FIBRE OPTIQUE`A SAUT D`INDICE

´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT–´ ETIENNE, MINES DE NANCY,
T´ EL´ ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2011
SECONDE ´ EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili` ere PC
(Dur´ ee de l’´ epreuve: 4 heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´ e
Sujet mis ` a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP
Les candidats sont pri´ es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi` ere page de la copie :
PHYSIQUE II — PC.
L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve comporte 6 pages.
– Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il est invit´ e` a le
signaler sur sa copie et ` a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´ et´ e
amen´ e` a prendre.
– Il ne faudra pas h´ esiter ` a formuler les commentaires (incluant des consid´ erations num´ eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ eme lorsque l’´ enonc´ e ne le demande pas explicitement. Le bar` eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´ es de r´ edaction de la copie.
FIBRE OPTIQUE ` A SAUT D’INDICE
L’´ epreuve est constitu´ ee de trois parties ind´ ependantes. La premi` ere partie concerne l’´ etude de la
propagation de la lumi` ere dans une fibre optique dans le cadre de l’optique g´ eom´ etrique. La deuxi` eme
partie compl` ete la premi` ere en ´ etudiant la structure transverse d’une onde ´ electromagn´ etique dans la
fibre, et les conditions d’obtention d’une fibre monomode. Enfin, la derni` ere partie traite des effets
non lin´ eaires dans la fibre, notamment de l’effet Kerr optique. Apr` es une mod´ elisation microscopique
de ce dernier, on s’int´ eresse au ph´ enom` ene d’auto-modulation de phase et ` a l’existence possible de
solitons optiques. Les applications num´ eriques seront donn´ ees avec 3 chiffres significatifs.
Une fibre optique ` a saut d’indice, repr´ esent´ ee sur la figure 1 est form´ ee d’un cœur cylindrique en
verre d’axe (Ox), de diam` etre 2aet d’indice nentour´ e d’une gaine optique d’indice n1l´ eg` erement
inf´ erieur ` an. Les deux milieux sont suppos´ es homog` enes, isotropes, transparents et non charg´ es. Un
rayon situ´ e dans le plan (Oxy)entre dans la fibre au point Oavec un angle d’incidence
θ . Afin de ne
pas confondre l’angle id’incidence sur la gaine avec le nombre complexe imaginaire pur de module
1, on notera ce dernier jtel que j2=−1. Quelques constantes sont donn´ ees en fin d’´ epreuve. Les
vecteurs sont surmont´ es d’un chapeau, b ux, s’ils sont unitaires ou d’une fl` eche, ~ E, dans le cas g´ en´ eral.
I. — Approche g´ eom´ etrique de la propagation
Dans cette partie, les rayons lumineux sont suppos´ es issus d’une radiation monochromatique de
fr´ equence f, de pulsation ω et de longueur d’onde λ dans le milieu constituant le cœur.
1 — Les diff´ erents angles utiles sont repr´ esent´ es sur la figure 1. ` A quelle condition sur i, angle
d’incidence ` a l’interface cœur/gaine, le rayon reste-t-il confin´ e` a l’int´ erieur du cœur ? On note iℓ
l’angle d’incidence limite.

Fibre optique ` a saut d’indice
x
gained’indice (milieu1)n1
gained’indice (milieu3)n1
Cœurd’indice (milieu2)n
y
+a
-a
O
air
indice1,000
i
r
µ
FIG. 1 – Fibre optique en coupe
2 — Montrer que la condition pr´ ec´ edente est v´ erifi´ ee si l’angle d’incidence θ est inf´ erieur ` a un
angle limite θ
ℓdont on exprimera le sinus en fonction de net iℓ. En d´
eduire l’expression de l’ouverture
num´ erique ON =sin
θ
ℓde la fibre en fonction de net n1uniquement.
3 — Donner la valeur num´ erique de ON pour n=1,50 et n1=1,47.
On consid` ere une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec un angle d’incidence
θ variable compris entre 0 et θ
ℓ. On note cla vitesse de la lumi`
ere dans le vide.
4 — Pour quelle valeur de l’angle θ , le temps de parcours de la lumi` ere dans la fibre est-il minimal ?
maximal ? Exprimer alors l’intervalle de temps δ tentre le temps de parcours minimal et maximal en
fonction de L,c,net n1.
5 — On pose 2∆=1−(n1/n)2. On admet que pour les fibres optiques ∆≪1. Donner dans ce cas
l’expression approch´ ee de δ ten fonction de L,c,net ∆. On conservera cette expression de δ tpour la
suite du probl` eme.
On injecte ` a l’entr´ ee de la fibre une impulsion lumineuse
d’une dur´ ee caract´ eristique t0=t2−t1form´ ee par un fais-
ceau de rayons ayant un angle d’incidence compris entre 0
et
θ
ℓ. La figure 2 ci-contre repr´
esente l’allure de l’amplitude
Adu signal lumineux en fonction du temps t.
6 — Reproduire la figure 2 en ajoutant ` a la suite l’al-
lure du signal lumineux ` a la sortie de la fibre. Quelle est la
dur´ ee caract´ eristique t′
0de l’impulsion lumineuse en sortie
de fibre ?
Le codage binaire de l’information consiste ` a envoyer des
impulsions lumineuses (appel´ ees «bits ») p´ eriodiquement
avec une fr´ equence d’´ emission F.
t
A
t0
t1t2
FIG. 2 – Impulsion lumineuse
7 — En supposant t0n´ egligeable devant δ t, quelle condition portant sur la fr´ equence d’´ emission
Fexprime le non-recouvrement des impulsions ` a la sortie de la fibre optique ?
Pour une fr´ equence Fdonn´ ee, on d´ efinit la longueur maximale Lmax de la fibre optique permettant
d’´ eviter le ph´ enom` ene de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante de la fibre le
produit B=Lmax ·F.
8 — Exprimer la bande passante Ben fonction de c,net ∆.
9 — Calculer la valeur num´ erique de ∆et de la bande passante B(exprim´ ee en MHz·km) avec les
valeurs de net n1donn´ ees dans la question 3. Pour un d´ ebit d’information de F=100 Mbits.s−1=
100 MHz, quelle longueur maximale de fibre optique peut-on utiliser pour transmettre le signal ?
Commenter la valeur de Lmax obtenue.
FIN DE LA PARTIE I
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Physique II, ann´ ee 2011 — fili` ere PC
II. — Approche ondulatoire de la propagation
10 — ` A quelle condition sur λ et al’´ etude g´ eom´ etrique de la fibre men´ ee dans la partie pr´ ec´ edente
cesse-t-elle d’ˆ etre valable ? Dans ce cas, une approche ondulatoire de la propagation est n´ ecessaire.
II.A. — ´ Etude de la structure transverse de l’onde
En lumi` ere monochromatique, seules certaines formes d’ondes, appel´ ees «modes », peuvent se pro-
pager dans la fibre. Chaque mode se propage ` a une vitesse diff´ erente, ce qui engendre l’´ etalement des
impulsions lumineuses et donc r´ eduit la bande passante. Pour am´ eliorer les performances, les fabri-
cants de fibres optiques ont ´ et´ e amen´ es ` a´ elaborer des fibres ` a saut d’indice dites «monomodes »: un
seul mode peut s’y propager, ce qui a pour effet de diminuer consid´ erablement l’´ etalement des im-
pulsions. La bande passante des fibres monomodes est ainsi beaucoup plus ´ elev´ ee que celle calcul´ ee
`
a la question 9. Cette partie se propose d’´ etudier les conditions d’obtention d’une fibre optique ` a saut
d’indice monomode.
On ´ etudie donc la propagation d’un champ ´ electromagn´ etique de pulsation
ω dans la direction des
xpositifs. Pour simplifier, on se limite aux solutions pour lesquelles ~ Eest polaris´ e suivant b uz, avec
(b ux,b uy,b uz)tri` edre direct. On note
~
E1le champ ´ electrique dans le milieu 1 y<−ad’indice n1
~
E2le champ ´ electrique dans le milieu 2 −a<y<ad’indice n
~
E3le champ ´ electrique dans le milieu 3 y>ad’indice n1
En notation complexe, et en simplifiant la g´ eom´ etrie du syst` eme, les champs sont recherch´ es sous la
forme :
~
Es=es(y)ej(
ω t−kx,sx)b
uzavec kx,sr´ eel et s=1,2 ou 3
11 — En utilisant les relations de passage ` a la travers´ ee d’un dioptre entre deux milieux di´ electriques
non charg´ es, montrer que kx,1=kx,2=kx,3=kx.
12 — En utilisant l’´ equation de propagation du champ ~ Edans un milieu di´ electrique d’indice n,
montrer que les fonctions es(y)sont solutions de l’´ equation diff´ erentielle
d2es
dy2−
µ
ses=0 pour s=1,2 et 3
On donnera l’expression de
µ
spour chacune des trois r´
egions en fonction de kx,
ω ,cet nou n1.
Afin que la fibre optique soit effectivement un guide d’onde, on doit fixer les param` etres µ
sde cette
´
equation de telle mani` ere que ses solutions soient des ondes stationnaires suivant (Oy)dans le cœur,
et ´ evanescentes suivant (Oy)dans la gaine. Dans les trois r´ egions consid´ er´ ees, les fonctions es(y)
s’´ ecriront donc sous la forme 
e1(y) = Ae
α y
e2(y) = Bej
β y+
ε e−j
β y
e3(y) =
ε Ae−
α y
o` u
α et β sont deux r´ eels positifs. Les coefficients Aet Bsont fix´ es grˆ ace aux conditions aux limites du
probl` eme et le param` etre ε =±1 permet d’obtenir les deux familles de solutions. On posera k=n ω /c
et kx=kcosro` u l’angle r∈[0, π /2]correspond ` a l’angle de r´ eflexion repr´ esent´ e sur la figure 1.
13 — Exprimer β en fonction de ket r, puis α en fonction de k,r,net n1.
14 — Pour net n1donn´ es, quelle est la valeur maximale rℓde r? En d´ eduire la valeur minimale iℓ
de iet commenter le r´ esultat obtenu.
Page 3/6 Tournez la page S.V.P.

Fibre optique ` a saut d’indice
15 — ` A partir des ´ equations de Maxwell, d´ eterminer l’expression de la repr´ esentation complexe
du champ magn´ etique dans chacun des trois milieux.
16 — On pose δ =e
α aet
γ =ej
β a. En utilisant les relations de continuit´
e des champs en y=a,
obtenir deux ´ equations liant A,B,
ε , α , β , γ et δ .
17 — En d´ eduire, dans chacun des cas ε = +1 ou ε =−1, la relation que doivent v´ erifier α , β
et a. Montrer que la r´ eunion des deux cas se r´ esume en la condition β a+arctan( β / α ) = p π /2 avec
p∈Z. On rappelle que si ϑ >0, alors arctan( ϑ ) = π /2−arctan( ϑ
−1).
Comme
β et α sont des fonctions de r, on pose β a+arctan( β / α ) = f(r). Pour adonn´ e, on admet que
la fonction r7−→ f(r)est strictement croissante sur [0,rℓ]. Quand elle existe, la solution de l’´ equation
f(r) = p π /2 est donc unique.
On souhaite r´ ealiser une fibre monomode, c’est-` a-dire une fibre dans laquelle l’angle rne puisse
prendre qu’une seule valeur pour la radiation de longueur d’onde λ =2 π /kutilis´ ee. Pour les appli-
cations num´ eriques, on prendra λ =709 nm.
18 — D´ eterminer la valeur maximale fmax de f(r)sur l’intervalle [0,rℓ]. Montrer que si p=1,
la fibre est monomode quelles que soient les valeurs de aet
λ . Montrer que si p≥2, l’´ equation
f(r) = p π /2 n’a de solution que si a>aℓo` uaℓest un rayon minimal que l’on exprimera en fonction
de p, λ ,net n1.
19 — Dans la pratique, afin de r´ ealiser une fibre monomode, on prendra un rayon a<aℓet seul le
mode associ´ e` ap=1 se propagera dans la fibre. Calculer la valeur de aℓpour p=2 et commenter le
r´ esultat obtenu.
II.B. — Dispersion intramodale
Mˆ eme dans une fibre monomode, un autre ph´ enom` ene provoque l’´ etalement des impulsions lumi-
neuses. En effet, le cœur de silice est un milieu dispersif, c’est-` a-dire que son indice optique d´ epend
de la fr´ equence du rayonnement. Aux fr´ equences optiques, les fibres optiques sont g´ en´ eralement le
si` ege d’une dispersion dite «anomale », pour laquelle les composantes haute fr´ equence se propagent
plus vite que les composantes basse fr´ equence.
Or, la dur´ ee finie des paquets d’onde ´ emis par les sources
implique que l’onde qui se propage dans la fibre n’est
jamais strictement monochromatique. Toutes les compo-
santes fr´ equentielles du paquet d’onde ne se propageant pas
`
a la mˆ eme vitesse dans la fibre, un ´ elargissement tempo-
rel de l’impulsion apparaˆ ıt au cours de la propagation. Ce
ph´ enom` ene est appel´ e«dispersion intramodale »ou «dis-
persion chromatique ».
20 — La figure 3 repr´ esente le profil temporel du
champ ´ electrique scalaire E(0,t)d’un paquet d’onde
«gaussien »inject´ e` a l’entr´ ee x=0 de la fibre. L’origine
des temps est choisie telle que le centre du paquet d’onde
passe en x=0` at=0.
Repr´ esenter l’allure du profil temporel du champ ´ electrique
scalaire E(xfix´
e,t)du paquet d’onde apr`
es propagation dans
la fibre.
E(0,t)
t
FIG. 3 – Paquet gaussien
FIN DE LA PARTIE II
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Physique II, ann´ ee 2011 — fili` ere PC
III. — Ph´ enom` ene optique non lin´ eaire : effet Kerr
Quand l’amplitude du champ ´ electrique de l’onde se propageant dans le cœur de la fibre n’est plus
n´ egligeable (i. e. ≥1%) devant le champ ´ electrique intra-atomique assurant la coh´ esion de l’atome,
des ph´ enom` enes optiques non lin´ eaires peuvent apparaˆ ıtre.
21 — On rappelle que la puissance par unit´ e de surface transport´ ee dans un milieu d’indice npar
une onde plane progressive d’amplitude E0, aussi appel´ ee intensit´ e lumineuse, s’´ ecrit I=n ε
0cE2
0/2.
D´ eterminer l’ordre de grandeur de l’intensit´ e lumineuse au del` a de laquelle la propagation peut don-
ner lieu ` a des ph´ enom` enes optiques non lin´ eaires ? Quelle invention du XXesi` ecle a-t-elle permis
d’atteindre de telles puissances surfaciques ?
III.A. — Mod´ elisation microscopique
Dans cette partie, on propose une mod´ elisation microscopique des interactions lumi` ere/mati` ere per-
mettant d’expliquer l’effet Kerr optique, c’est-` a-dire l’apparition d’une variation d’indice dans le
milieu proportionnelle ` a l’intensit´ e du faisceau lumineux qui s’y propage. Le mod` ele microscopique
de l’´ electron li´ e suffit ici ` a rendre compte des propri´ et´ es essentielles que l’on cherche ` a mettre en
´
evidence. On note z(t)l’´ ecart ` a la position d’´ equilibre d’un ´ electron de masse met de charge −e.
Sous l’action de la force exerc´ ee par un champ ´ electrique ~ E=E0cos(
ω t−kx)b uzde forte puissance
polaris´ e suivant Oz, on suppose que l’´ electron est, par r´ eaction, soumis ` a une force de rappel compor-
tant un terme harmonique et un terme de correction anharmonique :
~
F=−m
ω
2
0z+
κ
m2 ω
3
0
¯
hz3b
uz
o` u
ω
0est la pulsation de r´
esonance de l’atome et ¯ h=h
2 π
la constante de Planck r´ eduite. Dans toute
cette partie, on suppose que la pulsation de l’onde incidente est diff´ erente de la pulsation de r´ esonance
du syst` eme mais suffisament proche de celle-ci soit
ω 6= ω
0mais
ω ≃ ω
0. On note ´
egalement :
•Nle nombre d’atomes par unit´ e de volume
• χ
L=Ω2
ω
2
0−
ω
2la susceptibilit´
e lin´ eaire, avec Ω2=Ne2
ε
0m
•nL=√1+
χ
Ll’indice du milieu «lin´
eaire »
•
ξ = κω
3
0
( ω
2
0−
ω
2)3
(eE0)2
m¯ h
22 — Quelle est la dimension du coefficient κ traduisant l’importance du ph´ enom` ene non lin´ eaire ?
23 — ´ Etablir l’´ equation v´ erifi´ ee par la fonction z(t).
Pour r´ esoudre cette ´ equation, on utilise un d´ eveloppement perturbatif aux diff´ erentes puissances de
κ . On pose alors z(t) = z0(t) + κ z1(t)avec z0(t)solution de l’´ equation diff´ erentielle lin´ eaire obtenue
pour κ =0, et z1(t)perturbation obtenue en ne conservant dans l’´ equation diff´ erentielle que les termes
du premier ordre en κ .
24 — D´ eterminer l’expression de z0(t).
25 — D´ eterminer l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi´ ee par z1(t). On admettra que si ω est suffisament
proche de ω
0la solution de cette ´
equation s’´ ecrit
z1(t)≃ −
ξ
4 κ
eE0
m3
ω
2
0−
ω
2cos(
ω t−kx) + 1
ω
2
0−9
ω
2cos[3(
ω t−kx)]
Quelle est l’origine math´ ematique du terme en cos(3( ω t−kx)) contenu dans cette solution ?
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