correctiondesDSTsemainedu12au16decembre2016

DST13 classe 1S1 date 14122016
Attention: les corrections sont dans une police très
claire afin que vous fassiez l'effort de réfléchir avant
de regarder la correction
1/ En exploitant les carreaux de votre feuille, tracer un petit repère orthonormé et des droites
ayant les pentes suivantes :
-0.25 ; Z/3 ; -Z/(Z+1) ; 7/Z ; -Z/Z+1
Tout le monde a réussi sauf 2 élèves (qui ont fait des droites qui montent pour une pente de 8/7 par exemple)
2/ A main levée, dessiner une fonction f définie sur [-3,3], dont la dérivée f ‘ est définie sur
]-3,3[.
Dessiner aussi f ‘. De plus, f ne doit contenir aucun segment de droite et on doit avoir
f '(0) = (Z-3)/ (Z+1)
Exercice de dessin, difficile d'en donner une correction car plein de dessins sont acceptables
3/ Courbe de f ci-contre :
f ’(Z) = ?
antécédent(s) de Z/5 par
f’?
4/ soit u une suite
géométrique de raison q
positive.
De plus, u(0) non nul et
u(2)-2u(1)-3u(0) =0
Trouver q
3/ Tout dépend de votre Z, personnellement je lis graphiquement environ:
f'(3.5) = -1, f'(8) = 0.3, f'(11) = 0, f'(5)=2, etc
Voyez si vous êtes d'accord. Si oui, pas de souci, vous "avez compris"
4/ u(1) = u(0) fois q et u(2) = u(0) fois q fois q donc (CLG) :
q² u(0) -2qu(0) – 3u(0) = (q²-2q-3) fois u(0). Or ce nombre est nul et u(0) ne l'est pas donc q²
- 2q – 3 =0 donc (Second degré) q est dans { machin; truc } et comme q est positif donc q=truc.
DST13 classe 1S1 date 14122016
1/ En exploitant les carreaux de votre feuille, tracer un petit repère orthonormé et des droites
ayant les pentes suivantes :
-0.25 ; Z/3 ; -Z/(Z+1) ; 7/Z ; -Z/Z+1
Tous les 1ES ont réussi, je n'ai pas encore lu vos copies
2/ A main levée, dessiner une fonction f définie sur [-1,1], dont la dérivée f ‘ est définie sur
]-1,1[.
Dessiner aussi f ‘. De plus, f ' ne doit contenir aucun segment de droite et on doit avoir
f '(0) = 3/8.
Idem
3/ Quelle est la pente de la droite passant par les points (3,8) et (-8,9) ?
Programme de seconde : la pente demandée est ( (Z+1)-Z) /((-Z) – 3) = simplification collège
4/ Soit g la fonction définie sur IR telle que pour tout nombres x : g(x) = 10-7x-3x². Soit f une
fonction définie sur IR telle que la dérivée de f est g. Faire le tableau de variation de f.
g(x) = (-3)x² + (-7)x + 10
Le chapitre du second degré dit que le signe de g est le suivant :
x
-10/3
1
g(x)
0
+
0
Donc f est strdécroiss sur ]-infini, -10/3], strcroiss sur [-10/3,1] et strdécroiss sur [1,+infini[
5/ Résoudre [ (|x|+1)² - 17(|x|+1) + 70 = 0 ; inconnue x]
L’ensemble des solutions de
[y²-17y+70=0 ;inc y] est {7 ;10}
L’ensemble des nombres x tels que |x|+1 est dans {7 ;10} est {6 ;-6 ;9 ;-9}
6/ Soit u une suite géométrique de raison w. On suppose que w7 = 3 et que u3 = w. Qui est u9 ?
u(9) = u(3) fois w à la puissance 6 = w fois w à la puissance 6 = w à la puissance 7 = 3
Défi (16 de moyenne garantie au trimestre2 si réussite complète).
Jusqu’à la fin de la seconde, l’ensemble IR est pour vous juste un ensemble de nombres muni
d’un ordre total (ie deux nombres quelconques sont toujours comparables). Mais pas tellement
plus. L’ensemble des entiers naturels est lui aussi une notion première. En Terminale vous
aurez à « admettre » (le plus souvent) des propriétés réputées nouvelles. En fait, il n’en est rien,
les admis de la classe de première sont suffisant pour prouver ces propriétés. Les questions
suivantes, vous y guident.
a/ Soit A un ensemble inclus dans IN, contenant 0 et tel que pour tout entier n : si n est dans A
alors n+1 aussi est dans A. En définissant une suite adéquate et en prouvant qu’elle est
arithmétique, justifier à l’aide du cours de première que A = IN.
Soit B l'ensemble des entiers naturels n tels que tout nombre entier compris entre 0 et n inclus
est dans A. La suite u telle que pour tout entier n:
u(n) = if n dans B then 0 else 1 est une suite arithmétique de raison 0 d'après la consigne. Le
cours dit qu'alors pour tout entier n: u(n) = u(0) + n fois 0=u(n). Donc pour tout entier n:
u(n)=0 donc B=IN donc A=IN
b/ Soit A un ensemble inclus dans IR qui contient 0, mais ne contient pas 2. De plus, pour tous
nombres x,y dans [0,2] si x est dans A et x>y alors y aussi est dans A. En utilisant les théorèmes
qui relient variation de fonction au signe de sa dérivée prouver qu’il existe un nombre réel w
tel que A=[0,w] ou A = [0,w[
DST13 seconde3 13122016
1/ 35 skieurs ; 46 nageurs, 15 pratiquent les 2 sports et 18 n'en pratiquent aucun. Combien
de personnes en tout?
Oral : Lauriane <<virons des 35 skieurs les 15 qui nagent. Il nous reste 20 skieurs ne nageant
pas. 31 personnes nagent sans skier. Finalement, moi, Lauriane, j’ajoute les 20 qui ne font
que du ski, les 31 qui ne font que de la nage, les 15 pratiquant les deux sports et les 18 non
sportifs. En tout, il y a 84 individus>>
Skieurs
Non skieurs
total
nageurs
15
?
46
Non nageurs
?
18
?
total
35
?
?
On déduit les << ?>> et trouve 84 personnes en tout
2/ Trois fois plus de femmes que d'hommes, 50% de personnes à faire du sport dans la
population totale. La proportion des hommes sportifs parmi les hommes est deux fois plus
élevée que celle des femmes sportives parmi les femmes. Quelle est la proportion des femmes
sportives parmi les femmes?
Exercice d'école primaire, mais il faut se rappeler ce que veut dire proportion. J'abrège
comme suit:
a:=nombre de femmes
b:=nombre d'hommes
c:=nombre de femmes sportives
d:=nombre d'hommes sportifs
C'est ici qu'il faut connaitre le vocabulaire et faire la traduction: la consigne dit que a=3b et
a+b = 2 fois (c+d) et (d/b) = 2 fois (c/a) et elle demande d'en déduire le nombre (c/a). La suite
est du collège, pas de connaissances "savantes" à utiliser.
J'écris en jaune pour que vous fassiez l'effort de ne pas lire!!! Mais plutôt trouver vousmêmes. On déduit de la consigne que
4b = 3b+b = 2c+2d, donc 4b = 2c+2d
d/(3b) = 2 fois (c / b) = (2c) / b donc d / (3b) = 6c / (3b) donc d = 6c
donc 4b = 2c + 2 fois 6c = 14c
donc 12b = 42c
donc 4 fois 3b = 42c
donc 4a = 42c
donc 4 = 42c/a = 42(c/a)
donc c/a = 4/42
3/ Dessiner une fonction dont l'ensemble de définition est
[-1, 2] union [3,Z] union [Z+1,Z+2]
Rappelez-vous par exemple que votre courbe ne doit contenir aucun point qui a comme
abscisse 2.5 car 2.5 n'est pas dans [-1, 2] union [3,Z] union [Z+1,Z+2]. Beaucoup ont raté
cet exercice!
4/ 80 skieurs, 50 qui ne nagent pas, 90+24 personnes en tout, dont 8 ne font ni ski, ni nage.
Combien de nageurs skient?
Un tableau à double entrée (ou une patience d'écolier pas encore blasé de CM1) plie la
question.
5/ Soit f la fonction telle que pour tout nombre x: f(x) = 70 - 3 (x²-Z²)². Trouver 2 nombres
où f atteint son maximum.
f(x) ne peut pas dépasser 70 (c'est 70 moins un nombre positif). Or f(Z)=f(-Z)=70, donc f
atteint son maximum en Z, ainsi qu'en -Z
6/ Soit F un ensemble fini ne contenant pas le nombre 3, contenant 50+Z éléments, dont tous
les éléments sont dans [1,Z]. 30 éléments de F sont dans [1,3[. 25 élements de F sont dans
[2,Z]. Combien l'intervalle [2,3] contient-il d'éléments qui sont dans F?
Déjà corrigé en classe avant le DST
7/ 27 personnes pratiquent les sports ski et nage. 43 personnes en pratiquent au moins un
des deux. Peut-on déduire de ces seules informations le nombre qu'on obtient en
additionnant le total des nageurs et le total des skieurs.
Nageurs
Non nageurs
Skieurs
27
Y
27+Y
Non skieurs
X
Z
?
27+X
?
?
Nommons X:=nombre de nageurs qui ne skient pas
et
Y:=nombre de skieurs qui ne nagent pas
et
Z:= nombre de gens qui ne pratiquent ni ski ni nage. La consigne dit:
X+27+Y = 43
(X+27)+(Y+27) = (X+27+Y)+27 = 43+27 = 70
Vous savez depuis le CE1 que (a+b)+(c+d) = (a+b+c)+d
Donc nombre de skieurs + nombre de nageurs = 70