geometrie

GEOMETRIE . LE POINT EN GEOMETRIE
I) Vous avez dit PARALLELOGRAMME
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses
côtés opposés parallèles
Propriété
1) Un parallélogramme admet un centre de symétrie
(point d'intersection des deux diagonales)
2) Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur
milieu
3) Les côtés opposés d'un parallélogramme ont même longueur
4) Les angles opposés d'un parallélogramme ont même mesure
Comment démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Un quadrilatère vérifiant l'UNE des conditions suivantes est un
parallélogramme
* Les côtés opposés sont parallèles
* Les diagonales se coupent en leur milieu
* Les côtés opposés ont la même longueur
* Les angles opposés ont même mesure
* Deux côtés opposés sont parallèles et ont même longueur
Parallélogrammes particuliers
RECTANGLE Le rectangle est :
* un parallélogramme qui a un angle droit
ou
* un paralléogramme dont les diagonales ont même longueur
LOSANGE Le losange est :
* un parall‚logramme qui a 2 côtés consécutifs de même longueur
ou
* un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires
CARRE Le carré est à la fois un rectangle et un losange
II) VOUS AVEZ DIT TRIANGLE
Droites et points remarquables du triangle
centre de gravité
* Les 3 médianes d'un triangle sont concourantes en un point
appelé centre de gravité
Ce point est 2 fois plus éloigné du sommet que du milieu du
côté opposé
Centre du cercle circonscrit
* Les médiatrices des 3 côtés d'un triangle concourent en un
point appelé centre du cercle circonscrit du triangle
Ce point est à égale distance des sommets du triangle
Centre du cercle inscrit
* Les bissectrices des 3 angles d'un triangle concourent en un
point appelé centre du cercle inscrit
Ce point est à égale distance des côtés du triangle , le cercle
est tangent à chacun des 3 côtés
Orthocentre
* Les 3 hauteurs d'un triangle concourent en un point appelé
orthocentre
Angles d'un triangle
* La somme des angles d'un triangle est égale à 180°
Théorème des milieux
(1) (permet de prouver que 2 droites sont parallèles et comparer des
longueurs)

* La droite qui passe par les milieux de deux côtés d'un triangle est
parallèle au troisième côté
* Le segment qui joint les milieux de 2 côtés a pour longueur
la moitié du troisième côté
(2) (permet de prouver qu'un point est le milieu d'un segment)
* La droite passant par le milieu d'un côté d'un triangle et qui est
parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu
Triangles particuliers
Triangle isocèle : Dans un triangle isocèle en A , l'axe de
symétrie passant par A est à la fois bissectrice , hauteur ,
médiane et médiatrice
* angles : 2 angles égaux
Triangle équilatéral : Dans un triangle équilatéral le centre de gravité ,
l'orthocentre , le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle
inscrit sont confondus en 1 seul point
Le rayon du cercle inscrit vaut la moitié de celui du cercle
circonscrit
angles : 3 angles égaux (60°)
Triangle rectangle : Dans un triangle rectangle , le milieu de
l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit
Si un côté d'un triangle est le diamètre de son cercle
circonscrit alors ce triangle est rectangle
angles : 1 angle droit ou 2 angles complémentaires
(complémentaires : la somme vaut 90°)
Propriétés caractéristiques aux triangles rectangles
Si une des propriétés suivantes est vérifiée elles le sont toutes
1) Le triangle ABC est rectangle en A
2) La m‚diane (AI) est telle que AI = BC/2
3) Le milieu I de
BC
est le centre du cercle circonscrit
4) Le côté
BC
est le diamètre du cercle circonscrit
Théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A
alors
BC AB AC
2 2 2
Réciproque de Pythagore
Si
BC AB AC
2 2 2
alors le triangle est rectangle en A
côté adjacent à (â)
Cosinus dans le triangle rectangle cos(a) = ------------------
hypoténuse
III) Vous avez dit cercle
Longueur et Aire
Le périmètre d'un cercle de rayon R est
2R
L'aire d'un disque de rayon R est
R2
La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle au centre qui
l'intercepte
Médiatrice et axe de symétrie
Soient A et B 2 points du cercle , la médiatrice de
AB
est axe de
symétrie de la figure
Soient T1 et T2 deux tangentes au cercle en A et B et I

l'intersection de T1 et T2 et O le centre du cercle alors (OI)
est axe de symétrie pour la figure : IA = IB et AIO = BIO
IV) Vous avez dit lieux géométriques , projection
1) Ensemble de points à égale distance
** de deux points A et B
La médiatrice de
AB
** de deux droites parallèles
L'axe médian des parallèles
** de deux demi-droites
La bissectrice des demi-droites
** de 3 sommets d'un triangle
Error!
** des 3 côtés d'un triangle
Error!
2) Ensemble de points M tels que AM = R , R donné
Le cercle de centre A et de rayon R
3) Ensemble de points M tels que AM < R , R donné
Le disque de centre A et de rayon R
4) Ensemble de points M tel que MA<MB ou MA>MB
la médiatrice de
AB
coupe le plan en 2 demi plans
MA<MB : le demi plan contenant A
MA>MB : le demi plan contenant B