corrigé activité 8 : grille interprétation des productions de l`adulte

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Avril 2016
Formation Mathématique-FBD
Corrigé intégrant des pistes de solutions
Rappel de l’énoncé du problème :
À vol d’avion !
Dans le but d’illustrer le concept de vitesse relative (vitesse perçue au sol) aux apprentis
pilote d’avion, les instructeurs proposent la situation suivante :
Un avion, de type Dash 8-400, quitte l’aéroport de Montréal pour l’aéroport de Gaspé avec
une vitesse aérodynamique de 467 km/h dans la direction de 36,87o nord-est.
Si l’avion maintient sa vitesse constante et est soumis à des vents de 90 km/h dans la
direction de 71,44o nord-ouest, déterminer la vitesse relative de l’avion.
Appropriation de la situation
Dans cet énoncé, la compréhension du contexte est nécessaire.
Lorsqu’un objet semble avoir un mouvement selon un premier
observateur, mais un mouvement différent selon un deuxième
observateur, on dit qu’il s’agit de mouvement relatif parce que les
observateurs font partie de systèmes de référence différents. La vitesse
vectorielle d’un objet en fonction d’un système de référence s’appelle la
vitesse vectorielle relative ou vélocité relative.
INFOS POUR L’ENSEIGNANT : Dans les avions, les navigateurs
utilisent des termes précis pour certains concepts de la vélocité
relative. La vitesse aérodynamique est la vitesse d’un avion par
rapport à l’air. La vitesse du vent est la vitesse du vent par
rapport au sol. La vitesse par rapport au sol est la vitesse de
l’avion par rapport au sol. Le cap est l’orientation de l’avion.
la
vitesse de doit
l’aviondonc
par rapport
L’adulte
comprendre que la vitesse ici cherchée est la vitesse perçue au sol.
au sol. Le cap est l’orientation de l’avion. La route est la trajectoire par rapport à la
Terre ou au sol. Sur la mer, les navigateurs utilisent de la même façon les termes «cap»
et «route».
Il peut esquisser la situation dans un plan cartésien ou non. Cette esquisse peut être à
l’échelle ou non.
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Un premier vecteur, →

par rapport à l’air.
Un second vecteur →
la terre (au sol).

pourra représenter la vitesse, le sens et la direction de l’appareil
représentera la vitesse, le sens et la direction du vent par rapport à
L’interprétation du sens du vecteur peut semer confusion. La direction «36,87o nord-est»
signifie 36,87o au nord de l’est. L’angle est donc défini à partir de l’axe des x positifs vers le
nord.
De même, la direction «71,44o nord-ouest» signifie 36,87o au nord de l’ouest.
Modélisation de la situation dans le plan cartésien et à l’aide de vecteurs
Une représentation par mise bout à bout des vecteurs a été retenue ici (triangle vectoriel). Il
serait aussi possible de proposer une représentation du parallélogramme vectoriel.
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L’adulte doit comprendre que la recherche de la vitesse relative revient à chercher le
vecteur résultant par l’addition des vecteurs → et → .


→ =→ + → .



Différentes méthodes sont alors possibles pour résoudre le problème :
 Résolution par déductions à l’aide d’une représentation vectorielle à l’échelle.
 Résolution par déductions à utilisant la trigonométrie
 Résolution par une méthode algébrique s’appuyant sur les composantes des
vecteurs.
La première n’est pas exposée dans ce corrigé. Il serait assez simple de l’appliquer en
prenant la représentation fournie ci-bas. Il suffirait de rechercher l’échelle respectée dans
la représentation, d’utiliser la règle pour mesurer le vecteur «vitesse relative» pour ensuite
lui appliquer le coefficient de proportionnalité trouvé.
Méthode par analyse de la représentation vectorielle dans le plan et déductions
Pour déterminer le vecteur vitesse relative →


:
On déduit l’angle  défini par les deux
vecteurs →

et → .

o Un raisonnement possible est de reconnaître
l’angle correspondant en P à l’angle de
36,87o. Par la suite, par angles opposés par le
sommet en P, on trouvera que
 = 36,87 o +71,44 o = 108,31 o


À l’aide de la loi des cosinus, on déduit la norme de «vitesse relative » :
o (vitesse_relative)2 = 4672+902-2(467)(90)cos(108,31)
= 218 089+8100 +26 408,13
vitesse_relative = 502,59km/h
Par observation du vecteur résultat, on identifie sens.
vitesse_relative = 502,59km/h nord-est
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
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À l’aide de la loi des cosinus, on déduit l’angle du vecteur :
902 = 4672+502,592-2(467)(502,69)cos 
=9,85 o
vitesse_relative = 502,59km/h, 46,7 o nord-est
Méthode algébrique s’appuyant sur les composantes des vecteurs.

Soit →
, le vecteur de l’appareil par rapport à l’air.

Soit →
, le vecteur du vent par rapport au sol (terre).

Définissons ces vecteurs à partir de leurs composantes :
o →
= (373,59 ; 280,26) ;



o →




= (-28,65 ; 85,32) ;
Par addition, on déduit les composantes du vecteur «vitesse_relative» :
o (373,59-28,65 ; 280,26+85,32)
o (344,94; 365,58)
En utilisant la relation de Pythagore, on déduit la norme du vecteur
«vitesse_relative» = 502,6km/h
À l’aide du rapport de la tangente, on déduit l’angle :
o Tan  =
365,58
344,94
o  = 46,66°
Vitesse_relative = 502,59km/h, 46,66° nord-est
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Grille d’interprétation des productions de l’adulte
Activité sur les vecteurs
Compétence 1 : Utiliser des stratégies de résolution de situations-problèmes
Critère 1.1 Manifestation, oralement ou par écrit, d’une compréhension adéquate de la situationproblème
Ce critère mesure la capacité de l’adulte à cerner ce qui est cherché en s’appuyant sur l’énoncé de
la question et à dégager les renseignements pertinents en tenant compte des contraintes
nécessaires au traitement mathématique de la situation.

Tient compte qu’il y trois vecteurs en jeu (vitesse de l’avion, vitesse du vent et la
vitesse relative cherchée) ;

Tient compte des directions et du sens des vecteurs vent et vitesse de l’avion ;

Interprète correctement l’angle des vecteurs en lien avec la rose des vents;

Saisit qu’il doit déterminer le vecteur vitesse relative ;

Autre.
Critère 1.2 Mobilisation de stratégies et de savoirs mathématiques appropriés à la situationproblème.
Ce critère mesure la capacité de l’adulte à utiliser des stratégies pertinentes pour sélectionner des
savoirs adéquats dans le but de résoudre le problème.

Représente à l’échelle ou non, la situation dans un plan cartésien ou non
Les vecteurs pourront être mis bout à bout ou définis sur une même origine.

Situe correctement les angles définissant la direction des vecteurs ;

S’il a représenté à l’échelle les deux vecteurs dans un plan cartésien, il définit les
composantes de vecteurs par lecture de celles-ci ;

Distingue les vecteurs en définissant des composantes différentes ;

Construis un triangle ou un parallélogramme vectoriel ;

Identifie les mesures des angles et des côtés du triangle qui sont connues et
compare ces mesures des angles et des côtés du triangle connues en vue de
déterminer un moyen permettant de trouver les mesures manquantes

Autre.
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Compétence 2 : Déployer un raisonnement mathématique
Critère 2.1 Utilisation correcte des concepts et des processus mathématiques appropriés.
Ce critère mesure la capacité de l’adulte à appliquer de façon appropriée les savoirs et habiletés
mathématiques nécessaires à la résolution du problème.
Partie 1 du critère

Si la résolution s’appuie sur une représentation vectorielle à l’échelle de la
situation
o L’échelle est déterminée.
o Une proportion est établie et permet de trouver le vecteur relatif.
ou
 Si la résolution s’appuie sur des raisonnements trigonométriques
o La mesure de l’angle entre le vecteur vitesse du vent (par rapport au sol)
et le vecteur vitesse de l’avion (dans l’air) est déduite ;
o La norme du vecteur vitesse relative est déduite à l’aide de la loi des
cosinus ;
o L’angle entre les vecteurs vitesse relative et vitesse de l’avion par rapport
à l’air est déduit à l’aide de la loi des sinus ou des cosinus
ou
 Si la résolution s’appuie sur une méthode algébrique
o Les composantes des vecteurs sont déterminées à l’aide des rapports
trigonométriques ;
o Les composantes du vecteur «vitesse relative de l’avions par rapport au
sol» sont déterminées par l’addition des composantes des deux autres
vecteurs.
o La norme du vecteur est déterminée à l’aide de la relation de Pythagore ;


La direction et le sens du vecteur vitesse relative sont déterminés soit par la
mesure de l’angle (rapporteur d’angle), soit par déduction sur les angles déjà
déduits, soit par l’application du rapport tangente des composantes du vecteur
«vitesse relative».
Autre.
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Partie 2 du critère





L’angle entre les vecteurs vitesse du vent et vitesse de l’avion est 108,31o ;
La norme du vecteur «vitesse relative» est ≈502,6 km/h
L’angle entre les vecteurs «vitesse relative» et «vitesse de l’avion par rapport à
l’air» est 9,85 o ;
La direction du vecteur «vitesse relative» est ≈46,7o nord-est ;
Les composantes des vecteurs :
→ = (373,59 ; 280,26) ;

→



= (-28,65 ; 85,32) ;
Les composantes du vecteur vitesse relatives sont (344,94; 365,58) ;
Autre.
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Critère 2.2 Mise en œuvre convenable d’un raisonnement mathématique adapté à la situation
Ce critère mesure la capacité de l’adulte à présenter une démarche cohérente avec les stratégies
utilisées et les savoirs sélectionnés, et à obtenir le bon résultat.





Résout par déductions à l’aide d’une représentation vectorielle à l’échelle.
o L’adulte reconnaît que sa représentation est une représentation réduite,
à l’échelle, de la situation représentée.
ou
Résout en utilisant la trigonométrie
o Recherche la mesure de l’angle entre le vecteur vitesse du vent (par
rapport au sol) et le vecteur vitesse de l’avion (dans l’air) ;
o Reconnaît qu’en présence d’un triangle quelconque, la loi des cosinus
permettrait de déterminer la norme du vecteur vitesse relative ;
o Reconnaît qu’en présence d’un triangle quelconque, les lois des sinus ou
des cosinus permettraient de déterminer l’angle entre les vecteurs
vitesse relative et vitesse de l’avion par rapport à l’air;
ou
Résout par une méthode algébrique s’appuyant sur les composantes des
vecteurs.
o Reconnaît que les relations trigonométriques (cosinus, sinus et
tangente) sont pertinentes pour déterminer les composantes des
vecteurs;
o Reconnait que la relation de Pythagore permettra de déterminer la
norme du vecteur «vitesse relative»;
Reconnaît qu’il doit déterminer la direction et le sens du vecteur vitesse
relative ;
Autre.
Critère 2.3 Structuration adéquate des étapes d’une démarche pertinente.
Ce critère mesure la capacité de l’adulte à présenter une démarche structurée qui respecte les
règles et les conventions mathématiques. La réponse est cohérente avec sa démarche et le contexte
de la situation-problème.

Les étapes du raisonnement sont clairement présentées ;

La présentation de la solution respecte les règles et les conventions
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mathématiques ;

L’utilisation des symboles mathématiques est appropriée ;

La réponse est cohérente avec la démarche

La réponse est formulée en tenant compte du contexte.

Autre.
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