Mathématiques Nom /prénom Examen de fin de période I 9 décembre 2016 5TQF / H Compétences évaluées : Acquérir | | Appliquer | | Transférer | | Lorsqu’on lance un objet vers le haut : - plus on lance « fort », c’est-à-dire plus la vitesse de lancement est grande, plus l’objet monte haut. L’objet monte de moins en moins vite, s’arrête, et ensuite retombe, de plus en plus vite. On sait que la hauteur, exprimée en mètres, en fonction du temps, exprimé en secondes, répond à la loi hauteur au temps t = -5 x (temps)² + vitesse x temps + hauteur initiale. En abrégé : h(t) = -5.t²+v.t + h0. (en langage mathématique pur : y = -5x² + b.x + c) Avec : - h(t) t v0 h0 = hauteur après t secondes = temps en secondes = vitesse initiale de lancement = hauteur initiale (y) (x) (b) (c ) NB a vaut -5 Une boule de billard est lancée vers le haut depuis le toit d’un immeuble d’une hauteur de 100 mètres, avec une vitesse verticale de 40 mètres par seconde. Calculez la hauteur de la boule toutes les secondes durant les 10 secondes qui suivent le lancer. Consignez ces valeurs dans le tableau à double entrée ci-dessous. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Temps(s) Hauteur (m) 100 Détail du calcul -5 . 0² + 40 . 0 + 100 = 100 1 Mathématiques Nom /prénom Examen de fin de période I 9 décembre 2016 5TQF / H Dessinez un graphique qui montre comment évolue la hauteur en fonction du temps écoulé. 450 400 350 Hauteur (mètres) 300 250 200 150 100 50 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Temps (secondes) Par « curiosité », calculez quelques hauteurs dénuées de sens réel, pour des temps négatifs (-1, -2, 3, -4 secondes), et reportez-les dans une autre couleur sur le graphique. Faites de même pour t =11 secondes et t = 12 secondes. Temps(s) -4 -3 -2 -1 Hauteur (m) -140 Détail du calcul -5 x -4² + 40 x -4 + 100 = -140 Temps(s) 11 12 Hauteur (m) Détail du calcul 2 Mathématiques Nom /prénom Examen de fin de période I 9 décembre 2016 5TQF / H Répondez à ces quelques questions, en analysant le graphique - Quelle est la hauteur maximale atteinte par la boule ? - Après combien de temps la boule atteint-elle cette hauteur maximale ? - Après combien de temps la boule retombe-t-elle au sol, c’est-à-dire sa hauteur est-elle de zéro mètre(s) ? - Quel est le type de fonction que représente « hauteur en fonction de temps écoulé » ? - Calculez la valeur « b²-4.a.c, en n’ayant pas perdu de vue que b = 40, a = -5 et c = 100, et appelons cette valeur « ρ », ou rho, ou « déterminant ». rho = <inscrire ici votre réponse> - Calculez maintenant les deux valeurs t1 = t2 = 𝑡1 = −𝑏−√rho 2𝑎 et 𝑡2 = −𝑏+√rho 2𝑎 <votre réponse> <votre réponse> En observant le tableau des valeurs et le graphique : en quoi ces valeurs sont-elles particulières ? Sans repasser par tout le développement ci-dessus, calculez la durée de chute d’un objet lancé vers le haut du haut depuis la tour Eiffel (h0 = 300m) à la vitesse initiale de 50 mètres par seconde. . . 3