure suivante :
Barre de causalité
B
A
Figure 1- 4 : Représentation graphique de la causalité. A impose le flux.
Propriétés d’un système décrit par un graphe de liens :
L'outil de simulation a pour rôle la mise en équation et la résolution du système.
L'analyse de la causalité est une méthode formelle qui permet de vérifier si le système
d'équations d'un graphe de liens peut se mettre sous la forme d'une EDO (système
déterministe). Dans ce cas, le système est dit causal.
Si l'objectif est effectivement la mise en équation du système, il est nécessaire d'écrire des
tables de variables et des listes d'équations. Toutefois, si l'objectif est uniquement de vérifier si
le système est causal, nous pouvons nous contenter d'une analyse graphique qui est beaucoup
plus rapide à mettre en œuvre.
Si le système est causal, l'analyse de causalité permettra de le mettre sous la forme d'une EDO.
Dans le cas contraire, nous aboutirons à une EDA.
Nous montrerons plus loin que, si le système n'est pas causal, l'analyse de causalité fournira
explicitement les raisons entraînant la (ou les) faute(s) de causalité. Ceci est d'un immense
intérêt pour l'utilisateur de l'outil de simulation.
D'autre part, il existe de nombreuses règles graphiques qui permettent de simplifier et réduire
un graphe de lien. Le nombre d'équations à résoudre est donc réduit, ce qui ne peut avoir que
des effets bénéfiques sur le temps de simulation.
1.1.2.4.Les Réseaux de Pétri
Les réseaux de Pétri sont dédiés à la description des systèmes séquentiels. Les états stables
sont appelés place et les conditions de passage d'une place à l'autre sont nommées transitions.
Ils sont très utilisés en conception logique pour décrire les machines d'états régissant le
fonctionnement du système.
Nous pouvons utiliser les réseaux de Pétri en électronique (de puissance) pour décrire les
différents états d'un composant. Prenons par exemple un interrupteur idéal commandable par
un signal g. Si l'interrupteur est commandé (g), il est fermé et impose une tension nulle à ses
26
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
bornes. S'il n'est pas commandé ( g ), il est ouvert et impose donc un courant nul dans la
branche dans laquelle il est inséré. Les réseaux de Pétri nous permettent de représenter très
simplement un tel fonctionnement :
Fermé u = 0
g
g
i = 0 Ouvert
Figure 1- 5 : Description d'un interrupteur idéal par réseau de Pétri.
Comme nous le verrons par la suite, l'association des réseaux de Pétri et des graphes de liens
apporte une solution élégante pour la représentation des phénomènes à plusieurs états, comme,
par exemple, les dispositifs à semiconducteur utilisés en électronique (de puissance).
1.2.
LES GRAPHES DE LIENS ET L’ANALYSE DE CAUSALITE
Nous avons vu dans le paragraphe précédent les principales notions justifiant la représentation
des systèmes physiques (dans les sciences de l'ingénieur) par des graphes de liens. Ces derniers
résultent de la représentation énergétique de ces systèmes et représentent les transferts
d'énergie entre deux sous-sytèmes. Deux variables sont nécessaires à l'expression du flux
d'énergie : un flux (noté f) et un effort (noté e). Cette représentation est naturellement multidomaine. La table suivante propose les variables de flux et d'effort dans les domaines physiques
courants.
domaine physique
variable de flux
variable d’effort
Electrique
le courant, i
la tension, u
Thermique
le flux d'entropie, Fs
la température, T
Hydraulique
le débit volumique ρv
la pression, p
Mécanique de translation
la vitesse, v
la force, f
Mécanique de rotation
la vitesse angulaire, ω
le couple, Γ
Magnétique
la dérivée du flux, λ
la force magnétomotrice, M
Table 1- 1 : Variables de flux et d'effort des principaux domaines physiques.
27
CHAPITRE PREMIER
1.2.1. Les composants élémentaires
Les composants élémentaires des graphes de liens peuvent être classés en fonction de leur
comportement par rapport aux deux Principes de la Thermodynamique et au principe de
continuité spatiale de l'énergie.
• Premier Principe: le composant peut être énergétique s'il stocke de l'énergie (élément
mémoire).
• Second Principe: le composant peut être entropique s'il produit de la chaleur (non
réversible).
• Continuité spatiale de l'énergie: le composant peut être un créateur s'il produit ou
supprime de l’énergie. Evidemment, un composant créateur est une absurdité physique et
n'existe pas, puisqu'un tel composant est en contradiction avec le second principe. C'est
seulement un moyen commode de simplifier la représentation d'un système (pour les sources
en particulier).
type d'élément
Symboles d'élément
propriété
propriété
énergétique entropique
propriété
créateur
stockage
C, I
oui
non
non
irréversible
R, RS
non
oui
non
source
Sf, Se
non
non
oui
contrainte
0,1,TF,GY
non
non
non
Table 1- 2 : Classification des composants élémentaires des graphes de liens.
Une classification plus complète peut être trouvée dans [Breedveld-85]. La signification des
symboles est donnée dans la Table 1- 4.
Un composant élémentaire ne satisfait au plus qu'une seule de ces propriétés à la fois:
énergétique, entropique ou créateur. Les composants élémentaires peuvent être classés aussi
par le nombre de leurs ports. La Table 1- 4 donne la liste des composants élémentaires
ordonnés par ordre croissant du nombre de ports.
Les premiers éléments à considérer sont les éléments à un port.
Les éléments énergétiques C et I, sont les seuls à avoir un effet mémoire. On notera que le
modèle de l’inductance électrique est celui de l’inertie.
Les sources d'énergie Sf et Se, sont les éléments créateurs.
28
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
L'élément R est entropique : il produit de la chaleur et introduit une irréversibilité. Puisque
l'élément R n'explicite pas la production de chaleur, cela sous-entend qu'il se comporte comme
une source de température. C'est pourquoi l'élément R est souvent qualifié d'élément
entropique isotherme.
Les éléments suivants sont des éléments à deux ports.
L'élément RS est entropique : c'est l'élément de transformation d'une énergie en chaleur.
Contrairement à l'élément R, l'élément RS montre explicitement la production de chaleur par
son port thermique. Les autres éléments sont ni énergétiques, ni entropiques, ni créateurs.
Les éléments TF et GY sont les éléments de transformation de l'énergie. Ils sont
particulièrement utiles dans la description des systèmes multi-domaine.
Enfin, les jonctions permettent de réaliser des assemblages. Dans le domaine électrique, la
jonction 1 correspond à la loi des mailles et la jonction 0 correspond à la loi des noeuds.
Par défaut, les jonctions ont une convention "récepteur" (liens entrants). Mais la combinaison
des orientations des liens permet de tenir compte du signe des variables dans les assemblages.
Par exemple, la Table 1- 3 montrent les trois combinaisons de signes possibles pour une
jonction 1 à trois ports.
Les jonctions standard sont des éléments à trois ports. Evidemment les notions de jonction 1 et
0 s'étendent sans difficulté aux cas d'un nombre quelconque de ports. En particulier, les
jonctions 0 et 1 à 2 ports permettent d'inverser respectivement les variables flux et effort. De
même les jonctions 0 et 1 à un port imposent respectivement un flux et un effort nul (circuit
ouvert et court-circuit).
Equation implicite
e1+e2+e3=0
1
Représentation
Graphique
1
e1+e2-e3=0
1
2
1
3
3
e1-e2-e3=0
2
1
1
3
Table 1- 3 : différentes combinaisons d'orientation des liens d'une jonction 1 à trois ports.
29
2
CHAPITRE PREMIER
Variables Variables
d'entrée de sortie
Nom, symbole
Modèle à V.E.
capacité,
C
inductance,
I
résistance,
dx
= f , e = e( x )
dt
dx
= e , f = f ( x)
dt
e = R. f
f
e
e
f
f
e
R
(mode 1)
R
f =e/ R
e
f
R
(mode 2)
f
e
e
f
e2, f1
e1, f2
TF
(mode 1)
e1, f2
e2, f1
TF
(mode 2)
e = e( t )
source d’effort,
Se
f = f (t )
source de flux,
Sf
transformateur, e1 = m. e2 , f 2 = m. f 1
TF
(m est le rapport de e2 = m. e1 , f 1 = m. f 2
représentation graphique
C
I
Se
Sf
transformation)
gyrateur,
GY
(m est le rapport de
transformation)
jonction 1,
1
e1 = m. f 2
, e2 = m. f 1
f1, f2
e1, e2
GY
(mode 1)
f 2 = m. e1
, f 1 = m. e2
e1, e2
f1, f2
GY
(mode 2)
f2=f3=f1 , e1=-(e2+e3)
f1, e2, e3 f2, f3, e1
1
1
2
3
(mode 1)
(exemple d’une
jonction à 3
ports)
f1=f3=f2 , e2=-(e1+e3)
f2, e1, e3 f1, f3, e2
1
1
2
3
(mode 2)
f1=f2=f3 , e3=-(e1+e2)
f3, e1, e2 f1, f2, e3
1
1
2
3
(mode 3)
jonction 0,
0
e2=e3=e1 , f1=-(f2+f3)
e1, f2, f3 e2, e3, f1
1
0
2
3
(mode 1)
(exemple d’une
jonction à 3
ports)
e1=e3=e2 , f2=-(f1+f3)
e2, f1, f3 e1, e3, f2
1
0
2
3
(mode 2)
e2=e3=e1 , f3=-(f1+f2)
e3, f1, f2 e1, e2, f3
1
0
2
3
(mode 3)
Table 1- 4 : Composants élémentaires des graphes de liens
30
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
1.2.2. La causalité
Comme nous l'avons vu, la causalité est inhérente aux graphes de liens. Chaque modèle de
composant
doit
donc
exprimer
clairement
sa
causalité.
Pour
pouvoir
exprimer
(automatiquement) le système à simuler sous la forme d'une EDO, ce système doit être causal.
C'est-à-dire que les différents composants seront connectés en respectant ces règles de
causalité.
1.2.2.1.Règles de causalité d'un composant
Le modèle à variables d’état d’un composant rassemble les équations d’état et les équations de
sorties (les règles de causalité). Les variables d’entrée et de sortie sont les variables de chaque
port du composant. Chaque règle de sortie précise donc, soit la valeur de la variable de flux,
soit celle d’effort d'un port. Il y a autant de règles de causalité que de ports.
Souvent, il existe plusieurs modèles à variables d'état représentatifs d'un même composant.
Ceux-ci peuvent différer seulement par leur règle de causalité. Par exemple, si la règle de
causalité peut s'écrire sous la forme d'une relation linéaire entre des variables de port, il existera
plusieurs formulations explicites de cette relation.
Définition: Des modes sont des modèles à variables d'état équivalents qui se différentient
seulement par la formulation d'une de leurs règles de causalité.
Par exemple, dans le cas de la résistance, nous avons une relation linéaire classique:
0 = u − R .i
Eq. 1- 20
que l'on peut représenter sous la forme explicite (Modèle à variables d'état)
u = R .i
Eq. 1- 21
ou
i = uR
Eq. 1- 22
L'équation 1-21 représente le mode 1 et l'équation 1-22 représente le mode 2.
Pour les jonctions, il apparaît une égalité entre toutes les variables du même type (flux pour la
jonction 1 et effort pour la jonction 0). Ces règles de causalité un peu particulières sont
appelées des règles de fusion (Elles correspondent à un grand nombre de modes différents).
1.2.2.2.Interprétation de la notion de causalité
On considère l’hypothèse naturelle :
Postulat: tout système physique est déterministe.
31
CHAPITRE PREMIER
De plus nous considérons que tout composant est représentable par un modèle à variables
d'état (non dégénéré). Aussi, si nous connaissons les variables d'entrée de ce composant (ce qui
revient à définir les variables d'entrée comme des sources adéquates), le théorème de Cauchy Lipschitz montre que l'évolution de ce composant ne dépend que de son état initial.
Une règle de causalité peut être interprétée comme une règle de cause à effet. L’hypothèse cidessus implique qu’un comportement a nécessairement une cause. Evidemment, une cause doit
précéder son effet. Aussi dans un modèle à variable d’état :
dx
= f ( x, u, t )
dt
y = h(x, u, t)
Eq. 1- 23
Eq. 1- 24
nous pouvons interpréter u comme la cause et y comme la conséquence. Les équations d’état
traduisent un délai entre l’application des causes et l’observation des effets. Quand il n’y a pas
de variable d’état, les relations de cause à effet sont instantanées.
Si l'on applique un petit échelon en entrée, la réponse du système sera proche de celle du
système linéarisé. Or, compte tenu de la forme explicite de l'équation 1-23, la fonction de
transfert du système linéarisé sera causale (degré du numérateur inférieur à celui du
dénominateur) et donc la sortie sera en retard par rapport à l'entrée. Il en sera de même pour
une petite perturbation du système non linéaire.
En isolant un composant dans un système, le reste du système représente le monde extérieur au
composant. Les variables d’entrée du modèle du composant expriment l’action de
l’environnement extérieur sur ce composant. Les variables de sortie traduisent les réactions du
composant sur son environnement extérieur.
1.2.2.3.Graphe de liens d'un circuit électrique
Il existe des algorithmes pour obtenir un graphe de liens à partir d'un réseau de Kirchhoff,
décrit par une liste de connexions (netlist) [Karnopp-90]. H. Morel et B. Allard proposent un
algorithme amélioré permettant de simplifier des circuits très complexes [Morel-97]. Nous
présenterons ici succinctement cet algorithme et donnerons un exemple d'application à
caractère didactique.
32
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
Construction d'un graphe de liens à partir d'un réseau de Kirchhoff [Morel-97]
(i) Transformer tous les noeuds du circuit en jonction 0.
(ii) Pour chaque port de chaque composant insérer une jonction 1 entre les deux noeuds de la
branche correspondante, en respectant les conventions.
(iii) Eliminer une jonction 0 interne et tous ses liens.
(iv) Simplifier le graphe de liens restant:
a) en éliminant les jonctions à deux ports,
b) en fusionnant les jonctions de même nature liées,
c) en supprimant les boucles entre jonctions 1 et 0,
d) en réduisant les boucles de jonctions 0-1-0-1,
e) éventuellement en inversant les liens d'une jonction interne.
Remarques :
Il y a deux cas à considérer pour le respect des conventions de port : la convention
"générateur" (Figure 1- 6) et la convention "récepteur" (Figure 1- 7).
0:n1
n1
i
E
v
1
Se:E
n2
0:n2
Figure 1- 6 : Insertion d'un élément avec un port générateur
0:n1
n1
C
i
v
C:C
1
n2
0:n2
Figure 1- 7 : Insertion d'un élément avec un port récepteur
Pour un composant multi-ports, il est nécessaire d'insérer une jonction 1 par branche. Il faut
surtout veiller à respecter la correspondance entre les variables de ports dans le graphe de liens
et les variables d'entrée et de sortie dans le modèle à variables d'état représentatif du
composant. Par exemple, dans le cas du transistor bipolaire les variables classiques sont iB, vBE,
iC et vCE. D'autres choix de variables conduiraient à un autre graphe de liens.
33
CHAPITRE PREMIER
collecteur
0:base
iC
base
0:collecteur
iB
iB
v
BE
1
vCE
iC
vCE
1
v
BE
0:émetteur
émetteur
Figure 1- 8 : Insertion d'un élément récepteur à plusieurs ports.
Enfin, prenons le cas d'un composant à deux ports, dont l'un est récepteur et l'autre est
générateur: un transformateur.
p+ i1
0: p+
s+
i2
v1
p-
i1
v1
1
v2
s-
0: s+
TF
i2
v2
1
0: s -
0: p-
Figure 1- 9 : Insertion d'un élément ayant un port récepteur et un autre générateur.
Exemple : circuit résonnant RLC série
Soit le schéma suivant:
1
R
E
2
0
3
L
C
Figure 1- 10 : Circuit R-L-C
G
En appliquant les clauses (i) et (ii) nous obtenons, le graphe de liens primaire du circuit.
R:R
0:1
Se:E
1
I:L
0:2
1
1
0:3
1
0:0
Figure 1- 11 : graphe de liens primaire
34
C:C
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
G
La clause (iii) nous permet d'éliminer une jonction 0 interne et tous ses liens.
Définition: Une jonction interne est une jonction liée uniquement à d'autres jonctions.
Règle pratique : On a toujours intérêt à simplifier la jonction 0 interne qui a le plus grand
nombre de ports.
Ce qui nous amène au graphe de liens suivant :
R:R
0:1
Se:E
1
I:L
0:2
1
1
0:3
1
C:C
Figure 1- 12 : graphe de liens après utilisation de la clause (iii)
G
Enfin, nous pouvons simplifier le graphe de liens restant.
• Elimination des jonctions à deux ports (les 2 ports doivent être orientés dans le
même sens) :
Se:E
R:R
I:L
1
1
1
1
C:C
Figure 1- 13 : graphe de liens après élimination de jonctions à deux ports
• Fusion des jonctions liées, de même nature. Nous arrivons au graphe de liens final :
R:R
Se:E
1
C:C
I:L
Figure 1- 14 : Graphe de liens final du circuit RLC après simplifications.
L'annexe 1 présente les simplifications qui n'ont pas été utilisées dans cet exemple.
Une fois le graphe de liens construit et simplifié, le simulateur doit mettre en équation le
système de manière à pouvoir simuler son fonctionnement. C'est le rôle de l'analyse de
causalité.
35
CHAPITRE PREMIER
1.2.3. Analyse de la causalité
1.2.3.1.Analyse de Causalité Standard
Comme nous l'avons présenté précédemment, les règles de causalité peuvent être représentées
par le trait causal.
A
B
A
e
f
B
trait causal
Figure 1- 15 : Equivalence entre un trait causal et un schéma bloc.
La causalité est indépendante du sens de transfert de l’énergie, et indique quel composant fixe
la valeur de la variable flux, et corollairement quel composant fixe la valeur de la variable
d’effort. Ainsi dans la Figure 1- 15, c’est le composant B qui fixe la valeur du flux (le flux est
une variable de sortie de B), et c'est le composant A qui fixe la valeur de l'effort (l'effort est
une variable de sortie de A). Evidemment, cela exige une certaine compatibilité entre les
éléments A et B.
L'analyse de causalité standard que nous allons présenter brièvement est décrite en détail dans
[Karnopp-90].
Analyse de Causalité Standard :
(i) fixer la causalité des sources, propager la causalité à travers les éléments de contraintes (0,
1, GY, TF).
(ii) fixer la causalité des éléments C et I (causalité intégrale), propager la causalité à travers les
éléments de contraintes (0, 1, GY, TF).
(iii) fixer arbitrairement la causalité des éléments R non encore assignés.
Propager la causalité signifie "appliquer les règles de propagation".
La Figure 1- 16 montre l'utilisation de l'analyse de causalité standard dans le cas du graphe de
liens de la Figure 1- 14.
36
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
R
E
Se
R
R
1
L
L
C
E
Se
C
R
1
L
a
C
C
L
b
Figure 1- 16 : Analyse de causalité du circuit RLC. a) après l'étape (i). b) après l'étape (ii).
Toutefois, l'algorithme standard ne peut pas s'appliquer aux graphes de liens comportant des
composants non standard. En effet, par exemple, nous ne pouvons pas considérer simplement
qu'une diode a en général la causalité d'une capacité. Soit le modèle de diode suivant.
dQ D
= i − i D (Q D )
dt
v = g 1 (Q D )
Eq. 1- 25
Eq. 1- 26
Dans ces équations, i et v sont le courant et la tension aux bornes de la diode. QD est la charge
stockée dans la diode. C'est la variable d'état de ce modèle.
Bien que cela ne soit pas un modèle standard de capacité, à cause de la fonction iD(QD), la
règle de causalité de ce modèle est bien celle d'une capacité. Nous pourrions donc considérer la
diode comme une capacité, pour appliquer l'analyse de causalité standard.
Mais, par exemple, le modèle complet de la jonction PN utilisé dans SPICE peut s'écrire:
dQD
= i − i D (Q D )
dt
v = g 2 (Q D , i )
Eq. 1- 27
Eq. 1- 28
Cette fois la prise en compte des résistances série, a introduit une dépendance dans la règle de
causalité par rapport au courant i. On ne peut donc pas calculer la tension aux bornes de la
diode, avant de connaître le courant dans celle-ci. Dans ce cas, l'algorithme standard ne peut
pas s'appliquer. Il faut alors utiliser un autre algorithme appelé l'analyse de causalité
algébrique [Allard-96].
1.2.3.2.Analyse de Causalité Algébrique
En électronique les modèles de composants sont souvent décrits en utilisant des langages de
description du type HDL (MAST, HDL-A, ABCD, M++ ...) ou bien ils sont directement écrits
avec un langage de programmation (C ou Fortran) pour les simulateurs de type SPICE. Dans
tous ces cas, le modèle peut clairement s'identifier à un modèle à variables d'état
37
CHAPITRE PREMIER
(éventuellement dégénéré). Nous venons de montrer que dans ce cas, l'analyse de causalité
standard ne peut pas s'appliquer et qu'il faut utiliser l'Analyse de Causalité Algébrique (ACA).
Nous allons décrire brièvement cet algorithme.
Si l'on souhaite obtenir explicitement les équations du système, l’algorithme nécessite
l’utilisation de la table des variables de port du graphe de liens. Cette table est notée P.
Définition : La table des variables de port est la liste des variables de port indépendantes pour
tous les ports de tous les composants.
Plusieurs considérations sont à prendre en compte pour construire cette table. Rappelons tout
d’abord que par essence, pour chaque port correspondant à un transfert d'énergie, nous devons
avoir une variable d’entrée et une variable de sortie. En effet, le modèle d’un composant ne
peut pas imposer à la fois la valeur des deux variables flux et effort d'un même port.
Création de la table des variables de port P :
(i) faire la liste de toutes les variables de port de tous les composants du système.
(ii) fusionner les variables d'un même lien (les variables de flux entre elles et les variables
d'effort entre elles).
(iii) appliquer les règles de fusion:
fusionner les variables de flux de chaque jonction 1.
fusionner les variables d'effort de chaque jonction 0.
Nous considérons le graphe de liens décrit à la Figure 1- 14. La table P correspondante est
donnée ci-dessous. Les variables d’état du système sont les variables d'état des composants
dont le modèle a des variables d'état: la capacité et l’inductance.
R:R
Se :E
m2
1
1 3 C:C
4
I:L
Eq. 1- 29 : Graphe de liens du circuit RLC
table
nom des variables de port des
P
composants
p0 E.i, R.i, C.i, L.i, m.f1, m.f2, m.f3, m.f4
p1
E.v , m.e1
p2
R.v, m.e2
p3
C.v, m.e3
p4
L.v, m.e4
table
X
x1
x2
nom des variables d'état
des composants
L.i flux dans l’inductance L
C.v, charge de la capacité C
Table 1- 5 : Table des variables de ports et table des variable d'état du circuit RLC.
38
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
Avant d'aller plus avant dans la description de cet algorithme il nous faut préciser le
vocabulaire utilisé.
Définitions :
• Une variable de port connue est une variable qui peut être calculée explicitement à partir de
la valeur des variables d’état en utilisant une règle de causalité d'un des composants du
graphe de liens. Dans la pratique, cela correspond à l'ajout adéquat d'une barre de causalité
sur la représentation graphique du graphe de liens.
• Une règle de causalité applicable est une règle de causalité dont les variables d'entrée sont
connues au moment où la règle de causalité est considérée. Dans ce cas, un signe adéquat
est inscrit sur la représentation graphique du graphe de liens. Cela permet de savoir que
cette règle de causalité a été utilisée et que la variable de sortie de la règle est alors connue.
• Une séquence de composants est une liste arbitraire des composants du graphe de liens.
• La séquence ACA des règles de causalité est la liste des règles de causalité dans l'ordre où
les règles sont déclarées applicables.
Notations graphiques:
La demi-barre sur le lien du côté du composant A, signifie que la variable
A
B
de flux du lien est connue. De plus, c'est la règle du composant A qui est
utilisée pour calculer cette variable de flux.
La double demi-barre sur le lien du côté du composant A signifie que la
A
B
variable d'effort du lien est connue. De plus, c'est la règle de causalité du
modèle du composant B qui est utilisée pour calculer cette variable
d'effort.
Evidemment, nous avons des notations similaires lorsque la demi-barre ou la double demi-barre
est notée sur le port du composant B.
Enfin, les deux notations peuvent se superposer :
Cela veut donc dire que les variables de flux et d'effort du lien sont
A
B
connues. C'est le modèle du composant A qui permet de calculer la
variable de flux et c'est le modèle du composant B qui permet de calculer
la variable d'effort.
L'algorithme d'analyse de causalité algébrique s'applique pour une séquence de composants
donnée.
39
CHAPITRE PREMIER
Analyse de Causalité Algébrique:
Début
Elément de la
séquence de
composant suivant
Règle de causalité
suivante
Règle de
causalité
applicable
non
oui
Variable de
sortie de la règle
de causalité déjà
connue
non
Utiliser la règle
(voir 1)
1)
non
Règle de
fusion utilisable
pour l'élément
oui
La variable de sortie de la règle
considérée devient connue
Les symboles graphiques de
représentation de la règle de causalité
doivent être indiqués pour cette règle
oui
Prendre en compte
la règle au niveau
graphique
non
Dernière règle
de causalité
oui
non
Dernier
composant
oui
GRAPHE DE
LIENS CAUSAL
oui
Toute les
variables de
port sont
connues
non
CAUSALITE
INDETERMINEE
Figure 1- 17 : Algorithme d'Analyse de la Causalité Algébrique.
40
FAUTE DE
CAUSALITÉ
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
Propriétés :
• Pour chaque séquence de composants, il correspond une unique séquence ACA. En effet,
par construction, la séquence ACA est déterminée à partir de l'ordre des composants dans la
séquence de composants.
• Si le système est causal pour une séquence de composants, il est causal pour toutes les
autres séquences de composants.
Si le système est causal, la séquence ACA et les équations d'état définissent une EDO du
système. Si le système n'est pas causal, la séquence ACA, les équations d'état, les équations
implicites correspondant aux règles de causalité provoquant des fautes de causalité et les
équations implicites correspondant aux règles de causalité non utilisée forment une EDA du
système.
D'autre part, l'algorithme identifie clairement quels composants ont créé une faute de causalité.
L'utilisateur a donc a sa disposition des informations précieuses qui lui feront gagner du temps
lors de la simulation d'un système complexe.
La table suivante présente graphiquement les causalités des composants de la Table 1- 4 pour
l'analyse la causalité standard et l'analyse de causalité algébrique.
41
CHAPITRE PREMIER
Nom, symbole
ACA
avant affectation
ACA
après affectation
causalité standard
avant affectation
causalité standard
après affectation
capacité, C
e=f(x)
C
C
C
C
inertie, I
f=f(x)
I
I
I
I
résistance, R
e=Rf
R
R
R
R
R
R
R
R
source d'effort,
Se, e=f(t)
Se
Se
Se
Se
source de flux,
Sf, f=f(t)
Sf
Sf
Sf
Sf
f = e/R
transformateur,
TF, f2 = m f1
TF
TF
TF
TF
TF
TF
e2 = e1/m
TF
TF
gyrateur, GY
e2 = m f1
GY
GY
GY
GY
GY
GY
f2 = e1/m
GY
GY
jonction, 1
f3=f2=f1
1
e3=e2+e1
TF
TF
TF
TF
GY
GY
GY
GY
1
1
1
1
1
1
1
jonction, 0
e3=e2=e1
0
0
0
0
f3=f2+f1
0
0
0
0
e1 = m e2
f1 = f2/m
e1= m f2
f1 = e2/m
1
Table 1- 6 : Représentation graphique de la causalité pour les éléments standard, pour la méthode ACA
et la méthode standard. Dans le cas des jonctions 0 et 1, l'orientation des demi-flèches n'influe pas sur la
causalité des jonctions. C'est pourquoi elles ne sont pas indiquées sur les figures relatives aux jonctions.
42
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
1.2.4. Exemples d'application
La faute de causalité ne signifie pas systématiquement que le système n'est pas simulable. Elle
correspond, dans la pratique, à une contrainte algébrique. L'analyse des systèmes non causaux
[Morel-97] permet de "corriger" un certain nombre de fautes de causalité de manière à pouvoir
simuler le système. Nous ne préciserons pas le détail de l'analyse des systèmes non causaux.
Nous donnerons simplement quelques exemples illustrant clairement l'intérêt de l'analyse de
causalité et de la correction des fautes de causalité.
Tout d'abord, comparons le comportement d'un simulateur d'électronique de puissance basé sur
la méthode nodale modifiée avec un autre simulateur basé, lui, sur les graphes de liens et
l'analyse de causalité algébrique :
circuit
Méthode nodale (modifiée)
Analyse de causalité algébrique
SABER
PACTE 0.9.8
Analyses DC et Transitoire pas Faute de causalité sur L1 ou L2.
L2
I
L1
R
de problème.
La simulation se fait avec L1 ou
L'analyse DC avec initialisation L2 en causalité dérivée : un seul
des courants dans L1 et L2 est courant initial peut être spécifié.
C
fausse,
il
n'y
a
pas 2 équations d'état.
d'avertissement.
circuit 1
6 équations simultanées
Analyse DC et Transitoire sans Faute de causalité sur C.
C
I
G
problème. Pour certain SPICE, La simulation peut se faire avec C
le
courant
dans
C
est en causalité dérivée.
complètement faux.
circuit 2
La tension aux bornes de C ne
Si la tension est initialisée dans peut pas être initialisée.
C une erreur "Singular Jacobian 0 équation d'état.
Matrix"
est
obtenue
dans
l'analyse DC
Table 1- 7 : Exemples simples de circuits non causaux.
Comme nous pouvons le constater, dans le cas du circuit 1, la méthode nodale ne fournit aucun
avertissement à l'utilisateur. Le résultat est simplement non conforme à la réalité. Alors que
l'ACA permet de spécifier la cause de l'erreur et de proposer une solution à l'utilisateur.
43
CHAPITRE PREMIER
Pour le circuit 2, outre un risque de résultat erroné, le message d'erreur proposé est, pour le
moins, obscur. L'ACA ici aussi propose une solution pour pouvoir simuler le circuit.
L'utilisateur peut donc obtenir un résultat, sachant tout de même que le circuit présente un
problème.
En résumé, les causalités indéterminées correspondent davantage à une difficulté de mise en
équation (résoudre formellement un système d'équations linéaires) qu'à un problème physique.
En revanche, les fautes de causalité correspondent à des problèmes physiques. Il s'agit très
souvent d'une modélisation physique incomplète, comme la non prise en compte de certains
éléments parasites.
Toutefois dans certains cas, la dynamique associée à ces éléments parasites peut être jugée peu
importante. Auquel cas, il est intéressant de pouvoir simuler de tels systèmes. La première
solution est de résoudre le système d'équations algébriques et différentielles par d'autres
méthodes numériques. Dans l'approche classique des graphes de liens, on a souvent recours à
un autre artifice, la causalité dérivée, c'est-à-dire imposer des contraintes entre certaines
variables d'état. Pour illustrer notre discours, prenons comme dernier exemple le circuit
hacheur de tension suivant :
L
E
D
R
Rg
M
G
Figure 1- 18 : Un hacheur de tension.
Ce circuit est bien connu des électroniciens de puissance, cependant, l'analyse de causalité
algébrique détecte une erreur de causalité dans la branche de la diode. Cette erreur est, en fait,
due à une modélisation incomplète. En effet, nous n'avons pas pris en compte l'inductance de
câblage de la diode représentée sur la figure suivante :
44
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
D
L
E
Ld
R
Rg
M
G
Figure 1- 19 : Circuit hacheur avec une inductance de câblage.
Cependant, l'utilisateur peut désirer effectuer tout de même la simulation pour, par exemple
estimer l'effet de cette inductance, ou, plus simplement parce qu'il ne s'intéresse pas au détail de
la commutation. La correction des fautes de causalité est donc particulièrement importante. Un
message d'avertissement sera cependant fort utile.
Comparons les résultats des deux simulations (Logiciel Pacte, version 0.98).
avec inductance
de câblage
sans inductance
de câblage
sans inductance
de câblage
avec inductance
de câblage
Figure 1- 20 : Simulation du circuit hacheur avec et sans inductance de câblage.
En haut : courants dans la diode. En bas : tensions aux bornes de la diode
45
CHAPITRE PREMIER
La simulation de l'EDA correspondant au schéma sans inductance de câblage peut être
effectuée mais conduit à une commutation sans surtension aux bornes de la diode, alors que
l'expérience prouve le contraire. L'introduction de l'inductance de câblage pour annuler l'erreur
de causalité nous permet de nous rapprocher de l'expérience.
1.3.
PACTE.
Le CEGELY, et plus particulièrement H. Morel et B. Allard développent depuis plusieurs
années un logiciel dédié à la simulation en électronique de puissance : PACTE [Allard-93].
Cet outil est basé sur une représentation par graphes de liens (il est donc naturellement multidomaine) et intègre l'Analyse de Causalité Algébrique et un certain nombre de correction de
causalités. Il permet cependant de saisir un schéma électrique décrit par un réseau de
Kirchhoff. Ce schéma est alors automatiquement converti en graphe de liens avant d'être mis
en équation.
Une de ses particularités est d'utiliser les réseaux de Pétri pour décrire des modèles à plusieurs
états et effectuer un changement d'état en cours de simulation. C'est particulièrement utile en
électronique de puissance où la majorité des éléments de commutation changent de causalité en
fonction d'événement extérieurs : seuils de courant ou de tension, commande des transistors,
etc ...
Ce logiciel dispose de son propre langage de programmation pour la saisie des modèles
complexes : M++. Sa syntaxe est basée sur le C++ . Il est, évidemment, dédié à la formulation
par graphes de liens. Il permet aussi de décrire les modèles à plusieurs états, comme l'on
décrirait un réseau de Pétri : à chaque étape sont associés un modèle et des conditions de
passage vers une autre étape (autre modèle).
Les différentes applications réalisées ont montré que le champ d'utilisation de PACTE dépasse
largement le domaine de l'électronique de puissance.
1.4.
CONCLUSION
Par un bref résumé des principales notions concernant la modélisation des systèmes et
notamment le formalisme d'état, nous avons montré que tout système déterministe peut se
mettre sous la forme d'une Equation Différentielle Ordinaire. Ce système d'équations a la
particularité d'être complètement décrit par ses valeurs initiales et de posséder une solution
unique.
46
Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique
Nous avons ensuite comparé différentes méthodes d'assemblage utilisées dans le domaine du
Génie Electrique pour décrire les systèmes à simuler. Pour deux d'entre elles, les réseaux de
Kirchhoff et les graphes de liens, nous avons analysé leur aptitude à fournir un jeu d'Equations
Différentielles Ordinaires, assurant ainsi une bonne fiabilité du résultat de sa simulation
numérique.
D'autres formalismes existent. Citons par exemple les éléments finis (équations aux dérivées
partielles). Ce type de méthode est encore très peu utilisé pour la simulation de systèmes
complet pour des raisons de temps de calcul. Dans un contexte "système", ils sont
généralement utilisés pour vérifier un point particulier parfaitement ciblé. C'est pourquoi nous
les avons écartés de nos propos.
Le formalisme des graphes de liens, très utilisé par les mécaniciens et les automaticiens, est de
plus en plus utilisé dans d'autres spécialités dont l'électronique de puissance. Nous avons
présenté les principales notions de cette théorie qui repose sur une représentation énergétique
des phénomènes physiques et sur une expression claire de la liaison entre les causes et les effets
(les variables d'entrée et de sortie) : la causalité. Un algorithme d'analyse de causalité a ensuite
été introduit : l'Analyse de Causalité Algébrique. Si le système est causal, il sera représenté par
une Equation Différentielle Ordinaire, garantissant ainsi l'unicité de la solution.
Nous avons enfin montré par quelques exemples concrets l'intérêt d'un tel outil pour les
concepteurs. Les fautes de causalité résultent le plus fréquemment d'un niveau de modélisation
insuffisant ou de l'oubli d'un élément parasite important. L'annonce claire des raisons d'une
faute de causalité permet à l'utilisateur de gagner un temps précieux et d'éviter certaines erreurs
"fatales". Enfin, nous avons succinctement présenté un logiciel de simulation reposant sur le
formalisme par graphes de liens et l'Analyse de Causalité Algébrique : PACTE. Cet outil a la
particularité d'utiliser les réseaux de Pétri pour générer les changements de modèles en cours
de simulation, lorsque cela est nécessaire.
Le formalisme des graphe de liens, même s'il peut être transparent pour l'utilisateur lors de la
saisie des schémas électroniques (ce qui n'est plus vrai dans un contexte multi-domaine)
implique le respect de certaines règles très strictes lors de l'écriture des modèles. Ceci oblige
l'utilisateur à se poser un certain nombre de questions qu'il n'avait pas forcément l'habitude de
se poser. Il détecte ainsi plus rapidement les points durs de la modélisation et aboutit
généralement à un modèle plus "physique".
Dans la suite de notre présentation, nous nous attacherons principalement à préciser clairement
la causalité de chaque modèle, même si souvent, la représentation par graphes de liens des
47
CHAPITRE PREMIER
schémas utilisés est occultée au bénéfice des réseaux de Kirchhoff plus "parlants" pour le
néophyte.
La qualité de la simulation des phénomènes physiques est généralement liée à la complexité des
modèles, et donc, au "coût" de simulation. Même si les systèmes informatiques évoluent très
rapidement en terme de nombre d'opérations par seconde et de capacité mémoire, le
concepteur doit tout de même adapter le niveau de modélisation à ses objectifs.
Dans le chapitre suivant, nous étudierons les différents niveaux de modélisation des
composants de puissance que nous avons utilisés et dégagerons des lignes directrices quant au
choix des modèles en fonction des objectifs annoncés.
48
CHAPITRE SECOND
NIVEAUX DE REPRESENTATION ET OBJECTIFS DE
SIMULATION
Nous avons vu précédemment que le choix de la méthode d'assemblage des différents
composants du système avait des répercussions non négligeables sur la formulation de ses
équations et sur leur résolution. Le graphe de liens et l'analyse de causalité algébrique
permettent de représenter le système causal à simuler par un jeu d'équations différentielles
ordinaires, garantissant ainsi l'unicité de la solution.
Nous allons nous intéresser maintenant aux composants eux-mêmes et à leurs niveaux de
modélisation.
En effet, de manière générale, la complexité d'un modèle (le nombre d'équations à résoudre)
croit avec la finesse de la représentation qu'il procure. Le coût de calcul sera donc directement
lié à la finesse avec laquelle le phénomène physique sera représenté et aux performances de la
méthode de résolution utilisée. Par exemple:
Le coût d'une résolution par la méthode de Newton est grossièrement de l'ordre du carré du
nombre d'équations implicites du système (n).
D'autre part, la nature même du système à simuler influe sur le coût de simulation. Le pas de
temps de la méthode d'intégration utilisée pour résoudre les équations du système est de l'ordre
de la plus petite constante de temps et l'horizon temporel de la simulation est souvent de l'ordre
de la plus grande constante de temps. Ainsi, nous pouvons définir une grandeur R, appelée
raideur, qui est de l'ordre de grandeur du rapport entre la plus grande constante de temps du
système et la plus petite. Plus R sera grand, plus le système sera dit "raide". [Crouzeix-84].
Le coût de la simulation (le nombre de pas de temps) est de l'ordre de R, la raideur du système.
Finalement, en introduisant un coefficient τ0 lié au simulateur (méthode d'intégration) et,
surtout, au calculateur, nous pouvons définir le temps de simulation, Ts = τ0.R.n². A cela, il
faudrait ajouter un facteur prenant en compte le volume de stockage nécessaire et les temps
d'accès correspondants (mémoire vive et/ou disque dur).
CHAPITRE SECOND
Prenons quelques exemples concernant la raideur :
• Pour un amplificateur HF, R =
1ms
= 10 4
01
. µs
• En électronique de puissance, la simulation d'un convertisseur avec prise
en compte de la dynamique des composants à semiconducteur correspond
à: R=
20ms
= 210
. 8
01
. ns
• Toujours en électronique de puissance, si l'on ajoute la prise en compte
des couplages thermiques, R =
20s
= 2.1011 . C'est inabordable !
01
. ns
• Enfin, si l'on ne simule que la phase de commutation, R =
1µs
= 2.10 4 .
01
. ns
En résumé, si la complexité du modèle ne dépend que de la finesse de la représentation
associée, la raideur, quand à elle, dépend des objectifs de la simulation. Il convient donc,
lorsque c'est possible, de choisir des modèles adaptés à ses objectifs. De nos jours, il est encore
utopique (et certainement inutile) de vouloir simuler un cycle de roulage d'un véhicule
électrique (plusieurs kilomètres) en prenant en compte chaque commutation des composants à
semiconducteur.
Dans ce chapitre, nous allons présenter différents niveaux de représentation des éléments de
commutation en électronique de puissance (le transistor et la diode) en allant du plus précis
(donc du plus coûteux) vers le plus rapide. Nous nous attacherons en particulier à définir les
conditions d'utilisation de ces représentations et ainsi les objectifs qu'il est possible d'atteindre.
50
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
2.1.
LES MODELES DE COMMUTATION
2.1.1. Les modèles de comportement
Ce type de modèle repose sur la physique des composants à semiconducteur. Ils ont pour
objectif de représenter le mouvement des électrons et des trous dans un semiconducteur. Ce
mouvement est très complexe et peut même être considéré comme chaotique (mouvement
brownien).
Une première simplification consiste à représenter de façon statistique le mouvement des
particules (alors que les équations de la mécanique classique sont parfaitement déterministes).
La fonction de distribution décrit le nombre de particules dans une position donnée et ayant un
vecteur "vitesse" donné [Akhiezer].
La deuxième simplification consiste à ne s'intéresser qu'aux grandeurs hydrodynamiques
(macroscopiques), la concentration des porteurs, la vitesse moyenne (ou la densité de courant)
et éventuellement l'énergie moyenne (voire la température des porteurs). Les modèles
hydrodynamiques correspondent à un système d'équations aux dérivées partielles qui décrivent
ces grandeurs [Akhiezer].
Lorsque l'on élimine les cas où l'énergie des porteurs est importante (avalanche, MOS à canal
sub-micronique, injection des porteurs dans les isolants), nous pouvons nous contenter
d'utiliser le modèle très classique dit de "dérive diffusion" [Sze]. Ce modèle peut s'obtenir
comme cas limite du modèle hydrodynamique lorsque l'on néglige l'accélération des porteurs et
que l'on suppose que la température des porteurs est égale à la température du cristal.
Enfin, nous pouvons utiliser une technique mathématique appelée "approximation interne"
pour développer un modèle analytique d'un composant. Cette méthode a été appliquée avec
succès à la modélisation de la zone de plasma dans la diode de puissance [Morel-94].
Ces différents modèles sont généralement utilisés dans les simulateurs dédiés à la conception de
composants à semiconducteur. Les plus simples (modèles à variables d'état), sont utilisés pour
la simulation de quelques commutations dans un circuit. Les temps de simulation vont de
quelques heures à plusieurs jours.
Nous ne rentrerons pas dans le détail de tels modèles que nous considérerons simplement
comme des références de simulation dans la suite de notre discours. Ils sont, pour certains, déjà
implantés dans le simulateur PACTE. Nous citerons simplement les modèles que nous
envisageons d'utiliser, à savoir :
51
CHAPITRE SECOND
• Pour la Diode de puissance : Le modèle "Diode PIN" développé au CEGELY [Morel-94].
• Pour l'IGBT : Un des modèles développés par A. Hefner [Hefner-93], [Hefner-94].
Les modèles de comportement représentent de manière assez précise le comportement du
composant à semiconducteur soumis à des contraintes extérieures. Si l'on souhaite utiliser ce
type de modèle pour simuler tout ou partie d'un convertisseur, il convient de s'assurer que ces
contraintes extérieures (conditions tension / courant et, pour les composants commandables,
circuit de commande) sont correctement représentées. En effet, comme l'exemple du circuit
hacheur le montre (cf. § 1.2.4.), si, par exemple, les inductances de câblage sont mal
modélisées, le résultat de la simulation sera erroné, même avec de très bons modèles des
composants à semiconducteur.
L'utilisation de tels modèles demande donc un volume de travail très important. Outre
l'identification des paramètres de ces modèles qui est particulièrement complexe, ils nécessitent
une très bonne connaissance de l'environnement immédiat des composants. Généralement, nous
préférerons donc les utiliser dans des simulations très partielles où les contraintes extérieures
sont parfaitement identifiées.
Ces modèles sont en fait assez récents (moins de 10 ans). Des modèles plus simples sont
utilisés depuis bien plus longtemps pour simuler des systèmes complets. Ils sont souvent
appelés "schémas électrique équivalents".
2.1.2. Les modèles simplifiés
C'est l'approche la plus classique. Elle repose sur l'exploitation des caractéristiques statiques.
Le schéma électrique équivalent de la jonction PN est le plus utilisé (presque tous les
simulateurs le proposent).
.
1 Qe
i
i pe
.2
Qp
Cj
iD
Cd
vD
Figure 2- 1 : Schéma électrique équivalent de la jonction PN.
Cj est la capacité de jonction, Cd est celle de diffusion et Id est le courant direct.
52
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
De la même manière, nous trouvons des schémas électriques équivalents pour les transistors
(Gummel-Poon par exemple).
Si ce type de modèle (communément appelé "modèle de type Spice") est très utilisé en microélectronique, il est mal adapté à la simulation en régimes fortement transitoires, comme c'est
toujours le cas en électronique de puissance. Nous y préférerons des modèles plus élémentaires
à deux états.
Pour la simulation de systèmes complets, le modèle le plus exploité en électronique de
puissance est le modèle "bi-statique". Le composant à semiconducteur sera modélisé par deux
états statiques comme le montrent les figures suivantes.
passant
i
i < iseuil
v > vseuil
v
bloqué
Figure 2- 2 : Modèle bi-statique de la diode.
Dans la mesure où nous ne nous intéressons qu'aux états statiques, nous pouvons considérer
que les transistors (Mosfet ou IGBT) fonctionnent uniquement dans la région linéaire de leurs
caractéristiques. Nous pouvons donc utiliser le même type de modèle que pour la diode, avec
une condition supplémentaire imposée par la commande.
passant
i
g < Vth ou I<Iseuil
g > Vth et I>Iseuil
g
v
bloqué
Figure 2- 3 : Modèle bi-statique d'un interrupteur commandable.
Comme nous le verrons par la suite, les phases statiques peuvent être correctement
représentées avec des modèles relativement simples. A l'évidence, la phase de commutation
53
CHAPITRE SECOND
n'est pas prise en compte par ce type de modèle. Elle est instantanée à partir du moment où une
transition devient vraie. Par conséquent, la modélisation des éléments parasites du
convertisseur, particulièrement les inductances de câblage, est inutile. Au pire, elles créeraient
une erreur de causalité.
Les trois niveaux de représentation les plus couramment rencontrés dans la littérature sont : le
modèle d'interrupteur idéal, le modèle à résistance bi-linéaire et le modèle prenant en compte la
caractéristique statique "réelle".
Le tableau suivant résume les différents paramètres de chaque modèle pour la diode.
Etat
Transition
Bloqué
Passant
Iseuil
Vseuil
Idéal
I=0A
V=0V
0A
0V
Résistance bi-linéaire
I = V/Roff
V = Ron.I
I0
V0
Caractéristique statique
I = Ifuite # 0 A
V = f(Ion)
0A
0V
Table 2- 1 : Différents modèles bi-statiques de diodes.
Ces différents modèles correspondent aux caractéristiques statiques suivantes :
I
I
I
a
b
c
I0
V
V
V0
V
Figure 2- 4 : Différents modèles de caractéristiques statiques de diodes.
Nous pouvons dresser le même type de tableau pour les interrupteurs commandables :
Etat
Transition
Idéal
Bloqué
I=0A
Passant
V=0V
Iseuil
0A
Vth
0V
Résistance binaire
I = V/Roff
V = Ron.I
I0
V0
Caractéristique statique
I = Ifuite # 0 A
V = f(Ion)
0A
V0
Table 2- 2 : Différents modèles bi-statiques d'interrupteurs commandables.
Les paramètres de ces modèles sont facilement identifiables: seul un relevé de caractéristiques
statiques est nécessaire.
La simulation des convertisseurs de puissance à l'aide des modèles simplifiés permet une
validation globale de l'ensemble dans des conditions proches de la réalité. Ils permettent
54
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
d'observer les contraintes électriques liées aux grandes constantes de temps (généralement la
charge). Les contraintes électriques sur les composants à semiconducteur, liées aux phases de
commutation ne sont pas correctement représentées, mais les harmoniques dus aux
commutations sont toutefois présents et permettent d'observer leurs effets éventuels sur la
charge.
Du point de vue numérique, le modèle à résistance bi-linéaire à l'avantage de ne pas introduire
de non-linéarités (par segments temporels). En effet, un circuit ne comprenant que des
éléments linéaires et des interrupteurs de ce type, reste linéaire entre les phases de changement
d'état. Leur principal inconvénient est d'introduire des contraintes numériques dans le système
au moment de la commutation.
Les deux autres modèles, que l'on qualifie de "modèles à topologie variable" utilisent
clairement la fonction première de l'interrupteur. Les systèmes d'équations ainsi obtenus restent
simples. Par contre, l'inconvénient majeur de cette approche est la complexité de la mise en
équation : la matrice d'état peut changer de structure et de dimension au rythme des
changements d'états des composants. Un simulateur ad hoc s'impose.
Si le coût de simulation est réduit par la simplification du modèle (nombre d'équations
implicites), la raideur reste quasiment inchangée. En effet, la commutation instantanée des
interrupteurs force le pas d'intégration à être réduit. Nous pouvons généralement espérer une
réduction de la durée de la simulation par un facteur 10 à 100.
2.1.3. Conclusion
Si les modèles comportementaux sont séduisants par la qualité de la simulation qu'ils
permettent d'obtenir, ils nécessitent un travail d'identification colossal et un temps de
simulation encore prohibitif. Ils sont généralement utilisés pour observer des phénomènes se
situant à l'échelle de temps de quelques commutations. Ils peuvent, par exemple permettre
d'observer les contraintes maximales (courant, tension) sur les interrupteurs dans le pire cas.
Les modèles simplifiés nécessitent encore un temps de simulation important. Par contre, la
connaissance "intime" du système n'est plus nécessaire. Un relevé des caractéristiques statiques
est suffisant. Les résultats obtenus sont suffisamment proches de la réalité pour permettre la
validation du fonctionnement global du convertisseur. La qualification des algorithmes de
modulation de largeur d'impulsion est aussi envisageable : allures des grandeurs électriques
dans la charge et aspect spectral de la modulation.
55
CHAPITRE SECOND
Cependant, pour des raisons de temps de simulation, l'observation de phénomènes nécessitant
un temps supérieur à quelques fois la plus grande constante de temps (boucles de régulation
par exemple) n'est pas envisageable. L'automaticien a besoin d'un modèle de convertisseur plus
rapide à simuler. Les seules informations qui lui sont nécessaires se situent aux "basses
fréquences" du système. Bon nombre d'automaticiens représentent encore ces convertisseurs
comme un gain (variable ou non). Un modèle, rapide à simuler, et représentant le plus
fidèlement possible les grandeurs "lentes" du convertisseur, leur serait très utile. Ce type de
modèle est appelé "Modèle Moyen".
2.2.
LES MODELES MOYENS
Comme nous l'avons vu, le nombre d'équations du système et les constantes de temps étendues
(de la nanoseconde à plusieurs millisecondes) des circuits en électronique de puissance,
impliquent des coûts de simulation importants. Ces problèmes sont la conséquence de la
fonction interrupteur qui introduit de fortes non-linéarités. Toutefois, l'objectif de ces
convertisseurs de puissance est la réalisation de la fonction "conversion d'énergie". Les
systèmes qui décrivent cette fonction de conversion d'énergie en éliminant la fonction
interrupteur, sont appelés modèles moyen.
2.2.1. Les différentes approches
Les modèles moyens sont utilisés dans la littérature scientifique depuis une vingtaine d'années
[Middlebrook-76]. Il existe principalement deux types d'approches [Kassakian-91].
Ces deux approches supposent que la période d'un cycle de commutation est faible par rapport
aux contantes de temps du système. C'est évidemment une condition nécessaire au bon
fonctionnement du convertisseur, mais son expression mathématique est bien moins simple.
La première approche est celle du "circuit moyen équivalent" (ou circuit averaging). C'est la
plus ancienne. Elle consiste à remplacer une partie du circuit par un circuit moyen.
Prenons le circuit hacheur abaisseur de tension (buck) comme exemple :
L
T
E
g gcommande
drive
D
C
R
Figure 2- 5 : Circuit hacheur abaisseur de tension
56
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
Dans l'approche graphe de liens, la fonction conversion d'énergie est simplement réalisée par
l'élément TF ou MTF. Une représentation intuitive de la fonction "conversion d'énergie" sous
la forme d'un graphe de liens fait apparaître un transformateur de tension modulé:
R:R
Se:E (i1, 1u1) MTF:Tr
7
(i7, u7)
ρ
1:l2
9
10
0:n2
8
11
I:L
C:C
Figure 2- 6 : Graphe de liens qui explicite la fonction conversion.
(i1,u1) sont respectivement le courant et la tension de la source E, i7 est le courant dans
l'inductance et u7 est la différence de potentiel entre la cathode et l'anode de la diode.
Sous forme d'un circuit équivalent cela donne:
L
E
C
D
R
ρ
Figure 2- 7 : Schéma électrique équivalent représentant la fonction "transformation d'énergie".
Notons que bien souvent la partie gauche du schéma est oubliée. Dans ce cas, la
transformation d'énergie se résume à une fonction "amplification". Le gain sera ici inférieur à 1.
L
ρΕ
C
D
R
Figure 2- 8 : Schéma électrique équivalent représentant la fonction "amplification".
La Figure 2- 9 montre la simulation de ces modèles moyens comparée au circuit Figure 2- 5.
La comparaison montre clairement qu'en moyenne les résultats sont très proches. Pourtant, les
coûts de simulation sont très différents. Le coût de calcul est réduit de façon spectaculaire: par
100 ou 1000 de façon courante.
57
CHAPITRE SECOND
Courant dans l'inductance
Hacheur idéal
Modèle moyen
Hacheur idéal
Tension aux bornes du condensateur
Modèle moyen
Figure 2- 9 : Simulation d'un circuit hacheur idéal et du schéma électrique équivalent
à la fonction "transformation d'énergie"
D'un point de vue pratique, ce type de simplification se justifie par le calcul de la valeur
moyenne d'une variable de sortie. Notons que ce type de modèle moyen permet de ne
remplacer par un circuit électrique équivalent que la partie du système ayant des constantes de
temps "faibles". Le problème de cette approche est de définir correctement la partie du circuit
et la ou les variables de sortie à "moyenner", en fonction de la structure du convertisseur.
Pour contourner ces difficultés, des auteurs ont proposé plus récemment une technique de
modèle à moyenne d'état (State Space Averaging) [Krein-90], [Sanders-91], [Tymerski-94].
Cette fois la méthode s'applique à une représentation explicite des équations du système, une
EDO. Cette EDO permet de fournir une nouvelle EDO par moyenne sur un cycle de l'équation
précédente. L'avantage de cette approche est une base mathématique plus solide. Toutefois la
moyenne ne distingue pas les variables d'état rapides des variables d'état lentes : il existe donc
un modèle moyen pour chaque valeur de chaque composant du système. Un autre inconvénient
de cette approche est qu'elle nécessite les équations du système sous la forme d'une EDO. Or,
nous avons vu dans le premier chapitre que cela n'était pas très simple, et pas toujours possible.
Nous avons vu aussi que l'analyse de causalité permet de construire une EDO représentative du
convertisseur. On pourrait donc utiliser l'analyse de causalité pour appliquer les techniques de
58
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
moyenne d'état. En fait à l'heure actuelle, la technique de moyenne d'état est surtout utilisée
dans des travaux de recherche où les équations du circuit sont obtenues à la main.
Lehman et Bass [Lehman-95] ont montré que de tels modèles pouvaient donner des réponses
erronées dans les systèmes bouclés, si la période de commutation est trop proche des
constantes de temps du système. Ils proposent une méthode de calcul des modèles moyens,
basée sur les moyennes d'état, prenant en compte la fréquence de découpage. Ce modèle
moyen restitue correctement les variations dues à la valeur de la fréquence de découpage
devant les constantes de temps de la charge et de l'alimentation (dans le cas du hacheur
élévateur de tension avec boucle de régulation). Ici aussi, chaque modèle est dédié à un circuit
donné. Cependant ces méthodes de déduction de modèles moyens sont mal adaptées aux
convertisseurs de structure complexe ou à résonance.
Notons qu'une méthode basée sur la technique des "données échantillonnées" (sampled-data
techniques) [Eng-96] mène au calcul des modèles moyens mais est limitée aux petits signaux.
Nous allons présenter un algorithme, basé sur l'analyse de causalité, qui permet d'obtenir de
façon systématique un modèle de type circuit moyen équivalent, indépendamment de la nature
du convertisseur.
2.2.2. Un algorithme de construction de modèle moyen
Cet algorithme est basé sur l'analyse de causalité des graphes de liens commutés.
Dans le cas du circuit hacheur de la Figure 2- 5, les différents états sont représentés dans la
machine d'état de ce convertisseur (Figure 2- 10).
roue-libre
T:passant
D:bloqué
charge
T:bloqué
D:passant
i<0
vide
T:bloqué
D:bloqué
Figure 2- 10 : réseau de Petri du circuit de la Figure 2- 5.
Un convertisseur de puissance travaille toujours avec une même séquence d'états des
interrupteurs, un mode de fonctionnement. Par exemple dans le mode de conduction continue,
la séquence est S={charge, roue-libre}, mais dans le mode de conduction discontinue la
séquence est S={charge, roue-libre, vide}.
59
CHAPITRE SECOND
L'algorithme de construction de modèles moyens s'applique à une séquence donnée, que nous
noterons S.
Le convertisseur est généralement piloté par des séquences MLI. Mais, pour que l'algorithme
s'applique simplement, la commande des interrupteurs doit être représentée par des sources de
tension, que nous appellerons les sources de pilotage. Dans le modèle moyen obtenu, ces
sources seront remplacées par des signaux donnant les temps de conduction et la période du
cycle, T.
On note ρ i le rapport cyclique de l'état numéro i dans la séquence S. L'instant de fin de l'état i
dans la séquence S est donc:
i
t i = t 0 + T. ∑ ρ i
pour 1 ≤ i ≤ N ,
j =1
où t0 est l'instant de début du cycle et N est le nombre d'états de la séquence S.
L'algorithme s'applique à un graphe de liens, car il utilise l'analyse de causalité. Il faut donc
utiliser un algorithme de traduction du réseau de Kirchhoff en graphe de liens.
R:R
Se:E
1
1:l1
4
0:n1
2
Sw:T
1:l2
1:l3
9
10
0:n2
8
11
I:L
C:C
5
6
3
Se:g
7
Sw:D
Figure 2- 11 : graphe de liens du circuit de la Figure 2- 5.
L'algorithme se compose de 6 étapes.
Etape A: déduction du bloc de commutation.
Le bloc de commutation est la partie du graphe de liens qui comprend:
(i)
les composants qui changent d'état pendant la séquence S (les interrupteurs),
(ii)
les jonctions liées à un composant de la clause (i),
(iii)
les jonctions internes liées à au moins deux composants du bloc de commutation,
(iv)
les éléments à stockage d'énergie liés à une jonction du bloc de commutation.
Rappel 1: une jonction interne est une jonction liée uniquement à d'autres jonctions
Rappel 2: une jonction est un des éléments, 0, 1, TF, MTF, GY, MGY.
Dans notre exemple, le bloc de commutation est:
60
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
clause (i): T, D,
clause (ii): l1,l3,
clause (iii): nl.
R:R
bloc de commutation
Se:E (i1, v1) 1:l1
0:n1
Sw:T
1:l3
Se:g
(i2, v2)
1:l2
0:n2
I:L
C:C
Sw:D
Figure 2- 12 : Bloc de commutation obtenu à l'étape A.
Etape B: Identifier les variables de port externes au bloc de commutation
Les liens externes du bloc de commutation sont ceux qui franchissent la frontière du bloc.
Certains d'entre ces liens relient des sources de pilotage. Les variables de port du bloc de
commutation sont les variables des autres liens.
Dans notre exemple, les variables de port sont donc i1,v1 et i2,v2.
Etape C: Identifier les variables d'entrée et de sortie du bloc de commutation
L'analyse de causalité algébrique est appliquée aux éléments qui n'appartiennent pas au bloc de
commutation. Cette analyse de causalité fournit explicitement des variables d'entrée du bloc de
commutation (le vecteur U). Ce sont les variables de port qui sont connues à la fin de l'analyse.
Les autres variables de port sont les variables de sortie (le vecteur Y).
Dans notre cas, l'analyse de causalité conduit aux résultats suivants:
R:R
Se:E (i1, v1) 1:l1
0:n1
Sw:T
1:l3
Se:g
(i2, v2)
1:l2
0:n2
I:L
C:C
Sw:D
Figure 2- 13 : Analyse de causalité algébrique du nouveau graphe de liens.
Soit, U=[v1,i2] et Y=[i1,v2].
61
CHAPITRE SECOND
Etape D: Simplification du graphe de liens
Chaque lien externe du bloc de commutation est maintenant connecté à une source de flux si
la variable de flux est une variable d'entrée et à une source d'effort si la variable d'effort est une
variable d'entrée.
Cela correspond à l'hypothèse sur la période qui doit être petite devant les constantes de
temps du reste du système.
Pour notre exemple, cela donne:
Se:V1
(i1, v1)
1:l1
0:n1
(i2, v2)
1:l2
Sf:I2
Sw:T 1:l3
Se:g
Sw:D
Figure 2- 14 : Graphe de liens simplifié
Le vecteur U a donc maintenant une valeur constante dans ce graphe de
liens.
Etape E: Expressions des variables de sortie du bloc de commutation
L'analyse de causalité algébrique est appliquée à ce nouveau graphe de liens pour tous les états
de la séquence S. Pour l'état numéro i de la séquence S, on obtient une séquence ACA
(cf. Chapitre 1). Dans cette séquence, il est possible d'éliminer les autres variables de ports
pour obtenir l'expression de yk dans l'état numéro i, sous la forme:
y k = f ki ( U, X i )
où Xi est le vecteur des variables d'état du bloc de commutation dans l'état numéro i de la
séquence S.
Cette fois, nous devons construire la séquence ACA dans chaque état du
graphe
de
liens.
Nous
choisissons
la
séquence
de
{V1,G,I2,T,D,l1,l2,l3,n1}. La table des variables de port est donc:
62
composant:
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
variable
p1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
p10
Avec:
variables de port
V1.i, T.iD,
V1.v,
G.i, T.iG
G.u, T.vG
I2.i,
I2.v
T.vD
D.i
D.v
n1.v
V1.i le courant fourni par V1
T.i, le courant drain du transistor
V1, v la tension V1
G.i, le courant fourni par la commande
T.ig, le courant grille du transistor
G.u, la tension de commande
T.vG, la tension grille du transistor
I2.i, le courant fourni par I2
T.vD, la tension Drain-source du transistor
D.i, le courant dans la diode
Table 2- 3 : Table des variables de ports du graphe de D.v, la tension aux bornes de la diode
liens simplifié.
n1.v, le potentiel à la jonction n1
L'analyse ACA pour l'état "charge" conduit à:
Se:V1
(i1, v1)
1:l1
0:n1
(i2, v2)
1:l2
Sf:I2
Sw:T 1:l3
Se:g
Sw:D
Figure 2- 15 : Analyse de causalité algébrique pour l'état "charge".
Pour l'état "charge" T est passant et D est bloqué. Nous trouvons comme
séquence ACA:
composant
V1
G
I2
T
T
D
l1
l2
l3
n1
expression
p2 = V1
p4 = G(t)
p5 = I2
p3 = 0
p7 = 0
p8 = 0
p10 = p1-p7 = V1- 0 = V1
p6 = - p10 = -V1
p9 = - p10 = -V1
p1 = p5 - p8 = I2-0 = I2
Table 2- 4 : Séquence ACA pour l'état "charge".
Nous obtenons les expressions de variables de sorties:
y1=i1=p1=I2
et
y2=v2=p10=V1
L'analyse ACA pour l'état "roue-libre" conduit à:
CHAPITRE SECOND
Se:V1
(i1, v1)
1:l1
0:n1
(i2, v2)
1:l2
Sf:I2
Sw:T 1:l3
Se:g
Sw:D
Figure 2- 16 : Analyse de causalité algébrique pour l'état "roue-libre".
Pour l'état "roue-libre" T est bloqué et D est passant. Nous trouvons comme
séquence ACA:
composant
V1
G
I2
T
T
D
l3
n1
l1
l2
expression
p2 = V1
p4 = G(t)
p5 = I2
p3 = 0
p1 = 0
p9 = 0
p10 = -p9 = 0
p8 = p5-p1 = I2-0 = I2
p7 = p2- p10 = V1 - 0
p6 = - p10 = 0
Table 2- 5 : Séquence ACA pour l'état "roue-libre".
Nous obtenons les expressions de variables de sorties:
y1=i1=p1=0
et
y2=v2=p10=0
Etape F: Calcul de la valeur moyenne des variables de sortie du bloc de commutation
La valeur moyenne de la variable de sortie Yk est:
t
1 N i
Yk = ∑ ∫ f ki ( U, X i ( t ))dt
T i =1
Eq. 2- 1
t i −1
Nous avons deux cas:
• aucune des fonctions f ki ne dépend d'un vecteur d'état.
Alors, l'intégration est immédiate, car le vecteur U est indépendant du temps.
‚ certaines fonctions f ki dépendent d'un vecteur d'état.
a) Alors, une solution analytique est peut-être possible.
b) Une intégration numérique est envisageable. Il faudra alors tabuler la fonction
Yk = f ( U)
64
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
Dans notre exemple, nous obtenons (cas •):
Y1 = I1 =
1 ρT
1 T
i1 (t ). dt + ∫ i1 (t ). dt
∫
T 0
T ρT
Y2 = V2 =
1 ρT
1 T
v 2 (t ). dt + ∫ v 2 (t ). dt
∫
T 0
T ρT
= ρ. I 2
Eq. 2- 2
= ρ .V1
Eq. 2- 3
Nous retrouvons ainsi les équations du transformateur idéal que nous avons utilisé dans le
graphe de liens de la Figure 2- 6. Ces résultats sont classiques et largement discutés dans la
littérature [Tang-93].
Cet algorithme permet de calculer automatiquement le modèle moyen d'un convertisseur
respectant la clause de fréquence. Le modèle moyen obtenu ne comprend que les éléments de
commutation et les composants qui s'y rapportent. Il est donc indépendant des valeurs de la
charge ou de la source d'énergie.
Dans l'exemple que nous venons de traiter, les équations du modèle moyen sont très simples,
car les composants actifs étaient considérés comme parfaits. La fréquence de découpage n'est
pas prise en compte. Par conséquent, il est clair que le modèle ainsi obtenu correspond à un
convertisseur commutant à une fréquence infinie.
Reprenons cet exemple avec une modélisation plus fine des composants.
2.2.3. Application au hacheur abaisseur de tension non-idéal
Nous allons rapidement traiter ici un cas plus "réel" de calcul de modèle moyen. Nous
montrerons, entre autres, que les pertes "moyennes" sont aussi correctement restituées par ce
type de modèle. Nous ne donnerons que les étapes clefs de la construction du modèle et les
principaux résultats.
L
ld
E
M
D
rg
C
R
G
E = 48V
ld = 10nH
M = IRF250
D = BYT08P200
R = 2.5Ω
L = 300 µH
C = 10 µF
Figure 2- 17 : Le hacheur abaisseur de tension non-idéal.
Comme précédemment, la source de tension G représente une source MLI. Le transistor MOS
de puissance est représenté par le classique modèle Spice et le modèle de la diode PIN est le
65
CHAPITRE SECOND
modèle analytique développé au laboratoire [Morel-94]. Notons que l'inductance parasite Ld a
été incluse au circuit. Ces modèles présentent une bonne cohérence avec les données
expérimentales comme présenté dans [Morel-95]. Le graphe de liens équivalent au circuit
proposé est le suivant :
I:ld
Se:E
R:R
2
1
7
1:l1
(i1, u1)
0:n1
3
10
(i10, v10)
8
1:l3
:M
9
1:l4
12
13
0:n2
11
14
I:L
C:C
4
R:rg
6
1:l2(i5, 5v5) Se:G
:D
Figure 2- 18 : Graphe de liens du hacheur abaisseur de tension non idéal.
La simulation complète du circuit nous permet d'obtenir la séquence d'états S.
M:on
D:off
charge
ouverture
[t1,t2]
[t2,t3]
[t0,t1]
[t3,t4]
M:off on
fermeture
D:on off
M:on off
D:off on
M:off
roue libre D:on
Figure 2- 19 : Réseau de Pétri représentant la séquence d'états du convertisseur.
Par rapport au réseau de Pétri du hacheur idéal, deux nouveaux états "Fermeture" et
"Ouverture" sont apparus et correspondent aux phases de commutation des interrupteurs. Ces
deux états sont transitoires, alors que les états "Charge" et "Roue Libre" sont statiques. Les
durées respectives de chaque état sont notées entre crochets sur le schéma. Le temps t0 (ou t4)
correspond au moment où la commande G passe à une valeur haute, forçant ainsi le transistor
MOS à se fermer. Corollairement, le temps t2 correspond au moment où la commande G passe
à une valeur basse, forçant ainsi le MOS à s'ouvrir. Les temps t1 et t3 définissent la fin des
phases de commutation et dépendent des conditions électriques appliquées aux composants.
L'algorithme précédemment présenté nous permet de construire le modèle moyen.
Etape A: Construction du bloc de commutation.
66
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
Le bloc de commutation comprend les composants {M, D, ld, l1, l2, l3, n1}. Notons la présence
de l'inductance de fuite dans le bloc de commutation. En effet, son état change durant la
séquence S.
Etape B: Identification des variables de port externes au bloc de commutation.
Les variables (i5,v5) définissent le signal de commande fourni par la source idéale G.
Donc, les variables de ports externes au bloc de commutation sont : (i1, v1) et (i10, v10).
Etape C: Identification des variables d'entrée et de sortie du bloc de commutation.
L'algorithme d'Analyse de Causalité Algébrique (ACA) nous fournit cette réponse:
Le vecteur d'entrée est U={v1,i10} et le vecteur de sortie est Y = {i1, v1}.
Etape D: Simplification du graphe de liens.
Les sources idéales V1 et I2 remplacent les éléments extérieurs au bloc de commutation. La
jonction 1 a été insérée par respect des conventions de signe sur les sources (courant sortant).
Nous arrivons donc au graphe de liens suivant:
I:ld
Se:V1
2
1
7
1:l1
(i1, v1)
0:n1
10
1:linv
11
Sf:I2
(i10, v10)
3
8
1:l3
:M
9
4
R:rg
6
1:l2
5
Se:G
:D
Figure 2- 20 : Graphe de liens simplifié du hacheur.
Etape E: Expression des variables de sortie du bloc de commutation.
Les différentes listes de déduction de l'algorithme ACA nous fournissent la liste de déduction
menant à l'expression du vecteur de sortie Y.
Etat "Charge":
i1 = I2
v10 = V1 − ld . v − M. v DS
Etat "Roue Libre":
Eq. 2- 4
Eq. 2- 5
i1 = 0
v10 = − D. v
Notation :
Eq. 2- 6
Eq. 2- 7
67
CHAPITRE SECOND
La tension aux bornes d'un composant X est notée X.v et le courant le traversant
est X.i.
Pour calculer ces expressions, nous utilisons les caractéristiques statiques des composants à
semiconducteur. Nous avons donc :
D. v = vDon (D. i)
M. vDS = v DSon ( M. i DS )
où vDon et vDSon sont des fonctions non-linéaires.
Eq. 2- 8
Eq. 2- 9
Lorsque les composants sont bloqués le courant de fuite peut être négligé. Dans ce cas,
D. i = 0 , et M. i DS = 0 .
Les fonctions vDon et vDSon peuvent être obtenues expérimentalement ou déduites à partir des
modèles de composants utilisés. Dans la suite de cet exemple, nous considérerons que ces
fonctions sont connues analytiquement ou à partir de tables.
Les expressions précédentes sont alors simplifiées :
Etat "Charge":
i1 = I2
v10 = V1 − v DSon (I2 )
Etat "Roue Libre":
Eq. 2- 10
Eq. 2- 11
i1 = 0
Eq. 2- 12
v10 = − vDon (I2 )
Eq. 2- 13
Notons que v DSon (I2 ) et v Don (I2 ) sont des expressions indépendantes du temps dans les
expressions ci-dessus.
Malheureusement, pour les états "Fermeture" et "Ouverture", les expressions de {i1,v10}
dépendent des variables d'état du système. Aussi, il n'est pas possible d'obtenir une solution
analytique. A la fois le transistor et la diode sont conducteurs, nous avons donc :
Etat "Fermeture" et Etat "Ouverture":
v10 = -D.v
i1 = M.iD
Eq. 2- 14
Eq. 2- 15
Etape F: Calcul de la valeur moyenne des variables de sortie du bloc de commutation.
Pendant (t1,t2) et (t3,t4) les expressions de i1 et v10 (Eq. 2-10 à Eq. 2-13) sont indépendantes du
temps. Leur intégration ne pose donc aucun problème. Pendant (t0,t1) et (t2,t3) (pendant les
phases transitoires), ces intégrales doivent être calculées numériquement (Eq. 2-14 et 2-15).
Le calcul de l'intégrale Eq. 2-1 nécessite la valeur de
∫ D. v(t ). dt
et
∫ M. i D(t ). dt pendant (t0,t1)
et (t2,t3). Nous introduisons ici la notion de retard virtuel à la commutation.
68
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
Pour une forme d'onde s(t) passant d'une valeur constante sa à une valeur constante sb, nous
définissons le retard virtuel δ par :
b
∫ s(t ).dt = s .δ + s .(b − a − δ ) = s .(b − a ) − δ .( s
a
b
b
b
− sa )
Eq. 2- 16
a
Cela correspond à remplacer le signal s(t) par une marche d'escalier équivalente (retardée de δ
par rapport au signal de commande). Par exemple dans le cas de la tension aux bornes de la
diode durant sa phase de blocage, le retard virtuel à la commutation, noté δoff
D.v est défini par
(cf. Figure 2- 21):
t1
off
∫ D.v(t)dt = vDon (I2 ).δoff
D. v + (− V1 + vDSon ( I2 )). (t1 − t 0 − δ D. v )
Eq. 2- 17
t0
signal de commande G
vDon(I2)
t0
t1
tension aux bornes
de la diode
tension idéale
équivalente
-V1+vDSon(I2)
off
δD.v
Figure 2- 21 : Le retard virtuel à la commutation δ.
t1
Le retard δoff
D.v est tel que l'intégrale
∫ D.v (t ) dt donne le même résultat si c'est le modèle fin
t0
qui est pris en compte entre t0 et t1, ou le modèle idéal entre t0+ δoff
D.v et t1.
69
CHAPITRE SECOND
De la même manière, nous définissons les retards virtuels à la commutation suivants:
• δon
M.i D pour le courant dans le MOS entre t0 et t1 (mise en conduction).
pour le courant dans le MOS entre t2 et t3 (blocage)
• δoff
M.i D
• δon
D. v pour la tension aux bornes de la diode entre t2 et t3 (mise en conduction).
Finalement les variables du vecteur de sortie Y s'écrivent :
δ M .iD 


I1 = I 2  ρ +
T 

où ρ =
Eq. 2- 18
t 2 − t0
est le rapport cyclique de la commande G, et
T
δ M .iD = δ Moff.iD − δ Mon.iD .
δ 
δ 


V2 = V1 − v DSon ( I 2 ) .  ρ − D.v  − v Don ( I 2 ).  1 − ρ + D.v 


T 
T 
(
où
)
Eq. 2- 19
δ D.v = δDoff.v − δDon.v .
Enfin, pour les pertes de la diode et du transistor, nous pouvons définir le même type de
facteur correctif. Le principe est de reporter la totalité des pertes dynamiques sur les pertes
statiques. Ce facteur correctif est moins "physique" que pour les grandeurs électriques. Il ne
peut plus être qualifié de retard. C'est en fait, le temps supplémentaire que doit conduire le
composant pour dissiper, en statique, les même pertes.

δ Moff. p − δ Mon. p 

PM = v DSon ( I 2 ). I 2 .  ρ +
T


Eq. 2- 20

δ Doff. p − δ Don. p 

PD = v Don ( I 2 ). I 2 .  1 − ρ +
T


Eq. 2- 21
Les équations 18 à 21 définissent le modèle moyen du hacheur abaisseur de tension non-idéal.
Etant donné que les retards virtuels à la commutation ne dépendent que des conditions
électriques
(v1,I2),
ils
peuvent
être
obtenus
par
des
simulations
adéquates
expérimentalement dans des conditions isothermiques.
Remarques :
L'inductance de câblage ld est prise en compte dans les retards virtuels. Elle
n'est influente que dans les phases de commutation.
L'effet de la fréquence de commutation est lui aussi pris en compte dans les
équations du modèle moyen (période de commutation T).
70
ou
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
Si nous annulons tous les retards virtuels et les chutes de tension à l'état
passant dans les dispositifs à semiconducteur, nous obtenons naturellement le
modèle moyen idéal (Eq. 2-2 et Eq. 2-3). Les pertes dans les composants
sont alors nulles.
A l'aide du simulateur PACTE, nous avons effectué des simulations comparatives du circuit de
la Figure 2- 5 et de son modèle moyen non-idéal, pour deux fréquences de commutation
différentes. Nous avons calculé une approximation analytique simple des chutes de tensions à
l'état passant des composants à semiconducteur et des différents retards virtuels. Nous
donnons sur les figures suivantes quelques résultats obtenus.
A) Retard virtuel δD.v
I2=2A
I2=5A
I2=8A
B) Retard virtuel δD.p
I2=2A
I2=5A
I2=8A
Figure 2- 22 : Evolution des retards virtuels relatifs à la diode, en fonction de I2 et V1.
En haut: retard relatif à la tension. En bas: retards relatifs aux pertes.
71
CHAPITRE SECOND
Courant dans l'indcutance L
A) Courant dans l'inductance L
2MHz
Modèle moyen non-idéal / 2MHz
Modèle moyen non-idéal
Modèle moyen idéal
100kHz
Modèle moyen non-idéal / 100kHz
Modèle non-idéal
Modèle moyen avec caractéristique statique
B) Tension aux bornes du condensateur C
2MHz
Tension aux bornes du condensateur C
Modèle moyen non-idéal / 2MHz
100kHz
Modèle non-idéal
Modèle moyen idéal
Modèle moyen non-idéal / 100kHz
Modèle moyen non-idéal
Modèle moyen avec caractéristique statique
Figure 2- 23 : A gauche: Comparaison entre les deux types de modèles pour deux fréquences.
A droite: Comparaison entre différents modèles moyen.
Sur une station de travail Sparc20, la simulation du modèle non-idéal dure environ 46 minutes
alors que la simulation du modèle moyen dans les mêmes conditions ne dure que 0.13s! Les
résultats fournis par le modèle moyen non-idéal sont très proches du modèle non-idéal, sauf
pour l'ondulation du courant dans l'inductance (Figure 2- 23) à 100kHz où l'information haute
fréquence est perdue. Cependant la valeur moyenne est correcte. La comparaison des différents
modèles moyens laisse très clairement apparaître l'apport des retards virtuels.
Le même type de résultat est obtenu pour les pertes:
72
Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation
1
Modèle non-idéal
Modèle moyen non-idéal
2
2MHz 100kHz
Diode
1
3
MOSFET
2
4
Pertes
Modèle moyen non-idéal Modèle non-idéal
3
4
Figure 2- 24 : Simulation des pertes à 100KHz et 2MHz pendant la phase de démarrage.
2.3.
CONCLUSION
Nous avons montré que, si les modèles de commutation (et particulièrement les modèles de
comportement) sont les plus précis, ils sont aussi les plus gourmands en temps de calcul et
espace mémoire, excluant toute simulation sur des horizons de temps trop longs. D'autre part,
certains modèles ne fonctionnent pas correctement dans un environnement complexe. Par
exemple, les modèles d'IGBT utilisés au laboratoire [Hefner-93], [Hefner-94], n'acceptent pas
de tension négative collecteur-émetteur (erreur numérique), ce qui est très gênant dans les
onduleurs de tension où les IGBT sont équipés de diodes de roue libre. Ce type de modèle est
donc généralement utilisé pour étudier un point particulier du fonctionnement du convertisseur
ou, lorsque cela est possible, pour valider les simulations en phase finale d'étude, avant de
prototyper le système.
La théorie des modèles moyens permet de déduire des modèles plus rapides à simuler. Parmi
les différentes techniques de "moyennage", la méthode du circuit moyen équivalent semble plus
souple d'utilisation que celle de la moyenne d'état. En effet, la deuxième méthode aboutit à un
nouveau modèle se substituant à la totalité du circuit, alors que dans le premier cas, le modèle
73
CHAPITRE SECOND
obtenu ne vient remplacer que certains composants. Ce type de modèle est donc plus
générique. En effet, la valeur des composants et la topologie du système peuvent être changée
sans avoir à recalculer de modèle, à condition de respecter sa causalité et de s'assurer que la
période de commutation est suffisamment faible devant les constantes de temps naturelles du
système. La principale difficulté dans ce type de moyennage est le choix des composants à
remplacer par un circuit moyen équivalent.
Nous avons présenté un algorithme permettant la construction automatique d'un modèle
moyen à partir d'un circuit donné. Cet algorithme définit automatiquement les composants qui
feront partie du modèle équivalent et calcule les paramètres de celui-ci à partir de simulations
ou de relevés expérimentaux. Le modèle ainsi obtenu prend en compte les non-linéarités des
composants à semiconducteur ainsi que leurs pertes, tout en restant très simple. A titre
d'exemple, nous avons appliqué cet algorithme au hacheur abaisseur de tension non-idéal. Les
résultats obtenus sont très encourageants: le circuit équivalent suit parfaitement le modèle
original pour différentes fréquences de commutation. Seule l'information "haute fréquence"
peut être perdue, mais la valeur moyenne reste correcte.
Le coût de simulation est réduit de manière drastique par l'utilisation de ces modèles moyens :
un facteur 105 dans notre cas! Il est alors possible d'envisager la simulation de systèmes plus
complets, comme par exemple la commande d'une machine électrique alimentée par un
onduleur de tension. Un seul problème réside: il n'est actuellement pas possible de connaître a
priori la limite de validité de ces modèles, car la condition sur les constantes de temps du
système n'a pas encore été formulée mathématiquement.
Quel que soit le type de modèle utilisé, une étape incontournable est l'identification de ses
paramètres. C'est un problème souvent complexe et les résultats sont très dépendants de la
qualité des relevés expérimentaux. Ce sera l'objet du quatrième chapitre, mais, de manière à
appliquer les méthodes d'identification à des cas concrets, il nous faut commencer par présenter
le banc de tests que nous avons mis en place dans le cadre de ce travail.
74
CHAPITRE TROISIEME
UN BANC DE TESTS DE PUISSANCE
Nous avons vu, dans les chapitres précédents, que le formalisme des graphes de liens, associés
à la méthode d'Analyse de la Causalité Algébrique permettaient de développer un algorithme de
construction automatique de modèles moyens. A titre d'exemple, l'algorithme a été décrit dans
le cas d'un hacheur de faible puissance (qq. centaines de Watts).
Rappelons, que le contexte de notre travail est la conversion continu/alternatif triphasée de
moyenne puissance (environ 30kVA) et moyenne tension (environ 300V), ordres de grandeurs
que l'on retrouve, par exemple en traction électrique grand public.
Si les théories présentées sont indépendantes du niveau de puissance, il n'en est pas de même
de la mise en œuvre. A ces niveaux de puissance (et surtout de courant), les phénomènes
parasites sont exacerbés et la modélisation n'en est que plus difficile.
Rappelons aussi que, notre objectif final, est l'obtention de modèles de convertisseurs à
découpage (onduleur dans notre cas) alliant fiabilité et rapidité de simulation, utilisables, par
exemple, par les automaticiens, pour la conception des boucles de régulation (machines
électriques en particulier).
Dans la mesure où l'on ne s'intéresse qu'aux phénomènes dont l'horizon de temps ne dépasse
pas quelques commutations, il est envisageable de mettre en place un banc de test
impulsionnels ne nécessitant qu'une alimentation et une charge de faibles puissances. Par
contre, lorsque l'objectif est la modélisation des phénomènes liés aux constantes de temps de la
charge (plusieurs centaines de millisecondes, voire de secondes), la phase de validation passe
incontournablement par des essais à échelle de puissance réelle.
C'est pourquoi, une partie non négligeable de notre travail à été axée sur la mise en place d'un
banc de tests capable de fonctionner, au moins, à 30kVA en régime permanent. Ce troisième
chapitre est dédié à la description des différents éléments constituant ce banc.
Ce banc a été conçu en partenariat avec la Société ARCEL ELECTRONIQUE DE PUISSANCE.
CHAPITRE TROISIEME
3.1.
CAHIER DES CHARGES
Dans l'étude de ce projet, nous avons tenu à ce que le banc de test soit le plus général possible,
de manière à ce qu'il puisse répondre aux besoins des différentes équipes du laboratoire et de la
Société ARCEL. Il doit donc permettre la modélisation et la qualification des convertisseurs
continu/alternatif ou continu/continu d'une puissance au moins égale à 30kVA à 300VDC.
L'unité de commande du convertisseur doit permettre la mise au point d'algorithmes de
contrôle de machines électriques (qq. kW) et la prise en compte en temps réel d'un modèle du
convertisseur.
La charge est un élément indispensable mais qui peu poser des problèmes de modélisation. En
effet, il nous faut la modéliser avec suffisamment de précision avant d'espérer valider les
modèles du convertisseur. Nous avons donc opté pour une charge passive (R, L) triphasée,
dimensionnée pour environ 30kVA à 300V. Ainsi, le modèle de la charge sera suffisamment
simple pour être correctement connu. Une fois le modèle du convertisseur validé, il va de soi
que la charge passive pourra être remplacée par une machine électrique.
Le convertisseur est l'élément interchangeable du banc. Dans notre cas, il devait permettre la
qualification de ses différents modèles moyens. Etant donné les niveaux de courant mis en jeu,
nous avons décidé d'intégrer directement les capteurs à l'onduleur. Ceci permet, en outre,
d'optimiser la topologie du convertisseur en fonction des contraintes de mesures et d'assurer
une bonne reproductivité à ces dernières. Notons cependant que ces capteurs ne sont présents
que pour la validation de nos simulations et ne servent aucunement à l'identification des
paramètres du modèle.
3.2.
LA SOURCE DE TENSION
La source de tension doit permettre de fournir un courant d'environ 100A sous une tension
continue d'au moins 300V. L'énergie sera prélevée sur un réseau triphasé 420V/50Hz EDF.
Nous avons choisi d'utiliser un pont mixte à thyristors avec une carte de régulation fournis par
la société ARCEL. Pour la sécurité, le secteur est isolé par un transformateur triphasé et un
disjoncteur différentiel. La sortie est filtrée par un banc capacitif de forte valeur.
La source de tension pourra donc fournir une tension redressée variable de 0 à 550V sous un
courant d'au plus 100A, soit une puissance maximale de 55kVA. Le dimensionnement
thermique est prévu en conséquence et l'ensemble est monté dans une armoire.
76
Un Banc de Tests de Puissance
Afficheur Ampèremètre
Banc capacitif
Afficheur Voltmètre
Contacteur de sortie
Redresseur
Disjoncteur Différentiel
Carte de régulation
Transformateur
Figure 3- 1 : Photographie de l'armoire d'alimentation continue.
3.3.
LA CHARGE
Comme nous l'avons déjà dit, nous avons opté pour une charge triphasée équilibrée inductive.
V3
V1
R
V2
L
R
L
L
R
Figure 3- 2 : La charge triphasée
Par la suite, nous verrons que la modulation de largeur d'impulsion vectorielle permet,
théoriquement, d'obtenir une tension crête entre phases égale à la tension d'alimentation
continue, lorsque la charge est câblée en triangle. Soit, pour une tension continue de 310V
(notre régime nominal) nous aurons une tension efficace entre phases de 220V.
A cette tension, chaque phase de la charge doit recevoir une puissance apparente d'environ
10kVA. En fait, il serait souhaitable de pouvoir soumettre les composants à semiconducteurs
de l'onduleur à des contraintes maximales, de manière à détecter d'éventuels changements dans
77
CHAPITRE TROISIEME
leur comportement. Pour cela, nous avons choisi des modules ayant un courant maximal en
régime permanent de 150A.
Si nous fixons à 140A le courant crête dans les composants (100A efficace), le courant efficace
dans une phase de la charge sera I=58A, sous une tension de V=220V, soit une puissance
apparente de S=12.7kVA, ce qui correspond aux limites de la source de tension.
En fixant la valeur du facteur de puissance à 0.7 et la fréquence nominale à 50Hz (cas des
machines dans un fonctionnement non optimal), nous obtenons pour chaque phase:
R=2.67Ω
L=8.67mH
P=8.9kW (dissipée par R)
L'ensemble résistance et inductance a été assemblé dans une cage ventilée reliée à la terre.
Ventilateur
Connexions de sortie
Résistance
Inductance
Figure 3- 3 : :Photographie de la charge triphasée.
78
Un Banc de Tests de Puissance
3.4.
L'ONDULEUR
L'onduleur triphasé que nous projetons de modéliser doit répondre aux caractéristiques
suivantes:
Tension d'alimentation continue
Puissance de sortie
Courant efficace ligne
Fréquence de découpage
Vcc=310V
9kW / 13kVA
100A
10kHz
Table 3- 1 : Caractéristiques de l'onduleur
L'IGBT est parfaitement adapté à ces niveaux de puissance et les fournisseurs proposent des
composants hybrides contenant les deux IGBTs et les deux Diodes d'un bras d'onduleur. Nous
avons donc choisi les modules CM150DY-12H de Mitsubishi (600V / 150A). La solution
"IPM (Intelligent Power Module)", où la commande rapprochée est intégrée, à été écartée, de
manière à pouvoir effectuer les mesures nécessaires à l'identification des différents modèles,
que nous aborderons dans le chapitre suivant.
D'autre part, nous souhaitons intégrer à l'onduleur les capteurs de courants nécessaires à la
validation des modèles moyens. Ces capteurs ne nécessitent donc pas une bande passante très
étendue (quelques kHz suffisent), mais doivent supporter le régime permanent et de forts
appels de courant. Les capteurs de type LEM semblent bien adaptés. Nous arrivons donc au
schéma de principe suivant:
E
I
I
I
I
I
I
1
Commande
rapprochée
3
A
Commande
rapprochée
5
B
2
OV
I
Commande
rapprochée
C
4
I
6
I
I
Vab
IA (charge)
Vbc
IB(charge)
Vca
IC(charge)
Figure 3- 4 : Schéma de principe de l'onduleur.
Pour des raisons d'encombrement, nous n'avons pu installer que deux capteurs de courant par
bras d'onduleur (au lieu de trois). Un jeu de barres amovibles permet cependant de mesurer
deux courants quelconques parmi les trois prévus.
79
CHAPITRE TROISIEME
Les circuits de commande rapprochée (ARCAL-02) commercialisés par la société ARCEL, ont
été conçus en collaboration avec notre laboratoire. Un circuit permet de commander jusqu'à
deux IGBTs en parallèle sur toute la gamme Mitsubishi et possèdent sa propre alimentation
isolée permettant, à partir d'une tension continue comprise entre 12 et 24V, de faire commuter
les IGBTs entre ±15V. La commande logique et le retour de défaut sont isolés par optocoupleurs rapides.
La réalisation technologique de l'onduleur a l'allure suivante:
Figure 3- 5 : Plan de l'onduleur réalisé
80
Un Banc de Tests de Puissance
Dissipateur Thermique
Ventilateur
Capteur de courant
Carte de commande
rapprochée
Carte de mesure
de courant
Alimentations 24VDC
Circuit de commande
de l'onduleur
Alimentation générale
220V / 50Hz
Figure 3- 6 : Photographie de l'onduleur triphasé.
Remarques:
• Nous nous sommes servis des dissipateurs thermiques comme support de montage
des différents éléments de l'onduleur. Ces dissipateurs fonctionnent en ventilation
forcée.
• La présence des capteurs rendait l'utilisation de barre-bus impossible. Le réseau de
connexion de puissance est donc plus fortement inductif que dans un contexte réel.
Afin d'éviter que les surtensions ne provoquent la destruction des composants à
semiconducteur, et pour nous ramener dans des conditions plus proches des
onduleurs industriels, nous avons
monté en parallèle sur chaque
bras, un condensateur rapide,
faisant office de circuit d'aide à
la commutation.
Condensateur Rapide
Module 150A / 600V
81
CHAPITRE TROISIEME
3.5.
L'UNITE DE COMMANDE
La commande d'un onduleur est, en principe, relativement aisée à implanter. Elle répond
généralement au schéma blocs suivant:
Algorithme de commande:
Génération des références
de tension
Algorithme de Modulation
de Largeur d'Impulsion
Génération des 6 impulsions
de commande de l'onduleur
Figure 3- 7 : Principe de commande d'un onduleur.
Dans la pratique, ce n'est pas toujours si simple.
En effet, l'algorithme de commande est généralement traité par une unité numérique. Le calcul
fournit la largeur des impulsions à envoyer à l'onduleur. Il faut ensuite générer celles-ci, à la
fréquence de commutation de l'onduleur. Dans les systèmes embarqués, les microcontrôleurs
utilisés disposent de plusieurs compteurs programmables. Si leur nombre n'est pas suffisant, où
si l'unité de calcul ne dispose pas de tels éléments (certains DSP ou plus simplement un PC) la
génération de ces impulsions devient très problématique. D'autre part, les algorithmes de
commande ont généralement des fréquences de récurrence très inférieures à la fréquence de
commutation. La génération des impulsions oblige donc de prévoir une tâche à la fréquence de
commutation de l'onduleur dans le programme. Enfin, un arrêt intempestif du microcontrôleur
pourrait conduire à la mise en conduction des deux transistors du même bras. On élimine
généralement ce risque par de la logique extérieure, réalisant en même temps les temps morts
de la commande, dont nous parlerons dans le paragraphe suivant.
Pour palier ces problèmes, nous avons conçu un circuit numérique de commande des bras
entièrement sécurisé, dédié à la commande des convertisseurs à découpage, s'interfaçant très
simplement avec une unité de calcul par un bus numérique et déchargeant ainsi celle-ci de la
génération des impulsions.
3.5.1. Un circuit de génération d'impulsions
Ce circuit, dédié à la commande des convertisseurs à découpage, doit répondre à certaines
contraintes concernant la nature des impulsions générées:
• Dans les convertisseurs du type "onduleur", deux interrupteurs sont en série. Il est donc
primordial d'assurer un "temps mort" entre la commande des transistors complémentaires,
sous peine de voir conduire les deux éléments en même temps, créant ainsi un court circuit
(généralement destructif). La durée de ce "temps mort" dépend du temps de commutation
des composants utilisés. Le circuit proposé doit donc permettre de régler cette durée.
82
Un Banc de Tests de Puissance
• D'autre part, [Jacquot-95] a montré qu'il était préférable de fournir des impulsions centrées
sur la période de commutation et de réaliser les acquisitions nécessaires à l'algorithme de
commande au centre de cette période.
Le circuit que nous avons réalisé répond à ce cahier des charges. Il est entièrement numérique
et a été prototypé sur un FPGA de la famille ALTERA.
Xtal
Impulsion calculée centrée
Vcc
Tmod/2
12
Tmod
InData
AU
Strobe
AD
Reset
Rdy
ρ*Tmod
BU
BD
AU
BU
CU
Impulsion IGBT du haut
AD
BD
CD
Impulsion IGBt du bas
τM
Error
Run
IRQ
Halt
Sec
CU
CD
Over_I
τM
Figure 3- 8 : Le circuit de génération d'impulsions.
A gauche son brochage, à droite les impulsions générées
L'interface reçoit la valeur du rapport cyclique à appliquer via son bus de donnée (InData) et
génère les deux impulsions centrées sur les sorties correspondantes (A, B ou C). La durée du
temps mort (τM) et la période de découpage (Tmod) sont programmables de la même manière.
Le circuit équipé d'une entrée de détection de court-circuit (Over_I) émanant des circuits de
commandes rapprochées. En cas de court-circuit, il force toutes les sorties de commande de
l'onduleur au niveau bas et prévient l'unité maître par le signal "Sec".
Un signal d'interruption (IRQ - rapport cyclique 0.5) est généré à chaque période de
découpage. Celui-ci permet de synchroniser l'unité maître sur la période de découpage et de
déclencher, le cas échéant, les acquisitions.
En outre, les sorties de commande d'un même bras de l'onduleur sont protégées contre un
passage simultané au niveau haut. Et, dans le cas où l'algorithme de modulation de largeur
d'impulsions a une fréquence de récurrence plus faible que la fréquence de découpage de
l'onduleur, le circuit reproduit automatiquement 15 fois le dernier rapport cyclique. Cette limite
a été fixée de manière à ne pas endommager le convertisseur en cas d'arrêt de l'unité maître. En
83
CHAPITRE TROISIEME
effet, la répétition d'une impulsion de tension de rapport cyclique constant sur une charge
inductive (et faiblement résistive) ou un moteur, aboutit à un courant continu de forte valeur.
Pour plus d'informations sur ce circuit, nous renvoyons le lecteur à la notice d'utilisation du
composant présentée en annexe.
Figure 3- 9 : La carte d'interface avec l'onduleur.
Grâce à cette interface, l'unité de calcul voit l'onduleur (ou tout autre convertisseur à
découpage) comme un périphérique numérique. Son rôle est donc limité à la tâche de
contrôle/commande et de dialogue avec notre interface.
Les références de tensions utilisées par la MLI sont fournies généralement à une fréquence plus
lente par un algorithme de commande.
3.5.2. Le contexte de la commande des machines électriques
Avant de présenter le matériel choisi pour réaliser la commande de haut niveau de notre banc
de tests, faisons un bref rappel du contexte de la commande des machines électriques.
3.5.2.1.Structure algorithmique.
Quel que soit l'algorithme de régulation utilisé, le principe de la commande d'une machine à
courant alternatif, à partir d'une source de tension continue répond au schéma suivant:
84
Un Banc de Tests de Puissance
Charge
Machine
Onduleur
Source
continue
Mesures
Régulation
MLI
Figure 3- 10 : Principe général de la commande des machines.
Il existe différentes méthodes de commande des machines à courant alternatif, citons par
exemple la commande scalaire, la commande vectorielle ou la commande directe de couple
[Boze-86]. Toutes consistent en la génération de commandes permettant d'asservir la vitesse
ou le couple (cas de la traction) à un objectif donné. Les performances souhaitées dépendent
de l'application. Nous trouvons généralement des critères basés sur les caractéristiques
dynamiques de la commande, sa robustesse, ou encore le rendement global de l'ensemble ...
La commande scalaire consiste à considérer que le couple est maintenu constant lorsque le
rapport entre la tension et la fréquence statoriques est maintenu constant. Ce type de
commande est simple à mettre en place que ce soit en boucle ouverte ou fermée. Ses
performances sont correctes, mais elle ne permet pas de maîtriser la dynamique du couple.
D'autres commandes ont donc vu le jour. Elles sont généralement basées sur un pilotage de
grandeurs internes de la machine. Par exemple, dans une commande vectorielle, nous pilotons
à la fois le flux et les courants, le produit des deux donnant le couple.
De manière simplifiée, une commande vectorielle [Jorda-95] est architecturée sur trois niveaux:
Récurrence 10 Hz
Récurrence 1 kHz
Cm#
Ωr#
Contrôle
vitesse
Ωr
Contrôle
φ#
courant
flux
Récurrence 10 kHz
Vd
Vq
Commande
rapprochée +
onduleur
Θ
I
Figure 3- 11 : Architecture d'une commande vectorielle.
85
3
Moteur
CHAPITRE TROISIEME
• Couche commande algorithmique (récurrence faible : environ 10 Hz).
On calcule ici les signaux d'erreurs à fournir à la régulation. Ceux-ci sont issus des
valeurs de consignes et des mesures à récurrence lente (la vitesse). On applique ensuite
les correcteurs nécessaires à l'obtention des consignes de couple et de flux.
• Couche contrôle courant - flux (récurrence moyenne : environ 1 kHz).
Les acquisitions de courant sont faites à une fréquence plus élevée que celles de la
vitesse, et servent, après transformation de Concordia et application de deux nouveaux
correcteurs, à la génération des valeurs de commande Vd et Vq.
• Couche commande rapprochée (récurrence rapide : 10 kHz dans notre cas).
On effectue ici, à l'aide de l'angle de rotation échantillonné à la fréquence de découpage
de l'onduleur, les transformées nécessaires à l'obtention des temps de conduction de
chaque interrupteur de l'onduleur à partir des consignes reçues: c'est la Modulation de
Largeur d'Impulsions (MLI). On génère ensuite les impulsions de commande (ou on
utilise l'interface présentée précédemment).
Ce type de commande présente des performances bien supérieures à la commande scalaire.
Cependant, elle nécessite un certain nombre de capteurs (au moins quatre: deux courants, la
vitesse et la tension continue d'alimentation de l'onduleur) et des régulateurs fonctionnant à des
fréquences d'échantillonnage différentes. Enfin, il faut, en toute rigueur, pouvoir calculer la
MLI à la fréquence de découpage de l'onduleur. Il existe deux grandes familles de MLI: les
modulations intersectives et vectorielles [Pietrzac-92].
3.5.2.2.La MLI intersective
Cette technique est héritée des techniques analogiques. Elle consiste à calculer la largeur d'une
impulsion de manière à obtenir la tension de référence, en moyenne sur une période de
commutation et nous ne détaillerons pas son calcul. On montre que, pour une charge triphasée
montée en triangle, l'amplitude du vecteur tension qu'il est possible de générer est inscrite au
triangle de la figure suivante.
86
Un Banc de Tests de Puissance
β
3E
r
vs
−E
E
α
−
3
E
2
Figure 3- 12 : Vecteur tension de la MLI intersective
Ceci est dû au fait que la commande intersective considère les trois bras de l'onduleur comme
indépendants. Si l'on prend en compte les interactions entre les différents bras de l'onduleur,
nous arrivons à la modulation vectorielle.
3.5.2.3.La MLI vectorielle.
Cette technique de modulation repose sur la représentation d'une machine triphasée par une
machine diphasée équivalente: la machine de Kron [Chatelain-83].
On définit ainsi deux repères diphasés, l'un lié au stator (α, β), et l'autre lié au champ tournant
(d, q), conformément à la figure suivante:
α
d
q
Axe
transversal
Axe longitudinal
ou direct
θ
b
D
Q
a
β
f
c
a, b, c, phases de l'enroulement
D
statorique
Q
f enroulement inducteur éventuel
amortisseur longitudinal
amortisseur transversal
Figure 3- 13 : Les repères diphasés équivalents.
Le passage des grandeurs triphasées aux grandeurs diphasées se fait par simple projection sur
les axes concernés.
87
CHAPITRE TROISIEME
Considérons maintenant l'onduleur (Figure 3- 4, page 79). Ses six interrupteurs sont
commandés de manière complémentaire deux à deux, nous avons seulement trois degrés de
liberté, ayant deux états chacun: Fermé ou Ouvert. Nous pouvons donc dresser un tableau des
différents états du convertisseur.
Q1
Q3
Q5
Vab
Vbc
Vca
Vsα
Vsβ
Vecteur
Ouvert
Ouvert
Ouvert
Ouvert
Ouvert
Fermé
0
0
0
-E
0
E
0
0
0
0
−2 E
2E j 2
e
3
Ouvert
Fermé
Ouvert
-E
E
0
-E
Ouvert
Fermé
Fermé
-E
0
E
-E
Fermé
Ouvert
Ouvert
E
0
-E
E
Fermé
Ouvert
Fermé
E
-E
0
E
Fermé
Fermé
Ouvert
0
E
-E
0
Fermé
Fermé
Fermé
0
0
0
0
3π
3
E
3
−E
3
E
3
−E
3
2E
3
2E j 6
e
3
7π
2E j 6
e
3
π
2E j 6
e
3
11π
2E j 6
e
3
π
2E j 2
e
3
0
0
5π
Nom
r
v0
r
v5
r
v3
r
v4
r
v1
r
v6
r
v2
r
v7
Table 3- 2 : Différents états de l'onduleur triphasé
Nous pouvons alors représenter les vecteurs (colonne de droite) dans le plan (α, β):
Vsβ
2 E
3
II
i=2
i=1
i=3
i=2
I
r
v2
r
v3
r
v1
−E
Vsα
E
r r
v0 v7
i=3
i=4
i=1
i=6
r
v6
r
v4
r
v5
III
i=6
i=5
i=5
i=4
IV
− 2 E
3
Figure 3- 14 : Représentation des vecteurs tensions réalisables par l'onduleur.
On peut alors reconstruire n'importe quelle tension en combinant ses deux vecteurs adjacents:
88
Un Banc de Tests de Puissance
β
i=1
vr2
r
vs
vsβ
τ1 =
T1
Tmod
τ2 =
T2
Tmod
r
v1
r
τ2 .v2
r r
r
τ1 .v1
v0 v7
vsα
E
α
Figure 3- 15 : Projection du vecteur à réaliser sur ses deux vecteurs adjacents.
T1 et T2 sont les temps d'application des vecteurs V1 et V2 respectivement.
La somme des deux vecteurs V1 et V2 respectivement appliqués pendant les durées τ1 et τ2
donne donc le vecteur Vs initial. En combinant ces deux vecteurs avec les vecteurs nuls (V0 et
V7) et en codant par un 1 un interrupteur fermé et un zéro un interrupteur ouvert, nous
pouvons reconstituer les signaux de commande à appliquer pour obtenir le vecteur Vs
souhaité:
i=1
r r r
r
v7 v 1 v 2 v 0
r r
r
v0 v 2 v 1
Q1
Q3
Q5
T 0 T 2 T 1 T 0 T 0 T 1 T 2 T0
4 2 2 4 4 2 2 4
T mod
Figure 3- 16 : Reconstitution des signaux de commande.
L'algorithme de calcul de la MLI vectorielle est constitué d'une phase de recherche du secteur
angulaire (recherche de i) et d'une phase de calcul des temps d'application des deux vecteurs:
 
π
π  T

Ti =  cos (i − 1)  v sα + sin (i − 1)  v sβ  mod




3
3  E
Eq. 3- 1
π
π  T
 

Ti +1 =  cos (i + 1)  v sα + sin (i + 1)  v sβ  mod

 
3
3  E
Eq. 3- 2
89
CHAPITRE TROISIEME
Enfin, les rapports cycliques de commande sont reconstitués en appliquant des vecteurs nuls le
reste du temps (V0 sur les bords et V7 au centre), et dans notre cas, envoyés directement à
l'interface de génération d'impulsions.
Cette technique de modulation est beaucoup plus efficace que la précédente puisqu'elle permet
d'obtenir des vecteurs tensions inscrits dans le polygone de la Figure 3- 14, donc de tensions
crêtes aux bornes de la charge de ±E (à comparer avec la valeur de
3
E obtenue avec la
2
modulation intersective).
3.5.3. L'unité de commande algorithmique
Nous venons de voir que dans le contexte de la commande des machines, l'unité de calcul doit
être capable d'effectuer certains calculs à des fréquences assez élevées. De plus, sa structure
doit permettre d'exécuter plusieurs tâches à des fréquences de récurrence différentes. Enfin,
dans un contexte de recherche, il serait souhaitable de pouvoir tester différents algorithmes de
commandes en un temps de développement minimal, donc avec un environnement adapté aux
outils que nous utilisons déjà, et particulièrement Matlab/Simulink. Ces considérations nous
ont amenés à retenir une carte de la société Dspace et le jeu de logiciels temps réel pour
Simulink qui permet d'exécuter un schéma bloc en temps réel.
Cette unité de commande (un PC) peut aujourd'hui être utilisée à la fois sur notre banc moteur
triphasé (1.5kW), sur notre banc de puissance ou sur tout autre banc dont le convertisseur est
équipé de notre interface de génération d'impulsions. Cependant, il nous a fallu réaliser
quelques adaptations logicielles et matérielles avant d'arriver à ce résultat.
Ces adaptations ont été motivées par la structure interne de la carte Dspace (DS1102):
90
Un Banc de Tests de Puissance
RAM 128k
RAM 4k
FIFO
Interfaçage
PC
16 Bits E/S
Bus // 32bits
TMS 320C31
IT externe
IT Communication
TMS 320P14
Double entrée
Codeur incrémental
4* CNA
MLI, capture,
liaison série
4*CAN
Figure 3- 17 : Structure de la carte DS1102.
Nous ne souhaitons pas entrer ici dans les détails techniques concernant les modifications.
Nous décrirons simplement celles-ci dans le but de clarifier le fonctionnement final du système.
La carte DS1102 est architecturée autour d'un DSP TMS320C31 de Texas Instrument, dédié
aux calculs. Elle est équipée de 4 convertisseurs Analogique/Numérique, de 4 convertisseurs
Numérique/Analogique, de deux entrées pour codeurs incrémentaux, d'une liaison série et
d'entrées/sorties numériques gérées par un DSP esclave (TMS320P14). Le dialogue entre les
deux processeurs peut se faire par deux canaux différents: une pile de type FIFO et un bus
dédié. Les sorties MLI présentes n'ont pas les performances requises par nos applications et
nous avons constaté par ailleurs que les outils fournis pour adresser les sorties numériques
depuis Simulink étaient trop lents pour l'exploitation en temps réel !
Nous avons donc effectué les adaptations suivantes:
1. Un multiplexeur analogique bidirectionnel nous a permis de doubler la capacité de mesure
analogique (ou de sorties analogiques). Pour pouvoir utiliser ce multiplexeur depuis
Simulink, nous avons du modifier les sources de compilation fournies avec l'environnement
temps réel.
2. Le processeur esclave (TMS320P14) a été re-programmé pour qu'il soit capable de gérer,
de manière autonome, notre interface de génération des impulsions de commande de
91
CHAPITRE TROISIEME
l'onduleur. Le processeur maître (TMS320C31) n'a plus qu'à envoyer les rapports cycliques
calculés vers l'esclave sans s'occuper du dialogue vers l'extérieur. Nous avons ainsi gagné un
facteur 10 à 20 (suivant le cas) sur le taux d'occupation du processeur maître !
3. La mesure de vitesse est effectuée par une entrée codeur et disponible sous Simulink. Sa
période de rafraîchissement (sous échantillonnage) est réglable par l'utilisateur.
4. L'algorithme de modulation de largeur d'impulsion vectorielle a été écrit en C. Ainsi, il peut
être exécuté très rapidement sur une requête d'interruption en provenance de notre interface
(moins de 14 µs).
La structure logicielle et matérielle adoptée en fin de compte est la suivante (les valeurs
numériques sont données à titre indicatif):
Codeur
Fréquence programmable
IT
Communication: 10kHz
IT
C31
Vitesse
cycle=40ns
Bus de dialogue
interne
MLI
IT
10kHz
1kHz
IT
Algorithme principal
Simulink
IT = Interruption
P14
bus numérique
extérieur
ONDULEUR
+
Interface Numérique
Figure 3- 18 : Architecture matérielle et logicielle de l'unité de commande.
L'algorithme principal tourne dans le DSP maître à la fréquence de récurrence définie par
l'utilisateur, sous Simulink. A la fréquence de découpage de l'onduleur, une interruption
déclenche un nouveau calcul de la MLI vectorielle. La mesure de vitesse est exécutée à une
fréquence sous-multiple de la fréquence de récurrence de l'algorithme principal définie par
l'utilisateur. Ainsi, nous respectons bien les trois couches présentées à la Figure 3- 11, tout en
optimisant les temps d'exécution des tâches.
Enfin, notons que les outils de développement temps réel de Simulink permettent de visualiser
et modifier n'importe quelle variable en utilisant la souris de l'ordinateur. C'est particulièrement
utile lors de la phase de réglage des paramètres des régulateurs par exemple, pour rechercher
92
Un Banc de Tests de Puissance
une erreur dans l'algorithme de régulation, ou plus simplement, pour faire varier les différentes
consignes.
Voici, à titre d'exemple, l'écran de pilotage de la machine asynchrone du banc moteur 1.5kW.
Figure 3- 19 : Ecran de pilotage du programme de régulation de vitesse.
3.6.
CONCLUSION
Nous venons de présenter un banc d'essais de puissance (30kVA) constitué d'un redresseur,
d'un onduleur, d'une charge passive et d'une unité de commande. Afin d'optimiser le câblage de
l'onduleur, nous avons intégré directement les capteurs de courant dans le circuit de puissance.
L'unité de commande, constituée d'un PC équipé d'une carte DSP compatible avec Simulink,
dialogue avec le convertisseur de puissance par l'intermédiaire d'une interface que nous avons
développée. Cette interface permet de piloter tout convertisseur à découpage via un bus
numérique.
Les environnements logiciels et matériel ont été adaptés de manière à ce qu'ils correspondent
au contexte général de recherche de l'équipe commande du laboratoire. Les modifications
93
CHAPITRE TROISIEME
logicielles ont été effectuées au niveau des sources du module temps réel de Simulink pour
optimiser les temps d'exécution et sont transparentes pour l'utilisateur.
En fin de compte, notre système d'expérimentation a la structure suivante:
Alimentation
PC + Carte DSP
16
Onduleur
Commande
rapprochée
Interface
MLI
6
12
Charges
1
3
5
2
4
6
* Moteur
* Charge R,L
* ...
Mesures
Figure 3- 20 : Structure du système d'expérimentation de l'équipe commande du CEGELY.
Ici, la charge passive limite le nombre d'inconnues dans la simulation et nous permet de
supposer l'environnement du convertisseur comme "parfaitement connu". Lorsque le modèle
du convertisseur sera éprouvé, il est clair que cette charge sera remplacée par une machine
électrique de manière à exploiter les résultats obtenus dans un contexte de commande prenant
en compte l'onduleur.
Après avoir validé le fonctionnement de ce banc d'essais, il nous faut effectuer un certain
nombre de mesures visant à identifier les paramètres des modèles des différents éléments le
constituant. C'est l'objet de notre quatrième chapitre.
94
CHAPITRE QUATRIEME
MODELISATION, MESURES ET IDENTIFICATION DES
ELEMENTS DU BANC D'ESSAIS
Dans le deuxième chapitre, nous avons présenté différents modèles de composants à
semiconducteur et leurs contextes d'utilisation. Les contraintes de choix des modèles à utiliser
sont principalement liées à l'outil de simulation. En effet, si les calculateurs (et les unités de
stockage) étaient plus rapides, nous pourrions systématiquement envisager l'utilisation des
modèles de connaissance. Il est d'ailleurs probable que l'évolution future de l'informatique
(processeurs et mémoire plus rapides, calculs parallèles, ...) nous permette d'étendre le champ
d'utilisation de ces modèles. Ce n'est pas le cas pour le moment, et, pour palier ces limitations
matérielles, les modèles moyens semblent particulièrement efficaces.
Mais, quels que soient les modèles que l'on envisage d'utiliser, une étape incontournable est
l'identification de ses paramètres. C'est une phase critique où la rigueur des mesures est
primordiale. De nombreux phénomènes sont mis en jeu, et la méthodologie de mesure doit
permettre de fixer (ou de maîtriser) un maximum de variables "parasites", sans quoi la phase
d'identification numérique est vouée à l'échec.
Un certain nombre d'outils d'identification sont proposés dans le commerce. Citons par
exemple le logiciel IC-CAP (Hewlett Packard), qui combine plusieurs méthodes d'optimisation
permettant l'identification des paramètres des modèles standard du type SPICE, à partir de
mesures expérimentales statiques ou quasi-statiques i(v) et c(v), ou, pour les composants
passifs, l'impédancemètre. Ces outils permettent parfois l'excitation des composants de
puissance dans un contexte réel de plusieurs centaines de volts ou/et d'ampères, mais ils ne sont
pas utilisables pour des composants bipolaires (problèmes liés à la durée de vie des porteurs).
Pour déterminer le jeu de paramètres d'une nouvelle série de composants, il faut donc réaliser
soi-même les mesures et l'identification numérique. Ce quatrième chapitre est dédié à cette
phase de la modélisation en électronique de puissance.
Après un bref bilan sur la problématique de l'identification numérique, nous passerons en revue
les différents éléments constituant notre banc, en définissant, pour chacun d'entre eux, le ou les
modèle(s) choisi(s), la nature et la méthodologie des mesures à effectuer pour leur
identification et les valeurs des paramètres retenues.
CHAPITRE QUATRIEME
4.1.
LES METHODES D'OPTIMISATION
4.1.1. Généralités
Les méthodes d'optimisation [Morel-97] sont des méthodes numériques qui permettent de
trouver la solution d'un problème de minimisation.
Définition: Problème d'optimisation.
Un problème d'optimisation est souvent formulé comme un problème de minimisation.
Trouver u ∈ V tel que, J ( u) =
Min J v
v ∈V ( )
V est l'espace de recherche de la solution. Lorsqu'elles existent, les frontières de V définissent
les contraintes du problème de minimisation. J est définie sur l'espace V. C'est la fonction coût.
Propriété: Equation d'Euler
Si la fonction coût est suffisamment régulière (dérivable), le point du minimum u vérifie J'(u)=0
Evidemment, la réciproque est fausse, car par exemple l'équation d'Euler est vérifiée pour un
minimum local (une vallée), un maximum local (un sommet) ou un point selle (un col).
L'application pratique est la recherche des valeurs de paramètres qui correspondent au
minimum minimorum d'un critère donné. Ce critère peut être par exemple un rendement,
un coût de fabrication, une durée (des temps de commutation), une distance... Ce sont souvent
des valeurs positives et le cas idéal correspond à une valeur nulle de la fonction coût. Une
autre application courante correspond aux problèmes du placement (des composants) et du
routage (le tracé des pistes de connexion) dans le cas des circuits imprimés, intégrés ou des
modules hybrides.
Dans notre cas, nous appliquerons ces principes à l'identification des paramètres d'un modèle.
D'une façon générale, la technique d'identification consiste à minimiser l'écart entre la
simulation et l'expérience.
Le simulateur Pacte dispose déjà d'un outil d'identification reposant sur la comparaison
simulation/expérience. Un certain nombre de méthodes d'optimisation sont programmées
(dichotomie, recuit simulé, ...). Nous les avons donc utilisées.
96
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
4.1.2. Expression pratique de la fonction coût
La fonction coût peut être définie par une fonction analytique. Par exemple, la fonction de
(
Rosenbrock s'écrit, J ( v 1 , v 2 ) = ( v1 − 1) + p v 1 − v 2
2
2
2
) où p>0. Elle admet un minimum
pour (v1=1, v2=1). Evidemment dans ce cas, il est facile de vérifier la régularité de la fonction
coût et de calculer ses dérivées partielles.
Par contre, si l'on veut optimiser le comportement d'un système dynamique, la formulation
devient implicite. Soit le système décrit par l'équation différentielle ordinaire:
 dx
 = f ( x , p1 )
 dt
 y = g ( x , p2 )
où x vaut initialement x0.
Eq. 4- 1
Par exemple, un problème d'identification des paramètres p1 et p2 à partir d'un relevé
expérimental ym(t) peut s'écrire avec la fonction coût:
J ( p 1 , p 2 ) = ∫ ( y( t ) − y m ( t ) ) dt
T
2
Eq. 4- 2
0
Dans cette formulation la sortie, y(t), dépend implicitement des paramètres, car la fonction,
y(t), se calcule à partir de la solution de l'EDO. Dans la pratique, la fonction coût est évaluée à
partir d'une intégration numérique de l'EDO. Certes, il existe des théorèmes qui permettent de
s'assurer de la régularité de la fonction coût, mais, le calcul des dérivées partielles de la
fonction coût ne peut plus se faire analytiquement. Dans ce cas, on peut toutefois estimer
numériquement ces dérivées en calculant la fonction coût pour des petites variations des
paramètres.
En fait, ce cas correspond aussi à tous les problèmes d'optimisation que l'on doit réaliser sur
des fonctions coût calculées par des méthodes numériques. C'est par exemple le cas de
l'optimisation de forme dans des modélisations utilisant les éléments finis pour la résolution.
4.1.3. Expression des contraintes
Classiquement, on rencontre deux types de contraintes:
• Les contraintes par égalité, de la forme p12 + p2 2 = 3 . Elles sont à éviter, car elles
compliquent sérieusement les méthodes de résolution (utilisation des multiplicateurs de
Lagrange).
• Les contraintes par inégalités, de la forme 0 < p1 < 5. Elles traduisent généralement des
limites physiques. Elles peuvent aussi servir pour distinguer plusieurs minima locaux.
97
CHAPITRE QUATRIEME
4.1.4. Classification des méthodes d'optimisation
Nous venons de voir le premier critère de classification: les contraintes. En effet, certaines
méthodes sont adaptées aux problèmes avec contraintes, d'autres ne le sont pas.
Dans la description pratique des fonctions coût, nous avons vu que dans certains cas le calcul
des dérivées partielles était simple et que dans d'autres cas ce n'était pas simple du tout.
Enfin, le dernier critère concerne le déterminisme de la méthode. Certaines méthodes
convergent systématiquement vers un minimum local alors que d'autres, et en particulier les
méthodes stochastiques, non déterministes, permettent d'espérer l'obtention d'un minimum
global.
La Table 4- 1 récapitule les principales méthodes que nous allons succinctement décrire. Pour
de plus amples informations sur les méthodes d'optimisation, nous renvoyons le lecteur aux
ouvrages de référence [Culioli-94] et [Charon-96].
type
catégorie
déterministe
descente
programmation
linéaire
stochastique
nom
prise en
compte des
contraintes
méthode de
relaxation
méthode du
gradient
méthode du
gradient
conjugué
méthode de
Newton
pénalisation
simplex
calcul des
dérivées
premières
calcul des
dérivées
secondes
recherche du
minimum
global
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
oui
recuit simulé
oui
génétique
oui
Table 4- 1 : Classification des principales méthodes d'optimisation.
oui
oui
4.1.5. Les méthodes de descente
Une méthode de descente est une méthode itérative. Le vecteur de paramètres xk représente
l'état à l'itération numéro k. x0 représente l'état initial. A chaque étape une direction de
descente est choisie. L'objectif est alors de trouver le minimum de la fonction coût dans cette
direction de descente. Nous avons ainsi transformé un problème de minimisation
multidimensionnel en une suite de problème de minimisation unidimensionnel. La grande
différence entre toutes les méthodes de descente réside dans le choix de la direction de
descente.
98
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
D'une façon générale, une méthode de descente utilise le schéma itératif suivant:
x k +1 = x k − λ k d k
(descente)
x0
x2
d1
x1
d0
Figure 4- 1 : Interprétation graphique d'une méthode de descente par des courbes de niveaux
dk est la direction de descente, et λk est le pas de descente qui minimise la fonction coût dans la
direction de descente. En d'autres termes, on cherche le λk qui fournit le minimum de la
fonction coût.
Sur une représentation en courbe de niveaux, le nouveau point, xk+1 correspond au point dans
la direction de descente qui tangente avec une courbe de niveau (Figure 4- 1).
4.1.5.1.La méthode de Newton:
De manière générale, si l'on a à résoudre f(u)=0, connaissant un état initial x0, la méthode
de newton s'écrit:
x k +1 = x k − [ f ′( x k )] . f ( x k )
−1
Eq. 4- 3
f'(x) est le Jacobien (ou matrice Jacobienne du système).
En posant f(v)=J'(v), nous arrivons à la formulation de la méthode de Newton pour
l'optimisation. L'état à l'itération k s'obtient par:
[
]
x k +1 = xk − J ′′(x k ) .−1 J ′(x k )
où J' est le gradient de la fonction coût et J'' est la matrice Hessienne.
Eq. 4- 4
Le domaine de convergence de la méthode de Newton est le plus grand domaine
convexe contenant la solution u, dans lequel la fonction coût est convexe (Figure 4- 2).
99
CHAPITRE QUATRIEME
domaine de convergence!
V
. u
V
u
Figure 4- 2 : Interprétation du domaine de convergence de la méthode de newton.
4.1.5.2.Les méthodes de gradients (conjugués)
La méthode du gradient à pas optimal correspond au choix dk=J'(xk). Ce choix
correspond à la direction de plus grande pente, le gradient. En fait, ce choix n'est
judicieux que localement.
Pour trouver le pas optimal λk nous avons un problème de minimisation
unidimensionnelle à résoudre. On peut par exemple utiliser la méthode de recherche
dichotomique ou la méthode de Newton.
Définition: fonction quadratique
une fonction J ( v) =
1 T
v . A.v − bT. v est dite quadratique. Elle est elliptique si A est
2
symétrique définie positive.
Dans ce cas λ k =
wk2
w kT. A.w k
où, w k = A.x k − b est le gradient au point courant.
La méthode du gradient à pas optimal converge si:
• J est elliptique.
• Si J est C1 et convexe
Les méthodes de gradients conjugués ont l'avantage de converger en moins de n
itérations pour des fonctions elliptiques, où n est la dimension du vecteur x. Le choix de
la direction de descente est celle de la direction conjuguée.
100
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
gradient
conjugué
gradient
Figure 4- 3 : La direction conjuguée passe par le centre de l'ellipse.
Notons que si la méthode converge théoriquement en moins de n=dim(x) itérations, dans
la pratique dès que n est assez grand il faut beaucoup plus de n itérations pour
converger. La méthode des gradients conjugués pré-conditionnés est alors bien plus
performante.
Par ailleurs la méthode peut s'étendre aux fonctions coûts quelconques. Il existe aussi des
algorithmes de bi-gradients conjugués pour les matrices non symétriques.
4.1.5.3.La méthode de relaxation
La méthode de relaxation consiste à choisir comme direction de descente, les axes de
l'espace de recherche V. Cela revient en d'autres termes à minimiser la fonction coût en
faisant varier une seule composante du vecteur x à la fois. Les différents axes de l'espace
sont choisis à tour de rôle comme direction de descente.
Propriété: Si la fonction J est C1 et convexe, la méthode de relaxation converge vers
l'unique minimum.
Par contre, si la fonction coût n'est pas C1, cette méthode peut converger vers un point
qui n'est pas le minimum.
Cette méthode ne nécessite pas le calcul des dérivées premières de la fonction coût,
évitant ainsi les problèmes liés aux Jacobiens singuliers. Un autre intérêt de cette
méthode est qu'il est très facile de prendre en compte des contraintes représentées par
des inégalités portant sur un seul paramètre.
4.1.5.4.Les méthodes de pénalisation
L'idée des méthodes de pénalisation est de modifier la fonction coût pour satisfaire les
contraintes. On utilise alors une nouvelle fonction coût,
1
J ε ( v) = J ( v) + ψ ( v )
ε
où Ψ(v)=0 si v ∈ V , et Ψ(v)>0 sinon.
101
CHAPITRE QUATRIEME
La difficulté est le choix de la fonction de pénalisation Ψ(v). Après il suffit de choisir une
méthode de descente quelconque. Ces méthodes sont toutefois heuristiques!
4.1.6. Programmation linéaire, la méthode du symplexe
La programmation linéaire regroupe toutes les techniques de recherche du minimum
d'une fonction coût linéaire. La propriété de base est qu'une fonction linéaire définie dans
un domaine compact, atteint son minimum (maximum) sur son bord. Les notions de
bords correspondent aux contraintes (linéaires).
La méthode du simplexe minimise une fonction coût linéaire avec des contraintes
linéaires. Cet algorithme peut toutefois s'appliquer aux fonctions coûts non linéaires.
4.1.7. Les méthodes stochastiques
Ces méthodes sont très puissantes pour les problèmes complexes. Leur principal défaut est
qu'il est impossible de prévoir le nombre d'itérations nécessaires à l'obtention du résultat. On
utilise généralement les méthodes stochastiques pour approcher une solution qui sera ensuite
affinée par des méthodes plus classiques.
4.1.7.1.Le recuit simulé
La méthode du recuit simulé repose sur une analogie avec la thermodynamique, proposée
par N. Metropolis en 1953. Cette approche a été surtout employée depuis 1982
(S. Kirkpatrick et V. Cerny).
L'état d'un matériau est régi par la loi de Boltzmann. La probabilité d'observer l'état X
 E( X ) 
est, p( X ) = p0 exp −


kT 
L'intérêt de cette analogie réside dans l'étude du cas de la trempe des aciers. En effet,
l'acier trempé correspond à un état énergétique élevé, alors que l'acier recuit, plus mou,
correspond au minimum absolu de l'énergie du matériau. Or, le recuit consiste à
appliquer une température suffisamment élevée pour permettre le changement de vallée.
L'analogie est donc simple: La fonction coût représente l'énergie du matériau.
Naturellement, l'état d'un matériau évolue de façon à réduire son énergie. Toutefois, une
augmentation d'énergie est possible si la transition respecte la loi de probabilité de
Boltzmann. Il faut donc des températures élevées pour permettre de faire des sauts
importants de vallée.
102
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
La méthode est intéressante pour trouver la bonne vallée dans des cas complexes, où, par
exemple, la solution est assez "plate" dans de nombreuses régions du domaine de
recherche. Toutefois, la convergence est très mauvaise à la fin. Il est alors préférable
d'utiliser une méthode déterministe dès que la bonne vallée a été trouvée.
E(X)
recuit
X
état du matériaux
acier trempé
acier recuit
Figure 4- 4 : Représentation graphique de la méthode du recuit simulé.
4.1.7.2.Les algorithmes génétiques
Cette fois l'analogie est celle de la vie. La vie sélectionne les meilleures solutions d'une
population d'individus, les autres meurent (sauf chez les hommes) ...
Cette approche nécessite un codage binaire. Celui-ci doit permettre de décrire complètement
un individu: un état du système. Les valeurs discrètes et continues sont donc codées en
binaire. Le codage mime donc le codage génétique.
La différence de cette approche est que cette méthode gère une population, c'est-à-dire un
ensemble d'états du système. Les algorithmes génétiques reposent sur plusieurs mécanismes.
• La sélection consiste à choisir les individus que l'on va conserver, les autres meurent ...A ce
stade la fonction coût est largement utilisée.
• Le croisement permet de créer de nouveaux individus à partir de deux individus survivants.
Le croisement doit se faire entre individus de natures très diverses. Le risque majeur de la
consanguinité est de rester piégé dans un minimum local et de ne pas produire le meilleur
individu.
• La mutation permet à un même individu de changer l'une de ces caractéristiques.
Nous venons de passer brièvement en revue différentes méthodes d'optimisation. Nous allons
maintenant les appliquer au cas concret de l'identification des différents modèles de notre banc
103
CHAPITRE QUATRIEME
de tests. Dans la mesures du possible, nous utiliserons les méthodes déterministes, plus rapides,
sachant qu'on peut toujours avoir recours aux méthodes euristiques en cas de difficultés de
convergence.
4.2.
LE CONDENSATEUR
Si l'on veut simuler un système complet, il convient de modéliser le plus fidèlement possible la
source d'énergie du convertisseur. Les modèles de condensateurs proposés dans la littérature,
et particulièrement celui proposé par [Joubert-95], donnent de très bons résultats, mais, les
mesures nécessaires à l'identification des paramètres sont particulièrement complexes et sortent
du cadre de notre application.
4.2.1. Méthodologie
Nous ne nous intéresserons ici qu'aux condensateurs électrolytiques, plus lents. Un modèle du
type schéma équivalent {R, L, C série} sera suffisant et ne dégradera pas le temps de calcul.
Par contre, pour les condensateurs rapides, les phénomènes de propagation internes excluent
l'utilisation de tels schémas électriques équivalents.
L'objectif ici, est de déterminer la valeur des trois paramètres Rc, Lc et C dans des conditions
nominales de fonctionnement. L'utilisation d'un impédancemètre est inadaptée à la mesure sur
ce type de composant dans les conditions nominales.
Le schéma adopté pour les mesures est le suivant:
Figure 4- 5 : Schéma de test du condensateur.
L'idée principale est de réaliser une commutation rapide du condensateur sur charge résistive
de manière à mettre en évidence l'effet de sa résistance série Rc et de son inductance Lc.
La source de tension E et l'interrupteur K servent à la pré-charge du condensateur sous la
tension choisie pour l'essai. Après la charge du condensateur, l'interrupteur K est ouvert. La
résistance R définit approximativement, avec la tension initiale E, la valeur du courant maximal
104
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
durant l'essai. L'inductance L est une inductance de câblage, elle devra être aussi faible que
possible de manière à ne pas limiter la montée du courant lors de la fermeture du transistor, et
à ne pas détruire ce dernier lors de son ouverture. De la même manière, le transistor doit être
suffisamment rapide pour ne pas trop influer sur la montée du courant. Nous avons opté pour
un transistor de puissance de type MOS. Nous mesurerons la tension aux bornes du
condensateur Vc et le courant Ic traversant celui-ci.
Deux essais seront nécessaires (Figure 4- 6).
Le premier essai a pour but l'identification de la valeur de la capacité C du condensateur. Ce
paramètre sera déterminé de manière formelle:
C=
∫ Ic(t ).dt
Eq. 4- 5
V 2 −V 1
avec V1 la tension initiale aux bornes du condensateur avant la commutation et V2 la
tension finale après la commutation.
Pour cet essai, la durée de l'impulsion de commande du transistor MOS (∆t) devra être
suffisante pour que la différence entre V2 et V1 (∆V) soit représentative de la décharge du
condensateur. Cette valeur peut être approchée à partir des valeurs annoncées par le
constructeur et des conditions d'essai. Dans le cas d'une capacité linéaire, nous avons:
∆t =
C. ∆V
E/R
Eq. 4- 6
Figure 4- 6 : Mesures pour l'identification des paramètres du modèle de condensateur électrolytique.
A gauche, allure du courant et de la tension aux bornes du condensateur durant une commutation.
A droite, zoom sur la phase de montée du courant.
105
CHAPITRE QUATRIEME
L'intégrale du courant sera calculée numériquement d'après le relevé expérimental.
L'identification des deux autres paramètres nécessite une méthode d'optimisation basée sur la
phase de montée du courant Ic. Contrairement à la mesure précédente, l'horizon de temps est
très réduit (quelques centaines de nano-secondes). Le relevé expérimental devra faire
clairement apparaître le pic "négatif" de la tension aux bornes du condensateur et la phase de
palier qui suit ce pic (Vplat, Figure 4- 6, droite).
Comme nous l'avons dit, la phase d'identification consiste en une comparaison systématique de
la mesure avec une simulation reproduisant les conditions d'essais, exécutée avec un jeu de
paramètres (Rc et Lc) donné. Les valeurs des paramètres sont ensuite ajustées jusqu'à
obtention d'un critère d'erreur minimal.
Il semble donc nécessaire d'identifier le banc de test, à savoir le transistor MOS et les éléments
parasites pour pouvoir réaliser la simulation. C'est une phase fastidieuse et, une fois de plus, la
fiabilité des modèles et de leur identification conditionnent les identifications futures des
condensateurs. Dans ce cas particulier, ce travail n'est pas nécessaire. En effet, le signal de
tension Vc est suffisamment riche pour être la seule grandeur comparée. Nous utiliserons donc
le courant mesuré comme source d'excitation du modèle de condensateur pendant la simulation
(Figure 4- 7). Le critère d'optimisation sera l'erreur quadratique entre la tension mesurée et la
tension simulée. Notons que le schéma n'est plus causal. En effet, nous imposons le courant
dans une inductance. Dans l'outil PACTE, le modèle de l'inductance Lc passe alors
automatiquement en causalité dérivée (on calcule la tension à partir du courant) pour que la
simulation puisse avoir lieu.
Figure 4- 7 : Schéma adopté en simulation pour la phase d'optimisation.
Remarques:
• Afin de vérifier la validité de la méthode avant de procéder aux essais, nous avons
simulé la procédure complète sous PACTE. Les paramètres du condensateur et des
éléments parasites ont été fixés arbitrairement et un modèle comportemental du
transistor MOS existant en bibliothèque a été utilisé. Nous avons exploité les
106
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
résultats de cette simulation comme "mesures" pour tester la phase d'identification
et avons obtenu de bons résultats. Dans la pratique, nous nous sommes heurtés au
problème du bruit de mesure et du bruit numérique de l'échantillonnage de
l'oscilloscope sur le courant. En effet, la moindre discontinuité sur le courant Ic
crée de fortes variations de la tension Vc en simulation (à cause du calcul de
dérivée), et la phase d'optimisation ne peut avoir lieu dans de bonnes conditions. Il
nous a donc fallu mettre en place une étape intermédiaire de lissage du courant
mesuré. La méthode adoptée est un lissage par moindres carrés par morceaux sur
des fonctions splines du troisième ordre, assurant ainsi la continuité des dérivées.
• La mesure du courant Ic peut poser quelques problèmes: la nature "continue" du
courant pour le premier essai exclut l'utilisation d'un tore. D'autre part, au moment
de la commutation la restitution de la phase de montée du courant est très critique,
ce qui exclut les capteurs ayant une bande passante (ou un dI/dt) trop faible. La
solution adoptée est le shunt "non inductif". Le lieu d'insertion du shunt dans le
circuit est souvent critique: la meilleure place est généralement le circuit de source
mais il faudra alors s'assurer que le circuit de commande rapprochée est alimenté
par une source flottante et suffisamment immunisé contre les modes communs pour
que la tension apparaissant aux bornes du shunt n'influe pas sur la commutation du
transistor (contre-réaction).
Cette méthode d'identification a donné de bons résultats, tant du point de vue de la valeur des
paramètres identifiés que de la reproductibilité. Nous avons soumis les condensateurs à des
contraintes très variables, allant des faibles puissances, jusqu'à leurs caractéristiques limites.
Notons que cette méthode d'identification ne nécessite aucune source d'énergie "fort courant":
le condensateur peut être chargé à faible courant. Ceci nous permet d'utiliser les instruments de
laboratoires programmables (par bus GPIB par exemple), et ainsi, ce type d'opération peut être
entièrement automatisée.
A titre d'exemple, nous avons réalisé l'identification d'un condensateur électrolytique:
Le constructeur (AEROVOX) fournit les caractéristiques suivantes : 2200µF ±20% - 400Vcc.
Le tableau suivant résume les paramètres identifiés pour trois essais à différentes tensions et la
Figure 4- 8 donne un exemple des relevés effectués. Notons le fort niveau du bruit de mesure.
107
CHAPITRE QUATRIEME
Tension d'essai (V)
C (µF)
Lc (µH)
Rc (mΩ)
50
2000
27.27
20.33
100
2043
26.78
24.7
150
2021
24.3
22.8
Table 4- 2 : Exemple de paramètres identifiés pour un condensateur.
Il semble que les dispersions constatées (environ 20% sur Rc) soient dues au bruit de mesure et
au lissage en découlant. Les variations de la valeur de capacité mesurée ne nous permettent pas
de conclure à une non-linéarité.
Courant Ic
Tension Vc
Courant Ic
Tension Vc
Figure 4- 8 : Exemple de mesures exploitées pour l'identification des paramètres d'un condensateur.
Notons que le même type d'identification a été réalisé sur un impédancemètre Hewlett Packard.
Les résultats obtenus sont très peu reproductifs à cause de leur sensibilité au câblage. Sur la
totalité des essais, seul un faible pourcentage a donné des résultats crédibles, qui,
généralement, confirmaient les nôtres.
4.2.2. Application à l'onduleur
La simulation du convertisseur au niveau des commutations des composants (avec des modèles
de connaissance) ne peut être fiable que si la topologie du convertisseur, et particulièrement
ses éléments parasites (inductances et résistances de câblage) est correctement prise en
compte.
108
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
En supposant que la connectique (de puissance) du convertisseur est principalement composée
de résistances et inductances en série, nous pouvons dresser le schéma électrique équivalent
suivant:
(r1,l1)
(r3,l3)
A+
(r5,l5)
C+
E+
+E
lc
rc
rp
(r7,l7)
(r9,l9)
(r11,l11)
B+
D+
F+
1
3
5
2
4
6
C
3300µF
B-
D-
F-
(r8,l8)
(r10,l10)
(r12,l12)
0V
A-
(r2,l2)
(r4,l4)
C-
(r6,l6)
E-
Figure 4- 9 : Schéma électrique équivalent de la connectique du convertisseur.
Les zones hachurées représentent les barreaux de connexion utilisés.
Etant donné que, du côté continu, un onduleur est principalement capacitif, nous pouvons
utiliser la méthode d'identification présentée précédemment pour identifier les différents
éléments du schéma équivalent.
La réalisation du convertisseur étant symétrique par rapport à son axe transversal, nous
pouvons supposer que les éléments placés symétriquement par rapport à cet axe ont la même
valeur (r1=r2, l1=l2, r2=r3 ...). D'autre part, nous supposons que les résistances Rp ont une valeur
suffisamment grande (27kΩ) pour ne pas prendre en compte leur influence sur les mesures.
Enfin, nous supposons que le banc de condensateurs, associé aux éléments r1, r2, l1 et l2 est
équivalent à un condensateur CT unique ayant le même schéma équivalent (rT,lT,CT).
Pour déterminer la valeur de tous les éléments du montage, il suffit de réaliser une
identification de trois paramètres r,l,c (Figure 4- 10), pour chaque paire de point {A+,A-},
{B+,B-}, .... {F+,F-}. Par exemple, le point A nous fournira la valeur de rT, lT et CT; le point B
nous fournira la valeur de r7+rT, l7+lT et CT; ....
109
CHAPITRE QUATRIEME
(r3,l3)
A+
(r5,l5)
C+
E+
+Vcc
(r7,l7)
(r9,l9)
(r11,l11)
B+
D+
F+
Rcharge
lT
3
5
4
6
rT
CT
2
-Vcc
A-
B-
D-
F-
(r8,l8)
(r10,l10)
(r12,l12)
C-
(r4,l4)
E-
(r6,l6)
Figure 4- 10 : Exemple de mesure pour l'identification des éléments parasites de l'onduleur.
Les IGBT 3, 4, 5 et 6 sont maintenus bloqués
Ainsi, nous avons déterminé la valeur des différents éléments de câblage du montage.
Indice
T
3-4
5-6
7-8
r (mΩ)
23
3.75
3.25
2.25
3
5.7
l (nH)
214
115
120
76
83
87
C (µF)
9 - 10 11 - 12
7440 (en moyenne)
Pour chaque point de mesure, nous avons réalisé trois paires d'essais à des niveaux différents.
L'analyse statistique des résultats montre une très faible dispersion sur les valeurs des
inductances (environ 1%), une dispersion d'environ 10% sur les résistances et les capacités
identifiées.
L'intérêt de cette méthode d'identification est qu'il n'est pas nécessaire de modifier la topologie
du convertisseur pour procéder à ces essais : nous utilisons les composants déjà à disposition.
Par exemple (Figure 4- 10), pour réaliser les mesures aux point (A+, A-) et (B+, B-), il suffit
de connecter la résistance de charge en parallèle sur la paire (IGBT, Diode) n°1. Les IGBT •,
ƒ, „, …, † sont maintenus bloquée et les diodes correspondantes ne peuvent pas passer en
conduction durant les essais. L'IGBT n°2 servira à la commutation sur la charge résistive. Le
capteur de courant peut être inséré en série avec la résistance (attention au mode commun).
110
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
4.3.
LA CHARGE
De la même manière que pour la source de puissance, la connaissance de la charge avec
précision est indispensable pour la simulation du convertisseur. Comme nous l'avons déjà vu, le
contexte de notre travail est la conversion continue alternative triphasée de forte puissance
(Figure 4- 11). Etant donné le volume de la charge (environ 2m3) et sa masse, il était difficile
de la déplacer vers un banc d'identification.
Pour les mêmes raisons que précédemment, l'impédancemètre était à exclure. Nous avons
donc, ici aussi, exploité le convertisseur déjà présent et le principe d'identification présenté
précédemment, à l'identification des paramètres R et L (résistance et inductance) de notre
charge passive triphasée.
1
3
A
5
B
2
C
4
6
IA
IB
R1
L1
L3
IC
R2
L2
R3
Figure 4- 11 : L'onduleur (simplifié) et sa charge (30KVA).
Nous débranchons deux phases parmi trois et relevons une réponse indicielle sur la phase
restante grâce aux IGBT du convertisseur.
Par exemple, pour la phase 1, les charges 2 et 3 sont débranchées. En faisant commuter les
interrupteurs • et „ ou ‚ et ƒ, nous générons une impulsion de tension aux bornes de la
charge. L'amplitude de l'impulsion (et donc la valeur maximale du courant dans la charge) est
fixée par l'alimentation continue de l'onduleur. Nous relevons la tension entre les points A et B
(VAB) et le courant IA (Figure 4- 13).
Remarques:
Comme précédemment, cette méthode d'identification soumet le système à des
contraintes réelles. D'autre part, si la mesure de la tension est effectuée au plus près
des IGBT, l'identification prendra en compte les résistances et inductances parasites
111
CHAPITRE QUATRIEME
dues aux câbles de liaisons vers la charge, aux contacts et aux capteurs de courant
éventuels venant en série dans le circuit (shunts ou autres).
L'isothermie de la charge durant les mesures est très difficile à assurer en raison de
son volume. Tous les essais ont été effectués après une période de fonctionnement en
régime nominal et avant refroidissement.
De la même manière que pour le condensateur, pour s'affranchir de l'environnement de mesure,
l'une des deux grandeurs mesurées servira de source pour les simulations de la phase
d'identification. Dans ce cas, la charge est principalement inductive, nous utiliserons donc la
tension mesurée comme source d'excitation. Le critère d'optimisation sera l'erreur quadratique
entre le courant mesuré et le courant simulé. Les résultats de l'identification sur la phase A sont
les suivants:
Tension continue (V)
R1 (Ω)
L1 (mH)
Coût (erreur)
55
2.575
12.62
0.126
70
2.575
12.51
0.126
170
2.62
11.68
0.268
230
2.62
11.16
0.799
270
2.62
10.9
1.16
355
2.575
9.99
3
Figure 4- 12 : Identification des paramètres R et L de la charge pour la phase A.
Nous notons une bonne corrélation des résultats pour la résistance mais une diminution
progressive de l'inductance accompagnée d'une augmentation du critère d'erreur optimal
(Figure 4- 13). Il semble que ce soit l'effet de la saturation de l'inductance. Le système devient
non-linéaire et l'optimisation à partir du schéma équivalent linéaire devient progressivement
impossible. Ces résultats sont confirmés par les deux autres phases: à tension donnée, nous
avons moins de 5% de dispersion pour les inductances et moins de 2% pour les résistances
quelle que soit la tension. Si nous prenions la valeur moyenne de l'inductance identifiée pour les
simulations, nous aurions les résultats suivants :
112
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
Modèle linéaire
L=11.5mH - R=2.6Ω
Courant simulé
Courant mesuré
Courant mesuré
Courant simulé
Courant mesuré
Courant simulé
Figure 4- 13 : Comparaison entre les mesures effectuées sur la phase 1 de notre charge et les résultats
obtenus en simulation pour la valeur de l'inductance retenue.
A l'évidence, cette solution n'est pas suffisamment fiable pour permettre d'évaluer le modèle du
convertisseur. Il est donc nécessaire de prendre en compte un modèle non-linéaire de
l'inductance de la charge. Ce modèle doit respecter la causalité du modèle de l'inductance
(calcul de la valeur du courant à partir de la tension) et prendre en compte la saturation du flux
dans la bobine.
Φ(Wb)
Φmax
Φmax
2
i0
i(A)
Figure 4- 14 : Allure du flux tel qu'il est pris en compte.
113
CHAPITRE QUATRIEME
Nous pouvons approcher la variation du flux en fonction du courant par l'hyperbole suivante:
Φ (i ) = Φ max
i
i + i0
Eq. 4- 7
nous avons alors:
dΦ
i0
= Φ max
di
( i + i0 ) 2
Eq. 4- 8
d'où:
di dΦ 1 ( i + i0 )
=
dt dt Φ max
i0
Le modèle d'état de notre inductance saturable est donc:
2
 dx v (t ) ( x + i )2
0
 =
 dt Φ max
i0

i = x
avec v (t ) =
Eq. 4- 9
Eq. 4- 10
dΦ
, la tension aux bornes de l'inductance
dt
Pour identifier les paramètres de ce modèle, il faudra initialiser les deux variables (flux maximal
et courant) et donner leurs domaines de variation. Pour une bobine donnée, il est toujours plus
difficile de connaître l'ordre de grandeur du flux que de son inductance. Par soucis de
simplicité, nous préférerons donc utiliser comme paramètre du modèle, une valeur particulière
L0 de l'inductance, définie par L0 =
Φ max
à la place du flux maximal (qui sera calculé par le
i0
modèle). Pour la phase d'identification, on pourra alors initialiser les paramètres du modèle aux
valeurs fournies par la plaque signalétique de la bobine.
L'identification de notre charge avec ce nouveau modèle nous a fourni les paramètres suivants:
R = 2.63Ω
L0=12.8mH
I0=400A
Nous pouvons constater sur la figure ci-dessous que le modèle d'inductance non-linéaire nous
permet de réduire l'erreur entre la simulation et la mesure sur une plus grande plage de
variation du courant.
114
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
Modèle non-linéaire
I0=400A - L=12.8mH - R=2.63mΩ
Courant simulé
Courant mesuré
Courant simulé
Courant mesuré
Courant mesuré
Courant simulé
Figure 4- 15 : Comparaison du modèle non linéaire de l'inductance avec quelques
mesures à différents niveaux de courant.
Pour améliorer encore l'identification de la charge, il semble que l'étape suivante soit la prise en
compte des phénomènes capacitifs entre les spires de la bobine. Cependant, notre objectif
principal est la modélisation de l'onduleur et la qualité de la modélisation de la charge semble
dors et déjà suffisante. Nous vérifierons a posteriori que ce modèle est suffisant.
4.4.
L'IGBT
Nous allons ici aborder les mesures nécessaires à l'identification des paramètres des différents
modèles de l'IGBT. Ces travaux ont été menés en collaboration avec A. AMMOUS dont
l'objectif était l'obtention d'un modèle électro-thermique de l'IGBT, et qui a pris en charge la
partie identification. C'est un problème particulièrement complexe de par le grand nombre de
paramètres à identifier. Nous n'aborderons pas ces détails et renvoyons le lecteur à son
mémoire de thèse [Ammous-98].
115
CHAPITRE QUATRIEME
Les mesures à réaliser sur les composants actifs nécessitent généralement un banc de
caractérisation spécifique. En effet, les éléments parasites (particulièrement les inductances)
doivent être maîtrisés. Pour les puissances mises en jeu, la topologie des connections est très
importante: il faut à tout prix éviter les boucles de courant, tout en insérant dans le circuit des
capteurs souvent volumineux. D'autre part, les énergies mises en jeu lors de commutation sous
forte tension et fort courant sont suffisamment importantes pour que la source nécessaire aux
essais soit très onéreuse (source de courant).
D'une manière générale, nous avons adopté une solution économique et sûre: nous stockons
l'énergie dans une batterie de condensateurs correctement dimensionnée [Fiscal-96]]. Le
principe en est le suivant:
K
l
R
D
rc
L
E
M
C1
C2
IGBT1
Vge1
Figure 4- 16 : Schéma de principe du banc de caractérisation en forte puissance.
La source de tension E fixe la valeur de la tension d'essai. La résistance rc et l'interrupteur K
servent au pré-chargement des condensateurs. Le banc capacitif est constitué d'un réseau de
condensateurs de forte valeur (C1 - électrolytiques) servant lors de la phase d'établissement du
courant dans l'inductance et d'un banc de condensateurs rapides (C2 - polypropylène)
fournissant l'énergie lors des phases de commutation. L'inductance l représente l'inductance de
câblage entre les deux bancs de condensateurs. La valeur du courant durant l'essai est fixée par
l'inductance L, la résistance R et la durée d'amorçage de l'IGBT1. En connectant le composant
sous test au point M et la masse, et avec une séquence de commande adéquate, il est possible
d'observer des commutations de bonne qualité sous de forts courants et de fortes tensions. La
diode D permet à l'inductance L de restituer l'énergie électromagnétique emmagasinée.
Ce type de banc a un double avantage: il permet de s'affranchir d'une alimentation de puissance
et limite l'énergie maximale disponible pour le test, réduisant ainsi les risques de défaillance.
D'autre part, il est entièrement automatisable. Dans la suite de l'exposé, nous représenterons
l'ensemble {alimentation, condensateurs} par une tension continue réglable.
116
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
4.4.1. Caractéristiques statiques
Le relevé de caractéristiques statiques est relativement facile si l'on évite quelques pièges
courants (Figure 4- 17).
• La première difficulté est liée à la saturation des entrées de l’oscilloscope. En effet, si la
tension mesurée varie d’une grande amplitude trop rapidement, la faible tension de
saturation mesurée sera faussée par l’amplificateur d’entrée de l’oscilloscope qui n'a pas eu
le temps de se dé-saturer. Allonger la durée de l’impulsion de courant aurait pour effet
d’échauffer le composant. La solution adoptée est d’utiliser deux IGBT en série: le premier
(IGBT2) commutera de manière à autoriser ou non le passage du courant dans le second
(IGBT3) qui sera continuellement commandé : c’est le composant à caractériser. La tension
ainsi mesurée ne pourra donc excéder quelques volts.
• Le deuxième point dur apparaît lors des relevés à forte tension Vge3 (Figure 4- 17) où les
tensions de saturation sont plus faibles que lors de l'utilisation normale des IGBT
(Vge=15V). Le composant en série avec l'IGBT sous test devra donc avoir un calibre
supérieur à ce dernier pour que les mesures ne soient pas perturbées. Lorsque cela est
possible, un facteur deux est recommandé.
Vge1(V)
+15
R
D
t1
L
E
-15
IGBT2
Vge2(V)
Vge2
t2
+15
Ic
IGBT3
Vce
t3
IGBT1
Vge1
Vge3
-15
Figure 4- 17 : Relevé des caractéristiques statiques d'un IGBT et chronogrammes de commande.
IGBT3 est le composant sous test.
Pour éviter l'échauffement du composant sous test, ces essais seront réalisés par impulsions de
courant les plus courtes possible et à rapport cyclique faible.
Le temps t1 (Figure 4- 17) et la valeur de E, R et L définissent la valeur du courant Ic. Le
temps t2 doit permettre à l’IGBT 2 de passer en conduction. Le temps t3 devra être
suffisamment long pour que les IGBTs 2 et 3 soient totalement conducteurs et que l'effet de la
117
CHAPITRE QUATRIEME
durée de vie des porteurs soit négligeable. La mesure sera effectuée juste avant que la
commande Vge2 ne retombe au niveau bas. Seul le relevé du point de fonctionnement (Ic,
Vcesat) est nécessaire.
Voici un exemple de caractéristiques relevées sur un module Mitsubishi 150A/600V.
Caractéristiques Statiques CM150DY-12H
300
Vge=15V
Vge=12V
250
Ic (A)
200
Vge=18V
150
Vge=10V
100
50
Vge=8V
0
0
1
2
3
4
5
Vce (V)
Figure 4- 18 : Exemple de relevé des caractéristiques statiques d'un IGBT.
4.4.2. Problématique de l'obtention des caractéristiques dynamiques
Dans l'état actuel de nos travaux, il semble que l’identification de l’IGBT puisse être effectuée
à partir de commutations sur charge résistive (Mise en conduction et Blocage) [Ammous-98].
Trois types de mesures sont nécessaires :
1. Commutation en régime nominal : Le courant a sa valeur nominale et la tension est fixée
aux 2/3 du maximum admissible (d’où la valeur de la résistance de charge).
2. Commutation en régime moyen : La tension est diminuée de moitié. On garde la même
résistance de charge.
3. Commutation en régime faible : La tension est divisée par environ huit. On garde la
même résistance de charge.
Le circuit utilisé pour ces essais est le suivant:
118
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
D
R
Ic
E
Rg
IGBT1
Vce
Vge1
Vcmd
Vge
Figure 4- 19 : Relevé des caractéristiques dynamiques d'un IGBT.
Recommandations:
• La résistance de grille doit être choisie de manière à faire clairement apparaître
l’effet Miller sur la tension Vge.
• Le blocage se fera à 0V et l’amorçage à la tension nominale recommandée par le
constructeur (généralement 15V).
• La masse de l’oscilloscope sera connectée à l’émetteur de commande (s’il existe) de
l’IGBT. L’effet de l’inductance interne d’émetteur sera alors minimisé.
Voici un exemple de caractéristiques que nous avons relevé sur le même composant que
précédemment.
119
CHAPITRE QUATRIEME
T e n s io n s
V c m d
e t V g e
(V )
1 6
1 4
1 2
1 0
8
V c m
d
V g e
6
4
2
0
0
2
4
6
8
1 0
8
1 0
8
1 0
t (µ s )
T e n s io n
V c e
(V )
3 5 0
3 0 0
2 5 0
2 0 0
1 5 0
1 0 0
5 0
0
0
2
4
6
t (µ s )
C
o u r a n t Ic
(A )
1 4 0
1 2 0
1 0 0
8 0
6 0
4 0
2 0
0
-2 0
0
2
4
6
t (µ s )
Figure 4- 20 : Exemple de caractéristiques dynamiques d'un IGBT.
4.4.3. Identification
Comme nous l'avons déjà précisé, les travaux étant actuellement en cours, nous ne traiterons
pas le cas de l'identification des paramètres du modèle de l'IGBT. Cependant, aussi bien les
modèles simplifiés que les modèles moyens des convertisseurs utilisent uniquement les
caractéristiques statiques des composants semiconducteurs.
Pour l'IGBT, il nous faut prendre en compte la caractéristique statique correspondant à la
tension de commande utilisée dans le convertisseur. Les constructeurs recommandent en
général une tension de ±15V sur la grille.
120
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
D'autre part, la causalité des modèles de circuits que nous étudions (à charge inductive) nous
imposent de fournir la tension à l'état passant en fonction du courant direct (Figure 4- 18).
Dans les limites de la mesure (qui sont supérieures au fonctionnement normal de l'IGBT), cette
caractéristique est très semblable à celle d'une diode. Le modèle analytique de la tension aux
bornes de l'IGBT à l'état passant en fonction de son courant direct sera donc celui couramment
utilisé pour les diodes:
Ic
) + RT . Ic
Eq. 4- 11
IsT
Pour les IGBTs d'un module Mitsubishi CM150DY-12H, l' identification des trois paramètres
Vce( Ic) = U TT ln(1 +
sous PACTE nous a fourni les résultats suivants:
UTT = 139.1 mV
IsT = 353.2 µA
RT=4768 µΩ
Caractéristiques Statiques à Vge=15V
3.5
3
Vce calculé
2.5
Vce mesuré
2
Vce (V)
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
250
300
Ic (A)
Figure 4- 21 : Superposition des caractéristiques statiques mesurée et simulée.
4.5.
LA DIODE
Les relevés expérimentaux concernant les diodes sont très semblables à ceux pour les IGBTs,
avec un degré de liberté de moins: la commande.
4.5.1. Caractéristique statique
Cette mesure n'est pas nécessaire pour l'identification du modèle de diode [Morel-94].
Cependant, les autres modèles utilisent uniquement cette caractéristique.
121
CHAPITRE QUATRIEME
Nous avons procédé exactement comme pour l'IGBT. Le circuit utilisé est le même que
précédemment; nous avons simplement substitué la diode au transistor.
R
D
L
E
IGBT2
Vge2
Id
Vd
D3
IGBT1
Vge1
Figure 4- 22 : Relevé des caractéristiques statiques d'une diode.
La caractéristique statique relevée pour une diode du même module est la suivante:
Caractéristique Statique CM150DY-12H
300
250
Id (A)
200
150
100
50
0
0
0.5
1
1.5
Vd (V)
2
2.5
3
Figure 4- 23 : Caractéristique statique d'une diode du module utilisé.
4.5.2. Caractéristiques dynamiques
L’identification des paramètres du modèle « PIN » de la diode de puissance ne nécessite que
des mesures de la phase de blocage. Comme pour l’IGBT, trois conditions de commutation
sont nécessaires à l’optimisation de paramètres.
122
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
1. Commutation en régime nominal : Le courant a sa valeur nominale et la tension est fixée
aux 2/3 du maximum admissible (d’où la valeur de la résistance de charge).
2. Commutation sous tension moyenne : On conserve le courant nominal mais on divise la
tension inverse appliquée par trois environ.
3. Commutation sous faible tension : On conserve le courant nominal mais on divise la
tension inverse appliquée par six environ.
Le blocage de la diode est provoqué par la mise en conduction d'un IGBT après une phase de
roue libre. L'idéal est de disposer d'un transistor beaucoup plus rapide que la diode. Dans le cas
contraire, la pente du courant de recouvrement des charges stockées risque d'être fixée par le
transistor et non par la diode, donc en relation avec la durée de vie des porteurs de charge.
Alors, l'identification des paramètres est, au mieux, plus difficile et, au pire, complètement
faussée.
Le schéma adopté est le suivant:
R
D
Vce
L
Vge1(V)
Id
+15
t1
E
t2
t3
IGBT1
Vge1
-15
Figure 4- 24 : Circuit de relevé des caractéristiques dynamiques des diodes
et chronogrammes de commande de l'IGBT.
La durée de conduction de l'IGBT fixe la valeur du courant direct dans la diode pendant la
phase de roue libre.
• La durée t1 permet de fixer la valeur du courant pendant le blocage de la diode.
• t2 doit être suffisamment long pour que la diode ait fini de passer à l’état « On ».
• t3 doit permettre d’observer la totalité du blocage.
Remarques:
• Pour limiter les problèmes de mode commun, il est préférable de connecter la
masse de l'oscilloscope (isolé de la terre) au plus près de la cathode de la diode. En
effet, ce potentiel varie peu durant les commutations et nous limitons l'effet des
capacités d'entrée des amplificateurs de l'oscilloscope.
123
CHAPITRE QUATRIEME
• Il est possible de simplifier la commande en utilisant deux IGBTs en parallèle.
• La diode sous test servira à décharger l'inductance après t3. Il faudra donc prendre
garde aux limites thermiques de ce composant et veiller à le laisser retrouver son
équilibre thermique entre deux essais.
Les courbes ainsi relevées ont l'allure suivante:
T e n s io n
V d
(V )
1 0 0
Effet de l'inductance interne
0
-1 0 0
-2 0 0
-3 0 0
-4 0 0
-5 0 0
0
0 .5
1
t (µ s )
C
o u r a n t Id
1 .5
2
(A )
2 0 0
1 5 0
La commutation est contrôlée par l'IGBT
1 0 0
5 0
0
-5 0
-1 0 0
0
0 .5
1
t (µ s )
1 .5
2
Figure 4- 25 : Un relevé de blocage de diode.
Le processus d'identification est très difficile car, l'IGBT doit être déjà modélisé car la
commutation de la diode n'est pas découplée de celle du transistor.
4.5.3. Identification
Nous ne traiterons ici aussi, que le cas de la caractéristique statique. Nous avons procédé au
même type d'identification que pour l'IGBT. Cette caractéristique peut être approchée par:
Id
) + RD . Id
IsD
Pour les diodes du même module (CM150DY-12H), nous avons:
Vd ( Id ) = U TD ln(1 +
UTD = 180 mV
IsD = 80.4 mA
Eq. 4- 12
RD=4192 µΩ
La superposition des mesures et du modèle donne ici aussi de très bons résultats:
124
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
Caractéristiques Statiques de la diode
3
2.5
Vd (V)
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
Id (A)
200
250
300
Figure 4- 26 : Superposition des caractéristiques statiques mesurées et calculées.
4.6.
IDENTIFICATION DES PARAMETRES DES MODELES MOYENS
Nous avons montré dans le deuxième chapitre que le modèle moyen d'un convertisseur peut
être construit à partir de simulations "fines" ou directement à partir de l'expérience. L'état
d'avancement des travaux sur l'identification des modèles comportementaux de l'IGBT
[Ammous-98] ne nous permet pas encore d'effectuer des simulations fines du convertisseur
complet. Nous allons donc nous intéresser aux mesures nécessaires à l'identification des
paramètres du modèle moyen de notre onduleur. Le modèle complet sera présenté dans le
chapitre suivant.
Comme nous l'avons déjà vu dans le cas du hacheur élévateur de tension (cf. Chap. 2-2), les
seules caractéristiques nécessaires sont les caractéristiques statiques et l'allure des retards
virtuels en fonction des conditions courant/tension de chaque composant à semiconducteur, de
la température et des valeurs des inductances parasites. Mais ici, ces deux derniers paramètres
sont fixés par l'utilisation d'un convertisseur donné, en régime nominal de fonctionnement.
Dans notre cas, nous considérerons que les caractéristiques statiques de toutes les diodes sont
identiques, de même que pour les IGBTs. Ceci est d'autant plus vrai que nous avons utilisé des
modules de type "bras d'onduleur" et que les différents modules achetés font partie de la même
série. Nous utiliserons les caractéristiques statiques identifiées précédemment.
Pour les retards virtuels, nous ne nous intéresserons qu'aux retards de type "tension" et
"courant". Notre modèle ne prendra donc pas en compte les pertes. En effet, le banc de test
125
CHAPITRE QUATRIEME
n'étant pas instrumenté pour ce type de mesure, nous n'aurions pas eu de référence pour
qualifier nos résultats.
Les retards virtuels ont été définis dans le deuxième chapitre, pour un montage de type
hacheur, à composants discrets. Nous sommes maintenant dans le cas d'un onduleur à base de
modules intégrés, et il convient de s'assurer qu'il est possible, en toute rigueur, d'utiliser la
même définition des retards virtuels.
4.6.1. Considérations sur les retards virtuels.
Les retards virtuels permettent de définir un signal S'(t), dit idéal, dont la valeur moyenne sur
une période T est identique à un signal S(t) quelconque.
S(t)
S1
S0
t0
a
b
c
d
T
d
T
S'(t)
S1
S0
t0
a'
a
δon
b
b'
c
δoff
Figure 4- 27 : interprétation de la notion de retard virtuel.
Un retard virtuel δ est défini par (cf. Eq. 2-16, chapitre 2):
b
δ=
sb .(b − a ) − ∫ s(t ). dt
(s
b
a
− sa )
Eq. 4- 13
δon sera le retard virtuel à la mise en conduction du composant, et δoff sera le retard virtuel au
blocage.
Il nous faut donc calculer l'intégrale entre les bornes (a,b) du signal s(t).
La valeur du retard virtuel va donc dépendre du choix des bornes d'intégration. Or, la seule
contrainte sur les bornes d'intégration que nous pouvons définir clairement est:
Les bornes d'intégration sont choisies de manière à encadrer le transitoire du signal S(t) pour
lequel on veut calculer le retard virtuel.
C'est une définition assez vague et nous devons vérifier que le choix des bornes d'intégration
n'influera pas sur le résultat final.
126
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
Calculons, par exemple, le retard virtuel δon de la Figure 4- 27, pour les bornes (a,b):
b
δon =
S1.( b − a ) − ∫ S (t ). dt
a
Eq. 4- 14
S1 − S 0
Calculons maintenant ce retard pour les bornes (a',b'):
b'
δ 'on =
S1. (b'− a ') − ∫ S (t ). dt
a'
Eq. 4- 15
S1 − S 0
Or, nous avons:
b'
a
b
b'
a'
a'
a
b
∫ S (t ).dt = ∫ S (t ).dt + ∫ S (t ).dt + ∫ S (t ).dt
Eq. 4- 16
d'où:
δ 'on = δon + (a − a ')
Eq. 4- 17
Le retard virtuel est donc défini relativement à la borne gauche d'intégration (a ou a'). Sa
position absolue sur l'axe des temps ne change évidemment pas. La borne droite n'a aucun
effet.
Pour nous affranchir de la définition relative des retards virtuels, nous choisirons
systématiquement comme borne gauche, l'instant d'apparition de la cause du changement d'état
du signal s(t). Par exemple dans le cas d'un transistor, nous choisirons les instants du
basculement du signal de commande:
1
0
aon= t0
bon
aoff
on
boff
T
bon
aoff aoff+δoff
boff
T
S(t)
S1
S0
aon= t0
aon+δon
Figure 4- 28 : Choix des bornes gauches d'intégration.
Alors, l'intégrale du signal s(t) peut s'écrire:
∫ S (t ).dt = S1.T + ( S1 − S 0).(δ
T
off
− δon + aoff − a on
0
)
Eq. 4- 18
La valeur moyenne du signal ne dépend donc que des deux états statiques, de la différence
entre les deux retards virtuels et de la durée de l'impulsion de commande.
127
CHAPITRE QUATRIEME
Appliquons maintenant ces définitions au cas de notre onduleur, nous localiserons les
inductances internes en un seul point mais le raisonnement reste valable pour des inductances
réparties:
L1
V1
1
E
IF
2
V2
L2
Figure 4- 29 : Un bras d'onduleur
Contrairement au hacheur traité dans le deuxième chapitre, nous sommes en présence d'un bras
d'onduleur constitué d'un module intégré. Nous n'avons donc pas accès au connexions des
différents composants mais à trois plots, séparés des composants par des inductances internes.
D'autre part nous trouvons systématiquement un IGBT et une diode tête-bêche.
Il nous faut donc vérifier que les délais virtuels déduits à partir de ces mesures permettent bien
de calculer la valeur moyenne de la tension de sortie. Nous effectuerons notre démonstration
pour la tension V1 et un courant positif, l'extension aux autres cas étant immédiate.
Effet de l'inductance interne:
Nous considérerons ici que l'effet de la Diode D1 est négligeable. En nous référant aux deux
figures précédentes, nous pouvons écrire, pour la tension V1 (le courant n'est pas affecté par
cette inductance):
(
)
boff
∫ S (t ).dt
S 1. boff − a off −
δoff =
S1 − S 0
S 0.(bon − a on ) −
δon =
aoff
(
=
bon
∫ S (t ).dt
a oon
− ( S1 − S 0)
)
S1. boff − a off −
=
boff
boff
aoff
aoff
∫ Vce(t ). dt − ∫ VL1 (t ).dt
S1 − S 0
bon
bon
aon
aon
Eq. 4- 19
S 0.(bon − aon ) − ∫ Vce(t ). dt − ∫ V L1 (t ). dt
− ( S1 − S 0)
128
Eq. 4- 20
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
β
β
dI (t )
or : VL1 (t ) = L1
⇒ ∫ V L1 (t ). dt = ∫ L1. dI = L1. ( I ( β ) − I (α )) et: I(aoff)=I(bon), (aon)=I(boff)
dt
α
α
d'où:
aoff
∫V
aon
L1
boff
(t ).dt = ∫ VL1 (t ).dt
Eq. 4- 21
bon
Nous avons montré précédemment que l'intégrale du signal ne dépend que de la différence
entre les retards virtuels. Si nous écrivons cette différence, les termes dépendant de
l'inductance L1 s'annulent.
L'intégrale de la tension aux bornes de l'IGBT ne dépend donc pas explicitement de la valeur
de l'inductance interne.
Effet du deuxième composant en parallèle:
Dans notre cas, la diode D1 est toujours bloquée. Elle se comporte donc comme une capacité
parasite. En négligeant l'inductance L1, nous pouvons suivre le même type de raisonnement
que précédemment, mais sur l'intégrale du courant I1. Nous arrivons ainsi au même type de
conclusion:
L'intégrale du courant I1 ne dépend pas explicitement de la capacité parasite équivalente au
composant bloqué en parallèle sur le composant qui commute.
Conséquences sur les pertes:
Le même type de facteur correctif a été défini pour les pertes dans le composant qui commute.
Ce sont toujours des retards, dépendant des conditions de commutation (E, IF), qui
représentent le temps supplémentaire que devrait conduire le composant pour dissiper en
statique la totalité des pertes. Par conséquent, si les pertes en commutation sont très
supérieures aux pertes statiques, ces retards peuvent être supérieurs à la période de
commutation. On peut trouver le même type de résultats pour les retards virtuels sur les
tensions si l'inductance de câblage était très grande. Cependant, elle provoquerait la destruction
du composant qui commute !
Ces retards virtuels sont calculés à partir de la moyenne du produit des signaux I(t) et V1(t).
Par conséquent, ils sont aussi indépendants des effets parasites internes au module décrits
précédemment.
129
CHAPITRE QUATRIEME
4.6.2. Mesure des retards virtuels
Le principe de mesure des retards virtuels est relativement simple: pour chaque composant, il
faut réaliser une mesure au blocage et à la mise en conduction, pour différentes valeurs de
tension et de courant. Les retards seront déterminés a posteriori.
En écrivant les différents retards virtuels en fonction de l'intégrale du signal réel pour le schéma
suivant, nous avons:
Figure 4- 30 : Cas de la mise en conduction de l'IGBT1 pour un courant IF positif.
a
∫ Vce(t ).dt = Vce
on
(b − a ) − δTon1.V (Vceon − Vceoff )
Eq. 4- 22
b
a
∫ Vd (t ).dt = Vd
off
(b − a ) − δ Don2V (Vd off − Vd on )
Eq. 4- 23
b
b
a
a
a
b
b
∫ E . dt = E (b − a ) = ∫ Vce(t ).dt + ∫ V
L1
a
a
b
b
(t ). dt − ∫ Vd (t ). dt − ∫ V L 2 (t ). dt
Eq. 4- 24
Avec:
Vceoff = E + Vd on
Vd = Vce − E
on
 off
Icoff = Id off = 0 
Icon = Id on = I F 
Eq. 4- 25
D'où:
(δ
off
D 2 .V
− δTon1.V )(Vceon − E − Vd on ) + ( L1 + L2) I F = 0
Eq. 4- 26
De la même manière, pour le blocage de l'IGBT, nous pouvons démontrer que:
(δ
on
D 2 .V
− δToff1.V )( E + Vd on − Vceon ) − ( L1 + L2) I F = 0
Eq. 4- 27
Donc, en sommant les équations 4-27 et 4-28, il vient:
δDoff2.V − δDon2.V + δToff1.V − δTon1.V = δD 2.V + δT 1.V = 0
130
Eq. 4- 28
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
δT 1.V = −δD 2.V
∀( L1, L2)
Eq. 4- 29
En reprenant ces équations pour le courant, nous démontrons que:
δToff1.I = δDon2.I 
 ⇒ δT 1.I = −δD 2 .I
δTon1.I = δDoff2.I 
∀( L1, L2)
Eq. 4- 30
La symétrie du schéma nous permet d'extrapoler ces résultats à l'IGBT T2 et la diode D1.
Nous pouvons donc écrire:
δT 1.V = δT 2.V = −δD1.V = −δD 2.V = δT .V
δ = δ = −δ = −δ
T 2.I
D1.I
D 2. I = δT .I
 T 1.I
∀ ( L1, L2)
Eq. 4- 31
Pour définir complètement le modèle moyen d'un bras d'onduleur, en plus des caractéristiques
statiques, il suffit de connaître les retards virtuels pour un des quatre composants du bras en
fonction des conditions de commutation (E, IF).
Il est primordial d'effectuer ces mesures dans le contexte réel d'utilisation du convertisseur
pour fixer les valeurs de la température et des inductances parasites.
Pour plusieurs valeurs de courant, on relève la tension aux bornes du composant, le courant le
traversant et le signal de commande (niveau logique) ayant causé le changement d'état du
composant concerné (Figure 4- 31). Le signe du courant nous permet de savoir quel
composant conduit dans une cellule. Par exemple, pour un courant IA positif, le blocage et la
mise en conduction de l'IGBT n°1 sont causés respectivement par la disparition et l'apparition
du signal de commande V1. Par contre, pour un courant négatif, le blocage et la mise en
conduction de la diode D1 sont la conséquence de l'apparition et de la disparition du signal de
commande V2.
+Vcc
I
1
V
V1
IA(charge)
Commande
rapprochée
Circuit d'aide à
la commutation
2
V
V2
-Vcc
I
Figure 4- 31 : Zoom sur la partie de l'onduleur où les mesures sont réalisées.
131
CHAPITRE QUATRIEME
Notons que le circuit d'aide à la commutation éventuel (un condensateur rapide dans notre cas)
doit être pris en compte par les mesures. Il faut donc mesurer le courant après ce circuit qui, en
règle générale, est câblé au plus près des composants à semiconducteur. L'insertion du capteur
nécessite donc une légère modification du câblage du convertisseur. Si cette modification est
réalisées avec soin, elle ne devrait pas affecter les paramètres de manière significative.
La figure suivante présente un exemple de mesures effectuées sur notre onduleur.
Blocage IGBT
Ic1
Blocage Diode
-Id2
1,16 µs
,73 µs
V1
V1
Vce1
Vd2
1,13 µs
,76 µs
Fermeture IGBT
Ic1
-Id2
Fermeture Diode
1,16 µs
,73 µs
V1
V1
Vce1
Vd2
,82 µs
1,07 µs
Figure 4- 32 : Exemple de mesures pour la détermination des délais virtuels
Nous constatons que les commutations sont principalement constituées d'un retard pur. En fait,
la majorité de ce retard est dû au temps de propagation du signal logique de commande à
travers le circuit de commande rapprochée. Par exemple pour le circuit hybride de commande
d'IGBT (M57959AL) utilisé dans nos circuits de commande rapprochée, le constructeur donne
les caractéristiques suivantes :
tPLH (µs)
tr (µs)
tPHL (µs)
tf (µs)
Min
0.5
0.5
1
0.3
Max
1
1
1.3
0.6
Temps de propagation lors du passage à l'état haut
Temps de montée du signal de commande de grille
Temps de propagation lors du passage à l'état bas
Temps de descente du signal de commande de grille
Table 4- 3 : Caractéristiques techniques des circuits hybrides de commande des IGBTs.
132
Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'Essais
Ces délais ne dépendent pas (ou très peu) des conditions de courant et de tension de l'IGBT
commandé. Nous pouvons donc les considérer comme constants.
Durant nos essais, nous n'avons pas noté de variation importante des retards virtuels
( δ on − δ off ) en fonction des conditions de commutation. Ces variations sont vraisemblablement
masquées par les temps de propagation des circuits de commande.
En première approximation, nous pouvons donc considérer cette différence comme
invariante par rapport au courant et à la tension.
Nous avons mesuré:
I=100A, V=300V
Retard
IGBT 1 (µs)
Diode 2 (µs)
pour les tensions
δ on δ off
0.82
1.07
1.13
0.76
pour les courants
δ off − δ on δ on δ off
0.31
-0.31
0.76 1.16
1.16 0.76
δ off − δ on
0.40
-0.40
Table 4- 4 : Retards virtuels mesurés
Pour notre modèle moyen d'onduleur, nous aurons donc les paramètres suivants:
δT .v = 0.31µs
4.7.
δT .i = 0.40µs
Eq. 4- 32
CONCLUSION
Dans ce chapitre, nous avons mis en place les différents outils qui vont nous permettre de
comparer les simulations de notre modèle de convertisseur à l'expérience. Pour ce faire, nous
avons dû modéliser les différents composants externes à l'onduleur (charge, condensateurs).
La première partie nous a permis de définir le problème de l'identification et de présenter les
principales méthodes numériques permettant d'optimiser un critère donné en faisant varier un
jeu de paramètres.
Nous avons ensuite présenté les méthodes de mesure et les modèles associés qui nous ont
permis de modéliser l'environnement électrique du convertisseur. Dans la mesure du possible,
nous avons essayé d'exploiter le convertisseur lui-même pour ces essais de manière à soumettre
les différents éléments à des excitations représentatives de leurs conditions de fonctionnement
normales. Ainsi, nous avons pu déterminer les paramètres des modèles de la charge et du bus
continu d'alimentation de l'onduleur. Un modèle d'inductance non linéaire s'est avéré
nécessaire. Notons que les non-linéarités n'auraient pas été observées si les mesures avaient été
effectuées à plus faible niveau. Enfin, ces méthodes d'identification in situ ont un intérêt
économique indéniable. Lorsque cela n'est pas possible, il convient d'utiliser un banc de
caractérisation dédié. C'est le cas des composants à semiconducteur. L'identification des
133
CHAPITRE QUATRIEME
paramètres des modèles de comportement est un problème très complexe qui sort du contexte
de ce travail. Nous avons cependant présenté les grandes lignes de la méthodologie à adopter
pour effectuer les mesures nécessaires à l'obtention de ces paramètres, et nous avons déterminé
un modèle analytique de la caractéristique statique d'IGBTs et de Diodes.
Enfin, nous avons décrit la méthode nous permettant de déterminer les derniers paramètres
nécessaires à l'établissement de notre modèle d'onduleur: les retards virtuels. L'observation des
mesures et l'analyse des différents éléments entrant en ligne de compte pour la détermination de
ces retards nous ont permis de valider la démarche pour le cas des modules intégrés et limiter
le nombre de mesures à effectuer. En outre, les éléments utilisés dans notre onduleur nous ont
permis de considérer les retards virtuels comme constants. Le modèle de l'onduleur en sera
d'autant plus simple.
Le chapitre suivant est dédié à l'exploitation de ces différents modèles. Nous y établirons le
modèle moyen de notre onduleur et comparerons les résultats des simulations aux
expérimentations correspondantes.
Dans un contexte de commande en temps réel, le temps de calcul d'un modèle est primordial.
Nous conclurons donc le cinquième et dernier chapitre par une analyse de sensibilité
paramétrique de notre modèle, afin de déterminer le compromis précision complexité
correspondant à une application particulière.
134
CHAPITRE CINQUIEME
UN MODELE MOYEN D'ONDULEUR
Les chapitres précédents nous ont permis de mettre en place les différents éléments nécessaires
au développement du modèle de notre onduleur, à sa simulation et à la comparaison des
résultats à l'expérience, dans des conditions proches de celles des véhicules électriques (15 à
30kW).
Notre démarche s'est appuyée sur des principes théoriques formulés principalement à partir des
graphes de liens.
Dans les chapitres précédents nous avons identifié les paramètres des différents modèles
constitutifs de l'ensemble convertisseur / charge. En particulier, nous avons pris en compte les
non-linéarités de la charge (Chapitre 4).
Le deuxième chapitre nous a permis, dans le cas du hacheur abaisseur de tension, de
déterminer les différents éléments entrant dans la construction des modèles moyens:
caractéristiques statiques des composants à semiconducteur et retards virtuels prenant en
compte les phases de commutation.
Nous allons donc, dans une première partie, appliquer les différentes étapes de construction
des modèles moyens au cas de l'onduleur. Si celles-ci peuvent paraître laborieuses, elles sont
relativement rapides à appliquer dans les cas simples car, en fait, elles représentent l'expression
formalisée du "bon sens". Par contre, pour les convertisseurs plus complexes (à résonance par
exemple), il est raisonnable d'envisager une automatisation de la procédure.
Une fois ce modèle obtenu, il faut assembler les différents blocs (onduleur, charge, MLI et
commande algorithmique fournissant les références) dans le logiciel de simulation choisi. La
validation de notre modèle d'onduleur sera effectuée en comparant les résultats des simulations
aux mesures correspondantes. Pour cela nous définirons un critère d'erreur quadratique.
D'autre part, la précision de la modélisation induit une certaine complexité de la phase
d'identification. Afin de réduire celle-ci, nous ferons une étude pour apprécier la dégradation de
la représentation consécutive à une simplification du modèle de l'onduleur.
Enfin, nous verrons comment exploiter ce modèle, dans le cadre de l'automatique, pour
compenser les imperfections dues à l'onduleur. Nous appliquerons ces résultats au système de
commande en temps réel du banc d'essais.
CHAPITRE CINQUIEME
5.1.
ETABLISSEMENT DU MODELE DE L'ONDULEUR
Avant de concevoir le modèle moyen de notre onduleur, il convient d'analyser le montage de
manière à aboutir à un modèle de cellule élémentaire, utilisable pour d'autres structures de
convertisseurs. En effet, si nous appliquons directement l'algorithme de construction de
modèles moyens au schéma de la Figure 5- 1, nous obtiendrons un modèle valable uniquement
pour l'onduleur triphasé.
1
3
5
2
4
6
E
IA
R1
L1
L3
IB
R2
L2
IC
R3
Figure 5- 1 : Schéma simplifié de l'onduleur et de sa charge.
Les condensateurs de découpage (circuits d'aide à la commutation de la Figure 4- 32) ne sont
pas représentés. Les éléments grisés représentent les impédances des barres de connexions
identifiées au chapitre 4.
En émettant une hypothèse simple, nous allons simplifier considérablement le travail et aboutir
à un modèle modulaire:
Hypothèse 1:
Les condensateurs de découplage sont suffisamment efficaces pour fournir la totalité de
l'énergie pendant les phases de commutation sans que la tension à leur borne ne varie de
manière significative.
En fait, cette hypothèse revient à supposer que notre onduleur est de bonne qualité !
Si la totalité de l'énergie des phases de commutation est fournie (ou absorbée) par les
condensateurs de découplage, l'effet des inductances de câblage entre l'alimentation et le
condensateur est négligeable. Nous pouvons donc conclure qu'aucun des bras de l'onduleur
136
Un Modèle Moyen d'Onduleur
n'est influencé par les commutations des deux autres et que la tension aux bornes des
condensateurs est rigoureusement constante pendant la phase de commutation.
Nous sommes alors en présence d'un système composé de trois bras d'onduleur complètement
indépendants (au niveau des commutations).
La deuxième hypothèse est indispensable pour la construction du modèle moyen (et pour le
bon fonctionnement de l'onduleur):
Hypothèse 2 :
Le courant dans la charge varie très lentement par rapport à la fréquence de commutation. Il
peut donc être considéré comme constant durant ces phases.
Nous arrivons donc au schéma suivant:
1
3
5
2
4
6
E
IA
IB
IC
Figure 5- 2 : L'onduleur après simplification.
Les courants étant imposés par la charge et chaque bras étant indépendant, nous pouvons en
toute rigueur appliquer l'algorithme de construction de modèles moyens à un bras d'onduleur.
Le modèle de l'onduleur triphasé sera donc l'assemblage de trois bras.
137
CHAPITRE CINQUIEME
5.1.1. Modèle moyen d'un bras d'onduleur.
Nous allons donc établir le modèle moyen du bras d'onduleur suivant:
Iin
V1
1
E
Vin
Iout
2
V2 Vout
I
Alimentation
Charge
Figure 5- 3 : Le bras d'onduleur à modéliser. Les grandeurs sont
comptées positives telles que fléchées.
Etape A : Déduction du bloc de commutation:
La séquence de commande des interrupteurs est la suivante (notation binaire), nous y
reviendrons un peu plus tard:
{
S = T1 .T2 , T1 .T2 , T1 .T2 , T1 .T2
}
Eq. 5- 1
Pour la séquence de commutation donnée, les éléments qui changent d'état sont les composants
à l'intérieur du module et les inductances de câblage entre le module et le condensateur de
découplage (qui, dans notre schéma, ont été fusionnées avec les inductances internes au
module). En fait, dans ce cas, le bloc de commutation correspond à tous les composants
compris entre les deux sources idéales Vin et Iout.
Etape B: Identification des variables de port externes au bloc de commutation:
Le schéma ci-dessus est très clair à ce sujet. Les variables de port sont donc: Vin, Iin, Vout, Iout.
Etape C: Identification des variables d'entrée et de sortie:
La source de tension à gauche impose évidemment la tension Vin et la source de courant
impose le courant Iout. Ce sont nos deux variables d'entrée. Le modèle doit donc fournir la
valeur de Iin et Vout. Nous venons de faire une Analyse de Causalité Algébrique correspondant à
l'algorithme décrit dans le premier chapitre. Nous avons donc:
138
Un Modèle Moyen d'Onduleur
[
[
]
]
U = Vin , I out

Y = Vout , I in
Eq. 5- 2
Etape D: Simplification du graphe de liens:
Cette étape a, en fait, déjà été effectuée en passant de la Figure 5- 2 à la Figure 5- 3. Notre
graphe de liens final a donc l'allure suivante:
Se:E (Vin,Iin)
Bloc de
commutation
(Vout,Iout)
1:l2
Sf:I
Se:g1
Se:g2
Figure 5- 4 : Graphe de liens simplifié du bras d'onduleur.
Nous reviendrons ultérieurement à l'expression des sources g1 et g2, commande du modèle
moyen du bras d'onduleur.
Etape E: Expression des variables de sortie du bloc de commutation.
Pour chaque état de la séquence de commande S (Eq. 5-1), nous allons écrire l'expression des
variables de sortie en fonction des variables d'entrée.
Nous devons ici préciser le fonctionnement du bras d'onduleur.
En effet, suivant le signe du courant I (Figure 5- 3), nous aurons deux modes de
fonctionnement pour la même séquence S. Ces deux modes correspondront donc à deux états
différents dans notre modèle. Si le courant est positif, seuls l'IGBT 1 et la diode 2 peuvent
conduire, et inversement. Nous allons donc dresser un tableau pour chaque état:
Séquence S
Durée
T1
Etat des
D1
composants T2
D2
Vout
Iin
Pour I positif - T est la période de découpage.
T1 .T2
T1 . T2
T1 . T2
T.ρM
off
off
off
on
V2
0A
T.ρ1
on
off
off
off
E-V1
Iout
T.ρM
off
off
off
on
V2
0A
T1 . T2
T.ρ2
off
off
off
on
V2
0A
Table 5- 1 : Expression des variables de sortie en fonction des variables d'entrée pour I positif.
139
CHAPITRE CINQUIEME
Séquence S
Durée
T1
Etat des
D1
composants T2
D2
Vout
Iin
Pour I négatif - T est la période de découpage.
T1 .T2
T1 . T2
T1 . T2
T.ρM
off
on
off
off
E-V1
Iout
T.ρ1
off
on
off
off
E-V1
Iout
T1 . T2
T.ρ2
off
off
on
off
V2
0A
T.ρM
off
on
off
off
E-V1
Iout
Table 5- 2 : Expression des variables de sortie en fonction des variable d'entrées pour I négatif.
Nota:
• T.ρM correspond à la durée des temps morts appliqués par la commande.
• T.ρ1 correspond à la durée de la commande de l'IGBT n°1
• T.ρ2 correspond à la durée de la commande de l'IGBT n°2
Nous avons donc :
T.ρ1+T.ρ2+2.T.ρM = T
Eq. 5- 3
Etape F: Calcul de la valeur moyenne des variables de sortie du bloc de commutation:
Il nous faut donc maintenant calculer l'intégrale de chaque variable de sortie sur une période de
découpage. En utilisant la notion de retard virtuel introduite précédemment et l'équation 4-16,
nous pouvons nous ramener à une formulation explicite de ces intégrales:
Pour I positif, nous avons:
δ 
 
δ 
1

Vout =  ρ1 + T .V  Vin − Vce ( I out ) + 1 −  ρ1 + T .V   − Vd ( I out )
∫

TT
T 
T 
 
δ 
1

I in =  ρ1 + T .I  I out
∫

TT
T 
[
]
[
]
Eq. 5- 4
Eq. 5- 5
Pour I négatif, nous avons:
 
δ 
δ 
1

Vout = 1 −  ρ2 + T .V   Vin + Vd ( I out ) +  ρ2 + T .V  Vce ( I out )
∫

TT
T 
T 
 
δ 
1
 
I in = 1 −  ρ2 + T . I   I out
∫
TT
T 
 
[
]
[
]
Eq. 5- 6
Eq. 5- 7
Ces équations dépendent des caractéristiques statiques des IGBTs et des diodes, et des
rapports cycliques appliqués sur chaque IGBT par la commande. Il nous faut donc modéliser
cette dernière avant de pouvoir effectuer nos simulations.
5.1.2. Modélisation de la commande du bras
Nous devons ici prendre en compte la totalité de la chaîne de commande jusqu'aux entrées des
circuits de commande rapprochée du bras d'onduleur. Contrairement aux circuits analogiques,
140
Un Modèle Moyen d'Onduleur
les commandes "tout numérique" assurent une totale maîtrise de l'allure des signaux de
commande. Entre autre, le logiciel PACTE nous permet de reprendre directement l'algorithme
de modulation de largeur d'impulsion vectorielle écrit en C pour la carte DSP (cf. Chapitre 3).
Cet algorithme fournit la valeur des rapports cycliques théoriques appliqués sur les IGBTs
impairs de l'onduleur (ceux du haut).
Il ne nous reste plus alors qu'à modéliser le comportement de notre interface de génération
d'impulsion. Si nous nous référons à la Figure 3- 5, nous constatons que ce circuit se contente
de tronquer la durée correspondant au temps mort sur chaque impulsion de commande.
En appelant ρ le rapport cyclique calculé par la MLI vectorielle, et ρM le rapport cyclique
correspondant au temps mort ( ρ M =
τM
) nous avons:
T
ρ1 = ρ - ρM
ρ2 = 1 - ρ - ρM
Eq. 5- 8
Eq. 5- 9
Mais il faut aussi tenir compte du fait que les rapports cycliques sont toujours compris entre 0
et 1. En effet, dans le cas où l'impulsion calculée par la MLI est inférieure au temps mort,
l'interface la fait tout simplement disparaître. Notons que ceci peut causer l'apparition de
composantes continues pour les forts taux de modulation. On préfère généralement assurer un
temps de conduction minimal (généralement égal à la durée des temps morts). C'est une
amélioration envisageable pour notre interface. On peut cependant, pour palier ce problème,
limiter l'excursion des rapports cycliques calculés par la MLI vectorielle.
Quoi qu'il en soit, notre modèle doit tenir compte de ces phénomènes aux limites que nous
pouvons exprimer par:
si ρM<ρ<1-ρM
alors
ρ1 = ρ - ρM
et
ρ2 =1 - ρ - ρM
si ρ<ρM
alors
ρ1 = 0
et
ρ2 =1 - ρ - ρM
si ρ>1-ρM
alors
ρ1 = ρ - ρM
et
ρ2 = 0
Ou encore, en utilisant la fonction de Heaviside, H, nous avons:
ρ1 = ( ρ − ρ M ). H ( ρ − ρ M )
Eq. 5- 10
ρ2 = (1 − ρ − ρ M ). H (1 − ρ M − ρ )
Eq. 5- 11
Enfin, les délais virtuels n'existent que lorsque les composants commutent, soit quand les
rapports cycliques sont différents de 1 et 0.
Nous obtenons donc le modèle moyen de bras d'onduleur à deux états suivant:
141
CHAPITRE CINQUIEME
Si I positif (ETAT 1):
Ψ = H (ρ − ρ M )
Eq. 5- 12
ρ1 = Ψ.( ρ − ρ M )
Eq. 5- 13

δ 
δ 


Vout = Ψ ρ1 + T .V  Vin − Vce ( I out ) + 1 − Ψ ρ1 + T .V   − Vd ( I out )


T 
T 

δ 

I in = Ψ ρ1 + T .I  I out

T 
Si I négatif (ETAT 2):
Ψ = H (1 − ρ − ρ M )
[
]
[
]
ρ2 = Ψ(1 − ρ − ρ M )
Eq. 5- 14
Eq. 5- 15
Eq. 5- 16
Eq. 5- 17

δ 
δ 


Vout = 1 − Ψ ρ2 + T .V   Vin + Vd ( I out ) + Ψ ρ2 + T .V  Vce ( I out )


T 
T 

δ 


I in = 1 − Ψ ρ2 + T .I   I out

T 

[
]
[
]
Eq. 5- 18
Eq. 5- 19
Les équations 5-12 à 5-19 forment notre modèle moyen du bras d'onduleur. Le temps mort est
un paramètre du bras d'onduleur.
Nous devons maintenant assembler les différents modèles obtenus pour réaliser la simulation.
5.1.3. La chaîne de commande en simulation
Nous avons utilisé le logiciel PACTE , pour développer et tester les différents modèles du banc.
Un des principaux avantages de cet outil est sa grande souplesse au niveau des formats d'entrée
qui permet de saisir les circuits à la fois en réseaux de Kirchhoff (pour la puissance) et en
graphes de liens (pour la commande). En outre, il permet de développer très rapidement des
modèles en M++ (langage de description de modèles ayant la syntaxe du C++), ou directement
en C++. L'utilisation de modèles compilés diminue les temps d'exécution.
Le schéma de principe de la simulation de l'ensemble est représenté ci-dessous:
•
•
•
•
F est la fréquence du courant dans la charge
Vs est la valeur crête de la tension
M le coefficient de modulation.
Les inductances de la charge sont non-linéaires.
142
Un Modèle Moyen d'Onduleur
ρa
ρb
ρc
MLI
Vectorielle
I3
I2
Bras
C
I1
Bras
B
Bras
A
IC
E
IB
VCM
IA
VBM
VAM
VBC
VAB
M
F
IBC
Vs
I0
1/E
VCA
IAB
ICA
Figure 5- 5 : Schéma de simulation du banc de tests.
La simulation de ce schéma sur un horizon de temps de 60ms (3 périodes électriques à 50Hz)
sur une Station de travail UltraSparc dure de quelques secondes à quelques minutes. Le même
type de simulation avec des modèles de comportement des composants à semiconducteur
durerait plusieurs jours. A cela, il faudrait rajouter plusieurs heures de post-traitement pour
calculer les valeurs moyennes (sur la période de commutation) des différents signaux découpés.
Enfin, les fichiers de sorties dans le cas des modèles moyens sont de quelques dizaines de Kilooctets contre quelques dizaines de Mega-octets dans l'autre cas (avant post-traitement).
Le gain apporté par les modèles moyens, en terme de coût de simulation, est indéniable.
Voyons maintenant leur niveau de fiabilité.
5.2.
COMPARAISONS ENTRE SIMULATION ET EXPERIENCE
Pour déterminer le degré de précision de notre modèle, nous avons systématiquement comparé
les trois grandeurs suivantes (pour le bras A, par exemple):
• Le courant IA, directement fourni par le capteur de courant intégré à l'onduleur. Il est
représentatif de la qualité de modélisation des sorties du système. En effet, il est la
conséquence de l'application de la tension par l'onduleur sur la charge.
• Le courant I1. Ce courant est, en fait, découpé. L'information fournie par le second capteur
équipant le bras doit donc être filtrée de manière à n'observer que la valeur moyenne du
signal sur la période de commutation. Pour cela, nous avons utilisé un simple circuit (R, C)
dont la fréquence de coupure a été fixée à 1kHz.
• Le courant I0. Ce courant est la somme des trois courants I1, I2 et I3. Il fournit donc une
bonne représentation du comportement global du système simulé.
143
CHAPITRE CINQUIEME
Lorsqu'il était nécessaire de rechercher la ou les cause(s) d'un écart entre la simulation et la
mesure, nous avons observé la tension VAM. Cette dernière est, elle aussi, fortement découpée.
Il nous a fallu filtrer la mesure de manière à éliminer les harmoniques dus aux commutations et
éviter les problèmes de mode commun. Nous avons donc utilisé des sondes de tension
différentielles développées au laboratoire, associées à des filtres (R, C) (coupure à 1kHz).
Nous avons jugé de la validité de notre modélisation par la comparaison des réponses
temporelles associées à un critère d'erreur quadratique. En ce qui concerne le courant de sortie
(signal primordial dans un contexte de commande), nous avons déterminé un critère d'erreur
relatif correspondant à l'écart entre les valeurs efficaces du signal obtenu en simulation et en
mesure.
Ce critère est donc défini par la relation suivante:
∫I
ε=
2
A
(t ). dt −
TBF
∫I
2
Ames
(t ). dt
TBF
∫I
2
Ames
Eq. 5- 20
(t ). dt
TBF
où:
IAmes est le courant IA mesuré et IA est le courant IA simulé.
D'autre part, ε sera compté positif si la valeur efficace du signal simulé est supérieure à celle du
signal mesuré. Il sera compté négatif dans l'autre cas.
Pour chaque série d'essais, nous fixons la fréquence F du courant dans la charge et la tension
continue d'alimentation E. Nous faisons alors varier le coefficient de modulation M (ou la
tension Vs de consigne).
5.2.1. Au régime nominal
Pour se rapprocher du cas général des machines électriques triphasées, le régime nominal
correspond à une fréquence de 50Hz et une tension d'alimentation de 300V.
Pour trois valeurs du coefficient de modulation (20%, 50% et 90%), nous avons comparé les
trois courants IA, I1 et I0. Les mesures sont représentées en rouge. Le temps mort est fixé à
6µs. Cette valeur, supérieure à la valeur nécessaire (environs 3µs) nous permet d'apprécier plus
aisément les effets dus aux temps morts.
144
Un Modèle Moyen d'Onduleur
F
E
M
Fréquence: 50Hz
Tension: 300V
Modulation: 50%
Fréquence: 50Hz
Tension: 300V
Modulation: 90%
Fréquence: 50Hz
Tension: 300V
Modulation: 20%
Fréquence: 50Hz
Tension: 300V
Modulation: 20%
Figure 5- 6 : Comparaison simulation / mesure en régime nominal.
F=50Hz - E = 300V - M variable et ρM=6µs.
Nous constatons une très bonne corrélation entre la simulation et l'expérience. Pour les faibles
taux de modulation, l'effet du temps mort appliqué par la commande est très net. Pour le
145
CHAPITRE CINQUIEME
coefficient de modulation de 20%, nous avons représenté les tensions et les courants pour deux
modules. Les distorsions du courant sont clairement les conséquences des discontinuités de la
tension, elles-mêmes engendrée par le temps mort. En effet, au changement de signe d'un des
trois courants (IA, IB ou IC), le bras d'onduleur concerné passe d'un état de fonctionnement à
l'autre. Si nous reprenons les équations du modèle (Eq. 5-14 et Eq. 5-18) et exprimons l'écart
sur la tension de sortie lors du changement de signe du courant, nous avons:
δ 

Vout + = Ψ ρ1 + T .V  [Vin ]

T 
Eq. 5- 21

 
δ 
δ 

Vout − = 1 − Ψ ρ2 + T .V  [Vin ] = Ψ ρ1 + 2 ρ M + T .V  [Vin ]

T 
T 

 
+
Donc, si le courant passe de 0 à 0 , l'écart de tension vaut:
Eq. 5- 22
Vout + − Vout − = 2ρ M × Vin
Eq. 5- 23
A 300V, avec un temps mort de 6µs pour un fréquence de découpage de 10kHz, nous avons
bien une discontinuité de 36 V.
Le graphique suivant présente l'erreur ε (Eq. 5-20) en pour-cent pour des tensions et des
coefficients de modulation variables à une fréquence de 50Hz
Erreur (%)
Taux d'erreur du modèle moyen de l'onduleur
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
-1,00
-2,00
90
100
200
300
Tension (V)
400
50
20
Modulation (%)
Figure 5- 7 : Erreur relative en % entre simulation et expérience à 50Hz.
146
Un Modèle Moyen d'Onduleur
Dans tous nos essais en régime nominal, l'erreur sur la valeur efficace du courant dans une
phase, commise en simulation, reste inférieure à 6%. Voyons maintenant d'autres conditions de
fonctionnement.
5.2.2. Aux autres régimes
Nous avons relevé les mêmes caractéristiques que précédemment pour différents taux de
modulation à 300V, mais pour des fréquences de 10Hz et 100Hz .
147
CHAPITRE CINQUIEME
Fréquence: 100Hz
Tension: 300V
Modulation: 90%
Fréquence: 100Hz
Tension: 300V
Modulation: 50%
Fréquence: 10Hz
Tension: 300V
Modulation: 90%
Fréquence: 10Hz
Tension: 300V
Modulation: 20%
Figure 5- 8 : Comparaison des courants pour des régimes autres.
De la même manière, nous avons représenté l'erreur relative en fonction de la fréquence et du
taux de modulation:
148
Un Modèle Moyen d'Onduleur
Erreur (%)
Erreur relative en fonction de la Fréquence
6,00
4,00
2,00
0,00
-2,00
-4,00
-6,00
-8,00
-10,00
20
100Hz
50Hz
50
Fréquence
(Hz)
10Hz
90
Modulation (%)
Figure 5- 9 : Erreur relative sur le courant d'une phase en fonction de la fréquence à 300V.
Force est de constater que la qualité de la représentation des courants dans la charge se
dégrade rapidement avec la fréquence. Même si cette erreur reste, en valeur absolue, inférieure
à 10% son large domaine de variation (en valeurs relatives) peut être gênant.
L'approche causale de notre représentation peut nous permettre d'analyser si les erreurs de
modélisation sont globales ou localisées.
Rappelons la causalité du système: l'onduleur impose la tension et la charge impose le courant
correspondant. La comparaison simultanée des courants et des tensions sur la charge vont nous
apporter des éléments de réponse. La figure suivante présente quelques relevés effectués. Les
tensions relevées ont été filtrées de manière à être superposables aux tensions moyennes
fournies par la simulation, comme précisé précédemment .
149
CHAPITRE CINQUIEME
Fréquence: 10Hz
Tension: 300V
Modulation: 20%
Fréquence: 10Hz
Tension: 300V
Modulation: 90%
Fréquence: 100Hz
Tension: 300V
Modulation: 50%
Fréquence: 100Hz
Tension: 300V
Modulation: 90%
Figure 5- 10 : Comparaison des courants et tensions en dehors du régime nominal.
Outre les déphasages des tensions à 100Hz vraisemblablement introduits par notre filtre de
mesure, nous ne constatons pas d'écart sur les tensions justifiant l'erreur commise sur les
courants (sauf pour le premier relevé). Il semble donc que les erreurs proviennent
150
Un Modèle Moyen d'Onduleur
principalement du modèle de la charge. Les inductances auraient alors un comportement
dépendant de la fréquence.
Le premier relevé met en évidence un problème lié aux transitions entre les deux états du
modèle du bras d'onduleur. En effet, le changement d'état a lieu au changement de signe du
courant. Pour les faibles niveaux et les basses fréquences, le courant peut osciller autour de
zéro avant de changer définitivement de signe. Cette oscillation impose alors de nombreux
changements d'états du bras et, les temps morts appliqués par la commande créent les
discontinuités observées. Notons que, dans ce cas, la simulation est très ralentie. Il est probable
que, dans la réalité, l'effet des oscillations haute fréquence des courants (10kHz) avec de très
faibles niveaux de courant (qq mA) soient atténuées par des phénomènes non pris en compte
dans notre modélisation. Pour palier artificiellement ce problème, il est possible d'introduire
une hystérésis dans le test de changement d'état du modèle.
Nous venons de définir la pertinence de notre modèle d'onduleur. Comme nous l'avons montré
précédemment, c'est un modèle relativement simple et rapide à simuler. Cependant, même si
l'identification de ses paramètres ne pose pas de problèmes particuliers, il serait intéressant
d'étudier l'importance relative de chaque paramètre de manière à simplifier, si possible, la phase
d'identification, toujours problématique dans un contexte industriel.
5.3.
SENSIBILITE DU MODELE D'ONDULEUR A SES DIFFERENTS PARAMETRES
Pour juger de l'importance de chaque paramètre du modèle de bras, nous avons comparé les
résultats obtenus en simulation pour différents niveaux de simplification du modèle:
€ Mesures (jaune);
• Modèle moyen complet (noir);
‚ Elimination des délais virtuels (rouge);
ƒ Elimination des caractéristiques statiques: composants idéaux (bleu);
„ Pas de prise en compte des temps morts: onduleur "parfait" (magenta);
La figure suivante nous permet d'apprécier les implications de chaque simplification dans deux
cas très distincts:
151
CHAPITRE CINQUIEME
Fréquence: 50Hz
Tension: 100V
Modulation: 20%
Fréquence: 50Hz
Tension: 100V
Modulation: 20%
Fréquence: 50Hz
Tension: 300V
Modulation: 90%
Fréquence: 50Hz
Tension: 300V
Modulation: 90%
Figure 5- 11 : Comparaison des simulations avec des modèles de bras d'onduleur simplifiés.
Notons tout d'abord que le modèle d'onduleur "parfait" est le plus éloigné des mesures. Ceci
est dû uniquement à la non prise en compte des temps morts appliqués par la commande. Cet
effet est d'autant plus flagrant que nous avons choisi un temps mort très important. Notons
152
Un Modèle Moyen d'Onduleur
aussi que l'écart entre simulation et mesure s'amenuise avec l'augmentation du taux de
modulation: le temps mort représente alors une proportion plus faible du signal de commande.
Aux forts niveaux, la prise en compte des caractéristiques statiques et des retards virtuels ne
semble pas indispensable. Par contre, à faibles niveaux (ou aux faibles taux de modulation)
nous notons un écart qui n'est cependant pas prohibitif dans un contexte d'automatique.
Il semble donc que, pour le développement d'algorithmes de commande, la seule prise en
compte du temps morts appliqué par la commande est indispensable (il est grand devant les
retards virtuels). Par contre, pour le dimensionnement global du convertisseur, il est nécessaire
d'avoir à sa disposition un modèle complet de l'onduleur pour l'analyse de phases transitoires
(démarrage de machine par exemple) où les courants dans la charge sont importants avec des
taux de modulation faibles.
Notons enfin que seul le modèle moyen complet peut fournir les pertes moyennes.
Notre modèle moyen d'onduleur nous permet donc de simuler notre système avec une bonne
précision. Il peut être utilisé dans une phase d'étude d'un convertisseur pour le
dimensionnement global des différents éléments, y compris des condensateurs électrolytiques
de tête. Nous avons mis en évidence l'effet des temps morts imposés par la commande. Ces
distorsions sont importantes dans les cas de faibles taux de modulation et/ou de basse
fréquence sur la charge. C'est typiquement le cas des démarrages de machine où de forts
courants sont fournis au moteur à des fréquences très basses (quelques Hertz) et sous de
faibles tensions.
Nous possédons un modèle qui représente assez fidèlement ces distorsions. Il serait donc
intéressant d'étudier l'aptitude de la boucle de commande à éliminer ou, tout au moins, atténuer
ces phénomènes qui peuvent poser de sérieux problèmes dans le contexte de la traction
électrique.
5.4.
EXPLOITATION DES MODELES MOYENS EN AUTOMATIQUE
Dans le domaine de la traction électrique, les phases de démarrage sont les plus critiques. En
effet, c'est la plage de fonctionnement qui demande la plus grande qualité de couple. La
moindre oscillation aurait pour effet d'engraisser le carrossier du quartier.
Dans les machines électriques (à courant alternatif dans notre cas) le couple est lié aux
courants statoriques et au flux. Généralement, les machines utilisées en traction ont des
153
CHAPITRE CINQUIEME
enroulements créant une répartition sinusoïdale, de manière à ce que le couple soit le plus
constant possible pour des courants statoriques sinusoïdaux.
Pour l'ensemble convertisseur/machine, les harmoniques "basse fréquence" du courant sont les
plus influents sur le couple. Pour certaines valeurs, il peut même y avoir amplification de ceuxci.
L'onduleur et la MLI amènent des bruits significatifs sur les tensions: d'une part en hautes
fréquences (découpage à qq. kHz) et, d'autre part, en basses fréquences, à des multiples du
fondamental (MLI et temps mort).
Lorsque la fréquence du fondamental varie, les oscillations de couple seront plus ou moins
rejetées par les correcteurs. Pour améliorer la qualité du couple, il serait préférable de diminuer
l'amplitude des fréquences harmoniques perturbatrices en atténuant l'influence du temps mort
au niveau de la MLI.
D'autre part, ces distorsions, dans des cas très particuliers, risquent de déstabiliser les boucles
de contrôle. [Leggate-97] a publié une synthèse sur les effets de ces distorsions, les différentes
méthodes utilisées pour leur compensation et propose une nouvelle méthode basée sur la
compensation directe des impulsions.
La commande vectorielle de couple est basée sur le pilotage des courants diphasés équivalents
dans le repère (d,q). Ces deux courants sont obtenus par transformation de Park des courants
statoriques. Dans le cas sinusoïdal, les courants Id et Iq sont deux constantes. Si nous
appliquons cette transformation aux courants obtenus en simulation pour un onduleur idéal et
pour notre modèle moyen, nous obtenons bien des contantes pour le modèle idéal mais
observons un erreur statique et des oscillations pour le cas non-idéal (Figure 5- 12). La valeur
relative de ces oscillations est d'autant plus importante que l'onduleur travaille à faible
coefficient de modulation et/ou à faible fréquence. Leur fréquence est liée à la fréquence du
fondamental.
154
Un Modèle Moyen d'Onduleur
C o u r a n t s Id
e t Iq
à
1 0 H z /2 0 0 V /2 0 %
1 5
Id idéal
1 0
Id non-iéal
5
Iq idéal
Iq non-iéal
0
-5
0
0 .0 5
0 .1
C o u r a n t s Id
e t Iq
à
0 .1 5
0 .2
1 0 H z /2 0 0 V /5 0 %
4 0
3 0
Id non-iéal
2 0
Id idéal
1 0
Iq non-iéal
Iq idéal
0
-1 0
-2 0
0
0 .0 5
0 .1
C o u r a n t s Id
0 .1 5
e t Iq
à
0 .2
0 .2 5
0 .3
5 0 H z /3 0 0 V /2 0 %
1 5
Id idéal
1 0
5
Id non-iéal
0
Iq non-iéal
-5
Iq idéal
-1 0
-1 5
0
0 .0 1
0 .0 2
0 .0 3
0 .0 4
0 .0 5
0 .0 6
Figure 5- 12 : Courants Id et Iq idéaux et non-idéaux, pour différents points de fonctionnement.
Les distorsions dues au convertisseur de puissance sont donc très gênantes, tant pour
l'oscillation de couple du moteur que pour la stabilité des boucles de contrôle. D'autre part, les
pertes d'amplitude dues aux imperfections (écart des composantes continues sur la figure cidessus) ralentissent la dynamique en poursuite du système puisque c'est aux régulateurs à
compenser cette erreur.
La méthode de compensation des défauts que nous proposons est sensiblement identique à
celle de D. Leggate et R.J. Kerkman. La principale différence est que nous nous basons sur une
formulation explicite du problème (modèle moyen). Ceci nous permet d'envisager la
compensation de toutes les imperfections de l'onduleur, alors que la méthode proposée par
155
CHAPITRE CINQUIEME
D. Leggate ne compense que l'effet du temps mort. Notons que cela est cependant suffisant
dans la majorité des cas.
La modulation de largeur d'impulsions considère que chaque bras de l'onduleur est un élément
idéal de gain égal au rapport cyclique de commande. Le principe de notre compensation des
distorsions engendrées par l'onduleur consiste à ajouter à chaque commande de l'onduleur un
terme correctif calculé pour que les tensions de sortie soient celles d'un onduleur idéal.
En écrivant cette égalité pour le modèle moyen d'un bras d'onduleur (Eq. 5-14 et Eq. 5-18),
nous obtenons:
Si I positif (ETAT 1):
δ 
δ 
 

Vout =  ρ + ∆ρ − ρ M + T .V  Vin − Vce ( I out ) + 1 −  ρ + ∆ρ − ρ M + T .V   − Vd ( I out ) = ρ.Vin


T 
T 

[
]
[
]
Eq. 5- 24
Si I négatif (ETAT 2):
δ 
δ
 

Vout =  ρ + ∆ρ + ρ M − T .V  Vin + Vd ( I out ) + 1 −  ρ + ∆ρ + ρ M − T .V

T 
T
 
[
]

  Vce ( I out ) = ρ.Vin

[
]
Eq. 5- 25
d'où:
Si I positif (ETAT 1):
ρ Vce ( I out ) − Vd ( I out ) + Vd ( I out )
δ
∆ρ = ρ M − T .V +
T
Vin − Vce ( I out ) + Vd ( I out )
[
]
Eq. 5- 26
Si I négatif (ETAT 2):
∆ρ = − ρ M +
[
]
δT .V ρ Vce ( I out ) − Vd ( I out ) − Vce ( I out )
+
T
Vin − Vce ( I out ) + Vd ( I out )
Eq. 5- 27
Le premier terme de chaque équation représente la compensation du temps mort appliqué par
la commande. Le second représente la compensation de l'effet des commutations des
composants à semiconducteur et le troisième prend en compte leurs caractéristiques statiques.
Nous avons implanté cette compensation sur le banc de test. Afin de déterminer l'importance
de chaque terme, nous avons programmé trois types de compensation correspondant à une
complexification croissante de celle-ci. Nous avons donc les quatre niveaux suivants:
€ Aucune compensation. [IABmes0, VABmes0]
• Prise en compte seulement du temps mort (1er terme). [IABmes1, VABmes1]
‚ Prise en compte du temps mort et des délais virtuels (1er et 2nd termes). [IABmes2,
VABmes2]
ƒ Prise en compte du modèle moyen complet. [IABmes3, VABmes3]
156
Un Modèle Moyen d'Onduleur
Les figures suivantes présentent les courants et les tensions d'une phase de la charge obtenus
sur le banc de test pour les différents cas et deux simulations correspondant au modèle moyen
complet [IAB, VAB] et au modèle idéal de l'onduleur [IABc, VABc].
Figure 5- 13 : Compensation des défauts de l'onduleur. Comparaison des résultats dans différents cas.
En haut: 50Hz-300V-20% et en bas: 10Hz-200V-50%.
157
CHAPITRE CINQUIEME
Nous notons que la compensation unique du temps mort imposé par la commande permet de
s'affranchir de la majorité des distorsions. Les autres termes n'influent que sur la valeur efficace
du courant. Si nous comparons les temps d'exécution de l'algorithme de modulation de largeur
d'impulsions, nous obtenons les résultats suivants:
Type de compensation Temps d'exécution
0
13.5µs
1
23.4µs
2
23.4µs
3
57µs
Figure 5- 14 : temps d'exécution de la MLI vectorielle.
L'écart d'environ 10µs entre le type 0 et le type 1 est dû aux temps d'acquisition des trois
courants. Les types 1 et 2 sont équivalents au niveau des temps d'exécution. Par contre, le
temps d'exécution est plus que doublé lorsqu'on prend en compte la totalité du modèle moyen.
En effet, il faut calculer la chute de tension à l'état passant de six composants à
semiconducteur, soit six logarithmes naturels, six divisions, douze produits et sommes
uniquement pour ce terme.
Si l'on compare les résultats obtenus dans notre cas, il est clair que la seule compensation du
temps mort est largement suffisante. Les distorsions sont bien compensées et le courant est
suffisamment proche de la valeur théorique. Les boucles de contrôle compenseront l'écart
résiduel sans problème.
Notons aussi que, même avec la boucle de compensation, des discontinuités sur les tensions
sont encore présentes. En effet, le bruit de mesure et la susceptibilité électromagnétique de la
carte DSP créent une légère erreur dans la détection du passage à zéro des courants.
Enfin, il faut remarquer que seul le signe du courant est nécessaire pour les deux premiers
types de compensation. Dans ces cas, nous pouvons donc envisager l'utilisation de capteurs
simplifiés fournissant simplement une information binaire. L'acquisition des courants dans la
tâche de calcul de la MLI, qui a lieu à la fréquence de découpage de l'onduleur, n'est plus
nécessaire. Alors, la compensation des défauts engendrés par l'onduleur n'augmentera pas le
temps d'exécution.
158
Un Modèle Moyen d'Onduleur
5.5.
CONCLUSION
Nous venons d'établir et de valider un modèle moyen d'onduleur triphasé à partir des théories
présentées dans les chapitres précédents.
Celui-ci est en très bonne concordance avec l'expérimentation tout en restant rapide à simuler:
l'erreur ne dépasse jamais 10% (vraisemblablement à cause du modèle de la charge) et est
proche de 1% dans les régimes nominaux. Nous pouvons donc envisager de l'utiliser tant pour
la conception des convertisseurs que des boucles de commande.
Ce modèle a été établi et testé grâce au logiciel PACTE et nous l'avons implanté sous
Matlab/Simulink de manière à ce qu'il soit exploitable par les automaticiens.
D'autre part, nous avons pu établir une méthode formelle de compensation des défauts
engendrés par l'onduleur.
Dans notre cas, comme souvent en forte puissance où les temps morts sont surévalués , seule
la compensation de ceux-ci est nécessaire. Les temps d'exécution ne sont alors pas dégradés de
manière significative et l'allure des courants dans la charge est correctement corrigée.
Cependant, dans les cas où les caractéristiques des composants à semiconducteur ne sont pas
négligeables (hautes fréquences de commutation, faibles tensions d'alimentation, ou temps
morts minimaux) l'utilisation du modèle complet de compensation s'impose.
Remarquons tout de même que le rapport cyclique ne peut pas être supérieur à un ou inférieur
à zéro. La compensation ne peut donc avoir lieu que sur une plage bornée de variation de la
commande. Autrement dit, pour les forts taux de modulation, compenser les défauts
reviendrait à fournir une tension de sortie supérieure à la tension d'alimentation (ou inférieure à
zéro). Les distorsions ne sont généralement pas importantes dans ce cas, mais, si l'on souhaite
appliquer cette correction sur toute la plage de puissance du convertisseur, il conviendra alors
d'augmenter sa tension d'alimentation de manière à disposer d'une réserve d'énergie suffisante
pour compenser les chutes de tension dans les composants et les temps morts de la commande.
Il faut donc prévoir une augmentation de la tension continue correspondant environ à:
Vcc. Max( ∆ρ )
Eq. 5- 28
Rappelons enfin que toutes les procédures menées manuellement dans ce chapitre sont
automatisables et que le CEGELY travaille actuellement sur leur implantation dans PACTE. A
terme, le calcul d'un modèle moyen devrait pouvoir être réalisé très rapidement à partir de
simulations "fines", donc de modèles de comportement ou à partir d'essais systématiques, eux
aussi automatisables.
159
CONCLUSION
Le travail présenté ici nous a permis d'établir et de valider un modèle moyen électrique
d'un onduleur de tension triphasé. Celui-ci présente une bonne précision, tout en restant très
simple. En effet, il ne nécessite que la connaissance des caractéristiques statiques des
composants à semiconducteur (modèles de connaissance) et des délais virtuels, paramètres
représentant globalement les phases de commutation, choisis constants dans notre cas. Les
relations ainsi obtenues sont des équations algébriques simples et peuvent donc être utilisées
dans la majorité des logiciels de simulation d'électronique ou d'automatique. Il est aussi
possible d'exploiter ce modèle dans les boucles de contrôle pour compenser "a priori" les
distorsions engendrées par le convertisseur; et nous avons montré que, dans la majorité des
cas, seule la compensation des temps morts imposés par la commande était nécessaire. La
fiabilité du modèle et la faisabilité de la compensation ont été vérifiées sur un banc de test de
30kVA construit à cet effet. Ce banc comprend une source de tension continue variable, un
onduleur triphasé, une charge triphasée inductive et un système de commande à base d'un
ordinateur personnel équipé d'une carte DSP compatible avec Simulink, logiciel utilisé par un
grand nombre d'automaticiens. Un circuit numérique a été développé pour piloter facilement
les convertisseurs à découpage à partir d'unités de commande entièrement numériques.
L'intérêt des modèles moyens est de réduire le temps de simulation nécessaire à
l'observation des variables évoluant lentement devant la fréquence de découpage du
convertisseur. En effet, de tels systèmes sont particulièrement raides puisque, dans le cas des
modèles de comportement, il faudrait effectuer les calculs à un pas de temps inférieur au temps
de commutation du composant le plus rapide (ns), ceci sur un horizon temporel correspondant
à la contante de temps la plus grande de la charge (qq. secondes en traction). D'où des temps
de simulation prohibitifs (plusieurs jours!). De plus, l'identification des paramètres de ces
modèles reste simple et rapide à mettre en oeuvre, alors que celle des modèles de
comportement est particulièrement fastidieuse.
D'autre part, dans la première partie de notre travail, nous avons montré que, parmi les
différents formalismes de modélisation utilisés en électronique de puissance, seuls les graphes
de liens assurent certaines propriétés au système d'équations représentant le système à simuler.
Si ce système est causal, c'est-à-dire si chaque cause précède les effets (cas de tous les
CONCLUSION
systèmes physiques), nous obtenons un système d'Equations Différentielles Ordinaire qui
n'admet qu'une solution unique (théorème de Cauchy - Lipschitz). Un algorithme d'analyse de
la causalité a été présenté: l'Analyse de Causalité Algébrique. Celle-ci est implémentée dans le
logiciel de simulation en électronique de puissance développé au laboratoire: PACTE. Elle
permet de détecter les fautes de causalité, de situer leur cause, et, une fois le système causal, de
le mettre en équation. Notons qu'une erreur de causalité résulte généralement d'une erreur de
modélisation, ou d'une modélisation insuffisante, mais les erreurs de causalités non critiques
sont automatiquement corrigées de manière à pouvoir effectuer tout de même la simulation.
Les propriétés d'unicité de la solution ne sont alors plus garanties et les calculs ont de plus
grands risques de diverger.
Grâce à l'analyse de causalité algébrique, il est possible de construire automatiquement le
modèle moyen d'un convertisseur. Une procédure systématique a été présentée, mais elle
nécessite la connaissance des modèles de comportement de chaque composant du système et
de tous les éléments parasites. Cependant, dans une phase complète de conception d'un
convertisseur, ce type de données doit être disponible pour les simulations ayant pour objectif
l'observation des contraintes liées à la commutation des composants à semiconducteur.
Une fois cette procédure intégrée à PACTE, le logiciel déterminera automatiquement les
composants à intégrer au "bloc de commutation" et, après une série de simulations, fournira les
équations et le jeu de paramètres du modèle moyen de ce bloc.
Le principe de la modélisation par schéma électrique équivalent "moyen" s'applique aussi
bien aux grandeurs électriques que thermiques. Ainsi, il est tout à fait envisageable d'intégrer
les pertes et, éventuellement la température en différentes régions des composants.
Actuellement, les résultats obtenus ne sont pas suffisamment avancés pour être présentés ici.
Le problème réside dans la difficulté à mesurer les pertes dans les composants à
semiconducteur avec une précision suffisante. Un banc de mesures par calorimétrie, pour
l'identification des paramètres des modèles de comportement électro-thermiques des
composants à semiconducteur, est à l'étude. Cependant, l'identification directe des paramètres
des modèles moyens nécessite un fonctionnement du convertisseur dans des conditions réelles
et l'encombrement de ce dernier risque fort d'être incompatible avec ce type de mesure. Une
estimation des pertes, via un bilan des puissances entrée/sortie effectué d'après les mesures des
grandeurs électriques, est peut-être suffisante.
161
CONCLUSION
D'autre part, l'identification des différents paramètres des modèles moyens demande un
très grand nombre de points de mesures. Il serait très intéressant d'automatiser cette phase qui
ne pose pas de problèmes particuliers, tout au moins en ce qui concerne le transfert et le
traitement numérique des relevés expérimentaux. Le gain de temps serait alors considérable et
on pourrait envisager d'obtenir et de valider les paramètres du modèle moyen d'un
convertisseur correctement instrumenté en moins d'une heure.
Enfin, et c'était l'objectif principal de notre travail, les modèles moyens peuvent apporter
beaucoup dans la phase de conception des boucles de contrôle des machines électriques.
L'analyse de l'impact des distorsions engendrées par le convertisseur sur le couple moteur nous
indiquera si leur compensation est nécessaire ou non. Quoi qu'il en soit, cette dernière
permettra d'agir sur les courants avec une précision accrue, améliorant ainsi la qualité du
contrôle.
Une autre application de ce type de modèle peut consister en une commande optimisant
le rendement de l'ensemble convertisseur/machine, paramètre critique dans les véhicules
électriques à cause de la faible autonomie des batteries. Même si les pertes sont difficiles à
mesurer avec précision, rendant ainsi la validation du modèle aléatoire, leur tendance de
variation sera certainement correctement représentée. Ainsi, on pourra rechercher un minima
global des pertes de la chaîne de traction, à condition de disposer d'une image correcte des
pertes dans la machine.
Cette dernière remarque laisse entrevoir un problème qui commence à se poser dans la
commande des machines électriques: les limitations du modèle de Park. Un modèle prenant en
compte les saturations et donnant une image correcte des pertes va très rapidement devenir
indispensable. Les modèles basés sur les réseaux de perméances sont peut être une réponse. Il
serait aussi intéressant d'étudier l'aptitude de la théorie des modèles moyens à représenter les
phénomènes haute fréquence dans les machines.
162
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165
ANNEXE 1
L'Interface de Génération d'Impulsions
Cette page a été intentionnellement laissée vide
INTERFACE DE
MODULATION
DE LARGEURS
D’IMPULSIONS
CEGELY
03 juillet 1997, version 2.1
GENERALITES
NOTICE D’UTILISATION
• Entièrement compatible TTL/CMOS.
Xtal
Vcc
• Alimentation unique 5V.
12
• Faible encombrement.
InData
AU
• Contrôle de parité.
Strobe
AD
• Remise à zéro analogique et
numérique.
Reset
• Protection des sorties contre les
erreurs.
BU
Over_I
BD
Rdy
Error
CU
Run
CD
• Visualisation de l’état des sorties.
DeltaT
• Sorties amplifiées.
IRQ
int_reset
Secu
DESCRIPTION
A base d’un circuit logique programmable de la famille ALTERA, l’interface de
GENERALE
modulation de largeurs d’impulsions permet de piloter jusqu’à trois
convertisseurs de type demi-pont ou bras d’onduleur. La fréquence de
découpage, le temps mort et les rapports cycliques des sorties sont
programmables en temps réel via un bus de communication au standard TTL.
Des signaux renseignent l’unité maître sur d’éventuelles erreurs de transmission
et sur l’état des sorties. L’interface prend en compte les signaux de sécurités
émis par la commande rapprochée (sur-intensité par exemple).
Les sorties sont capables de piloter directement des optocoupleurs.
CONDITIONS DE FONCTIONNEMENT RECOMMANDEES
Symbole
Vcc
Icc
VI
VO
IOUT
TA
VIH
VIL
FCLK
Paramètre
Tension d’alimentation par rapport à la masse
Courant d’alimentation
Tension continue d’entrée
Tension continue de sortie
Courant continu par sortie
Température de fonctionnement
Tension d’entrée pour un niveau haut
Tension d’entrée pour un niveau bas
Fréquence d’horloge
168
Min
4.75
0
0
-20
0
3.5
Max
5.25
0.5
Vcc
Vcc
+20
70
0.8
20
Unité
V
A
V
V
mA
°C
V
V
MHz
Interface de Modulation de largeur d’Impulsions - version 2.1
CARACTERISTIQUES ELECTRIQUES SOUS CONDITIONS DE FONCTIONNEMENT RECOMMANDEES
Symbole
Paramètre
VOH
Tension de sortie au niveau haut
VOL
Tension de sortie au niveau bas
II
Courant d’entrée
Min
4.5
0
-10
Max
Vcc
0.5
+10
Unité
V
V
µA
DESCRIPTION
Les impulsions sont générées à partir d’une horloge de base fournie par un
FONCTIONNELLE
oscillateur à quartz (FCLK). Leur fréquence, leurs rapports cycliques et la valeur
du temps mort sont programmés par l’unité maître via le bus de communication
et sont définis comme suit :
Imp ulsion
sans temp s mort
τi
τi
Tdec /2
Tdec
Imp ulsion comp lémentaire
sans temps mort
AU
BU
Imp ulsion
avec temp s mort
CU
τM
AD
BD
Impulsion complémentaire
avec t emps mort
CD
τM
Fig. 1 : Impulsions générées par l’interface.
Les différents paramètres sont :
•
•
•
•
•
TDEC période de découpage.
τA grandeur définissant le rapport cyclique des deux sorties AU et AD.
τB grandeur définissant le rapport cyclique des deux sorties BU et BD.
τC grandeur définissant le rapport cyclique des deux sorties CU et CD.
τM valeur du temps mort.
Outre ces informations, le maître pourra envoyer un ordre de démarrage et un
ordre d’arrêt/remise à zéro.
Les nouvelles valeurs des rapport cycliques sont prises en compte à chaque
période de découpage. L’ancienne valeur sera appliquée pour les sorties qui
n’auront pas été mises à jour avant le début de la nouvelle période.
169
Interface de Modulation de largeur d’Impulsions - version 2.1
Description des signaux
InData
Bus de données de 12 bits.
Strobe
Entrée de verrouillage des données. Les données sont mémorisées
sur le front montant du signal Strobe et traitées lorsqu’il est
redescendu.
Reset
Entrée de remise a zéro. Active sur niveau bas.
Over_I
Entrée de détection d’erreurs sur la commande rapprochée. Cette
entrée doit être au niveau haut en fonctionnement normal.
Rdy
Sortie au niveau bas si l’interface est occupée.
Error
Sortie signalant une erreur de parité. Elle est mise à jour sur le front
montant de la sortie Rdy.
Run
Sortie signalant que les six sorties MLI sont actives. Elle est mise à
jour sur le front montant de Rdy.
DeltaT
Sortie de synchronisation sur la période de découpage. Les données
programmées sont prises en compte sur le front montant.
IRQ
Sortie déclenchant une interruption sur le maître demandant de
nouvelles données. IRQ est à l ‘état haut sur la première moitié de
TDEC et passe à l’état bas sur la deuxième.
Xtal
Entrée d’horloge de base (niveau TTL).
AU ... CD Sorties MLI : Trois paires de sorties (A, B, C) complémentaires et
décalées de la valeur du temps mort programmée.
Une protection interne assure que les signaux d’une même paire ne
peuvent en aucun cas être au niveau haut en même temps.
SECURITES
Int_reset
Sortie signalant que l’interface est en mode de remise à zéro.
Secu
Sortie signalant que l’interface a détecté un signal de défaut sur son
entrée Over_I. Cette sortie est maintenue à l’état bas jusqu'à
réinitialisation de l’interface par l’entrée Reset.
L’interface est équipée de deux de sécurités distinctes. L’activation d’une ou
plusieurs de ces sécurités entraine l’arrêt et la réinitialisation de l’interface. Ces
sécurités on pour objectif de protéger le convertisseur de puissance.
• L’aparitition d’un niveau logique bas sur l’entrée Over_I force toutes les
sorties MLI au niveau bas et effectue une réinitialisation de l’interface. Les
sortie Secu et Int_reset passent alors à l’état bas. Le redémarrage de
l’interface ne peut avoir lieu qu’après disparition du défaut et une impulsion
négative sur l’entrée Reset.
170
Interface de Modulation de largeur d’Impulsions - version 2.1
• L’interface est muni d’un « watch-dog » interne qui a pour objectif de
détecter une inactivité trop longue de l’unité maître. Ce timer interne est
remis à zéro lors de l’écriture d’un donnée quelconque dans l‘interface
(parité correcte). Si l’unité maître n’écrit pas de donnée cohérente dans
l’interface avant un temps correspondant à quinze périodes de découpage
(TDEC), l’interface inhibe les sortie et se réinitialise. La sortie ini_reset passe
alors à l’état bas. Le redémarrage de l’inteface ne pourra alors avoir lieu
qu’après une impulsion négative sur l’entrée Reset.
PROGRAMMATION
La programmation de chaque variable est effectuée par une salve de 12 bits sur
le bus de données.
12
2
7
NM
Séquencement Général
et
Contrôle de Parité
N0
NA
Temps Mort
Générateur d'impulsions
centrées complémentaires
Diviseur
Sécurisation
des sorties
Temps Mort
NB
AU AD
NC
BU BD
ND
CU CD
Fig. 2 : Schéma bloc de l’interface.
Chronogrammes de programmation d’une variable.
InData
Données stables
ts
Strobe
td
Rdy
Symbole
Paramètre
ts
Temps de maintien de Strobe
td
Délai de prise en compte
tt
Temps de traitement
N
tt
Min
1.5 TCLK
TCLK
Max
TCLK
4 TCLK
Unité
s
s
s
Le signal de Strobe ne doit en aucun cas remonter avant le retour à
l’état haut du signal Rdy (fin du traitement des données).
171
Interface de Modulation de largeur d’Impulsions - version 2.1
Structure du bus de données.
Le bus de donnée est composé de trois parties :
MSB
P
LSB
C2 C1 C0 D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0
Données
Code Opératoire
Bit de parité
• Le Bit de parité change de valeur pour assurer un nombre impair de bits à
1 sur le bus de données.
• Le Code Opératoire désigne l’opération à réaliser conformément au
tableau suivant :
Code
Opération réalisée
000
001
010
011
100
101
110
111
Remise à zéro générale et arrêt
Programmation de la période de découpage
Programmation de la valeur du temps mort
Ordre de démarrage
Programmation de la valeur du rapport cyclique de la voie A
Programmation de la valeur du rapport cyclique de la voie B
Programmation de la valeur du rapport cyclique de la voie C
Non utilisé. Mais répond aux contraintes de parité.
Taille des
données
0 bits
5 bits
6 bits
0 bits
8 bits
8 bits
8 bits
• Les Données sont définies sur 8 bits max. Quelle que soit la taille des
données requise, le contrôle de parité est effectué sur les 12 bits du bus.
Programmation de la période de découpage TDEC.
La période de découpage vaut 512 fois la période de l’horloge interne T0. Cette
dernière est obtenue par division de l’horloge de base FCLK fournie par
l’oscillateur à quartz sur l’entrée Xtal.
Pour définir la fréquence de découpage, il faut donc programmer le coefficient
de division N0 défini sur cinq bits (32 valeurs différentes). Les trois autres bits
de données ne sont pas pris en compte. T0 vaut alors :
si
N0 = 0
alors
T0 = TCLK
si
N0 > 0
alors
T0 = 2N0.TCLK
et
TDEC = 512.T0
172
Interface de Modulation de largeur d’Impulsions - version 2.1
Programmation de la valeur du temps mort τ M.
La valeur du temps mort, comptée en nombre de périodes de l’horloge interne
T0. Ce nombre, appelé NM, est défini sur six bits (64 valeurs différentes). Les
deux autres bits de données ne sont pas pris en compte.
N.B. : Pour des raisons de sécurité, si NM vaut zéro, la valeur du temps mort
sera de 64 T0. Nous avons donc :
si NM = 0
si NM > 0
alors
alors
τM = 64.T0
τM = NM.T0
Programmation de la valeur du rapport cyclique d’une voie τ i.
Le rapport cyclique d’une voie est défini à partir d’une variable intermédiaire
appelée Ni (i valant A, B, C ou D) représentée sur la figure 1. Ni est définie sur
huit bits et représente le nombre de périodes d’horloge interne pendant lequel la
commande U (de l’interrupteur du haut dans un bras d’onduleur) reste à l’état
bas avant de passer à l’état haut et sans considération de temps mort. Le rapport
cyclique ρi avant troncature du temps mort (celui que calcule généralement la
commande) vaut donc :
ρi = 1−
2.τ i
N
= 1− i
TDEC
256
Ordre de démarrage et de réinitialisation.
Il suffit ici de présenter le Code Opératoire correspondant. Les huit bits de
donnée ne sont pas pris en compte. Avant l’ordre de démarrage, les huit sorties
sont à l’état bas. Cette commande ne permet pas de réinitialiser l’interface en
cas de détection de faute de sécurité (voir plus loin).
173
Interface de Modulation de largeur d’Impulsions - version 2.1
ORGANIGRAMME
Lors d’une remise à zéro logicielle ou matérielle, les variables internes sont
TYPE DE GESTION
remises à zéro. Dans ce cas :
T0 = TCLK

TM = 64.TCLK
τ = 0
 i
DE L’INTERFACE
Si un ordre de démarrage est donné, les sortie Ui seront en permanence à l’état
haut est celle Di à l’état bas.
Pour éviter tout risque d’erreur, il est recommandé de respecter les
organigrammes proposés.
Gestion de l’interface:
DEBUT
Programmation d’une variable:
DEBUT
Programmation N0
non
Programmation Nm
Rdy = 1
oui
Programmation Na
Envoi des
12 bits
Programmation Nb
Programmation Nc
non
Rdy = 1
oui
oui
ARRET
Error=1
non
oui
Remise à zéro
FIN
FIN
174
non
Interface de Modulation de largeur d’Impulsions - version 2.1
BOITIER
Description
D’EVALUATION
De dimensions réduites, ce boîtier permet de transporter rapidement l’interface
sur
n’importe
quel
convertisseur
de
puissance.
Deux
diodes
électroluminescentes signalent la présence de l’alimentation (diode verte) et
l’état des sorties (bit « Run », diode rouge). L’oscillateur à quartz fournissant la
fréquence de base est interchangeable.
Il est équipé d’un connecteur de programmation et d’un connecteur de sorties.
La remise à zéro est automatique à la mise sous tension. Cette broche n’est
donc pas accessible.
Pour l’exploitation, un PC équipé une carte d’entrées/sorties numériques assure
une souplesse optimale.
Connecteur de programmation
Un connecteur de type Sub-D femelle de 25 broches permet de relier l’interface
à l’unité maître. Le brochage est le suivant :
N°
Signal
1
Masse
2
P
3
C2
4
C1
5
C0
6
D7
7
D6
8
D5
9
D4
10
D3
11
D2
12
D1
13
D0
NC = Non-Connecté
N°
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
175
Signal
+5V
Strobe
NC
NC
NC
NC
NC
Run
DeltaT
Error
Rdy
IRQ
Interface de Modulation de largeur d’Impulsions - version 2.1
Connecteur de sorties
La connexion entre l’interface et le convertisseur de puissance est assurée par
un connecteur de type Sub-D mâle de 25 broches. Son brochage est le suivant :
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Signal
AU
AD
BU
BD
CU
CD
NC
NC
NC
NC
DU
DD
DeltaT
N°
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Signal
Masse
Masse
Masse
Masse
Masse
Masse
NC
NC
NC
Masse
Masse
Masse
Par mesures de sécurité, ces 9 sorties sont séparées du ciruit logique
programmable par des circuits 74HC367 et répondent aux spécifications
électriques annoncées.
176
FOLIO ADMINISTRATIF
THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
NOM : LAUTIER
DATE de SOUTENANCE
(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant)
9 janvier 1998
Prénoms : Philippe, Christian, Georges
TITRE :
Modélisation des convertisseurs à découpage pour la conception et la commande:
Application à l'onduleur.
Numéro d'ordre: 98 ISAL 0001
NATURE: Doctorat
Formation doctorale :
Dispositifs de l'électronique intégrée
Cote B.I.U. - Lyon: T 50/210/19
/
et
bis
CLASSE :
RESUME :
La grande disparité des échelles de temps dans les systèmes à base de convertisseurs à découpage, implique des
temps de simulation prohibitifs dans un contexte de conception globale de l’ensemble ou de commande. Nous
présentons une méthode systématique de construction de schémas électriques moyens équivalents, communément
appelés "modèles moyens", permettant de représenter, avec une très bonne précision, les grandeurs variant lentement
devant la fréquence de découpage du convertisseur. La construction de ces modèles est basée sur le formalisme des
graphes de liens et l'analyse de la causalité algébrique. Ainsi, dans les cas de systèmes causaux, les équations
représentant le système n'admettent qu'une solution unique. Les risques de divergence de la simulation sont donc
limités. Les méthodes de mesure et d'extraction des paramètres de ces modèles sont présentées et comparées aux
besoins des modèles de comportement. Il en ressort que ces paramètres sont plus simples à obtenir que ceux des
modèles de comportement. Nous avons appliqué ces principes au cas de l'onduleur triphasé. Un banc de test de
30kW, équipé d'un système de commande "temps réel" a été mis en place et modélisé, pour la validation des
simulations. Les résultats obtenus sont très proches de l'expérimentation. La sensibilité du modèle du convertisseur à
ses différents paramètres a ensuite été discutée dans un objectif de simplification du modèle et des étapes
d'identification. Dans la majorité des cas, seule la prise en compte des temps morts est indispensable. Enfin, un
exemple d'exploitation des modèles moyens en automatique est donné. Il consiste à compenser les distorsions dues au
convertisseur de manière à se ramener à un convertisseur idéal. Cette compensation a été testée sur notre banc
d'essais et donne de bons résultats, sans augmenter le temps de calcul de la boucle de commande.
MOTS-CLES :
Electronique Puissance - Graphe Liaison - Onduleur Modèle Moyen - Commande - Transistor Bipolaire Grille Isolée
Laboratoire(s) de recherche : CEGELY : Centre de Génie Electrique de Lyon
Directeur de thèse : Jean-Marie RETIF
Président de jury :
F. FOREST
Composition du jury :
J. BERETTA, J.P. CHANTE, B. de FORNEL, D. MEDAULE,
H. MOREL, R. PERRET, J.M. RETIF