correction de sujet bac STI g\351nie \351lectronique g\351nie

correction de sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2008 - terminale
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BAC TECHNOLOGIQUE - SCIENCES ET TECHNOLOGIES
INDUSTRIELLES
GÉNIE ELECTRONIQUE - GÉNIE ELECTROTECHNIQUE - GÉNIE
OPTIQUE
POLYNÉSIE FRANÇAISE - SESSION 2008
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. (Circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les 2 exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation
des copies.
Le formulaire officiel et une feuille de papier millimétré sont distribués avec le sujet.
EXERCICE 1 (6 POINTS )
Le plan complexe est muni du repère orthonormal
d'unité graphique 2 cm.
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue z : z² + 2z + 2 = 0.
2. Soient A et C deux points du plan complexe, d'affixes respectives : zA = -1 + i et zC =
a) Déterminer le module de zA et le module de zC.
b) Donner un argument de zA.
3. a) On pose
Démontrer que
b) Démontrer que
c) En déduire que le point C est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle
(en radian).
d) Placer le point A puis construire le point C en utilisant le résultat de la question précédente. Décrire la construction. Toute rédaction, même
partielle, sera prise en compte dans l'évaluation.
4. Soit B l'image du point O par la translation de vecteur
.
Constuire le point B et démontrer que OCAB est un losange.
EXERCICE 2 (4 POINTS )
Un professeur d'une classe de terminale S.T.I. donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et propose deux réponses par question :
l'une juste et l'autre fausse.
On désignera par J une réponse juste et par F une réponse fausse.
On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse. A chaque élève, on associe le résultat
de son interrogation, sous la forme d'un triplet constitué des réponses données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la
première, faux à la deuxième et à la troisième, on lui associera le résultat (J, F, F).
I. Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
II. On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendante pour chacune d'elles. Le professeur fait l'hypothèse
d'équiprobabilité des résultats.
1. Démontrer que la probabilité de l'évènement A "le résultat contient exactement une réponse juste" est égale à .
2. Déterminer la probabilité de l'évènement B "le résultat contient au moins une réponse juste".
3. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et 0 pour une réponse fausse.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève.
a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?
b) Donner la loi de probabilité de X.
c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.
4. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,25 point pour une
réponse fausse.
Si le total des points ainsi obtenu est négatif, la note attribuée est 0.
On appelle Y la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. Calculer l'espérance mathématiques E(Y) de Y.
PROBLÈME (10 POINTS )
Partie A - Etude de la représentation graphique d'une fonction
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On donne, ci-dessous, la représentation graphique
d'une fonction
, définie et dérivable sur l'ensemble
des nombres réels.
d'unités graphiques 1,5 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
Le plan est muni d'un repère orthogonal
La courbe
admet une tangente horizontale au point d'abscisse ln 2.
La droite d'équation y = 6 est asymptote horizontale à la courbe
en
.
La courbe
admet une tangente de coefficient directeur -2 au point A(0 ; 3).
Par lecture graphique et en utilisant les informations ci-dessus, répondre aux questions suivantes :
(ln 2) et
1. Quelles sont les valeurs
2. Déterminer, en le justifiant,
3. Quelle est la limite de
(0) ?
(ln 2) et
en
(0).
?
Partie B - Etude de la fonction
On admettra maintenant que est la fonction définie sur par :
et on se propose dans cette partie de retrouver par le calcul les résultats obtenus graphiquement dans la partie A.
:
1. Vérifier que pour tout nombre réel
2. Calculer
.
(ln 2).
3. a) Déterminer la limite de en
b) Quelle propriété de la courbe
4. Déterminer la limite de
en
.
présentée dans la partie A, est ainsi confirmée ?
5. a) Déterminer la fonction dérivée
de la fonction
b) Résoudre sur
l'équation
.
c) Résoudre sur
l'équation
.
d) En déduire sur , le tableau de signe de
Dresser le tableau de variations de la fonction
6. Montrer que l'équation
donnée en B.1..
en utilisant l'expression de
et vérifier que pour tout nombre réél
,
, puis les variations de la fonction .
. Indiquer la valeur exacte de (ln 2) et les limites trouvées en B.3.a) et B.4..
admet une unique solution
sur
à 10-1 près.
. Donner, en le justifiant un encadrement de
Partie C - Calcul d'une aire
1. Montrer que la fonction F définie sur
par :
2. Hachurer sur la figure la partie du plan comprise entre la courbe
3. Soit
est une primitive de la fonction
sur
, l'axe des abscisses et les droites d'équation
l'aire en cm² de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de
.
et
.
, puis en donner une valeur arrondie au centième.
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EXERCICE 1
1. Résolution de l'équation du 2nd degré
Calcul du discriminant :
Donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
Ensemble des solutions :
2. a) Calcul du module de
Calcul du module de
2. b) Soit
un argument du nombre complexe
.
est tel que :
Donc
3. a) Détermination de la forme algébrique de Z
3. b) Démontrons que
Donc :
3. c) On a :
donc
donc
Donc C est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle
.
3. d) Méthode de construction
On place le point A de coordonnées (-1 ; 1) car
.
On trace le cercle de centre O passant par A ; ce cercle a pour rayon
On sait que
car
.
et que C est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle
; on en déduit que le triangle OAC est équilatéral.
On obtient donc le point C à l'aide d'un compas en traçant le triangle équilatéral OAC.
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4. Le point B est l'image de O par la translation de vecteur
donc
donc OCAB est un parallélogramme.
De plus, on a OA = OC ; or un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de mêmes longueurs est un losange.
Donc OCAB est un losange.
EXERCICE 2
I. En utilisant un arbre, on dénombre 8 résultats possibles :
(J ; J ; J) (J ; J ; F) (J ; F ; J) (J ; F ; F) (F ; J ; J) (F ; J ; F) (F ; F ; J) (F ; F ; F)
II. 1. Sur les 8 résultats possibles, on en dénombre 3 dans lesquels il y a une seule réponse juste : (J ; F ; F) (F ; J ; F) (F ; F ; J), donc :
II. 2. Le contraire de "Avoir au moins une réponse juste" est "Avoir les 3 réponses fausses", ce qui correspond au seul résultat (F ; F ; F), donc
et
:
II. 3. a) Avec cette méthode de notation, la note peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. Donc :
II. 3. b) On associe à chaque valeur possible pour X la probabilité correspondante :
0
1
2
3
II. 3. c) Calcul de l'espérance mathématique
Donc, sur un grand nombre de copies, la moyenne avec une telle notation est de 1,5.
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II. 4. Avec cette autre méthode de notation, la note peut prendre les valeurs :
- pour 3 réponses justes : 3
- pour 2 réponses justes et 1 réponse fausse :
- pour 1 réponse juste et 2 réponses fausses :
- pour 3 réponses fausses : 0
On obtient alors pour la loi de probabilité :
0
0,5
1,75
3
Calcul de l'espérance mathématique :
PROBLÈME
Partie A
1. La courbe passe par le point de coordonnées
donc
La courbe passe par le point de coordonnées
.
donc
.
donc
.
La courbe admet une tangente de coefficient directeur -2 d'abscisse 0 donc
.
2. La courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse
3. La courbe admet une asymptote horizontale d'équation
en
donc
.
Partie B
1. On développe :
Donc :
2. Calcul de
3. a) Calcul de la limite en
On a :
donc :
3. b) Le calcul de cette limite prouve l'existence de l'asymptote horizontale à la courbe d'équation
en
.
4. Calcul de la limite en
On a :
donc :
5. a) Calcul de la dérivée (on utilise
donc
)
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5. b) Résolution de
Pour tout réel
, on a
donc :
5. c) Résolution de
Pour tout réel , on a
donc :
5. d) Signe de
et variations de
6. Démontrons que l'équation
admet une solution unique sur
- la fonction est dérivable sur
;
- la fonction est strictement croissante sur
;
et
- 7 est compris entre
;
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
admet une solution unique sur
L'équation
n'admet pas de solution sur
car est dérivable et strictement décroissante sur
n'appartient pas à l'intervalle [2 ; 6].
admet une unique solution sur .
En conclusion, l'équation
Encadrement de la solution
.
de 6 à 2, et 7
donc
donc
Partie C
1. Calcul de la dérivée de F
On a pour tout réel
:
donc F est une primitive de
sur
.
2. Voir courbe ci-dessous.
3. Calcul de l'intégrale de la fonction
sur l'intervalle [0 ; 1]
La fonction étant positive sur [0 ; 1], l'aire du domaine hachuré est donné par :
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