Optique géométrique

Sciences physiques EXERCICES
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O 09. Succession de dioptres plans.
Un rayon lumineux monochromatique se propageant dans un milieu d'indice n
rencontre un dioptre plan avec l'angle d'incidence i (voir figure).
Application numérique : n = 1,7 ; n' = 1,4
1) Exprimer la condition sur i pour observer le phénomène de réflexion totale sur le
premier dioptre (n ↔ n').
2) Un second dioptre étant disposé parallèlement au premier, exprimer la condition
sur i pour observer le phénomène de réflexion totale sur ce second dioptre (n' ↔ 1).
O 10.
Indice d'un prisme.
Un prisme d'angle au sommet A est utilisé de telle sorte que r = r' (figure).
1) Montrer, dans ces conditions, que A=2r et D=2i-A, D étant la déviation
du rayon incident par rapport à l'émergent.
2) Montrer que l'indice du prisme est donné par :
n
D A
A
=
+
sin
sin
2
2
Application numérique : A = 50° ; D = 30°. Calculer n.
O 11. Utilisation d'un prisme.
Soit un prisme d'angle au sommet A = 60°.
1) On utilise ce prisme au minimum de déviation de la lumière jaune du sodium, pour laquelle l'indice est n
J
= 1,751.
Calculer l'angle d'incidence et la déviation D du rayon incident.
2) On fait arriver sous cette incidence la lumière d'une lampe à hydrogène. L'indice pour la radiation rouge H
α
est égal
à 1,742 et vaut 1,769 pour la radiation violette H
β
. Calculer l'angle que font entre elles à la sortie les deux radiations
H
α
et H
β
.
O 12. Cuve hémicylindrique.
Une cuve hémicylindrique de rayon 30 cm, dont l'épaisseur des parois de verre est
négligeable, peut contenir un liquide transparent ; un pinceau incident de lumière
blanche pénètre dans la cuve par le centre 0 de la face plane transparente, l'angle
d'incidence valant 70°. La paroi hémicylindrique est translucide (figure).
1) La cuve contient de l'eau dont l'indice vaut 1,344 pour le violet extrême et 1,330
pour le rouge extrême. Quelle est la longueur du spectre observé sur la surface
cylindrique translucide ?
2) Même question pour une cuve contenant du sulfure de carbone dont l'indice vaut 1,700 pour le violet et 1,618 pour
le rouge. Quel est le liquide le plus dispersif ?
O 14. Un petit caillou blanc.
1. Une cuve cylindrique contient de l'eau sur une hauteur de 20 cm ; l'œil, placé au-dessus et sur l'axe, observe un
petit caillou blanc (A) situé au centre du cercle de base : déterminer graphiquement et préciser par le calcul la position
de l'image de A. L'indice de l'eau est 4/3.
2. On siphonne l'eau et on la remplace par un liquide transparent d'indice
2
; quelle doit être l'épaisseur du liquide
pour que l'image A' de A garde la même position ?
3. Sans rien changer à la cuve par rapport à la question 2, le caillou est placé en dessous d'elle (et toujours sur son
axe) à 10 cm du fond : où l'œil croit-il le voir ?
Rép : 15 cm ; 17 cm ; 5 cm sous la cuve
O 17. L'œil du poisson regardait l'observateur…
1. Une cuve contient de l'eau dont la surface libre est AB. Sur une même verticale OP se trouvent :
- en O, à 1,20 m au-dessus de AB, l'œil O d'un observateur ;
- en P, à 0,80 m au-dessous de AB, l'œil P d'un poisson ;
A quelle distance l'observateur croit-il voir le poisson ? A quelle distance le poisson voit-il l'observateur ? n(eau) =
4/3.
2. Le fond de la cuve est un miroir plan horizontal CD. L'épaisseur de la couche d'eau est 1,20 m. L'observateur O se
regarde dans le miroir CD ; à quelle distance voit-il son image ? Dans quel sens et de combien se déplace-t-elle
lorsqu'on fait écouler toute l'eau de la cuve ?
Rép : 1,8 m et 2,4 m ; 4,2 m, elle s'éloigne de 0,6 m
09
17
O

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O18. Arc-en-ciel
On explique la formation de l'ar
c
-
en
-
ciel par la réflexion à
l'intérieur d'une goutte d'eau d'un rayon lumineux provenant du
soleil. Un rayon de lumière monochromatique, composant d'un
faisceau de lumière blanche, pénètre dans une goutte d'eau
sphérique d'indice n et subit à l'intérieur de la goutte une
réflexion.
1. Montrer que la déviation D du rayon incident en fonction de
l'angle d'incidence i et du premier angle réfracté r peut s'écrire :
D 2i 4r
π
= + −
2. On cherche à trouver la valeur de α = π – D pour laquelle la
déviation du rayon incident est minimale. Cette valeur sera
notée α
E
a) Montrer que suivant les variations de i, l'obtention d'un minimum de D se traduit par la relation
dr 1
di 2
=
b) En utilisant la loi de Descartes de la réfraction, déduire de la relation précédente que
cos cos
2 i n r
=
.
c) En élevant cette équation au carré, en déduire que
²
sin
4 n
i
3
−
=
d) Calculer numériquement i, en déduire r, puis α
E
, pour n = 1,33 (eau) et n = 1,31 (glace).
3. Expliquons la formation d'un arc-en-ciel par temps de pluie.
a) On admet que la variation de l'indice suit la loi de Cauchy : n = n
0
+
0
C
²
λ
avec n
0
et C deux constantes positives.
Comparer les indices du rouge et du violet. Comparer ensuite les valeurs extrêmales α
E
et D
E
pour ces deux couleurs.
b) Sachant que l'intensité de la lumière émergeant de la goutte d'eau est maximale lorsque la déviation est minimale,
autrement dit pour un extremum α
E
de α , expliquer la formation de l'arc-en-ciel lorsque la lumière est blanche. On
donnera en particulier les positions du rouge et du violet.
4. On observe parfois un second arc-en-ciel d'intensité plus faible et inversé par rapport au premier. Interpréter sa
formation en considérant une seconde réflexion dans la goutte d'eau. Après avoir calculé la nouvelle déviation D, en
déduire l'angle sous lequel la lumière de ce second arc-en-ciel est vue :
D
β π
= +
. On exprimera β en fonction de i et
r .
O 20. Thermomètre.
Un tube de verre cylindrique creux contient du mercure. Ses rayons intérieur et extérieur sont respectivement R
1
et R
2
; l'indice du verre est 1,5 .
Montrer qu'à partir d'une certaine valeur du rapport R
1
/ R
2
, le mercure paraît à un observateur remplir non seulement
le tube intérieur mais également le tube extérieur en verre.
Pour simplifier l'étude, compte tenu de la faible valeur de R
2
, nous considérerons que les rayons issus du thermomètre
parviennent à l'œil parallèles entre eux. Tout se passe donc comme si l'œil était à l'infini.
O 22. Petites questions.
1) L'image d'un objet vu à travers des jumelles ou un microscope est-elle réelle ?
2) Où se forme l'image du Soleil par une lentille convergente ? par une lentille divergente ?
3) A l'aide du Soleil et d'une lentille, peut-on enflammer du papier ou des brindilles sèches ? Comment s'y prendre ?
Quel type de lentilles utiliser ?
4) Sur un schéma simple, montrer que le grandissement d'une loupe dépend de la position de l'objet par rapport à la
loupe.
O 24. Loupe.
Une loupe simple, assimilable à une lentille convergente, a une vergence de 10 δ . Elle est placée à 8 cm d'une feuille
comportant des caractères d'imprimerie de 2 mm de hauteur. Déterminer la position, la nature et la grandeur de
l'image.
O 27. Appareil photo.
Un appareil photographique a une latitude de mise au point de
1 m à l'infini ; il possède un objectif que l'on assimilera
à une lentille mince convergente de 50 mm de distance focale. Entre quelles limites peut varier la distance entre
l'objectif et le film photographique ?
18
27
O

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O 28. Jouons avec le feu.
1) Une bougie allumée est placée à 1 m d'une lentille convergente de 50 cm de distance focale. Déterminer la position
de l'image et son agrandissement. Construire .cette image, puis tracer la marche d'un faisceau lumineux émanant de la
pointe de la flamme.
2) On place à 40 cm d'une lentille divergente de 20 cm de distance focale une bougie allumée. Où se trouve son image
? Construire cette image, puis tracer la marche d'un faisceau lumineux issu de la pointe de la flamme.
O 30. Lentilles convergente et divergente
En avant d'une lentille mince convergente de distance focale 20 cm, à 10 cm du centre optique O, on place un objet
AB, perpendiculaire à l'axe, de 2 mm de hauteur. A est sur l'axe principal.
1) Construire l'image A'B'. Donner les caractéristiques de cette image.
2) Déterminer la position, la taille et la nature de l'image à l'aide des formules de conjugaison.
3) Reprendre les mêmes questions mais avec une lentille divergente de distance focale - 20 cm.
O 32. Vrai ou faux ?
On pourra s'aider des formules de conjugaison.
Pour une lentille convergente, puis pour une lentille divergente :
1) le foyer objet est virtuel, le foyer image virtuel.
2) un objet virtuel donne nécessairement une image réelle.
3) un objet réel donne nécessairement une image réelle.
4) un objet, situé au foyer image de la lentille, donne une image réelle de grandeur égale à la moitié de l'objet.
5) un objet, situé à une distance
O
A
O
F
=
2
.
, donne une image de même taille, symétrique par rapport au centre
optique O de la lentille.
O 33. Image réelle ou virtuelle
Une lentille divergente de 15 cm de distance focale donne d'un objet une image cinq fois plus grande.
1) L'image est réelle. Quelles sont les positions de l'objet et de l'image ? Préciser la nature de l'objet.
2) L'image est virtuelle. Répondre aux mêmes questions.
O 34. Objet…
Un système optique donne d'un objet une image réelle A
1
B
1
sur un écran. Sur le trajet des faisceaux lumineux, on
interpose, à 1 m de l'écran, une lentille L mince convergente, de vergence 9 δ. L'écran est enlevé.
1) L'image A
1
B
1
est-elle un objet réel ou virtuel pour la lentille L ? Construire l'image A'B' donnée par la lentille L.
Préciser la nature et le sens de l'image.
2) Retrouver par le calcul les caractéristiques de l'image. Si l'image est réelle, où doit-on placer l'écran pour obtenir
une image nette ?
3) Reprendre les mêmes questions pour une lentille mince divergente de vergence - 9 δ.
O 35. Œil normal.
Dans un œil normal, la rétine est à 15 mm du centre optique du cristallin. L'œil normal nous permet de voir nettement
les objets situés à l'infini.
1) Quelle est la vergence de cet œil au repos ?
2) Quelle est la vergence de cet œil lorsqu'il observe à la distance minimale moyenne de vision distincte, soit 25 cm ?
On admettra que la distance du centre optique à la rétine ne varie pas.
28
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O 36. Pouvoir de résolution.
Le diamètre apparent d'un objet étendu, observé d'un point O, est l'angle θ sous
lequel cet objet est vu depuis le point O (voir figure). On appelle pouvoir séparateur
ou pouvoir de résolution de l'œil le plus petit diamètre apparent θ
0
sous lequel deux
points A et B paraissent distincts pour l'observateur. Pour θ < θ
0
, les deux points A et
B paraissent confondus et l'objet AB paraît ponctuel.
On veut déterminer ce pouvoir séparateur pour un œil normal (voir les
caractéristiques dans l'exercice intitulé "Œil normal").
1) Les cônes qui tapissent la rétine ont un diamètre voisin de 5 µm. Pour que la rétine puisse séparer les deux images
de deux points, il faut que celles-ci impressionnent deux cellules qui ne sont pas adjacentes, mais séparées, au moins
par une cellule intermédiaire qui les empêche de s'influencer mutuellement. Quel est alors le pouvoir séparateur d'un
œil (en radians) ? Calculer la distance minimale entre deux points A et B séparés par l'œil, situés à 25 cm de la rétine.
2) L'œil permet-il de distinguer les phares d'une voiture située à 5 km de l'observateur ? La distance entre les phares
vaut 1,2 m.
O 37. Myopie.
La distance maximale de vision distincte est, pour un myope, de 1,25 m. Quelle est la vergence des "verres" qu'il doit
porter afin qu'il puisse voir, sans accommoder, un objet à l'infini ?
O 38. Presbytie aiguë.
Un œil complètement presbyte ne voit nettement que des objets situés à 1 m. Calculer les vergences des lentilles
(verres à double foyer) qui lui permettent :
1) de voir nettement des objets éloignés;
2) de lire un journal à 20 cm de l'œil.
O 39. Hypermétropie.
Un œil hypermétrope n'est pas assez convergent. Par exemple, sa distance minimale de vision distincte est de 60 cm au
lieu de 25 cm. Par ailleurs, s'il observe à l'infini sans accommoder, l'image se forme derrière la rétine, par exemple à
15,2 mm derrière le centre optique du cristallin, alors que la rétine est à 15 mm de celui-ci.
l) Quelle est la vergence de la lentille corrective qui permet à cet œil de regarder à l'infini sans accommoder ?
2) Que vaut la distance minimale de vision distincte de l'œil corrigé par le verre précédent ?
O 40. Photographie.
Un objectif photographique est assimilable à une lentille mince de 50 mm de distance focale.
1) On photographie un personnage situé à 2 m de l'objectif et de hauteur 1,80 m. A quelle distance de l'objectif doit-
on placer le film photographique ? Quelle est la grandeur de l'image ?
2) On photographie une tour située à 100 m et haute de 30 m. Quelle est la nouvelle distance objectif-film ? Quelle est
la grandeur de l'image ?
O 41. Autocollimation.
On considère le montage de la figure ci-contre où l'objet AB est placé dans le
plan focal objet. M est un miroir plan.
Par construction graphique, montrer que l'image finale de AB est dans le plan
focal objet de la lentille et que le grandissement du système est égal à - 1.
O 42. Lentilles accolées.
Pour corriger certains défauts, on peut accoler deux lentilles minces d'indices différents, de vergences V
1
et V
2
. On peut
alors considérer que ces deux lentilles ont leurs centres optiques confondus en O.
L'objectif d'un appareil photographique est constitué de deux lentilles minces accolées, l'une en crown (variété de
verre), biconvexe, et l'autre en flint (autre variété de verre), ménisque divergent. La distance focale du système
convergent équivalent est de 20 cm, celle de la lentille biconvexe 13,16 cm. Quelle est la distance focale de la seconde
lentille ?
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O

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O 43. Correction des aberrations chromatiques.
1) Pour une lentille donnée, en verre crown, la vergence est 2 δ en lumière jaune (589,3 nm). Calculer la vergence en
lumière bleue (486,1 nm) et en lumière rouge (656,3 nm). On trouvera les valeurs d'indice dans le tableau de
l'exercice intitulé "Aberration chromatique longitudinale". Montrer que toutes les radiations constituant un faisceau de
lumière blanche incident, parallèle à l'axe principal, ne convergent pas au même point (aberrations chromatiques).
Faire un schéma. Calculer la distance qui sépare les foyers extrêmes.
2) Pour corriger partiellement ce défaut, on accole une lentille convergente en crown et une lentille divergente en
flint. On veut ainsi réaliser un système de vergence 2 δ pour les radiations bleue (486,1 nm) et rouge (656,3 nm). En
utilisant l'expression de la vergence d'une lentille en fonction de son indice et des rayons de courbure de ses faces,
calculer la vergence du système pour la radiation jaune du sodium (589,3 nm).
O 44. Lunette astronomique
Une lunette astronomique peut être assimilée à un système de deux lentilles convergentes de même axe optique. La
première lentille L
1
donne d'un objet AB très éloigné (cratère lunaire par exemple) une image A
i
B
i
qui est
pratiquement située dans son plan focal image. La seconde lentille L
2
joue le rôle d'une loupe et donne de A
i
B
i
une
image A'B'. On donne les distances focales f '
1
= 20 cm et f '
2
= 2 cm. La distance O
1
O
2
est réglable.
1) Faire un schéma illustrant le principe de la lunette.
2) L'observateur, pour ne pas avoir à accommoder, règle la lunette de manière à ce que l'image A'B' soit à l'infini.
Quelle est alors la distance O
1
O
2
?
Quel est le grossissement algébrique
G
de la lunette ?
O 45. Lunette de Galilée.
Une lunette de Galilée peut être constituée à partir de deux lentilles de même axe optique. La première lentille L
1
, de
vergence + 4 δ , donne de l'objet AB une image réelle A
i
B
i
. Cette dernière constitue un objet virtuel pour une lentille
L
2
de vergence - 20 δ .
1) Faire un schéma illustrant le principe de la lunette de Galilée, en considérant un objet à l'infini.
2) Une personne utilise cette lunette pour observer un objet AB = 5 cm situé à 20 m du centre optique O
1
de L
1
. Elle
règle la distance O
1
O
2
de telle sorte que l'image A'B' soit à 25 cm de son œil placé au foyer objet F
2
de la lentille L
2
.
Calculer la distance O
1
O
2
.
Calculer le grandissement γ . Calculer le grossissement G . Laquelle de ces deux grandeurs met en évidence l'intérêt de
la lunette ?
O 46. Microscope.
Un microscope est un instrument qui comprend deux systèmes convergents que nous supposerons réduits chacun à
une lentille mince : l'objectif L
1
, de centre optique O
1
, devant lequel est situé l'objet, et l'oculaire L
2
, de centre optique
O
2
, placé devant l'œil de l'observateur. Les distances focales sont très différentes, de l'ordre du mm pour l'objectif, de 1
ou 2 cm pour l'oculaire. Les deux systèmes ont même axe optique.
1) Pour comprendre le principe de l'appareil, réaliser un schéma en adoptant :
O O
1 2
= 9 cm ; f '
l
= 1,5 cm ; f '
2
= 4 cm ; O A
1
= -2 cm ;
AB
= 0,5 cm .
Construire l'image de AB donnée par le microscope. Quel est l'intérêt de l'appareil ?
2) En réalité, le microscope qui nous intéresse est tel que : O O
1 2
= 12 cm ; f '
l
= 2 mm ; f '
2
= 2 cm .
Un objet AB de longueur 1 µm est placé perpendiculairement à l'axe principal, à 2,04 mm devant L
1
. Déterminer la
position et la taille de l'image.
3) L'observateur met son œil au foyer image de l'oculaire. Quel est le diamètre apparent de l'image, c'est-à-dire sous
quel angle θ ' est-elle observée ?
Calculer la puissance P du microscope. En déduire sa puissance algébrique
P
.
4) Quel est le diamètre apparent θ
C
lorsqu'on observe l'objet AB à l'œil nu, l'objet étant placé à 25 cm de l'œil ?
Calculer le grossissement G du microscope. En déduire
G
.
Rép : - 18 cm ; - 0,5 mm ; - 2500 δ ; - 625
43
46
O