Mouvement d`une particule chargée

Mouvement)d’une)particule)chargée)
)
Exercice)1):)Accélération)d’une)particule)par)une)différence)de)potentiel)
Une$particule$de$charge$𝑞,$de$masse$𝑚,$de$vitesse$initiale$nulle,$est$accélérée$par$une$différence$de$
potentiel$ 𝑉
!$établie$ entre$ deux$ grilles$ planes$ parallèles$ distantes$ de$ 𝐿=5$cm.$ Le$ potentiel$ est$
supposé$varier$linéairement$sur$cette$distance$𝐿.$
1) Calculer$la$vitesse$𝑣$de$la$particule$au$moment$de$son$passage$à$travers$la$deuxième$grille.$
2) Quels$ sont$ les$ signes$ respectifs$ possibles$ de$ 𝑞$et$ 𝑉
!!pour$ que$ la$ particule$ soit$ effectivement$
accélérée$?$
3) En$déduire$la$durée$𝜏$du$trajet$entre$les$deux$grilles.$
4) Calculer$𝑣$et$𝜏$dans$les$deux$cas$suivants$:$
a)$électron$accéléré$par$𝑉
!=100$V$
b)$proton$accéléré$par$𝑉
!=−3!000$V$
Correction):)
1) Système*:*particule*de*charge*𝑞*et*de*masse*𝑚*
Référentiel*:*référentiel* ℛ*galiléen*
Bilan*des*forces*:*<*poids*:*𝑃=𝑚𝑔*(négligé)*
*<*force*de*Lorentz*:*𝐹=𝑞𝐸*associée*à*une*énergie*potentielle*𝐸!=𝑞𝑉)
Le* système* est* donc* conservatif* puisque* la* seule* force* qui* s’applique* sur* le* système* est*
conservative*(puisqu’associée*à*une*énergie*potentielle).*
Le*théorème*de*l’énergie*mécanique*s’écrit*donc*:*
∆𝐸!𝑀=𝑊𝐹
!" =0*
⇔!𝐸!0=𝐸!𝐿*
⇔!0=
1
2
𝑚𝑣!+𝑞𝑉
!*
⇔!!𝑣=
−2𝑞𝑉
!
𝑚*
2) Pour*que*la*particule*soit*accélérée,*le*produit*𝑞𝑉
!*doit*donc*être*négatif.*
3) Le*potentiel*variant*linéairement*entre*les*deux*grilles,*on*peut*écrire*:*
A*l’abscisse*𝑥,*la*vitesse*de*la*particule*vaut*donc*:*
𝑣=
𝑑𝑥
𝑑𝑡 =
−2𝑞𝑉
!𝑥
𝑚𝐿
!*
⇔!!
𝑑𝑥
𝑥
=
−2𝑞𝑉
!
𝑚𝐿
!𝑑𝑡*

En*intégrant*cette*équation,*il*vient*:*
𝑑𝑥
𝑥
!
!
=
−2𝑞𝑉
!
𝑚𝐿
𝑑𝑡
!
!
*
⇔2𝐿=
−2𝑞𝑉
!
𝑚𝐿
𝜏*
⇔2!𝐿=
−𝑞𝑉
!
𝑚
𝜏*
⇔𝜏=
−2𝑚
𝑞𝑉
!
𝐿*
4) a)*Cas*de*l’électron*
𝑣=5,9.10!!m.s!!!!!𝑒𝑡!!!𝜏=!8,4.10!!!s*
b)*Cas*du*proton*:*
𝑣=1,2.10!!m.s!!!!!𝑒𝑡!!!𝜏=!4,2.10!!!s*
Exercice)2):)Accélération)et)déflexion)d’un)électron) )
On$étudie$le$mouvement$d’une$particule$chargée,$émise$sans$vitesse$initiale$du$point$𝑂,$sous$l’effet$
d’un$champ$électrique$uniforme$et$stationnaire$par$morceaux.$
On$ décrit$ le$ mouvement$ de$ la$ particule$ par$ rapport$ à$ un$ référentiel$ galiléen$ ℛ,$ lié$ au$ repère$
d’espace$ 𝑂,𝑒!,𝑒!,𝑒!.$
Le$ champ$ électrique$ uniforme$ et$ stationnaire$ par$ morceaux$ est$ créé$ par$ une$ paire$ de$ plaques$
parallèles$et$orthogonales$à$𝑒!$et$par$une$autre$paire$de$plaques$parallèles$et$orthogonales$à$𝑒!.$(cf.$
figure).$On$admet$que$le$champ$électrique$peut$être$considéré$comme$uniforme$entre$chaque$paire$
de$plaques$et$nul$partout$ailleurs.$
$
La$particule$est$un$électron$de$charge$𝑞=−𝑒$et$de$masse$𝑚.!
1) Quels$doivent$être$les$signes$des$tensions$𝑈!$et$𝑈!$entre$les$paires$de$plaques$pour$que$:$
N l’électron$soit$accéléré$par$la$première$paire$de$plaque$?$
N l’électron$soit$dévié$vers$les$𝑧>0$par$la$seconde$paire$de$plaques$?$

On$supposera$ces$conditions$réalisées$dans$la$suite.$
2) Déterminer$la$vitesse$𝑣!$de$l’électron$quand$celuiNci$sort$de$la$première$paire$de$plaques.$$
3) Les$plaques$de$la$seconde$paire$sont$distantes$de$𝑑.$
a) Déterminer$les$expressions$de$𝑥(𝑡)$et$𝑧(𝑡)$quand$l’électron$se$trouve$entre$les$plaques$de$la$
seconde$paire.$
b) Déterminer$ le$ temps$ 𝜏$au$ bout$ duquel$ l’électron$ sort$ de$ la$ seconde$ paire$ de$ plaques,$ de$
longueur$𝐿.$
c) En$déduire$alors$la$position$et$la$direction$de$son$vecteur$vitesse.$
d) Quelle$est$la$trajectoire$ultérieure$de$l’électron.$Déterminer$en$particulier$l’ordonnée$𝑧!$du$
point$ d’impact$ sur$ un$ écran$ placé$ à$ une$ distance$ 𝐷$de$ la$ sortie$ de$ la$ seconde$ paire$ de$
plaques.$Les$caractéristiques$de$la$particule$chargée$importentNelles$?$
Correction):)
1) Système*:*électron*de*charge*𝑞=−𝑒*et*de*masse*𝑚*
Référentiel*:*référentiel* ℛ*galiléen*
Bilan*des*forces*:*<*poids*:*𝑃=𝑚𝑔*(négligé)*
*<*force*de*Lorentz*:*𝐹=−𝑒𝐸)
On*souhaite*donc*que*le*champ*électrique*soit*:*
<dirigé*vers*les*𝑥*décroissants*entre*les*plaques*verticales*
<*dirigé*vers*les*𝑧*décroissants*entre*les*plaques*horizontales.*
Sachant*que*la*relation*entre*la*norme*du*champ*électrique*créé*entre*deux*plaques*soumises*à*
une*différence*de*potentiels*𝑈*et*la*différence*de*potentiels*s’écrit*:*
𝑈(𝑥)=−𝐸!𝑥*
La*force*de*Lorentz*se*réécrit*:*
𝐹=+𝑒𝐸!𝑥𝑒!*
On*doit*donc*avoir*:*
<*𝑈!≥0*
<*𝑈!≥0*
2) Le*système*est*conservatif*puisque*la*seule*force*qui*s’applique*sur*le*système*entre*la*première*
paire*de*plaques*est*conservative,*associée*à*l’énergie*potentielle*:*
𝐸!=−𝑒𝑈!*
Le*théorème*de*l’énergie*mécanique*s’écrit*donc*:*
∆𝐸!𝑀=𝑊𝐹
!" =0*
⇔!𝐸!0=𝐸!𝑡*
⇔!0=
1
2
𝑚𝑣!
!−𝑒𝑈!*
⇔!!𝑣!=
2𝑒𝑈!
𝑚*
3) a)*Le*champ*électrique*appliqué*entre*la*seconde*paire*de*plaques*a*pour*expression*:*
𝐸=−
𝑈!
𝑑𝑒!*
Le*principe*fondamental*de*la*dynamique*s’écrit*:*
𝑚𝑎(𝑀)ℛ=𝐹)

⇔!!𝑚𝑥𝑒!+𝑧𝑒!=+
𝑒𝑈!
𝑑𝑒!*
On*projette*cette*équation*sur*les*deux*axes*:* !
𝑥=0!!!!
𝑧=
𝑒𝑈!
𝑚𝑑
*
On*intègre*ces*équations*par*rapport*au*temps*en*tenant*compte*des*conditions*initiales*:*
!
!
𝑥𝑡−𝑥0=0!!!!!!!
𝑧𝑡−𝑧(0)=
𝑒𝑈!
𝑚𝑑 𝑡
*
⇔!
!
𝑥𝑡=𝑣!!!!!!!
𝑧𝑡=
𝑒𝑈!
𝑚𝑑 𝑡
*
On*intègre*ces*équations*une*seconde*fois*par*rapport*au*temps*en*tenant*compte*des*conditions*
initiales*:*
!
!
𝑥𝑡−𝑥0=𝑣!𝑡!!!!!!!
𝑧𝑡−𝑧(0)=
𝑒𝑈!
2𝑚𝑑 𝑡!*
⇔!
!
𝑥𝑡=𝑣!𝑡!!!!!
𝑧𝑡=
𝑒𝑈!
2𝑚𝑑 𝑡!*
b)*À*partir*expressions*précédentes,*on*déduit*:*
𝑡=
𝑥
𝑣!
*
L’électron*sort*donc*de*la*seconde*paire*de*plaques*au*bout*d’un*temps*𝜏*tel*que*:*
𝜏=
𝐿
𝑣!
*
c)*L’électron*sort*de*la*seconde*paire*de*plaques*avec*une*ordonnée*:*
𝑧!=𝑧𝜏=
𝑒𝑈!𝐿!
2𝑚𝑑𝑣!
!*
⇔!𝑧!=
𝑒𝑈!𝐿!
2𝑚𝑑×2𝑒𝑈!
𝑚
*
⇔!𝑧!=
𝑈!𝐿!
4𝑑𝑈!
*
En*ce*point,*le*vecteur*vitesse*de*l’électron*est*incliné*d’un*angle*𝛼*par*rapport*à*l’axe* 𝑂𝑥 *tel*
que*:*
tan 𝛼=
𝑑𝑧
𝑑𝑥 (𝑥=𝐿)*
⇔!!tan 𝛼=
𝑈!𝐿
2𝑑𝑈!
*
d)*Après*la*sortie*de*la*seconde*paire*de*plaques,*l’électron*n’est*plus*soumis*à*aucune*force*et*suit*
donc*une*trajectoire*rectiligne*et*uniforme*(première*loi*de*Newton).*
Il*frappe*donc*l’écran*en*une*ordonnée*:*
𝑧!=tan 𝛼×𝐷!!⇔!!𝑧!=
𝑈!𝐿𝐷
2𝑑𝑈!
*

Exercice)3):)Piège)2D)
Un$ piège$ électronique$ 2D$ est$ un$ dispositif$ qui$ permet,$ à$ l’aide$ d’un$ champ$ électromagnétique,$ de$
confiner$selon$deux$directions$un$électron$(masse$𝑚,$charge$𝑞=−𝑒).$
Considérons$un$ électron$qui$ se$ déplace$dans$un$ champ$magnétique$uniforme$et$constant!𝐵=𝐵𝑢!,!
dans$un$référentiel$galiléen$associé$au$repère$d’espace$ 𝑂,𝑢!,𝑢!,𝑢!.$L’origine$𝑂$du$repère$d’espace$
a$été$choisie$au$point$où$se$trouvait$l’électron$à$l’instant$initial$et$le$plan$ 𝑥𝑂𝑧 $correspond$au$plan$
contenant$le$champ$magnétique$𝐵$et$la$vitesse$initiale$𝑣!.$On$note$𝜃!$l’angle$que$fait$𝑣!$avec$𝐵.$
1) Etablir$les$équations$horaires$du$mouvement$de$l’électron.$Quelle$est$la$nature$de$la$trajectoire$?$
2) Montrer$qu’un$tel$système$se$comporte,$pour$l’électron,$comme$un$piège$2D$dont$on$calculera$la$
largeur$maximale$caractéristique$dans$le$cas$où$𝑣!=10!!m.s!!$et$𝐵=5,0.10!!$T.$
Correction):)
1) Système*:*électron*de*charge*𝑞=−𝑒*et*de*masse*𝑚*
Référentiel*:*référentiel* ℛ*galiléen*
Bilan*des*forces*exercées*sur*la*masse*𝑚*:*
<*poids*:*𝑃=𝑚𝑔*(négligé))
<*force*de*Lorentz*:)𝐹=−𝑒𝑣∧𝐵)
On*applique*le*principe*fondamental*de*la*dynamique*à*la*particule*:*
𝑚𝑎(𝑀)ℛ=𝐹)
⇔!!𝑚𝑥𝑢!+𝑦𝑢!+𝑧𝑢!=−𝑒𝐵𝑥𝑢!+𝑦𝑢!+𝑧𝑢!∧𝑢!)
⇔!!𝑚𝑥𝑢!+𝑦𝑢!+𝑧𝑢!=−𝑒𝐵𝑥𝑢!−𝑦𝑢!*
⇔!!
𝑚𝑥=−𝑒𝐵𝑥
𝑚𝑦=𝑒𝐵𝑦!!!
𝑚𝑧=0!!!!!!!!!
*
En*posant*:*
𝜔=
𝑒𝐵
𝑚
!!⇒!!!
𝑥=−𝜔𝑥!!!!!(1)
𝑦=𝜔𝑦!!!!!!!!(2)
𝑧=0!!!!!!!!!!!!(3)
*
On*intègre*l’équation*(3)!deux*fois*par*rapport*au*temps*:*
𝑧=0!!⇒!!𝑧𝑡−𝑧0=0*
⇔!!𝑧𝑡=𝑣!cos 𝜃!*
⇒!!𝑧𝑡−𝑧0=𝑣!𝑡cos 𝜃!*
⇔!!𝑧𝑡=𝑣!𝑡cos 𝜃!*
Le*mouvement*de*l’électron*est*donc*rectiligne*uniforme*selon*l’axe* 𝑂𝑧 .*
Pour*connaître*la*nature*du*mouvement*dans*le*plan* 𝑥𝑂𝑦 ,*on*introduit*la*grandeur*complexe*:*
𝑈=𝑥+𝑖𝑦!!
!!!(!)!!!𝑈=𝑖𝜔𝑈*
On*reconnaît*ici*une*équation*différentielle*du*premier*ordre*en*𝑈,*dont*la*solution*est*:*
𝑈(𝑡)=𝐾exp 𝑖𝜔𝑡 *
où*𝐾*est*une*constante*d’intégration*que*l’on*détermine*à*partir*des*conditions*initiales*:*
𝐾=𝑈0=𝑥0+𝑖𝑦0=𝑣!sin 𝜃!*
*