correction de sujet bac STI g\351nie \351lectronique g\351nie

correction de sujet bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique, Polynésie Française 2008 - terminale
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B AC T ECHNOLOGIQUE - S CIENCES ET T ECHNOLOGIES
I NDUSTRIELLES
G ÉNIE E LECTRONIQUE - G ÉNIE E LECTROTECHNIQUE - G ÉNIE
O PTIQUE
P OLYNÉSIE F RANÇAISE - S ESSION 2008
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. (Circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les 2 exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation
des copies.
Le formulaire officiel et une feuille de papier millimétré sont distribués avec le sujet.
E XERCICE 1 (6 POINTS )
Le plan complexe est muni du repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue z : z² + 2z + 2 = 0.
2. Soient A et C deux points du plan complexe, d'affixes respectives : z
A
= -1 + i et z
C
=
a) Déterminer le module de z
A
et le module de z
C
.
b) Donner un argument de z
A
.
3. a) On pose Démontrer que
b) Démontrer que
c) En déduire que le point C est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle (en radian).
d) Placer le point A puis construire le point C en utilisant le résultat de la question précédente. Décrire la construction. Toute rédaction, même
partielle, sera prise en compte dans l'évaluation.
4. Soit B l'image du point O par la translation de vecteur .
Constuire le point B et démontrer que OCAB est un losange.
E XERCICE 2 (4 POINTS )
Un professeur d'une classe de terminale S.T.I. donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et propose deux réponses par question :
l'une juste et l'autre fausse.
On désignera par J une réponse juste et par F une réponse fausse.
On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse. A chaque élève, on associe le résultat
de son interrogation, sous la forme d'un triplet constitué des réponses données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la
première, faux à la deuxième et à la troisième, on lui associera le résultat (J, F, F).
I. Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
II. On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendante pour chacune d'elles. Le professeur fait l'hypothèse
d'équiprobabilité des résultats.
1. Démontrer que la probabilité de l'évènement A "le résultat contient exactement une réponse juste" est égale à .
2. Déterminer la probabilité de l'évènement B "le résultat contient au moins une réponse juste".
3. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et 0 pour une réponse fausse.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève.
a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?
b) Donner la loi de probabilité de X.
c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.
4. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,25 point pour une
réponse fausse.
Si le total des points ainsi obtenu est négatif, la note attribuée est 0.
On appelle Y la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. Calculer l'espérance mathématiques E(Y) de Y.
P ROBLÈME (10 POINTS )
Partie A - Etude de la représentation graphique d'une fonction

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On donne, ci-dessous, la représentation graphique d'une fonction , définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
Le plan est muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 1,5 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
La courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse ln 2.
La droite d'équation y = 6 est asymptote horizontale à la courbe en .
La courbe admet une tangente de coefficient directeur -2 au point A(0 ; 3).
Par lecture graphique et en utilisant les informations ci-dessus, répondre aux questions suivantes :
1. Quelles sont les valeurs (ln 2) et (0) ?
2. Déterminer, en le justifiant, (ln 2) et (0).
3. Quelle est la limite de en ?
Partie B - Etude de la fonction
On admettra maintenant que est la fonction définie sur par :
et on se propose dans cette partie de retrouver par le calcul les résultats obtenus graphiquement dans la partie A.
1. Vérifier que pour tout nombre réel : .
2. Calculer (ln 2).
3. a) Déterminer la limite de en .
b) Quelle propriété de la courbe présentée dans la partie A, est ainsi confirmée ?
4. Déterminer la limite de en en utilisant l'expression de donnée en B.1..
5. a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction et vérifier que pour tout nombre réél ,
b) Résoudre sur l'équation .
c) Résoudre sur l'équation .
d) En déduire sur , le tableau de signe de , puis les variations de la fonction .
Dresser le tableau de variations de la fonction . Indiquer la valeur exacte de (ln 2) et les limites trouvées en B.3.a) et B.4..
6. Montrer que l'équation admet une unique solution sur . Donner, en le justifiant un encadrement de à 10
-1
près.
Partie C - Calcul d'une aire
1. Montrer que la fonction F définie sur par : est une primitive de la fonction sur .
2. Hachurer sur la figure la partie du plan comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
3. Soit l'aire en cm² de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de , puis en donner une valeur arrondie au centième.

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E XERCICE 1
1. Résolution de l'équation du 2
nd
degré
Calcul du discriminant :
Donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
Ensemble des solutions :
2. a) Calcul du module de
Calcul du module de
2. b) Soit un argument du nombre complexe . est tel que :
Donc
3. a) Détermination de la forme algébrique de Z
3. b) Démontrons que
Donc :
3. c) On a : donc donc
Donc C est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle .
3. d) Méthode de construction
On place le point A de coordonnées (-1 ; 1) car .
On trace le cercle de centre O passant par A ; ce cercle a pour rayon car .
On sait que et que C est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle ; on en déduit que le triangle OAC est équilatéral.
On obtient donc le point C à l'aide d'un compas en traçant le triangle équilatéral OAC.

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4. Le point B est l'image de O par la translation de vecteur donc donc OCAB est un parallélogramme.
De plus, on a OA = OC ; or un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de mêmes longueurs est un losange.
Donc OCAB est un losange.
E XERCICE 2
I. En utilisant un arbre, on dénombre 8 résultats possibles :
(J ; J ; J) (J ; J ; F) (J ; F ; J) (J ; F ; F) (F ; J ; J) (F ; J ; F) (F ; F ; J) (F ; F ; F)
II. 1. Sur les 8 résultats possibles, on en dénombre 3 dans lesquels il y a une seule réponse juste : (J ; F ; F) (F ; J ; F) (F ; F ; J), donc :
II. 2. Le contraire de "Avoir au moins une réponse juste" est "Avoir les 3 réponses fausses", ce qui correspond au seul résultat (F ; F ; F), donc
et :
II. 3. a) Avec cette méthode de notation, la note peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. Donc :
II. 3. b) On associe à chaque valeur possible pour X la probabilité correspondante :
0 1 2 3
II. 3. c) Calcul de l'espérance mathématique
Donc, sur un grand nombre de copies, la moyenne avec une telle notation est de 1,5.

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II. 4. Avec cette autre méthode de notation, la note peut prendre les valeurs :
- pour 3 réponses justes : 3
- pour 2 réponses justes et 1 réponse fausse :
- pour 1 réponse juste et 2 réponses fausses :
- pour 3 réponses fausses : 0
On obtient alors pour la loi de probabilité :
0 0,5 1,75 3
Calcul de l'espérance mathématique :
P ROBLÈME
Partie A
1. La courbe passe par le point de coordonnées donc .
La courbe passe par le point de coordonnées donc .
2. La courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse donc .
La courbe admet une tangente de coefficient directeur -2 d'abscisse 0 donc .
3. La courbe admet une asymptote horizontale d'équation en donc .
Partie B
1. On développe :
Donc :
2. Calcul de
3. a) Calcul de la limite en
On a : donc :
3. b) Le calcul de cette limite prouve l'existence de l'asymptote horizontale à la courbe d'équation en .
4. Calcul de la limite en
On a : donc : donc
5. a) Calcul de la dérivée (on utilise )