Un résultat de convergence des algorithmes parallèles asynchrones

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Un résultat de convergence des algorithmes
parallèles asynchrones
Application aux opérateurs maximaux fortement
monotones
Abdenasser BENAHMED
Université Mohamed 1er
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
et Informatique

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Plan
Problème
Méthodes directes / itératives pour le calcul numérique
Algorithmes itératifs synchrones
Algorithmes itératifs asynchrones
L’algorithme général
Résultats de convergence
Notre résultat
Application aux opérateurs monotones
Cas spéciaux
Conclusion

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Problème
La modélisation de beaucoup de phénomènes conduit à la résolution
d’une équation du type
f(x) = 0 , x E(1)
Eespace vectoriel
Équation qu’on peut écrire sous la forme
x = F(x) , x E(2)
Les solutions de (2) sont appelés points fixes de F
E = Rn

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Méthodes directes / itératives pour
le calcul numérique
Méthodes directes :
calculent la solution exacte en un nombre fini d’étapes
gourmandes en mémoire (dimension n => stockage n3)
Méthodes itératives (séquentielles) :
évaluent la solution par approximations successives : xp+1 = F(xp)
moins gourmandes en mémoire
plus facilement parallélisable
Exemple de 2 processeurs expliquant le déroulement des algorithmes
parallèles synchrones et asynchrones

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Algorithmes itératifs synchrones
Les processeurs commencent la même itération au même moment
Les échanges de données sont réalisées à la fin d'une itération
Beaucoup de temps morts entre les itérations (périodes d’inactivité)
Dégrade considérablement les performances des algorithmes parallèles
xip+1 = Fi (x1p,x2p) i=1,2
1
1
Processeur 1
Processeur 2
temps
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6x1
x2
phases de calcul phases de communication
et d'attente