Mouvement d`une particule chargée

Mouvement d’une particule chargée Exercice 1 : Accélération d’une particule par une différence de potentiel Une particule de charge 𝑞, de masse 𝑚, de vitesse initiale nulle, est accélérée par une différence de potentiel 𝑉! établie entre deux grilles planes parallèles distantes de 𝐿 = 5 cm. Le potentiel est supposé varier linéairement sur cette distance 𝐿 . 1) Calculer la vitesse 𝑣 de la particule au moment de son passage à travers la deuxième grille. 2) Quels sont les signes respectifs possibles de 𝑞 et 𝑉! pour que la particule soit effectivement accélérée ? 3) En déduire la durée 𝜏 du trajet entre les deux grilles. 4) Calculer 𝑣 et 𝜏 dans les deux cas suivants : a) électron accéléré par 𝑉! = 100 V b) proton accéléré par 𝑉! = −3 000 V Correction : 1) Système : particule de charge 𝑞 et de masse 𝑚 Référentiel : référentiel ℛ galiléen Bilan des forces : -­‐ poids : 𝑃 = 𝑚𝑔 (négligé) -­‐ force de Lorentz : 𝐹 = 𝑞𝐸 associée à une énergie potentielle 𝐸! = 𝑞𝑉 Le système est donc conservatif puisque la seule force qui s’applique sur le système est conservative (puisqu’associée à une énergie potentielle). Le théorème de l’énergie mécanique s’écrit donc : ∆𝐸! 𝑀 = 𝑊 𝐹!" = 0 ⇔ 𝐸! 0 = 𝐸! 𝐿 1
⇔ 0 = 𝑚𝑣 ! + 𝑞𝑉! 2
⇔ 𝑣 =
−2𝑞𝑉!
𝑚
2) Pour que la particule soit accélérée, le produit 𝑞 𝑉! doit donc être négatif. 3) Le potentiel variant linéairement entre les deux grilles, on peut écrire : A l’abscisse 𝑥 , la vitesse de la particule vaut donc : 𝑣=
⇔ 𝑑𝑥
=
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑥
=
−2𝑞𝑉! 𝑥
𝑚𝐿
−2𝑞𝑉!
𝑑𝑡 𝑚𝐿
En intégrant cette équation, il vient : !
!
𝑑𝑥
𝑥
=
−2𝑞𝑉!
𝑚𝐿
!
𝑑𝑡 !
⇔2 𝐿=
−2𝑞𝑉!
𝜏 𝑚𝐿
⇔ 2 𝐿 =
−𝑞𝑉!
𝜏 𝑚
⇔ 𝜏=
−2𝑚
𝐿 𝑞𝑉!
4) a) Cas de l’électron 𝑣 = 5,9. 10! m. s !! 𝑒𝑡 𝜏 = 8,4. 10!! s b) Cas du proton : 𝑣 = 1,2. 10! m. s !! 𝑒𝑡 𝜏 = 4,2. 10!! s Exercice 2 : Accélération et déflexion d’un électron On étudie le mouvement d’une particule chargée, émise sans vitesse initiale du point 𝑂, sous l’effet d’un champ électrique uniforme et stationnaire par morceaux. On décrit le mouvement de la particule par rapport à un référentiel galiléen ℛ , lié au repère d’espace 𝑂, 𝑒! , 𝑒! , 𝑒! . Le champ électrique uniforme et stationnaire par morceaux est créé par une paire de plaques parallèles et orthogonales à 𝑒! et par une autre paire de plaques parallèles et orthogonales à 𝑒! . (cf. figure). On admet que le champ électrique peut être considéré comme uniforme entre chaque paire de plaques et nul partout ailleurs. La particule est un électron de charge 𝑞 = −𝑒 et de masse 𝑚 . 1) Quels doivent être les signes des tensions 𝑈! et 𝑈! entre les paires de plaques pour que : -­‐ l’électron soit accéléré par la première paire de plaque ? -­‐ l’électron soit dévié vers les 𝑧 > 0 par la seconde paire de plaques ? On supposera ces conditions réalisées dans la suite. 2) Déterminer la vitesse 𝑣! de l’électron quand celui-­‐ci sort de la première paire de plaques. 3) Les plaques de la seconde paire sont distantes de 𝑑 . a) Déterminer les expressions de 𝑥 (𝑡) et 𝑧(𝑡) quand l’électron se trouve entre les plaques de la seconde paire. b) Déterminer le temps 𝜏 au bout duquel l’électron sort de la seconde paire de plaques, de longueur 𝐿 . c) En déduire alors la position et la direction de son vecteur vitesse. d) Quelle est la trajectoire ultérieure de l’électron. Déterminer en particulier l’ordonnée 𝑧! du point d’impact sur un écran placé à une distance 𝐷 de la sortie de la seconde paire de plaques. Les caractéristiques de la particule chargée importent-­‐elles ? Correction : 1) Système : électron de charge 𝑞 = −𝑒 et de masse 𝑚 Référentiel : référentiel ℛ galiléen Bilan des forces : -­‐ poids : 𝑃 = 𝑚𝑔 (négligé) -­‐ force de Lorentz : 𝐹 = −𝑒𝐸 On souhaite donc que le champ électrique soit : -­‐dirigé vers les 𝑥 décroissants entre les plaques verticales -­‐ dirigé vers les 𝑧 décroissants entre les plaques horizontales. Sachant que la relation entre la norme du champ électrique créé entre deux plaques soumises à une différence de potentiels 𝑈 et la différence de potentiels s’écrit : 𝑈(𝑥) = −𝐸! 𝑥 La force de Lorentz se réécrit : 𝐹 = +𝑒𝐸! 𝑥𝑒! On doit donc avoir : -­‐ 𝑈! ≥ 0 -­‐ 𝑈! ≥ 0 2) Le système est conservatif puisque la seule force qui s’applique sur le système entre la première paire de plaques est conservative, associée à l’énergie potentielle : 𝐸! = −𝑒𝑈! Le théorème de l’énergie mécanique s’écrit donc : ∆𝐸! 𝑀 = 𝑊 𝐹!" = 0 ⇔ 𝐸! 0 = 𝐸! 𝑡 1
⇔ 0 = 𝑚𝑣!! − 𝑒𝑈! 2
2𝑒𝑈!
𝑚
⇔ 𝑣! =
3) a) Le champ électrique appliqué entre la seconde paire de plaques a pour expression : 𝑈!
𝐸 = − 𝑒! 𝑑
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit : 𝑚𝑎(𝑀)
ℛ
= 𝐹 ⇔ 𝑚 𝑥𝑒! + 𝑧𝑒! = +
𝑒𝑈!
𝑒 𝑑 !
On projette cette équation sur les deux axes : 𝑥 = 0 𝑒𝑈! 𝑧=
𝑚𝑑
On intègre ces équations par rapport au temps en tenant compte des conditions initiales : 𝑥 𝑡 − 𝑥 0 = 0 𝑒𝑈! 𝑧 𝑡 − 𝑧(0) =
𝑡
𝑚𝑑
𝑥 𝑡 = 𝑣! ⇔ 𝑒𝑈! 𝑧 𝑡 =
𝑡
𝑚𝑑
On intègre ces équations une seconde fois par rapport au temps en tenant compte des conditions initiales : 𝑥 𝑡 − 𝑥 0 = 𝑣! 𝑡 𝑒𝑈! ! 𝑧 𝑡 − 𝑧(0) =
𝑡
2𝑚𝑑
𝑥 𝑡 = 𝑣! 𝑡 ⇔ 𝑒𝑈! ! 𝑧 𝑡 =
𝑡
2𝑚𝑑
b) À partir expressions précédentes, on déduit : 𝑥
𝑡 = 𝑣!
L’électron sort donc de la seconde paire de plaques au bout d’un temps 𝜏 tel que : 𝐿
𝜏=
𝑣!
c) L’électron sort de la seconde paire de plaques avec une ordonnée : 𝑒𝑈! 𝐿!
𝑧! = 𝑧 𝜏 =
2𝑚𝑑𝑣!!
𝑒𝑈! 𝐿!
⇔ 𝑧! =
2𝑒𝑈!
2𝑚𝑑×
𝑚
!
𝑈! 𝐿
⇔ 𝑧! =
4𝑑𝑈!
En ce point, le vecteur vitesse de l’électron est incliné d’un angle 𝛼 par rapport à l’axe 𝑂𝑥 tel que : 𝑑𝑧
tan 𝛼 =
(𝑥 = 𝐿) 𝑑𝑥
𝑈! 𝐿
⇔ tan 𝛼 =
2𝑑𝑈!
d) Après la sortie de la seconde paire de plaques, l’électron n’est plus soumis à aucune force et suit donc une trajectoire rectiligne et uniforme (première loi de Newton). Il frappe donc l’écran en une ordonnée : 𝑈! 𝐿𝐷
𝑧! = tan 𝛼 ×𝐷 ⇔ 𝑧! =
2𝑑𝑈!
Exercice 3 : Piège 2D Un piège électronique 2D est un dispositif qui permet, à l’aide d’un champ électromagnétique, de confiner selon deux directions un électron (masse 𝑚 , charge 𝑞 = −𝑒). Considérons un électron qui se déplace dans un champ magnétique uniforme et constant 𝐵 = 𝐵𝑢! , dans un référentiel galiléen associé au repère d’espace 𝑂, 𝑢! , 𝑢! , 𝑢! . L’origine 𝑂 du repère d’espace a été choisie au point où se trouvait l’électron à l’instant initial et le plan 𝑥𝑂𝑧 correspond au plan contenant le champ magnétique 𝐵 et la vitesse initiale 𝑣! . On note 𝜃! l’angle que fait 𝑣! avec 𝐵 . 1) Etablir les équations horaires du mouvement de l’électron. Quelle est la nature de la trajectoire ? 2) Montrer qu’un tel système se comporte, pour l’électron, comme un piège 2D dont on calculera la largeur maximale caractéristique dans le cas où 𝑣! = 10! m. s !! et 𝐵 = 5,0. 10!! T. Correction : 1) Système : électron de charge 𝑞 = −𝑒 et de masse 𝑚 Référentiel : référentiel ℛ galiléen Bilan des forces exercées sur la masse 𝑚 : -­‐ poids : 𝑃 = 𝑚𝑔 (négligé) -­‐ force de Lorentz : 𝐹 = −𝑒𝑣 ∧ 𝐵 On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule : 𝑚𝑎(𝑀)
ℛ
= 𝐹 ⇔ 𝑚 𝑥𝑢! + 𝑦𝑢! + 𝑧𝑢! = −𝑒𝐵 𝑥𝑢! + 𝑦𝑢! + 𝑧𝑢! ∧ 𝑢! ⇔ 𝑚 𝑥𝑢! + 𝑦𝑢! + 𝑧𝑢! = −𝑒𝐵 𝑥𝑢! − 𝑦𝑢! 𝑚𝑥 = −𝑒𝐵𝑥
⇔ 𝑚𝑦 = 𝑒𝐵𝑦 𝑚𝑧 = 0 En posant : 𝜔=
𝑥 = −𝜔𝑥 (1)
𝑒𝐵
⇒ 𝑦 = 𝜔𝑦 (2) 𝑚
𝑧 = 0 (3)
On intègre l’équation (3) deux fois par rapport au temps : 𝑧 = 0 ⇒ 𝑧 𝑡 − 𝑧 0 = 0 ⇔ 𝑧 𝑡 = 𝑣! cos 𝜃! ⇒ 𝑧 𝑡 − 𝑧 0 = 𝑣! 𝑡 cos 𝜃! ⇔ 𝑧 𝑡 = 𝑣! 𝑡 cos 𝜃! Le mouvement de l’électron est donc rectiligne uniforme selon l’axe 𝑂𝑧 . Pour connaître la nature du mouvement dans le plan 𝑥𝑂𝑦 , on introduit la grandeur complexe : 𝑈 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ! !!(!)
𝑈 = 𝑖𝜔𝑈 On reconnaît ici une équation différentielle du premier ordre en 𝑈 , dont la solution est : 𝑈(𝑡) = 𝐾 exp 𝑖𝜔𝑡 où 𝐾 est une constante d’intégration que l’on détermine à partir des conditions initiales : 𝐾 = 𝑈 0 = 𝑥 0 + 𝑖𝑦 0 = 𝑣! sin 𝜃! Ainsi : 𝑈(𝑡) = 𝑣! sin 𝜃! exp 𝑖𝜔𝑡 Une nouvelle intégration par rapport au temps conduit à : 𝑣! sin 𝜃!
𝑈 𝑡 =
exp 𝑖𝜔𝑡 + 𝐾′ 𝑖𝜔
où 𝐾′ est une constante d’intégration que l’on détermine à partir des conditions initiales : 𝑣! sin 𝜃!
𝑣! sin 𝜃!
𝑈 0 =
+ 𝐾 ! = 0 ⇒ 𝐾 ! = −
𝑖𝜔
𝑖𝜔
Ainsi : 𝑣! sin 𝜃!
𝑣! sin 𝜃!
𝑈 𝑡 =𝑖
1 − exp 𝑖𝜔𝑡 = 𝑖
1 − cos 𝜔𝑡 − 𝑖 sin 𝜔𝑡 𝜔
𝜔
𝑣! sin 𝜃!
𝑈 𝑡 =
𝑖 − 𝑖 cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 𝜔
On en déduit les coordonnées d’espace en prenant les parties réelle et imaginaire de la variable complexe 𝑈 : 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑈(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐼𝑚 𝑈(𝑡)
𝑣! sin 𝜃!
sin 𝜔𝑡 𝜔
⇒ 𝑣! sin 𝜃!
𝑦 𝑡 =
1 − cos 𝜔𝑡
𝜔
Le mouvement de l’électron est donc circulaire uniforme dans le plan 𝑥𝑂𝑦 , de rayon 𝑅 et de période 𝑇 tels que : 𝑣! sin 𝜃! 𝑚𝑣! sin 𝜃!
2𝜋
𝑅=
=
𝑒𝑡 𝑇 = 𝜔
𝑒𝐵
𝜔
La trajectoire de l’électron est donc une hélice. 𝑥 𝑡 =
2) Il existe un confinement de l’électron dans le plan 𝑥𝑂𝑦 , au niveau du cercle de rayon 𝑅, ce qui correspond à un piège 2D. La largeur du confinement est égale à : 2𝑚𝑣! sin 𝜃!
𝑒𝐵
𝜋
2𝑚𝑣!
= 𝐿 𝜃! =
=
= 2,3 𝑚𝑚 2
𝑒𝐵
𝐿 = 2𝑅 =
𝐿!"#
Exercice 4 : Etude du spectromètre de Dempster Dans le spectromètre de Dempster, on produit des ions positifs, qui sortent de la chambre d’ionisation par une fente avec une vitesse négligeable. On considère deux types d’ions, de même charge 𝑞 et de masses différentes, notées respectivement 𝑚! et 𝑚! . Ces ions sont accélérés par une tension 𝑈 , appliquée entre les deux plaques P et P’ : 𝑉! − 𝑉!! = 𝑈 > 0 Les ions traversent ensuite une zone de l’espace (appelée zone de déviation) où règne un champ magnétique transversal uniforme : 𝐵 = 𝐵𝑢! Dans tout l’exercice, on considérera deux types d’ions, de même charge et de masses respectives 𝑚! et 𝑚! , arrivant dans la zone de déviation avec les vitesses respectives 𝑣! = 𝑣! 𝑢! et 𝑣! = 𝑣! 𝑢! . 1) Exprimer les vitesses 𝑣! et 𝑣! . 2) En supposant que le mouvement des ions dans la zone de champ magnétique est circulaire, exprimer les rayons 𝑅! et 𝑅! de ces trajectoires. 3) En déduire la distance 𝑑 = 𝐴! 𝐴! entre les impacts des deux types d’ions. Correction : 1) Appliquons le théorème de l’énergie cinétique à une particule 𝑞, 𝑚! de vitesse quasi-­‐nulle au niveau de la plaque P et de vitesse 𝑣! au niveau de la plaque P’ : ∆𝐸! =
1
𝑚 𝑣 ! = 𝑞𝑈 ⇔ 𝑣! =
2 ! !
2𝑞𝑈
𝑒𝑡 𝑣! =
𝑚!
2𝑞𝑈
𝑚!
2) Considérons le mouvement de la particule 𝑞, 𝑚! dans la zone de déviation. Cette particule n’étant soumise qu’à l’action du champ magnétique, le principe fondamental de la dynamique s’écrit : 𝑚𝑎(𝑀)
ℛ
= 𝐹 = 𝑞𝑣(𝑀)
ℛ
∧ 𝐵 Par projection sur les trois axes du référentiel d’étude, il vient : 𝑞𝐵
𝑥! =
𝑦 𝑚! !
𝑞𝐵 𝑦! = −
𝑥
𝑚! !
𝑧! = 0 𝑥! = 𝜔! 𝑦! 𝑞𝐵
⇔ 𝑦! = −𝜔! 𝑥! 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜔! =
𝑚!
𝑧! = 0 L’équation portant sur 𝑧 montre que le mouvement de la particule est contenu dans le plan (𝑥𝑂𝑦). En intégrant l’équation portant sur 𝑥 , on obtient : 𝑥! 𝑡 − 𝑥! 0 = 𝜔! 𝑦! 𝑡 − 𝜔! 𝑦! 0 ⇔ 𝑥! 𝑡 = 𝜔! 𝑦! 𝑡 En réinjectant cette expression dans l’équation portant sur 𝑦, on obtient finalement : 𝑦! = −𝜔! 𝑥! = −𝜔!! 𝑦! ⇔ 𝑦! + 𝜔!! 𝑦! = 0 On reconnaît une équation différentielle du second ordre, dont la solution est, en tenant compte des-­‐conditions initiales : 𝑣!
𝑣!
𝑦! 𝑡 =
sin 𝜔! 𝑡 𝑒𝑡 𝑥! 𝑡 =
1 − cos 𝜔! 𝑡 𝜔! 𝜔! La trajectoire de la particule 𝑞, 𝑚! est donc une trajectoire circulaire, de rayon : 𝑅! =
𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑅! =
𝑣!
=
𝜔! 2𝑞𝑈 𝑚!
× 𝑚! 𝑞𝐵
2𝑚! 𝑈
𝑒𝑡 𝑅! =
𝑞𝐵 !
2𝑚! 𝑈
𝑞𝐵 !
3) La distance d entre les impacts des deux ions est donc : 𝑑 = 2 𝑅! − 𝑅! 𝑑=
2 2𝑈
𝐵 𝑞
𝑚! − 𝑚!