Coefficients calorimétriques : Capacité calorifique à volume constant

L. Le Moyne – Thermodynamique - ISAT
Coefficients calorimétriques :
Capacité calorifique à volume constant :
CU
TTS
T
V
V V
=
=
Capacité calorifique à pression constante :
CH
TTS
T
P
P P
=
=
Rapport des capacités calorifiques :
γ =
C
C
P
V
Chaleurs latentes :
l T S
VTP
T
T V
=
=
,
k T S
PTV
T
T P
=
= −
Coefficients thermoélastiques :
Coefficient de dilatation volumique :
α
V
P
V
V
T
=
1
Coefficient relatif de pression :
α
P
V
P
P
T
=
1
Coefficient de compressibilité isotherme :
κ
T
T
V
V
P
= −
1
Relations entre coefficients :
Pour des dérivées partielles, on peut montrer la relation suivante :
x
y
z
x
y
z
zy x
= −
1
, ce qui se traduit ici par :
Relation de MAYER :
C C T P
T
V
T
p V
V P
=
Relations coefficients calorimétriques-thermoélastiques :
l T P
TTP T
V
P
V
T
=
= =
αα
κ
k T V
TTV
P
V
= −
= −
α
C C l V
TTV
p V
P
V
T
=
=
ακ
2
( )
C TV
V
V
T
=
α
γ κ
2
1
( )
C TV
P
V
T
=
γα
γ κ
2
1
L. Le Moyne – Thermodynamique - ISAT
Thermodynamique du gaz parfait
Expressions de l’énergie interne, entropie
U nk T cste
B
= +
3
2
.
∆ ∆
U n k T nc T n C T mc T
B V mol V v
=
= = =
3
2
H U dU
dV V
= −
, et pour une gaz parfait
dU
dV
=
0
, H étant néanmoins fonction de P
∆ ∆
H n C T mc T
mol P p
= =
Pour l’entropie d’une transformation réversible lorsque les forces de pression travaillent :
dS dU
T
pdV
T
= +
(1er et 2ème principes) donc :
SnC dT
T
nRdV
VnR T
T
V
Vmr T
T
V
V
V
T
T
V
V
= + = +
=+
∫ ∫
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
γ γ
ln ln ln ln
Alors, pour un gaz parfait la relation de Mayer donne :
C C T P
T
V
TR
p V
V P
=
=
,
CU
TTS
T
R
V
V V
=
=
=
∂ γ
1
,
CH
TTS
T
R
P
P P
=
=
=
γ
γ
1
,
γ = =
5
31 67,
pour des gaz monoatomiques,
γ = =
7
51 4,
pour des gaz
diatomiques à molécules rigides
l P
=
,
k V
= −
,
κ
T
P
=
1
,
κγ
S
P
=
1
Transformations réversibles de gaz parfaits
1.
a Q k
= ⇒ = ⇒ =
0 0
δ γ
, adiabatique réversible (sans apport de chaleur)
2.
a dP k
= ⇒ = =
1 0 0
, isobare réversible (à pression constante)
3.
a k dV
= = ⇒ =
10 0
γ
, isochore réversible (à volume constant)
4.
a H dT k
= ⇒ = ⇒ =δ
0 0 1
, isotherme réversible (à température constante)
5. a et k quelconques, polytropique réversible (tout varie),
dP dT k
dP dT k
dP dT k
dP dT k
< > → >
< < → <
> > → <
> < → >
0 0
0 0
0 0
0 0
,
,
,
,
γ
γ
γ
γ
,
Le travail reçu au cours de ces transformations est :
W PdV U Q nC T anC T nR
kT
v p
= − = = =
∆ ∆
1
Variation d’entropie :
S n C T
TRV
Vm c T
TrV
V
V v
= +
 = +
ln ln ln ln
2
1
2
1
2
1
2
1
pour une isotherme :
W PdV nRTdV
VnRT V
V
= = − = −
ln
0
,
S nR V
V
=
ln
2
1
pour une isobare :
( )
W PdV P dV P V V
= = − = −
0
, pour une adiabatique,
S
=
0
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Systèmes ouverts
E U Ec Ep
= + +
e u e e
c p
= + +
à t :
Σ + σ
e
E t e dm
e e
( )
+
à t+dt :
Σ + σ
s
E t dt e dm
s s
( )
+ +
bilan :
dE E t dt E t e dm e dm dE e dm e dm
totale s s e e s s e e
= + + − = + −
( ) ( )
1er principe :
dE e dm e dm W Q
s s e e
+ = +δ δ
décomposition du travail :
( ) ( ) ( )
δ δ
W Wu p dV p dV p dV
s s e e
= + − + −
0
( ) ( ) ( )
δ δ
W Wu p dv m p dv m p dV
e e e s s s
= + − +
0
[ ]
δ δ
W Wu p dV pvdm
s
e
= − +
0
1er principe :
( )
[ ]
[ ]
dE e e u dm Wu p dV pvdm Q
c p e
s
s
e
+ + + = + +δ δ
0
( )
( )
[ ]
dE e e u pv dm Wu p dV Q
c p e
s
+ + + + = +δ δ
0
( )
[ ]
dE e e h dm Wu p dV Q
c p e
s
+ + + = +δ δ
0
( )
[ ]
dE
dt e e h m P p dV
dt P
c p e
s
u th
+ + + = +
0
2ème principe :
[ ]
dS sdm Q
TS
e
sp
+ = +
δδ
0
L. Le Moyne – Thermodynamique - ISAT
Exergie :
Ew E p V T S cste
= + +
0 0
On a
( )
[ ]
dE e e h dm Wu p dV Q
c p e
s
+ + + = +δ δ
0
et
[ ]
dS sdm Q
TS
e
sp
+ = +
δδ
0
en éliminant Q :
( )
[ ]
[ ]
( )
dE e e h dm Wu p dV T dS sdm S
c p e
s
e
sp
+ + + = + + δ δ
0 0
donc
( )
( )
[ ]
δ δ
Wu d E p V T S e e h T s dm T S
c p e
sp
= + − + + + +
0 0 0 0
donc le travail reçu utile :
( )
[ ]
δ δ
Wu dEw e e h T s dm T S
c p e
sp
= + + + − +
0 0
le travail fourni utile :
( )
[ ]
δ δ
W dEw e e h T s dm T S
fu c p s
ep
= − + + +
0 0
Travail de transvasement :
Evolution réversible en régime stationnaire
Parois rigides
( )
[ ]
e e h w q
c p e
s
u
+ + = +
or
dh du d pv pdv q pdv vdp q vdp
= + = + + + = +
( )
δ δ
donc
w h q vdp
u
e
s
= − =
si
[ ]
e e
c p e
s
+ =
0
travail de transvasement :
[ ]
w w e e vdp
t u c p e
s
e
s
= + + =
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Bilans locaux
Considérons un volume élémentaire V dans un fluide délimité par la surface S pendant un temps dt.
L’énergie reçue par V en fonction du courant d’énergie
J
e
est :
δ
E dt div J dV
r
e
V
= −
( )
Le volume dV échange de la masse à travers S lorsque la vitesse relative de la masse à l’extérieur et
à l’intérieur est v. La masse reçue par V est :
δ ρ ρ
E dt evdS dt div ev dV
cv
S V
= −
∫ ∫
( )
Le bilan d’énergie s’écrit :
( )
dE E E d edV dt div ev div J dV
r cv
Ve
V
= + = = − +
∫ ∫
δ δ ρ ρ
( ) ( )
,
localement :
( ) ( )
∂ ρ
ρ
e
tdiv ev div J
e
+ + =
( ) 0
De même pour l’entropie :
( ) ( )
∂ ρ
ρ σ
s
tdiv sv div J
s s
+ + =
( )
,
σ
s
étant le taux de production volumique d’entropie par unité de
temps (>0).
Transformations réversibles des gaz parfaits en système ouvert
En régime stationnaire lorsque les parois du système sont indéformables (dV=0), le premier
principe s’écrit pour des grandeurs massiques, en négligeant les variations d’énergie cinétique et
potentielle :
[ ]
h w q
e
s
u
= +δ δ
. Or dh=du+d(pv)=vdp+dq, donc :
w h q vdp
u
e
s
= − =
si on ne néglige pas énergie cinétique et potentielle,
[ ]
w vdp w e e
t
e
s
u c p e
s
= = + +
Pour une transformation polytropique de gaz parfait,
w vdp kr
kT
t
e
s
= =
1
Pour une transformation isotherme,
w vdp rT P
P
t
e
s
= =
ln
2
1
Pour une transformation adiabatique,
w vdp rT h
t
e
s
= = =
γ
γ
1
∆ ∆
1 / 11 100%

Coefficients calorimétriques : Capacité calorifique à volume constant

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