Corrigé des exercices sur la démonstration (géométrie) ˆ

LSH –Pré CRPE – Mathématiques
Année 2008-2009
Corrigé des exercices sur la démonstration (géométrie)
Exemple 1
Le groupe A utilise des cas particuliers nombreux et s’appuie sur la figure pour valider son hypothèse. Ce n’est pas
une démonstration.
D’autre part, il affirme que ARCM est un parallélogramme sans en apporter la preuve.
Le groupe B s’appuie sur les données de l’énoncé et sur une propriété caractéristique du parallélogramme pour
démontrer que le quadrilatère ARMC en est un. Il s’appuie sur une autre propriété du parallélogramme pour valider
son hypothèse. Sa preuve est une démonstration.
Exemple 2
1a) En observant la figure, on peut faire l’hypothèse que EBGD est un parallélogramme. Pour le prouver, il faut
s’appuyer sur nos connaissances concernant le parallélogramme et sur les informations que donne l’énoncé ::
- Le quadrilatère ABCD est un rectangle. On en déduit que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
- E appartient à (AD) et G appartient à (BC). Des deux informations précédentes, on déduit que [ED] et
[BG] sont parallèles.
- La description dit que (EB) et (GD) sont parallèles. De l’ensemble de ces informations, on déduit que le
quadrilatère EBGD a ses côtés deux à deux parallèles. C’est un parallélogramme.
1b) Pour que EBGD soit un losange, il faudrait rajouter à la description soit que EB=BG : en effet un
parallélogramme dont les côtés consécutifs sont égaux est un losange, soit que (BD) est perpendiculaire à (BD) :
en effet, un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
2) L’observation de la figure permet de faire l’hypothèse que les points B, D, F et H sont alignés
Il faut alors valider cette hypothèse.
EBGD est un losange, d’où EB = BG. B est donc équidistant des points E et G. On en déduit que le point B
appartient à la médiatrice de [EG].
De même ED = DG, d’où le point D est équidistant des points E et G, il appartient donc à la médiatrice de [EG].
La description dit que EFGH est un carré, d’où FE = FG et que HE = HG. On en déduit que F et H sont
équidistants des points E et G. Ils sont donc sur la médiatrice de [EG].
Les points B, D, F et H sont tous les quatre sur la médiatrice de [EG]. Ils appartiennent donc à une même droite, ils
sont donc alignés.
3) On peut faire l’hypothèse que le centre commun aux deux cercles est le point d’intersection des diagonales du
losange EBGD, du rectangle ABCD et du carré EFGH.
Il faut alors valider cette hypothèse.
Le centre du cercle circonscrit au rectangle ABCD est l’intersection de ses diagonales, soit le milieu de [BD].
Le centre du cercle circonscrit au carré EFGH est l’intersection de ses diagonales, soit le milieu de [EG]. Or [BD] et
[EG] sont les diagonales du losange EBGD. Ces deux segments ont donc même milieu. On en déduit donc que les
deux cercles ont le même centre.
Exemple 3
On peut réaliser plusieurs figures à partir de parallélogrammes différents.
L’observation de ces figures nous permet de faire l’hypothèse que
les bissectrices de deux angles consécutifs du parallélogramme
sont perpendiculaires.
Il va alors falloir utiliser les propriétés du parallélogramme et
des bissectrices d’un angle pour valider l’hypothèse.
Propriété du parallélogramme utilisée : ses angles consécutifs
sont supplémentaires (leur somme est égale à 180°)
Définition d’une bissectrice : elle partage un angle en deux angles égaux.
On en déduit que la somme des angles
B
A
I
ˆ
et
A
B
I
ˆ
du triangle ABI est égale à 180°/2 = 90°
La somme des angles d’un triangle est 180° donc l’angle AIB vaut 90°.
Ce qui confirme l’hypothèse.

Exemple 4
1) Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le point de concours de ses médiatrices. Il suffit donc de
construire les médiatrices de deux de ses côtés.
2) Les triangles ABD et ADC sont inscrits dans le cercle C et ont chacun pour côté [AD] diamètre du cercle; ils
sont donc rectangles respectivement en B et C.
3) Des informations obtenues à la question 2), on peut déduire que les droites (DC) et (AC) sont perpendiculaires
ainsi que les droites (AB) et (BD). Comme BH est la hauteur du triangle ABC, issue de B, elle est perpendiculaire à
(AC). On en déduit que (BH) et (DC) étant perpendiculaires à une même droite, sont parallèles entre elles. De
même (CH) est perpendiculaire à (AB) et donc (CH) et (BD) sont parallèles puisque perpendiculaires à une même
droite. Le quadrilatère HCDB a ses côtés opposés deux à deux parallèles, c’est donc un parallélogramme.
Exemple 5
1. a) Vrai : un rectangle a quatre angles droits et donc deux angles opposés droits. C’est donc un amandin.
b) Faux : les trapèzes rectangles ont seulement deux angles consécutifs droits. Ce ne sont pas des amandins.
c) Vrai : les carrés sont des amandins particuliers et des losanges particuliers.
d) Faux : le quadrilatère ABCD construit ci-dessous est un amandin, il a ses diagonales perpendiculaires mais
n’est pas un losange :
La réponse « faux » seule est insuffisante.
Il fallait la justifier.
Dans ce cas, la donnée d’un contre-exemple est une justification.
D
A
B
C