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Département TIN
(Techniques industrielles)
Filière
Microtechnique
Exercices résolus
Théorie des Circuits Linéaires
Bernard Schneider
www.iai.heig-vd.ch
Copyright © Bernard Schneider, 2009-2012
Yverdon-les-Bains, le 13 septembre 2012
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
L’auteur remercie par avance toutes les personnes qui lui signaleront
des erreurs ou lui proposeront des améliorations.
Copyright © Bernard Schneider, 2009-2012
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celui-ci ne prend aucune responsabilité relative à des erreurs éventuelles du contenu, ni aux droits de reproduction de certaines des
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Toutes propositions d’améliorations et de corrections seront les bienvenues.
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Théorie des circuits linéaires
Table des matières
Chapitre 1
Bases de l’électricité ................................................................................................................... 4
1.1
L’électricité ... virtuelle ou réelle ?..................................................................................................... 4
1.2
Les emplois de l’électricité ................................................................................................................. 4
1.3
Règles de notations et unités .............................................................................................................. 4
1.4
Grandeurs physiques de base de la mécanique ................................................................................... 5
1.5
Grandeurs de base de l’électricité..................................................................................................... 16
Chapitre 2
Théorie des circuits linéaires .................................................................................................... 26
2.1
Principes généraux ........................................................................................................................... 26
2.2
Circuits électriques ........................................................................................................................... 26
2.3
Combinaisons simples de résistances ............................................................................................... 29
2.4
Sources de tension et de courant ...................................................................................................... 34
2.5
Méthode de réduction des circuits .................................................................................................... 40
Chapitre 3
Alimentation électriques ........................................................................................................... 74
3.1
Alimentations à tension continue – piles et batteries ....................................................................... 74
3.2
Alimentations à tension continue – moteurs DC .............................................................................. 77
3.3
Alimentations à tension alternative .................................................................................................. 81
3.4
Alimentations à tension alternative triphasée ................................................................................... 86
3.5
Conception de l’alimentation des machines ..................................................................................... 96
Chapitre 4
Régimes sinusoïdaux ................................................................................................................ 98
4.1
Représentation complexe des signaux sinusoïdaux .......................................................................... 98
4.2
Les condensateurs........................................................................................................................... 100
4.3
Les inductances .............................................................................................................................. 101
4.4
Calculs d’impédance ...................................................................................................................... 101
4.5
Fonction de transfert et diagramme de Bode .................................................................................. 120
Chapitre 5
Régimes transitoires ............................................................................................................... 141
5.1
Régime transitoire de systèmes électriques .................................................................................... 141
5.2
Modélisation de phénomènes non électriques ................................................................................ 158
Chapitre 6
Annexe.................................................................................................................................... 162
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Théorie des circuits linéaires
Chapitre 1
1.1
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Bases de l’électricité
L’électricité ... virtuelle ou réelle ?
(Pas d’exercices spécifiques.)
1.2
Les emplois de l’électricité
(Pas d’exercices spécifiques.)
1.3
Règles de notations et unités
Exercice 1.3.1
Notations
a) Exprimer sous forme décimale les expressions suivantes :
10
3
10-2
4 · 105
3 · 10-3
5,1 · 10-2
980 · 10-1
7,21 · 106
b) Convertir les nombres suivants en utilisant des exposants et un seul chiffre avant la virgule :
38’000
43'300’000
0,000 3
0,000 000 752
10,000 435
c) Convertir les nombres suivants en utilisant des exposants multiples de 3 :
38’000
43'300’000
0,000 3
0,000 000 752
10,000 435
 Réponse – a
1'000
0,01
400’000
0,003
0,051
98
7'210'000
 Réponse – b
3,8 · 104
4
4,33 · 107
3 · 10-4
7,52 · 10-7
1,000 04 · 101
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 Réponse – c
38 · 103
Exercice 1.3.2
43,3 · 106
300 · 10-6
752 · 10-9
10,000 04 · 100
Préfixes d’unités
Quelle valeur est associée aux préfixes SI suivants ?
kilo
micro
milli
méga
nano
giga
10-3
106
10-9
109
 Réponse
103
10-6
Exercice 1.3.3
Conversion en unités SI de base
Exprimez le cheval-vapeur en unités SI de base
 Réponse
[C ]
1.4
3 [ ]
3 [ ]
s
m
3 [
]
s
m
3 [ s
s
m
]
3 [
m
]
s3
Grandeurs physiques de base de la mécanique
Exercice 1.4.1
Vitesse moyenne
Pour se rendre d’Yverdon à Lausanne, villes distantes de 3 ,
minutes.
m l’une de l’autre, un camion met 43
a) Quelle a été sa vitesse moyenne, exprimée en km/h ?
b) Et en m/s ?
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 Réponse – a
Conversion des unités :
= 43 min = 0,717 h
= 37,2 km
Il est possible de calculer en une seule étape en convertissant directement les unités
Remarque :
En écrivant systématiquement les unités et en les simplifiant, comme on le ferait avec
des coefficients multiplicateurs qui apparaîtraient au numérateur et au dénominateur, il
est possible de vérifier que le calcul al ébrique a été correctement posé. L’unité du
résultat doit correspondre à celle de la grandeur calculée.
 Réponse – b
m
min
Exercice 1.4.2
m
m
s
min
m
min
m
m
min
s
ms
Durée d’un déplacement
A l’aide d’une rue, on souhaite transporter une palette de briques sur une distance de
permet d’accélérer et de freiner à 0, m s2.
m. Le moteur
a) Combien de temps durera le déplacement si la vitesse est limitée à vmax_a = 0,8 m/s ?
b) Combien de temps durerait le déplacement si la vitesse n’était pas limitée par le moteur ?
c) Quel serait alors la vitesse maximum atteinte à mi-chemin ?
 Réponse – a
On calcule d’abord la durée de l’accélération :
La distance parcourue pendant l’accélération vaut alors :
Le freina e dure le même temps que l’accélération. La distance parcourue au freina e
parcourue pendant l’accélération
.
est égale à celle
La distance qui reste à parcourir alors que la vitesse est constante vaut :
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Le temps nécessaire pour parcourir cette distance à vitesse constante vaut :
On obtient ainsi la durée totale du déplacement :
 Réponse – b
Si la vitesse était illimitée, la rue accélérerait d’abord pendant une certaine durée, puis freinerait
immédiatement pendant une durée identique. La distance parcourue pendant l’accélération
serait donc
la moitié de la distance totale à parcourir, soit 6 m.
Soit
suit :
la vitesse atteinte à la fin de l’accélération. Elle dépend de la durée de l’accélération
Par ailleurs, la nouvelle distance parcourue pendant l’accélération
et
comme suit :
peut être calculée à partir de
On obtient ainsi un système de 2 équations à 2 inconnues. En remplaçant
valeur de la 1ère équation, nous avons :
(
comme
dans la 2ème équation par sa
)
On peut ainsi calculer la durée de l’accélération :
√
√
Le freina e durera le même temps que l’accélération. Le déplacement durera ainsi :
 Réponse – c
La vitesse maximum atteinte à mi-chemin vaut :
Vérification :
qui est bien la distance totale parcourue.
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Exercice 1.4.3
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Distance parcourue
La même grue (Exercice 1.4.2), dont la vitesse est limitée à 0,8 m/s, déplace une charge en 8 secondes. En
admettant qu’elle accélère et freine à 0, m s2, quelle distance a-t-elle parcouru ?
 Réponse
Durée de l’accélération :
Le freina e dure le même temps que l’accélération. En 8 secondes, la rue a exactement le temps d’accélérer
à sa vitesse max. de 0,8 m s, puis de freiner. La distance parcourue pendant l’accélération vaut alors :
La distance parcourue au freina e est é ale à celle parcourue pendant l’accélération. Comme le freina e suit
immédiatement l’accélération, la distance parcourue vaut :
Exercice 1.4.4
Vitesse moyenne, vitesse max.
A Atlanta en 1996, le canadien Donovan Bailey a battu le record olympique du 100 mètres en 9,84 secondes.
a) Quelle était sa vitesse moyenne ?
b) En admettant qu’il lui ait fallu ,8 secondes pour atteindre sa vitesse maximale, puis qu’il ait couru
toujours à la même vitesse, quelle fut sa vitesse maximale ?
 Réponse – a
Vitesse moyenne :
 Réponse – b
Vitesse maximale :
Soit
vaut :
sa vitesse maximale, qu’il s’a it de calculer. La distance parcourue pendant son accélération
Distance qu’il lui reste à parcourir après son accélération :
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Théorie des circuits linéaires
Temps nécessaire pour parcourir cette distance :
Or,
peut être calculé à partir du temps total et de la durée de l’accélération qui sont connus :
Des deux équations ci-dessus on tire :
Et finalement :
Exercice 1.4.5
{volontairement laissé vide}
Exercice 1.4.6
Poids d’une masse
Un bloc de ciment a une masse m de 40 kg. Quelle force faut-il exercer pour la tenir en l'air (à l'arrêt) ?
 Réponse
Exercice 1.4.7
Couple, moment d’une force
Pour assembler un moteur, il ne faut pas serrer les boulons avec un couple de serrage supérieur à 110 Nm
sous peine d’endomma er les filets. En supposant que l’on dispose d’une clé de 3 cm de lon ueur, quelle
force maximum peut-on exercer à son extrémité sans dépasser le couple de serrage autorisé ?
 Réponse
m
m
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 1.4.8
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Couple d’un treuil
 30 cm
Le cylindre d’un treuil a un diamètre de 30 cm. Quel couple faut-il exercer pour lever une charge de 200 kg ?
r
F
 Réponse
La force exercée sur le câble du treuil correspond au poids de la charge :
Le rayon r du cylindre est égal au demi-diamètre, soit 0,15 m.
Le couple T vaut donc :
Exercice 1.4.9
Énergie potentielle 1 – travail
Imaginons un treuil levant une masse de 50 kg sur une hauteur de 10 mètres. Calculer le travail que doit
exercer un ouvrier pour faire monter la masse.
 Réponse
Pour élever une masse de 50 kg, il faut lui appliquer une force égale à son poids, exprimé en [N] :
Le travail exercé vaut:
Exercice 1.4.10
Énergie potentielle 2
Le lac de la Grande Dixence contient 339 millions de mètres cubes d’eau. La différence d’altitude entre la
surface du lac et les turbines au bord du Rhône est de '884 mètres. Quelle est l’éner ie potentielle
disponible pour la fabrication d’électricité ?
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 Réponse
L’éner ie potentielle de cette eau correspond au travail qu’il aurait fallu pour l’élever de la hauteur donnée.
La masse d’un mètre cube d’eau est de tonne, soit '000 . Son poids s’obtient en multipliant sa masse par
l’accélération terrestre. On obtient ainsi :
(
Remarque :
Exercice 1.4.11
)
Dans ce calcul, on n’a pas tenu compte des pertes, et supposé un rendement de 00 %.
Puissance d’une grue
Une rue élève une caisse de 600
d’une hauteur de 0 m en
s. Quelle est la puissance développée ?
 Réponse
Exercice 1.4.12
Couple d’un moteur
Selon le catalo ue, le moteur d’une voiture a une puissance de 9
couple correspondant ?
à 4’000 r min. Quel est la valeur du
 Réponse
Vitesse angulaire du moteur en rad/s :
On en déduit :
Exercice 1.4.13
Énergie cinétique – 1
Un tennisman expédie une balle de tennis à 30 m h. Sachant qu’une telle balle a une masse de 8 , quelle
est son énergie cinétique juste après le lancer ?
 Réponse
Vitesse de la balle en m/s :
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L’éner ie cinétique vaut :
Exercice 1.4.14
Énergie cinétique – 2
Un TG d’une masse totale de 490 tonnes est lancé à 300 m h. Calculer son éner ie cinétique.
 Réponse
Vitesse du TGV en m/s :
L’éner ie cinétique du TG vaut :
Exercice 1.4.15
Énergie cinétique – 3
a) Une voiture de 1,5 t est lancée à 50 km/h. Quelle est son énergie cinétique ?
b) Supposant qu’elle accélère à 60 m h. Que devient son éner ie cinétique ?
c) Comparer l’au mentation de vitesse et celle de l’éner ie, exprimées en %, et expliquer la différence.
 Réponse – a
Vitesse initiale de la voiture en m/s :
Énergie cinétique :
 Réponse – b
Vitesse après accélération :
Énergie cinétique :
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 Réponse – c
Augmentation de vitesse :
Au mentation de l’inertie :
Quand la vitesse au mente de 0%, alors l’éner ie cinétique au mente de 44%.
On constate que l’éner ie cinétique au mente avec le carré de la vitesse.
Exercice 1.4.16
Vitesse d’une boule de billard au retour
Dans un bowling automatique, un dispositif renvoie la boule en lui imposant une vitesse v. On suppose que
celle-ci roule sans aucun frottement jusqu’à l’arrivée, vers les joueurs, et que cette vitesse est constante
pendant tout le trajet. A l’arrivée, la boule franchit un seuil de hauteur h avant de s’arrêter.
ω
v
h
La boule a une masse m = 6 kg. Son diamètre vaut d = 22 cm. Son inertie vaut J = 0,029 kgm2. Sa vitesse
v = 2,2 m/s.
a) Quelle est son énergie cinétique de translation (déplacement linéaire) ?
b) Quelle est son énergie cinétique de rotation (sur elle-même) ?
c) Quelle est l’éner ie potentielle disponible à l’arrivée pour franchir le seuil ?
d) Quelle est la hauteur max. h du seuil que la boule pourra franchir à l’arrivée ?
 Réponse – a
 Réponse – b
L’éner ie cinétique de la boule comporte un terme de translation et un terme de rotation. La vitesse de
rotation vaut :
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 Réponse – c
 Réponse – d
m
Exercice 1.4.17
Énergie d’une pile
Sachant qu’une pile neuve serait capable d’alimenter une ampoule électrique de ,
calculer l’éner ie disponible.
pendant , heure,
 Réponse
h
Exercice 1.4.18
s
h
Rendement d’un moteur
Un moteur électrique développe une puissance mécanique de
électrique de 24 kW. Calculer son rendement.
, alors qu’il absorbe une puissance
 Réponse
Exercice 1.4.19
{volontairement laissé vide}
Exercice 1.4.20
Rendement d’une centrale nucléaire
La puissance électrique fournie par une centrale nucléaire comme celle de Gösgen est de 1'165 MW. Son
rendement vaut approximativement 33%. Quelle puissance Thermique faut-il lui fournir ?
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
Ce qui correspond à l’éner ie produite par la fission nucléaire.
Exercice 1.4.21
Production électrique d’une éolienne
Une éolienne produit une puissance de 2,3 MW lorsque le vent est optimum. La production d’éner ie
mesurée pendant une année est de 3,0 GWh.
a) Quelle serait l’éner ie produite en une année, si la vitesse du vent était toujours optimale ? Exprimez
cette énergie en [J], en [kWh] et en [tep], ou leurs multiples.
b) Pourquoi l’éner ie produite mesurée en une année est-elle beaucoup plus faible que celle calculée cidessus ?
c) Quelle devrait être la puissance d’une installation qui produirait la même éner ie annuelle, mais de
manière constante ?
d) Combien faudrait-il d’éolienne de ce type pour fournir la totalité de l’éner ie consommée en Suisse
en 2011, soit 852 1015 J ?
 Réponse – a
Une année de 365 jours compte 8'760 heures, et chaque heure compte 3'600 secondes. Si la puissance fournie
de 2,3
était constante, l’éner ie produite en une année vaudrait :
4, 868
0
0
 Réponse – b
Le vent n’est pas toujours optimum. Par faibles vents, la puissance de l’éolienne diminue très fortement. Lors
de vents tempétueux, elle doit être bloquée pour éviter des dégâts et des risques dus à une vitesse de rotation
trop élevée.
 Réponse – c
L’éner ie produite en une année est donc de 3,0 G h au lieu des 0, G h calculés plus haut. Cela
correspond à une puissance constante égale à la puissance moyenne, calculée comme suit :
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 Réponse – d
La consommation d’éner ie en Suisse s’est élevée à 8
éoliennes de ce type, il en faudrait :
1015 J en 2011. Pour produire cette énergie avec des
La superficie de la Suisse étant de 41'285 km2, cela correspond à une éolienne tous les 3,66 km2.
Exercice 1.4.22
Comparaisons énergétiques
En vous référant aux informations données aux chapitres 1.1.2.11 et 1.1.2.12 du polycopié, exprimer en [tep]
l’éner ie consommée en 0 1 en Suisse, sous forme de combustibles pétroliers et de carburants (ensembles).
En estimant que les wagons-citernes contiennent en moyenne 46 tonnes de tels produits, et que leur longueur
est en moyenne de 12 m, déterminer quelle longueur aurait un train fournissant cette énergie.
 Réponse
En 0 , l’éner ie totale consommée en Suisse était de 8 0’000 T , dont 8, % sous forme de combustibles
pétroliers et 35,0% sous forme de carburants. Cela correspond à :
(
4, 868
)
0
0
Cela correspond au nombre de wagons-citernes suivants :
Un train avec autant de wagons aurait la longueur suivante :
Par comparaison, le réseau ferroviaire suisse compte un peu plus de 5'000 km.
1.5
Grandeurs de base de l’électricité
Exercice 1.5.1
Charge des électrons
Combien d’électrons faut-il déplacer pour créer une charge de 1 C ?
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 Réponse
Charge de 1 électron : Qe- = 1,602 · 10-19 C
Pour obtenir une charge de 1 C, il faut :
Exercice 1.5.2
Courant et charge
a) Quel courant correspond à un transfert de charge de 0,36 C en 9 secondes ?
b) Que devient ce courant si le transfert a lieu en 3 secondes seulement ?
 Réponse – a
C
s
A
mA
A
mA
 Réponse – b
C
s
Exercice 1.5.3
Loi d’Ohm – 1
Quelle est la résistance d’un chauffe-eau qui absorbe un courant électrique de 4, A lorsqu’on lui applique
une tension de 230 V ?
 Réponse
De la loi d’Ohm U
Exercice 1.5.4
R I on déduit :
Loi d’Ohm – 2
Une ampoule électrique absorbe 0,17 A sous 230 V. Quelle est sa résistance ?
 Réponse
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 1.5.5
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Loi d’Ohm – 3
Calculer le courant circulant dans le corps de chauffe d’une plaque électrique ayant une résistance de
alimentée par une tension de 400 V.
0 Ω,
 Réponse
A
Exercice 1.5.6
Loi d’Ohm – 4
Un fer à souder dont la résistance est de 3, Ω est alimenté sous 4 . Quel courant tirera-t-il de la source ?
 Réponse
A
Exercice 1.5.7
Loi d’Ohm – 5
On désire faire circuler un courant de 4 A dans un corps de chauffe de
appliquer ?
Ω. Quelle tension doit-on lui
 Réponse
Exercice 1.5.8
Loi d’Ohm – 6
Calculer la chute de tension dans un conducteur de 8 mΩ lorsqu’il est parcouru par un courant de
A.
 Réponse
m
Exercice 1.5.9
Loi d’Ohm – 7
Dans un éclair moyen circule un courant de 20 kA à un potentiel de 200 MV. Calculer la valeur de la
résistance offerte au passage du courant.
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
Résistivité et résistance – 1
Exercice 1.5.10
a) Quelle est la résistance d’un barreau en fer de 0 m de lon ueur,
lar eur lorsqu’une tension est appliquée entre ses deux extrémités ?
mm d’épaisseur et 0 cm de
5 mm
20 cm
10 m
b) Quelle serait sa résistance si la tension était appliquée entre ses faces supérieure et inférieure ?
 Réponse – a
Résistance entre les deux extrémités :
 Réponse – b
Résistance entre les faces supérieures et inférieures :
Remarque :
Exercice 1.5.11
Cette réponse est illusoire, car elle suppose que le courant se répartit uniformément sur
toute la surface du barreau. En réalité, il se focalise à proximité de la zone où le fil
d’amenée du courant est soudé. Ainsi, seule une partie des ,0 m2 du barreau est
parcourue par le courant. C’est un exemple typique d’un système réel pour lequel on
ne peut appliquer aveuglément un modèle.
Résistivité et résistance – 2
Quelle est la résistance d’un fil d’installation en cuivre de
m de lon ueur et mm2 de section ?
 Réponse
Ω
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 1.5.12
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Résistivité et résistance – 3
On désire réaliser un corps de chauffe dont la résistance soit 3, Ω avec du fil de constantan de 0, mm de
diamètre. Quelle longueur de fil faudra-t-il ?
 Réponse
La résistance R de ce fil est donnée par la relation ci-dessous en fonction de sa longueur l :
D’où on tire :
(
Exercice 1.5.13
)
Résistivité et résistance – 4
Un tronçon de ligne aérienne en cuivre, d’une section de , mm2, a été brûlé lors d’un incendie, et doit être
replacée d’ur ence pour les opérations de déblaiement. On ne dispose que de fil de fer de 3 mm de diamètre.
Que faire ?
 Réponse
Le fer est é alement conducteur de l’électricité, et pourrait être utilisé comme solution de secours. Par
contre, sa résistivité ρFe = ~100 · 10-9, soit , fois moins bonne que celle du cuivre. Il faudra donc s’assurer
en tirant plusieurs fils de fer en parallèle que la section de l’ensemble soit au moins , fois supérieure à celle
du fil de cuivre remplacé, soit 14,3 mm2.
La section du fil de fer vaut :
(
)
Il faudra donc tirer 2 fils de fer en parallèle pour obtenir une section suffisante, donc une résistance à peu
près équivalente à celle du fil de cuivre.
Exercice 1.5.14
Chute de tension dans la caténaire d’un chemin de fer
Une locomotive tire un train à la montée sur une ligne de montagne. La puissance électrique consommée est
de 4,0 MW sous une tension de 14,8 kV.
La caténaire (fil aérien alimentant la locomotive) est constituée d’un fil de cuivre de 0 mm de diamètre
(ρ = 17,5 · 10-9 Ωm). La voie est constituée de rails en acier (ρ = 100 · 10-9 Ωm), dont la section est de
49 cm2.
En admettant que la locomotive se trouve à 4 km de la sous-station qui alimente la ligne, calculer la chute de
tension provoquée par la circulation du courant dans la caténaire et dans les rails.
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
Courant approximatif consommé par la locomotive :
Résistance de la caténaire (1 fil, en cuivre) pour une distance de 4 km) :
(
)
Résistance de la voie (2 rails en fer, en parallèle) pour une distance de 4 km) :
Chute de tension provoquée par la circulation du courant dans la caténaire en série avec la voie :
(
Exercice 1.5.15
)
Tuyau utilisé comme parafoudre
On souhaite utiliser un tuyau en fer comme conducteur électrique, par exemple pour une protection en cas de
coup de foudre. Les caractéristiques de ce tuyau sont les suivantes :




Longueur :
Diamètre extérieur :
Diamètre intérieur :
Résistivité du fer :
L = 25 m
De = 35 mm
Di = 29 mm
ρ = 100 · 10-9 Ωm
a) En supposant que le tuyau est vide, quelle est la résistance R de ce tuyau ?
b) Lors d’un ora e, un éclair y fait circuler un courant de 0 A. Quelle est la tension entre ses deux
extrémités ?
 Réponse – a
(
(
)
)
 Réponse – b
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 1.5.16
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Puissance et rendement d’un moteur
a) Évaluer la puissance consommée par un moteur qui tire 15 A sous 24 V.
b) Sachant qu’il délivre un couple utile de
m à 3’000 min-1, calculer son rendement.
c) On inverse son fonctionnement en lui fournissant une puissance mécanique de 300 W. Quel
puissance électrique délivre-t-il alors en régime de freinage ?
 Réponse – a
La puissance consommée correspond à la puissance électrique :
 Réponse – b
La puissance utile est la puissance mécanique à l’arbre :
(
)
Rendement :
 Réponse – c
Au freina e, c’est la puissance mécanique qui est la puissance fournie, et la puissance électrique qui est la
puissance utile. La valeur du rendement peut être considérée comme identique, puisque le moteur est un
dispositif réversible, et qu’il travaille approximativement dans les mêmes conditions de vitesse et de couple,
aux signes près. Nous avons donc :
Exercice 1.5.17
Puissance dissipée par une ligne électrique
Un courant de 3 A circule entre deux points d’une installation électrique, et dissipe une puissance de 18 W.
Quelle est la tension entre ces deux points ?
 Réponse
Entre les deux points de l’installation, c’est la « résistance de li ne » qui provoque la dissipation de 8
Cela correspond à une chute de tension de :
22
.
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Exercice 1.5.18
Théorie des circuits linéaires
Puissance d’une ampoule électrique
a) Évaluer le courant consommé par une ampoule électrique de 60 W sous 230 V.
b) Quelle est sa résistance ?
c) Que deviennent le courant et la puissance de cette ampoule si sa résistance est réduite de moitié ?
d) Quel est son rendement, sachant que l’éner ie lumineuse utile est de 0
?
 Réponse – a
 Réponse – b
 Réponse – c
Si R est diminué de moitié :
Le courant double, la puissance aussi.
 Réponse – d
Exercice 1.5.19
Puissance et énergie consommée – 1
a) L’éclaira e d’une maison est assuré par 9 lampes de 60
consommée par ces lampes en 4 heures.
. Quelle est l’éner ie (en
h)
b) Sachant que l’électricité coûte 6 centimes (suisses) par ilowattheure, et supposant que ces lampes
brûlent chaque nuit pendant une année, que coûtera cet éclairage ?
c) Quel serait le gain si elles sont remplacées par des lampes dites économiques, fournissant la même
lumière tout en ne consommant que 15 W ?
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23
Théorie des circuits linéaires
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 Réponse – a
Éner ie consommée pour l’éclaira e en 4 heures:
 Réponse – b
En admettant qu’elles sont allumées
heures par nuit pendant une année, elles consomment :
(
)
Dépense pour l’éclaira e :
 Réponse – c
Avec des lampes économiques de 15 W, la consommation baissera à ¼ de la consommation des lampes
traditionnelles. L’économie réalisée sera de :
Exercice 1.5.20
Puissance et énergie consommée – 2
Un grille-pain branché sur 230 V consomme 3 A. Quelle est sa puissance et quelle énergie (en kWh)
consomme-t-il pour faire des toasts en 5 minutes ?
 Réponse
Puissance de l’appareil :
Energie consommée :
Exercice 1.5.21
Puissance, rendement et consommation électrique d’un treuil
Avec le treuil de l’Exercice 1.4.8, on lève une charge de 200 kg sur une hauteur de 20 m, en 10 s. Quelle
puissance mécanique devra fournir le moteur d’entraînement ?
En admettant que le rendement du système moteur-réducteur-treuil est de 60%, et que le moteur est alimenté
sous 230 V, quel courant consommera-t-il ?
Cette opération est répétée 90 fois par heure, 16 heures par jour. Quelle sera la consommation journalière ?
24
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
Puissance mécanique du treuil :
Puissance électrique :
Courant consommé :
En un jour, la durée de fonctionnement est :
Énergie consommée par jour, exprimée en [kWh] :
ou, exprimée en [J] :
(
Exercice 1.5.22
)
Consommation moyenne d’un téléviseur
Un poste de télévision est utilisé 3 heures par jour et consomme alors 120 W. Le reste du temps, il reste en
« stand-by » et consomme 7 W.
a) Quelle énergie, exprimée en kWh, consomme cet appareil en 1 année ?
b) De combien baisserait cette consommation, en %, si on retirait systématiquement la prise de cet
appareil au lieu de le laisser en « stand-by » ?
 Réponse – a
Consommation en 1 jour :
(
)
 Réponse – b
Consommation en 1 jour :
L’économie est de 4
h.
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Théorie des circuits linéaires
Chapitre 2
2.1
HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Principes généraux
(Pas d’exercices spécifiques)
2.2
Circuits électriques
Exercice 2.2.1
Loi de Kirchhoff sur les nœuds – 1
Trouver la valeur et le sens réel du courant I pour les nœuds ci-dessous :
a)
b)
c)
 Réponse – a
I + 7 – 2 = 0, donc : I = –5 A
 Réponse – b
I + –[(–9)] + (–4) = 0, donc : I = –5 A
 Réponse – c
–I + 8 + (–2) + (–4) + 3 = 0, donc : I = 5 A
26
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HEIG-VD
Exercice 2.2.2
Théorie des circuits linéaires
Loi de Kirchhoff sur les nœuds – 2
Dans le circuit représenté ci-dessous, calculer le courant I en appliquant les lois de Kirchhoff.
I1 = -3 A
I2 = 2 A
I3 = 4 A
I=?
 Réponse
Dans un premier temps, il convient de mettre en cause la modélisation proposée pour le système en question.
Il n’est pas nécessaire de représenter les 4 résistances de la maille, alors qu’on ne s’intéresse pas du tout aux
courants qui les traversent. Il est préférable de les remplacer par un « ros nœud ». On pourra alors y
appliquer la loi de Kirchhoff sur les nœuds.
I1 = -3 A
I2 = 2 A
I3 = 4 A
I=?
Pour appliquer cette loi, les 4 références de courant doivent être orientées vers le nœud. On obtient ainsi :
I1 = -3 A
I3’= -4 A
I2 = 2 A
I’ = ?
(
)
(
)
Donc :
A
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 2.2.3
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Lois de Kirchhoff sur les nœuds et les mailles
Dans le circuit représenté ci-dessous, calculer les courants I1, I2 et I3 ainsi que les tensions U1, U2 et U3 en
appliquant les lois de Kirchhoff.
U3
0,3 A
I1
U1
4V
500 mA
I2
100 mA
5V
300 mA
200 mA
I3
U2
6V
-4 V
 Réponse
Pour les 3 courants, on prend en considération les 3 nœuds mis en évidence ci-dessous. Dans chaque nœud,
on corrige le sens de référence pour avoir tous les courants « entrants », ou tous les courants « sortants ».
Chaque valeur de courant dont on a dû inverser le sens de référence est alors inversé. Ces cas sont soulignés
dans la figure ci-dessous. On calcule ainsi successivement :
(–0,3 A) + 0,1 A + I1 = 0, donc : I1 = +0,2 A
0,2 A + I2 + 0,2 A = 0, donc : I2 = –0,4 A
0,2 A + 0,5 A + (–I3) + (–0,3 A) = 0, donc : I3 = +0,4 A
U3
-0,3 A
5V
4V
I1
U1
500 mA
-I3
U2
-4 V
28
I2
100 mA
-300 mA
200 mA
6V
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Théorie des circuits linéaires
Pour les 4 tensions, on prend en considération les 3 mailles mises en évidence ci-dessous. Dans chaque
maille, on corri e le sens de référence pour avoir toutes les tensions orientées dans le même sens lorsqu’on
parcourt la maille. Chaque valeur de tension dont on a dû inverser le sens de référence est alors inversée. Ces
cas sont soulignés dans la figure ci-dessous. On calcule ainsi successivement :
(–4 V) + (–5 V) + U1 = 0, donc : U1 = 9 V
9 V + (–4 V) + U2 = 0, donc : U2 = –5 V
(–5 V) + U3 + (–6 V) = 0, donc : U3 = 11 V
U3
0,3 A
-5 V
-4 V
I1
500 mA
I2
100 mA
U1
I3
U2
-6 V
-4 V
2.3
300 mA
200 mA
Combinaisons simples de résistances
Exercice 2.3.1
Résistances en série
Calculer la valeur de la résistance équivalente du groupement de résistances ci-dessous. Calculer la tension
aux bornes de chaque résistance.
120 
40 
150 
8,3 V
 Réponse
Re
3 0Ω
U120 Ω = 3,2 V
U40 Ω
= 1,1 V
U150 Ω = 4,0 V
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 2.3.2
HEIG-VD
Résistances en parallèle
Calculer la valeur de la résistance équivalente du groupement de résistances ci-dessous. Calculer le courant
parcourant chacune des branches.
40 
3,5 mA
70 
 Réponse
, Ω
Re
U70 Ω = U40 Ω = 89 mV
Exercice 2.3.3
I40 Ω
= 2,2 mA
I70 Ω
= 1,3 mA
Calcul d’une résistance équivalente – 1
Calculer la valeur de la résistance équivalente du groupement de résistances ci-dessous.
Calculer le courant de chacune des branches, ainsi que la tension aux bornes de l’ensemble.
30 
47 
70 
27 mA
 Réponse
Re
68 Ω
U70 Ω = U30 Ω = 1,89 V
I30 Ω
= 63 mA
I47 Ω
= 90 mA
U47 Ω
= 4,23 V
Uensemble = 6,12 V
30
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Exercice 2.3.4
Théorie des circuits linéaires
Calcul d’une résistance équivalente – 2
Calculer la résistance équivalente du montage suivant :
2
1
4
5
3
6
 Réponse
On calcule successivement (toutes les valeurs ci-dessous en [Ω]) :
2 // 4 = 2 · 4 / (2 + 4) = 1,33
1 + 1,33 = 2,33
2,33 // 3 = 1,31
5 + 1,31 = 6,31
Re
Exercice 2.3.5
6,3
6
3,08 Ω
Calcul d’une résistance équivalente – 3
On désire introduire une résistance additionnelle de , Ω dans un circuit afin de limiter l’intensité de
courant. On ne dispose toutefois que de résistances de 0 Ω. Que faire ?
 Réponse
Il faut mettre 8 résistances de 0 Ω en parallèle.
Exercice 2.3.6
Calcul d’une résistance équivalente – 4
On utilise 6 isolateurs en porcelaine pour fixer les câbles d’une li ne à haute tension de 132 kV à un pylône.
En considérant que ces isolateurs sont tous identiques, calculer la valeur de la tension aux bornes de chaque
isolateur.
 Réponse
On peut considérer chaque isolateur comme une résistance de valeur très élevée. Les 16 isolateurs sont en
série.
Chacun d’eux est soumis à une tension U = 132 kV / 16 = 8,25 kV.
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Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
Calcul d’une résistance équivalente – 5
Exercice 2.3.7
Déterminer la résistance équivalente au circuit suivant :
R1
00 Ω
R2
0Ω
R3
0Ω
R4
80 Ω
R5
0Ω
R6
00 Ω
R7
330 Ω
R8
33 Ω
 Réponse
et
sont en parallèle :
et
sont en parallèle :
et
sont en série :
R5 et R6 sont en série :
,
32
et
sont en parallèle :
et
sont en série :
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Théorie des circuits linéaires
Calcul d’un circuit avec potentiomètre
Exercice 2.3.8
Donner la fonction de la valeur de la résistance équivalente Re = f(R; α) du schéma ci-dessous, qui dépend de
la position α du potentiomètre. Cette position α varie de 0,0 à 1,0. Calculer quelques points particuliers et
dessiner la fonction pour l'intervalle 0 ≤ α ≤ .
Re
R
1
R
0
R
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0

 Réponse
Si l'on remplace le potentiomètre par 2 résistances de valeur α · R et (1 – α) · R, le schéma peut être redessiné
comme représenté plus bas. On peut calculer alors la résistance équivalente de l'ensemble comme suit :
(
)
(
)
(
(
(
)
(
(
)
) (
)
)
(
)
)
Re
2R
R
R
R
a
Re / R
0%
25%
50%
75%
100%
2.00
1.95
1.83
1.68
1.50
R
1,5 R
0
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0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0

33
Théorie des circuits linéaires
2.4
HEIG-VD
Sources de tension et de courant
Exercice 2.4.1
Modélisation d’une batterie par une source réelle de tension
La batterie d'une automobile a une tension à vide de 14,2 V. Lorsqu'on active le démarreur, celui-ci
consommant 22 A, on constate que la tension aux bornes de la batterie n'est plus que de 11,6 V.
Quelle est la résistance interne de cette batterie ?
 Réponse
A
En négligeant les autres consommateurs, on peut dire que lorsque la résistance interne est chargée à 22 A, la
chute de tension à ses bornes vaut :
La résistance interne vaut donc :
Exercice 2.4.2
Source réelle de tension en court-circuit
Quel courant peut théoriquement débiter la batterie de l'exercice précédent si on court-circuite
malencontreusement ses bornes avec une clé à fourche ?
Est-ce que le matériau de la clé joue un grand rôle sur ce courant de court-circuit ?
Justifiez votre réponse.
 Réponse
En admettant que la résistance du court-circuit Rcc est nulle, le courant n'est limité que par la résistance
interne de la batterie. On a donc :
Nous faisons les hypothèses suivantes :
- la clé à fourche est en acier (ρAc
00
0-9 Ωm),
- sa section A est de 1 cm2,
- la distance d entre les 2 bornes de la batterie est de 20 cm.
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Théorie des circuits linéaires
La résistance de la clé vaut alors :
mΩ
En comparant :
mΩ
court-circuit est négligeable.
Exercice 2.4.3
mΩ, nous en concluons que son influence sur le courant de
Cas de charge d’une source réelle de tension
Une pile a une tension à vide de 4,
et une résistance interne de
de caractéristique inconnue, on ne mesure plus que 4,45 V.
Ω. Après y avoir connecté une ampoule
a) Quelle est la résistance électrique de cette ampoule ?
b) Quelle est la précision de cette valeur si la mesure de tension se fait avec un appareil qui garanti une
erreur de mesure inférieure à 1 mV et que la résistance interne est donnée avec une précision de
±0,1% ?
 Réponse – a
U0 = 4,5 V
Ri
Ω
Ucharge = 4,45 V
La chute de tension sur la résistance interne provoquée par le courant de charge est :
Donc le courant de charge vaut :
La résistance de cette ampoule vaut :
 Réponse – b
L’incertitude, ou erreur absolue, du résultat du calcul de la chute de tension aux bornes de la résistance
interne est égale à la somme de la valeur absolue des erreurs de chaque mesure :
(|
|
|
|)
(
)
Donc :
L’erreur relative sur ce résultat vaut :
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Théorie des circuits linéaires
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L’erreur relative sur le calcul de la résistance de l’ampoule Rampoule est égale à la somme des erreurs relatives
sur les variables :
L’erreur absolue sur la valeur de la résistance est de :
89 ± 3, Ω.
On écrira donc que la résistance vaut
Modélisation d’une source réelle de tension à partir de 2 essais
Exercice 2.4.4
Des mesures réalisées sur une source réelle de tension ont donné une tension de 100 V aux bornes pour une
résistance de char e de 00 Ω, et 0
pour une char e de 0 Ω. Établir le modèle de cette source par voie
analytique (en appliquant les formules), puis par voie graphique (en raisonnant sur la caractéristique d'une
source réelle de tension).
 Réponse
On a 2 cas de charge distincts, pour lequel on peut calculer le courant que la source fournit à la charge ;
{
{
La tension à vide et la résistance interne de la source de tension sont des inconnues. Il s'agit donc de résoudre
le système de 2 équations à 2 inconnues suivant :
{
{
En résolvant ce système, on obtient Ri et Uo :
36
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Théorie des circuits linéaires
On obtient le même résultat par voie graphique, en considérant que la droite caractéristique de la source
passe par les 2 points (1 A; 100 V) et (0,5 A; 105 V).
U [V]
110
U(I)
(I;U)
105
100
I [A]
95
0
0.5
1
1.5
La pente de cette droite vaut :
Ce qui fixe la résistance interne
.
L'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées se calcule alors par :
Exercice 2.4.5
Sources réelles de tension mises en parallèle
Une batterie de voiture est chargée à 4 . Celle d’une autre voiture en panne est totalement déchar ée.
Lorsqu’on ponte les deux batteries, on constate que la tension baisse de 30% environ. Expliquer ce
phénomène. Quelles pourraient être les raisons qui expliquent que la baisse n’est pas de 50 % ?
 Réponse
Chaque batterie peut être assimilée à une source réelle de tension, dont les tensions à vide valent 14 V et 0 V
respectivement. Si leurs résistances internes sont identiques et si on néglige la résistance du câble de
pontage, la tension aux bornes devrait être de 50%, soit 14 V (diviseur de tension).
Si l’on tient compte de la résistance du câble de ponta e, et si l’on admet que la batterie déchar ée est
dé radée, donc que sa résistance interne est plus élevée qu’une batterie neuve, la tension aux bornes de la
batterie chargée est plus élevée que 50%, et pourrait atteindre 70%. Cela correspond à une baisse de tension
de 30% par rapport à la tension sans câble de pontage.
Exercice 2.4.6
Source réelle de tension en charge
La tension de sortie d’une alimentation électrique baisse de 0% lorsqu’on la char e avec une résistance de
1 Ω. Quelle est sa résistance interne ?
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Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse
RL
Ω
UL = (1 – 0%) U0
0,8 U0 V
Par l’équation de la source réelle de tension et la loi d’Ohm, nous avons équations avec 3 inconnues, soit la
tension en charge UL, la tension à vide U0 et la résistance interne RL, qui seule nous intéresse.
{
De la 2ème équation on tire :
En remplaçant I dans la 1ère équation :
En simplifiant par
:
Et finalement :
Exercice 2.4.7
Modélisation d’une source réelle de courant avec 2 essais
Une source réelle de courant délivre un courant de 190 mA en court-circuit. A vide, on mesure à ses bornes
une tension de 52 V. Quelles sont ses caractéristiques ?
 Réponse
Le courant de court-circuit est donné :
I0 = 190 mA
Comme la tension à circuit ouvert vaut 52 V, on obtient :
38
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Exercice 2.4.8
Théorie des circuits linéaires
Caractérisation d’une source réelle de tension
On souhaite caractériser une source réelle de tension, caractérisée par U0 et Ri. Pour ce faire, on procède à 2
essais, qui fournissent les résultats suivants :


Si on y applique une résistance RL
Si on y applique une résistance RL
,
Ω, on mesure U = 14,9 V à ses bornes.
Ω, on mesure U = 14,5 V à ses bornes.
a) Quelles sont les caractéristiques U0 et Ri de la source réelle de tension ?
b) Que vaudrait la tension U si on applique une résistance RL = 4,7 kΩ ?
 Réponse – a
Le courant fournit par la source se calcule par :
Suite aux 2 essais dont nous connaissons les résultats, nous pouvons en tirer un système de 2 équations à 2
inconnues :
{
En résolvant ce système, par exemple en faisant soustrayant la 2ème de la 1ère équation, nous obtenons :
En introduisant cette valeur dans l’une ou l’autre équation, nous obtenons :
 Réponse – b
Connaissant le modèle de la source réelle de tension, on peut calculer d’abord le courant fourni :
On en déduit alors la tension aux bornes de la charge RL :
Remarquons qu’en appliquant l’équation d’un diviseur de tension, on obtient directement le même résultat :
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39
Théorie des circuits linéaires
2.5
HEIG-VD
Méthode de réduction des circuits
Exercice 2.5.1
Analyse d’un circuit électrique – 1
Si la tension entre les points 1 et 2 du circuit ci-dessous est de 40 V, quelle est la tension entre les points 2 et
4?
Et entre les points 3 et 4 ?
 Réponse
Il convient de redessiner le circuit, par exemple comme suit :
1=3=4
U
R1
R2
2
Les réponses deviennent alors évidente : les points , 3 et 4 sont confondus (même nœud), ils sont tous les
trois au même potentiel.
La différence de potentiel entre les points 4 et 2 est donc égale à U, soit 40 V.
La différence de potentiel ou tension entre ces 3 points est donc nulle.
40
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Exercice 2.5.2
Théorie des circuits linéaires
Analyse d’un circuit électrique – 2
Le schéma ci-dessous représente un réseau de distribution d'électricité.
a) Proposer une représentation qui fasse mieux apparaître les nœuds et les mailles.
b) Calculer la puissance fournie à chacune des charges X et Y.
Centrale B
12 A
60 A
1500 Ω
Centrale A
6000 Ω
Charge
Y
300 Ω
Charge
X
3600 Ω
c) Calculer la puissance fournie par chaque centrale (chaque source réelle).
 Réponse – a
Il faut représenter les 2 sources réelles de courant en parallèle, chargés par les 2 résistances de charge en
parallèle.
 Réponse – b
Nous obtenons une source de courant équivalente caractérisée par :
Nous pouvons déterminer une source de tension équivalente :
La charge équivalente vaut :
Nous avons un diviseur de tension, et la tension aux bornes des charges vaut :
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41
Théorie des circuits linéaires
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Les puissances fournies aux charges valent ainsi :
 Réponse – c
Il faut calculer la puissance fournie par chaque source idéale, puis en soustraire la puissance consommée par
la résistance shunt correspondante. Seule la différence « sort » de la source réelle de courant.
Exercice 2.5.3
Analyse d’un circuit électrique – 3
Dans le circuit suivant, calculer les courants traversant R pour R
Ω, 0 Ω, 00 Ω.
 Réponse
On reconnaît un diviseur de tension en char e, et il suffit d’appliquer la formule du cours.
I2 Ω = 1,5 A
I10 Ω = 0,5 A
I100 Ω = 0,05 A
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Exercice 2.5.4
Théorie des circuits linéaires
Analyse d’un circuit électrique – 4
Calculer la tension aux bornes de chacune des résistances du circuit ci-dessous :
 Réponse
U1kΩ = 10 V
U2kΩ = 2,22 V
U3kΩ = 3,33 V
U4kΩ = 4,44 V
Exercice 2.5.5
Analyse d’un circuit électrique – 5
Calculer les courants passant par chacune des résistances du circuit ci-dessous :
 Réponse
I1kΩ = 5,2 mA
I2kΩ = 2,4 mA
I3kΩ = 1,6 mA
I4kΩ = 1,2 mA
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43
Théorie des circuits linéaires
Exercice 2.5.6
HEIG-VD
Puissance 1cbvdissipée par une résistance dans un circuit
Les résistances de charges ci-dessous ont été conçues pour supporter en permanence une puissance spécifiée
dans leur fiche de caractéristiques. Sont-elles adaptées pour être connectées aux bornes AB de la source cidessous, et en particulier:
a) si chaque résistance est connectée séparément ?
b) si toutes les trois résistances sont connectées ensemble ?
Ri=2000
A
R1
100V
2k
1W
R2
10k
½W
R3
30k
¼W
B
 Réponse – a
Avec 2 kΩ :
(
)
(
)
(
)
Ces 3 résistances sont surchargées.
 Réponse – b
Résistance équivalente aux 3 résistances de charge mises en parallèle :
En appliquant la formule de l’effet Joule, on obtient pour chaque résistance :
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Exercice 2.5.7
Théorie des circuits linéaires
Analyse d’un circuit électrique – 6
Le circuit ci-dessous est raccordé à une batterie. On mesure alors
à ses bornes. On constate que si l’on
ajoute la résistance R de 4 Ω, la tension aux bornes de cette batterie baisse de 00 m .
Calculer la tension à vide et la résistance interne de la batterie, puis le courant et la tension pour chacun des
éléments du circuit.
Indice :
Il existe solutions. L’une est plus plausible que l’autre. Laquelle ?
 Réponse
Sans résistance R additionnelle, la résistance équivalente :
En utilisant l’équation du diviseur de tension on obtient :
Avec la résistance R additionnelle, la résistance équivalente :
En utilisant l’équation du diviseur de tension on obtient :
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Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
Nous avons 2 inconnues, avec 2 équations. En éliminant U0 de ces 2 équations, nous obtenons
successivement :
(
)
(
)
(
)
(
)
Nous pouvons maintenant en tirer la valeur de la tension à vide :
Contrôle :
En ajoutant la résistance R en parallèle, nous obtenons bien :
Exercice 2.5.8
Analyse d’un circuit électrique – 7
Déterminer la source de tension U0 pouvant injecter un courant de
mentionné ci-dessous.
R1 = 8 Ω
R4 = 4 Ω
mA dans la résistance de 3 Ω du circuit
R6 = 1 Ω
I7 = 75 mA
R3 = 7 Ω
U0 = ?
R5 = 6 Ω
R7 = 3 Ω
R8 = 2 Ω
R2 = 12 Ω
 Réponse
(
)
(
)
A
A
A
(
46
)
(
)
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Exercice 2.5.9
Théorie des circuits linéaires
Analyse d’un circuit électrique – 8
Dans le circuit ci-dessous, la résistance de 00 Ω dissipe 4 fois plus de chaleur que la résistance R. Calculer
la puissance de la source de tension, et la valeur de R, sachant que la source débite un courant de 6 A.
100 Ω
R
6A
U
 Réponse
La loi de Kirchhoff sur les mailles nous donne :
La loi de Kirchhoff sur les nœuds nous donne :
Nous en tirons :
La loi de Joule nous donne :
Comme
, nous en tirons successivement :
(
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)
47
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
En combinant avec la valeur de R obtenue plus haut, nous obtenons, successivement :
(
(
(
De là, nous pouvons calculer la puissance dans
fournie par la génératrice :
)
)
)
, puis celle dans
, et finalement la puissance totale
La valeur de R est donnée par :
Exercice 2.5.10
Diviseur de tension (en charge)
Le circuit ci-dessous représente un diviseur de tension permettant d’alimenter la char e R
00 Ω à une
tension de 10 V, 20 V, 30 V et 40 V. Déterminer les valeurs des quatre résistances du diviseur. Le cahier des
charges précise également que la puissance consommée par le diviseur non chargé ne doit pas dépasser 8 W.
Nous désignons les 4 résistances, du bas vers le haut, par R1, R2, R3 et R4.
48
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
Pour respecter le critère de puissance, on fixe la somme des 4 résistances à 00 Ω. En effet :
∑
∑
On reconnaît un diviseur de tension en charge. Comme la somme des résistances est constante, et que seul le
rapport de résistance varie, on peut calculer comme si nous avions un potentiomètre de 00 Ω, le rapport α
devant être calculé pour chacune des positions. En partant de l’équation qui donne la tension de sortie sur un
diviseur de tension en charge, nous obtenons successivement :
[
[⏟
⏟
(
(
] [(
] [(
)
)
)
)
]
]
⏟
(
(
)
)
(
)
En résolvant cette équation du 2ème degré pour les 4 cas de figure, nous obtenons les 4 valeurs de α
nécessaires, et les valeurs des 4 résistances :
Pour
:
(
)
√
Pour
:
(
)
√
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49
Théorie des circuits linéaires
Pour
HEIG-VD
:
(
)
(
)
√
Pour
:
Dans ce cas, le curseur est tout en haut (
Exercice 2.5.11
). Il n’y a même pas besoin de résoudre l’équation.
Calcul d’erreur sur un circuit
Considérant le diviseur de tension de l’Exercice 2.5.10, quelle est l’erreur de tension pour chaque position,
exprimées en %, si la charge RL varie de 5 % ?
 Réponse
Calculons le premier cas, avec
:
(
[
(
)
(
)
)
]
(
)
Il suffit de procéder de même pour obtenir :
Pour le dernier cas, il n’y a pas de différence, puisque le curseur est tout en haut, et que la char e est alors
reliée directement à la source idéale de tension. Donc :
.
50
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Exercice 2.5.12
Théorie des circuits linéaires
Analyse d’un circuit électrique – 9 (pont de Wheatstone)
Considérant le circuit ci-dessous, prouver que, si le courant dans R3 est nul, les résistances R1 et R2 d’une
part, R4 et R5 d’autre part, sont dans le même rapport.
R4
R1
R3
R2
R5
 Réponse
Si le courant dans R3 est nul, on a 2 diviseurs de tension sans charge. Nous avons donc bien :
Exercice 2.5.13
Analyse d’un circuit électrique – 10
Dans le circuit ci-dessous, la puissance dissipée par la résistance de 6 Ω est de
courants et tensions.
0
. Calculer tous les
6
10 
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30 
51
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse
√
√
Exercice 2.5.14
Analyse d’un circuit électrique – 11 (calcul de puissance)
Une résistance de
Ω est connectée en série avec la bobine d’un relais dont la résistance est de 80 Ω. Si une
tension de 48 V est appliquée à cet ensemble, quel sera le courant dans la bobine ? Quelle sera la puissance
dissipée dans la résistance de
Ω?
 Réponse
Ω
Ω
A
=16,7 W
Ω
=5,2 W
Exercice 2.5.15
Analyse d’un circuit électrique – 12 (calcul de puissance)
Calculer la puissance fournie par la source idéale de courant I au circuit ci-dessous.
R1
5
4A
I
52
R2
R3
4
2
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
A
A
Exercice 2.5.16
Puissance dissipée dans un circuit avec résistance variable
Dans le circuit ci-dessous, on sait que U = 15 V et R2 900 Ω. De plus, R1 est une résistance variable (voir
symbole), dont la valeur dépend d'une grandeur x comprise entre 0 et 2/3, avec la relation suivante :
( )
Calculer la fonction P2(x) correspondant à la puissance dissipée dans la résistance R2 en fonction de x.
Calculer quelques points et dessiner la courbe P2(x).
P2(x)
R1(x)
U
R2
x
TE22_02.dsf
0
0,5
1
 Réponse
Il faut calculer tout d'abord le courant traversant ces 2 résistances, en fonction de x :
On peut alors calculer la puissance dissipée dans R2 :
( )
(
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)
(
)
(
)
(
)
53
Théorie des circuits linéaires
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Nous pouvons calculer les points demandés et tracer la courbe.
x [%]
P2(x)
0%
0,09
25%
0,12
50%
0,18
66,7%
0,25
0.3
P2(x) [W]
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.000
Exercice 2.5.17
x [%]
0.250
0.500
Puissance fournie à une charge de résistance variable – 1
Une source de tension de 00
possède une résistance interne de 0 Ω. Elle alimente une char e R.
Déterminer la valeur du courant I et de la tension U aux bornes de la charge, à mesure que sa résistance varie
de zéro à l’infini.
Pour quelle valeur de R la dissipation de puissance dans la charge est-elle maximale ?
Que vaut alors cette puissance ?
 Réponse
(
)
Graphiquement, on constate que la puissance dissipée dans R est maximum lorsque R
de 250 W.
54
0 Ω. Elle est alors
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Théorie des circuits linéaires
0.3
0.25
P [kW]
0.2
0.15
0.1
0.05
0
R [Ω]
0
5
10
15
20
25
Nous pouvons le démontrer en calculant la dérivée de la puissance relativement à R, puis en cherchant la
valeur de R qui l’annule :
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
Cette dérivée s’annule lorsque le numérateur est nul, donc lorsque :
√
Évidemment, seule la solution positive est valable.
Pour cette valeur de R, la puissance qu’elle dissipe vaut :
(
Exercice 2.5.18
)
Puissance fournie à une charge de résistance variable – 2
Une source d’alimentation donne une tension de 4
10 A, la tension à ses bornes baisse de 100 mV.
à circuit ouvert. Lorsqu’on lui applique une char e de
a) Calculer la résistance interne de cette source.
b) Quelle est la puissance maximale qu’elle peut débiter dans une char e dont la résistance est
variable ?
 Réponse – a
ous partons de l’équation d’une source réelle de tension :
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55
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse – b
Le courant dans une charge RL vaut :
Nous en tirons, successivement :
(
Nous constatons que, si
et si
,
)
, alors que pour des valeurs intermédiaires,
.
Il y a donc au moins un maximum, lorsque la dérivée de PL et fonction de RL est nulle.
(
)
) (
(
)
Cette dérivée s’annule lorsque le numérateur est nul, soit pour :
Donc, pour
.
Dans ce cas, la puissance débitée dans la charge vaut :
(
Remarque :
Exercice 2.5.19
)
La conclusion de cet exercice est importante. La puissance max. que peut délivrer une
source réelle de courant est obtenue lorsque la résistance de charge est égale à la
résistance interne.
Puissance fournie à une charge de résistance variable – 3
Déterminer la valeur de la résistance variable (potentiomètre) R, pour un transfert de puissance maximale
aux bornes AB du circuit ci-dessous.
R1
R3
10
5
U
R2
100V
15
A
R
B
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
En application du théorème de Thévenin, nous pouvons déterminer une source réelle de tension équivalente
au circuit à gauche des points A et B. La résistance interne de cette source équivalente est égale à la
résistance équivalente de cette partie du circuit, la source de tension étant désactivée, donc remplacée par un
court-circuit. Nous avons ainsi :
En utilisant la conclusion de l’exercice précédent, la puissance max. que peut débiter cette source dans la
charge est obtenue lorsque :
Exercice 2.5.20
Puissance dissipée par les composants d’un circuit
Déterminer la puissance totale délivrée par la source de 60 V du circuit ci-dessous. Calculer ensuite la
puissance consommée par chaque résistance.
R1
7
R4
U
R2
R3
60V
12
6
7
R5
5
 Réponse (sans détail des calculs)
En calculant les courants circulant dans chacune des résistances, nous obtenons finalement :
Ptotal = 360 W
P1 = 252 W
P2 = 27 W
P3 = 54 W
P4 = 15,8 W
P5 = 11,2 W
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57
Théorie des circuits linéaires
Exercice 2.5.21
HEIG-VD
Puissance fournie par un amplificateur à des haut-parleurs
Un amplificateur fournit une tension à vide de 1 V et un courant de court-circuit de 125 mA. On relie à cet
amplificateur un haut-parleur qui a une résistance de 0 Ω. Que valent la tension et la puissance délivrées à
la charge ?
Que deviennent la tension et la puissance si 2 haut-parleurs sont connectés en parallèle ?
Et si ces 2 haut-parleurs étaient connectés en série ?
Quelle variante permet d’obtenir la plus grande puissance acoustique ?
 Réponse (sans détail des calculs)
Pour un haut-parleur seul : P = 30,9 mW.
Pour 2 haut-parleurs en parallèle, la puissance totale (2 HP) vaut : P2HP série = 29,6 mW.
Pour 2 haut-parleurs en série, la puissance totale (2 HP) vaut : P2HP parallèle = 25,5 mW.
La puissance acoustique est donc la plus rande lorsqu’on utilise seul haut-parleur.
Exercice 2.5.22
Puissance et rendement d’un moteur et de son câble
a) Quelle est la puissance électrique perdue en chaleur dans une ligne électrique de 100 m, alimentant
un moteur, qui fournit un couple de 6
m à ’4 0 t min, dont le rendement vaut 93%, sachant que
la tension est de 400 V, et que la ligne est réalisée en fil de cuivre de 10 mm2 ?
b) Quel est le rendement de l’ensemble (li ne et moteur) ?
 Réponse – a
La puissance mécanique fournie par le moteur vaut :
(
)
Tenant compte du rendement, la puissance électrique qu’il absorbe alors vaut :
Il faut maintenant calculer la résistance de la ligne électrique. Comme le courant doit aller et revenir, il doit
parcourir 2 fois la distance, soit 200 m.
Admettons que le moteur se comporte comme une résistance R. Nous nous trouvons dans le cas d’une source
idéale de tension, chargée par 2 résistances en série. Nous avons alors 2 équations :
58
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Théorie des circuits linéaires
On peut en tirer :
√
√
On a solutions. Toutefois, la plus élevée n’est pas plausible. Elle impliquerait que la résistance du moteur
valle 8,5 mΩ, soit 41 fois moins que celle de la ligne. Donc :
La puissance perdue en chaleur dans la ligne vaut :
 Réponse – b
Le rendement vaut :
Exercice 2.5.23
Source réelle équivalente – 1
Calculer et représenter la source réelle de tension équivalente aux systèmes ci-dessous :
60 Ω
10 V
60 Ω
40 Ω
10 V
5V
a)
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40 Ω
5V
b)
59
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse – a)
Les
sources sont en série. Il suffit d’additionner les tensions et les résistances :
U0 = 15 V ; Ri
00 Ω
 Réponse – b
Les 2 sources réelles de tension sont en parallèle. Il faut calculer des sources réelles de courant équivalentes :
Il est maintenant possible de calculer une source réelle de courant équivalente à ces 2 sources en parallèle :
La source réelle de tension équivalente à l’ensemble vaut alors :
Exercice 2.5.24
Source réelle équivalente – 2
Calculer et représenter la source réelle de tension équivalente au système ci-dessous :
1,5 A
30 Ω
0,2 A
20 Ω
80 Ω
0,5 A
70 Ω
8V
a)
b)
 Réponse – a
Les 2 sources réelles de courant sont en série. Il faut calculer des sources réelles de tension équivalentes :
60
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Il est maintenant possible de calculer une source réelle de tension équivalente à ces 2 sources en série :
 Réponse – b
Il faut calculer d’abord la source réelle de courant équivalente à la source de tension de auche :
On a maintenant 2 sources réelles de courant en parallèle, dont la source équivalente vaut :
La source réelle de tension équivalente à l’ensemble vaut alors :
Exercice 2.5.25
Source réelle équivalente – 3
Calculer et représenter la source réelle de tension équivalente au système ci-dessous :
1,5 A
30 Ω
300 Ω
20 Ω
10 Ω
10 V
10 V
0,5 A
70 Ω
5V
a)
8V
b)
 Réponse – a
Les 2 sources réelles de courant sont en série. Il faut calculer des sources réelles de tension équivalentes, en
faisant attention au signe de la source de 0,5 A, qui serait négatif si le sens de référence était orienté vers le
haut :
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61
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
Il est maintenant possible de calculer une source réelle de tension équivalente à ces 2 sources en série :
Nous avons maintenant 2 sources réelles de tension en parallèle. Il faut calculer des sources réelles de
courant équivalentes :
Il est maintenant possible de calculer une source réelle de courant équivalente à ces 2 sources en parallèle :
La source réelle de tension équivalente à l’ensemble vaut alors :
 Réponse – b
La source idéale de tension (8 V) impose la tension à ses bornes. Vis-à-vis de la charge (à droite), la source
réelle de gauche (5 V) ne peut avoir aucune influence. On se retrouve dans la situation de deux sources de
tension en série. En faisant attention au signe de la source de droite, on obtient :
Exercice 2.5.26
Source réelle équivalente – 4
Pour le circuit représenté ci-dessous, calculer les tensions et les courants indiqués.
10 Ω
10 Ω
I
10 Ω
0,2 A
4V
10 V
U1
80 Ω
U2
 Réponse
1ère étape : On remplace la source réelle de tension de gauche par une source réelle de courant :
62
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Théorie des circuits linéaires
Comme elle est en parallèle avec la résistance de 80 Ω, on peut calculer une source réelle de courant
équivalente :
Comme elle est en série avec d’autres sources, on la transforme avec une source réelle de tension
équivalente :
2ème étape : On remplace la source réelle de courant, qui est au milieu du circuit, par une source réelle de
tension, en faisant attention au signe :
On constate que l’on obtient 3 sources réelles de tension en série, qui forment une maille.
3ème étape : Tenant compte des 3 tensions et des 3 résistances en série, on peut calculer le courant I, en faisant
attention à leurs signes :
4ème étape : Connaissant I, on peut calculer U1 et U2 :
(
(
Exercice 2.5.27
)
)
(
)
Source réelle équivalente – 5
Pour le circuit représenté ci-dessous, calculer les tensions et les courants indiqués.
15 Ω
40 Ω
12 V
10 V
20 Ω
U
5Ω
I1
I2
20 Ω
 Réponse (sans détail des calculs)
Les branches de gauche et de droites peuvent être considérées comme des sources réelles de tension, leurs
résistances internes étant calculées sur la base des paires de résistances en parallèle. Attention aux signes des
sources de tension !
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63
Théorie des circuits linéaires
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On peut alors calculer 2 sources réelles de courant équivalentes, qui se trouvent en parallèle entre elles, et
avec la résistance médiane.
L’ensemble peut être remplacé par une source réelle de courant, non char ée. La tension à ses bornes est
égale à la tension en circuit ouvert de cette source.
Connaissant cette tension, et en revenant au circuit initial, on peut calculer les deux courants.
Les résultats :
U=6V
I1 = 200 mA
I2 = 100 mA
Exercice 2.5.28
Théorème de Thévenin – 1
Calculer et représenter la source réelle de tension équivalente au système ci-dessous, vis à vis de la charge
RL.
200 Ω
A
12 mA
4 kΩ
RL
B
 Réponse (sans détail des calculs)
A vide (en retirant la résistance RL), on peut calculer la tension à vide de la source réelle de tension
équivalente : U0 = 48 V.
En désactivant la source de courant, donc en la remplaçant par un circuit ouvert, on peut calculer la
résistance interne : Ri 4’ 00 Ω
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 2.5.29
Théorème de Thévenin – 2
Calculer et représenter la source réelle de tension équivalente au système ci-dessous, vis à vis de la charge
RL.
4Ω
A
2Ω
RL
4Ω
2Ω
8V
B
 Réponse (sans détail des calculs)
Les résistances à droite de la source de tension consomment du courant, mais n’influencent en aucune
façon ce qui se passe dans la partie de gauche. On peut donc ne pas en tenir compte, comme si elles
n’existaient pas.
A vide (en retirant la résistance RL), on peut calculer la tension à vide de la source réelle de tension
équivalente : U0 = 4 V.
En désactivant la source de tension, donc en la remplaçant par un court-circuit, les 2 résistances de 4 Ω se
trouvent en parallèle. On peut calculer la résistance interne : Ri
Ω.
Exercice 2.5.30
Théorème de Thévenin – 3
Calculer et représenter la source réelle de tension équivalente au système ci-dessous, vis à vis de la charge
RL.
6Ω
72 V
A
3Ω
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4Ω
RL
B
4Ω
65
Théorie des circuits linéaires
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 Réponse
La source idéale de tension impose la tension à ses bornes. On peut alors faire comme s’il y en avait deux,
Chacun de ces deux
systèmes peut alors être remplacé par une source réelle de tension.
A gauche :
A droite :
U2 = 72 V · 4/8 = 36 V,
Ri2
4Ω
4Ω
Ω
Ces 2 sources réelles de tension sont en série. On réduit alors en une seule source réelle de tension :
Exercice 2.5.31
Théorème de Thévenin – 4
Ω du circuit ci-dessous :
Calculer la puissance dissipée dans la résistance RL
100 
5V
1 k
+15 V
RL
 Réponse (sans détail des calculs)
Il serait possible de résoudre ce problème en remplaçant les sources réelles de tension, qui sont en parallèle,
par 2 sources réelles de courant.
Si l’on préfère appliquer le théorème de Thévenin, il faut considérer que la résistance RL se trouve entre 2
points A et B.
En déconnectant cette résistance, on peut calculer la tension à vide :
U0 = 3,18 V (attention au signe de la source de 15 V !!!)
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Théorie des circuits linéaires
En désactivant les 2 sources de tension, donc en les remplaçant par des courts-circuits, il reste 2 résistances
en parallèle. On obtient :
Ri
90,9 Ω
A partir de là, on peut calculer le courant circulant dans RL, puis la puissance qu’elle consomme :
P = 4,6 mW
Exercice 2.5.32
Théorème de Thévenin – 5
Dans le circuit de l’Exercice 2.5.31, quelle résistance faudrait-il mettre en parallèle avec la résistance de
1 Ω si l’on désire que le courant dans la résistance RL soit nul ?
 Réponse
S’il n’y a aucun courant circulant dans RL, c’est que la tension à ses bornes est nulle. Le sachant, on peut
calculer le courant débité par la source de 5 V :
Pour que ce courant circule dans la source de droite, il faut modifier la valeur de la résistance. Il faudrait que
celle-ci valle :
Pour obtenir cette résistance équivalente, il faut placer, en parallèle à la résistance de 1 kΩ, une résistance
additionnelle qui vaut :
Exercice 2.5.33
Théorème de Thévenin – 6
Dans le circuit de l’Exercice 2.5.31, on ajoute une résistance de 00 Ω entre les bornes supérieures des deux
sources. Quel sera le courant dans cette résistance ? De combien changera la puissance dissipée dans la
résistance RL ?
 Réponse
Cette résistance est reliée directement aux bornes des deux sources idéales. Son courant est de 40 mA, mais
il n’a aucune influence sur ce qui se passe dans la char e RL.
Exercice 2.5.34
Théorème de Thévenin – 7
Dans le circuit de l’Exercice 2.5.31, on intervertit la polarité de la source de 15 V. Que devient la puissance
dissipée dans la résistance RL ?
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Théorie des circuits linéaires
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 Réponse (sans détail des calculs)
En refaisant tous les calculs, on obtient :
P = 16,0 mW
Exercice 2.5.35
Théorème de superposition – 1
Déterminer le courant I dans le circuit ci-dessous en utilisant le théorème de superposition.
6 kΩ
4 kΩ
2 kΩ
I
3 kΩ
21 V
7 kΩ
46 V
1 kΩ
 Réponse (sans détail des calculs)
Avec l’alimentation de auche seule, donc celle de droite remplacée par un court-circuit :
I21V seul = 1,79 mA
Avec l’alimentation de droite seule, donc celle de auche remplacée par un court-circuit :
I46V seul = 2,79 mA
En faisant la somme de ces deux contributions :
I = 4,58 mA
Exercice 2.5.36
Analyse d’un circuit par la méthode des courants de maille
La méthode dite des « courants de maille » permet de calculer tous les courants du circuit de l’Exercice
2.5.35. Elle consiste à définir les courants IA, IB et IC circulant respectivement dans chacune des 3 mailles,
puis à appliquer la loi de Kirchhoff sur les mailles (somme des tensions = 0).
Établir et appliquer cette méthode.
68
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
On parcourt chaque maille en additionnant les tensions. Leurs sommes sont nulles. Pour ces 3 mailles, on
obtient ainsi 3 équations, avec les 3 inconnues IA, IB et IC :
Remarque :
Pour simplifier, on utilise les valeurs en Ω et en mA.
On obtient successivement :
(
)
(
)
{
(
)
{
On résout et obtient :
{
Le courant
Exercice 2.5.37
Théorème de Thévenin – 8
Pour le circuit représenté ci-dessous, utiliser le théorème de Thévenin pour calculer U = f(R). Représenter
ces fonctions et indiquer numériquement la valeur de U pour R valant 0 Ω, Ω, Ω, 0 Ω, 0 Ω ou ∞.
20 Ω
15 Ω
15 Ω
60 V
60 Ω
U
R
 Réponse
Comme pour un exercice précédent, nous pouvons considérer que la tension aux bornes des 2 diviseurs
résistifs (20 Ω et 60Ω à auche, respectivement 15 Ω et R à droite) est identique, soit 60 V.
Nous pouvons aussi considérer que la résistance R est alimentée par 2 sources en parallèle :


A gauche : Une source réelle de tension équivalente à l’ensemble constitué de la source de 60
diviseur résistif de gauche (20 Ω et 60Ω), et de la résistance médiane de 15 Ω.
A droite : Une source réelle de tension de 60 V avec la résistance de 15 Ω de droite.
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, du
69
Théorie des circuits linéaires
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En appliquant le théorèmes de Thévenin au diviseur résistif de gauche, on obtient tout d’abord :
Cette source équivalente est en série avec la résistance de 15 Ω. On obtient ainsi la source équivalente de
gauche :
ous nous retrouvons ainsi avec un circuit similaire à celui de l’Exercice 2.5.31. Pour calculer la tension aux
bornes de la résistance R, nous devons remplacer les 2 sources réelles de tension par 2 sources réelles de
courant :
Les 2 sources de courant sont en parallèle. Nous obtenons la source réelle de courant équivalente :
Cette source réelle de tension peut être remplacée par la source de courant équivalente :
Nous obtenons finalement un diviseur de tension. La tension aux bornes de la résistance R vaut :
Les valeurs numériques sont les suivantes :
R [Ω]
0
2
U [V]
Exercice 2.5.38
0
9,17
5
10
20
∞
18,3
27,5
36,7
55
Sources réelles de tension et de courant
On connecte en parallèle, l’une contre l’autre, une source réelle de tension (U0 ; Ri) et une source réelle de
courant (I0; Rsh). Indiquer quelles doivent être les conditions pour que la puissance échangée par ces deux
sources soit nulle.
70
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
 Réponse (sans détail des calculs)
On transforme par exemple la source de courant en source de tension. Le courant I échangé est nul si :
U0 = Rsh · I0
Exercice 2.5.39
Analyse d’un circuit avec choix de la méthode
Calculer les grandeurs indiquées dans le circuit ci-dessous, en utilisant la méthode de votre choix.
I
50 Ω
56 Ω
40 Ω
U
6V
7V
30 Ω
8V
 Réponse (sans détail des calculs)
U = 4,63 V et I = 154 mA
Exercice 2.5.40
Application du théorème de Thévenin à un circuit
En utilisant aussi souvent que nécessaire le principe d’équivalence entre sources réelles de tension et de
courant, déterminer la source réelle de tension équivalente au circuit ci-dessous, vu des points A et B.
Remarque :
Ce problème pourrait aussi être résolu en utilisant le principe de superposition. Si vous y
tenez, essayez les 2 méthodes. Vous constaterez que la méthode des équivalences est plus
rapide.
Conseil :
Dessinez autant de figures intermédiaires que nécessaire pour montrer les transformations.
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71
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
U1
I2
R2
R1
R4
R5
U4
R3
A
R6
R7
B
I3
Valeurs numériques :







U1 = 6,8 V ; R1 8, Ω
I2 = 420 mA ; R2
, Ω
I3 = 600 mA ; R3
Ω
U4 = 5,4 V ; R4
Ω
R5
, Ω
R6
8 Ω
R7
, Ω
 Réponse
En premier lieu, il faut constater que les sources U1 et I2 avec les résistances R1 et R2 ne sont connectées au
reste du circuit que par un seul nœud. Elles ne peuvent donc en aucun cas influencer le fonctionnement du
reste du circuit, ni les sorties A et B.
Il ne reste donc que les sources I3 et U4, ainsi que les résistances R3 à R7, à analyser.
Source réelle de tension équivalente à { I3 ; R3} :
Résistance équivalente à R3 et R5 :
Source réelle de courant équivalente à { U3 ; R3-5} :
72
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Source réelle de courant équivalente à { U4 ; R4} :
Nous avons maintenant 2 sources réelles de courant en parallèle. Leur source équivalente est donnée par :
Cette source est en parallèle avec R6. C’est comme si nous n’avions qu’une source réelle de courant
caractérisée par :
Pour tenir compte de la dernière résistance, nous devons convertir cette source de courant en source de
tension :
C’est la source réelle de tension équivalente au circuit.
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73
Théorie des circuits linéaires
Chapitre 3
3.1
HEIG-VD
Alimentation électriques
Alimentations à tension continue – piles et batteries
Exercice 3.1.1
Modèle d’une pile
La tension aux bornes d’une pile est de ,
à circuit ouvert. Elle est de ,
est connectée à ses bornes. Quelle est la résistance interne de la pile ?
quand une résistance de 6 Ω
 Réponse
Tension à vide U0 = 1,5 V
Tension avec charge RL
6 Ω, comme pour un diviseur de tension non chargé :
Donc :
(
Exercice 3.1.2
)
Alimentation d’une ampoule électrique par des piles
On veut alimenter une ampoule avec un courant de 300 mA pendant une semaine. La résistance de l’ampoule
est de 0 Ω. Combien de piles de ,
d’une capacité de 30 Ah sont nécessaires et comment doit-on les
connecter ?
 Réponse
Tension nécessaire aux bornes de l’ampoule :
74
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Chaque pile se comporte comme une source de tension Us = 1,5 V. Pour obtenir la tension sur la charge il
faut mettre en série plusieurs piles :
Ces 4 piles sont en série, et sont parcourue par le même courant. Si celui-ci vaut 0,3 A alors que la capacité
d’une pile est de 30 Ah, ces piles fourniront ce courant pendant 100 heures.
On souhaite que l’ampoule reste allumée pendant une semaine, soit pendant 68 heures. Pour y parvenir, il
faut mettre en parallèle 2 ensembles de 4 piles. Ainsi, chaque ensemble ne devra fournir que 0,15 A, et
pourra le faire pendant 200 heures, soit plus d’une semaine.
Conclusion :
Exercice 3.1.3
Il faut mettre en parallèle 2 groupes de 4 piles en série.
Équivalence du « cheval-vapeur »
Un cheval pesant 0
peut débiter une puissance de C pendant 8 heures. Calculer la masse d’une
batterie au nickel cadmium pouvant débiter la même quantité d’éner ie avant qu’il faille la rechar er. On
admettra que ce type d’accumulateur peut stoc er 00 par .
 Réponse
L’éner ie fournie par le cheval vaut :
Le poids de l’accumulateur équivalent vaut donc :
Exercice 3.1.4
Capacité d’une pile à fort courant
Une pile est considérée comme usée quand sa tenson chute au-dessous de 1,0 V. La même pile peut débiter
un courant de 19,5 A pendant 8 heures ou 940 A pendant 5 secondes.
Calculer et comparez la capacité en [Ah] dans ces deux cas, expliquez la différence.
 Réponse
La capacité de cette pile vaut dans le 1er cas (à 19,5 A) :
Et dans le 2ème cas (à 940 A) :
La très rande différence s’explique par le fait qu’à très fort courant, la pile sort de son domaine de
fonctionnement linéaire.
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75
Théorie des circuits linéaires
Exercice 3.1.5
HEIG-VD
Alimentation de secours par accumulateurs
On doit prévoir une source d’éner ie de secours pouvant donner une puissance de 500 kW à 240 V pendant
6 heures.
a) Si l’on utilise des accumulateurs au plomb dont l’éner ie volumique est de 00
volume des accumulateurs ?
dm3, quel est le
b) Supposant que la tension aux bornes d’un élément d’accumulateur est de
et sa capacité de
150 Ah, combien d’élément seront nécessaires et comment faudra-t-il les grouper ?
 Réponse – a
Énergie nécessaire :
Volume des accumulateurs :
 Réponse – b
On souhaite obtenir une tension de 240 V avec des éléments de 2 V chacun. Il faut mettre n éléments en
série, avec :
Pour avoir une puissance de 500 kW sous 240 V, il faut débiter un courant de
:
La capacité nécessaire pour délivrer ce courant pendant 6 heures est de :
Chaque branche de 120 éléments ayant une capacité de 150 Ah, il en faudra donc m = 84 en parallèle, avec :
La batterie d’accumulateurs comprendra donc 84 branches en parallèle de
76
0 piles en série.
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3.2
Théorie des circuits linéaires
Alimentations à tension continue – moteurs DC
Exercice 3.2.1
Vitesse max. d’un moteur DC
Un moteur DC à aimants permanents a comme caractéristiques :



kE = 50 V par 1000 tr/min
kT = 0,48 Nm/A
Ra = 0,9 Ω
a) Calculer la vitesse max. qu'il peut atteindre avec un variateur pouvant fournir au maximum 150 VDC
lorsqu'il est à vide.
b) Que devient cette vitesse lorsque le moteur est chargé à son couple nominal de 5 Nm ?
 Réponse – a
A vide et en négligeant les frottements internes :
I0 
Te
0

0 A
kT 0, 48
Le variateur de tension peut fournir au max. 150 V. La vitesse max. à vide vaut:
U  kE
N
 Ri  I
1000
Donc :
150  50
N0
N
 0,9  0  50 0
1' 000
1' 000
On en tire :
N0 
Remarque :
1' 000 150
 3'000 tr/min
50
En utilisant kT, on obtient un résultat très proche, la différence étant due à la marge
d'erreur sur les coefficients kT et kE :
N
60 150 60


 312,5  2' 984 tr/min
2 0, 48 2
 Réponse – b
En charge et en négligeant les frottements internes :
IC 
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Te
5

 10, 4 A
kT 0, 48
77
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
Le variateur de tension peut fournir au max. 150 V. La vitesse max. en charge vaut alors :
150 
50  Nc
50  Nc
 0,9 10, 4 
 9,375
1' 000
1' 000
On en tire :
Nc 
Remarque :
50
 2' 812 tr/min
En utilisant kT, on obtient un résultat très proche, la différence étant dû à la marge
d'erreur sur les coefficients kT et kE :
Nc 
Exercice 3.2.2
1' 000  150  9,375 
60 150  9,375 60


 293, 0  2' 798 tr/min
2
0, 48
2
Vitesse et consommation d’un moteur DC
Un petit ventilateur est entraîné par un moteur à courant continu à aimants permanents. Alimenté à 24 VDC, il
tourne à 2'950 tr/min et consomme 55 W. Sa résistance interne vaut 0,4 Ω.
À quelle vitesse tournerait-il dans le vide ?
 Réponse
Le courant consommé en charge vaut :
I 
P 55

 2,3 A
U
24
La chute de tension interne provoquée par ce courant vaut :
U  I  R i  2,3  0,4  0,92 V
Comme on connaît la tension aux bornes du moteur, on a :
U i dansl 'air  24  0,92  23,08 V
Si le ventilateur fonctionne dans le vide, il n'a presque plus de couple à fournir, car on peut négliger les
frottements des roulements. On a donc :
U i dansle vide  24  0  24 V
La f.e.m. étant proportionnelle à la vitesse, on peut procéder par la règle de 3 :
ndansle vide
ndansl 'air

U i dansle vide
U i dansl 'air
On en tire :
ndans le vide  ndans l ' air 
78
U i dans le vide
U i dans l ' air
 2'950 
24
 3'065 tr/min
23, 08
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Exercice 3.2.3
Théorie des circuits linéaires
Moteur DC fonctionnant en générateur
Le même moteur à courant continu que celui de l’exercice précédent est entraîné mécaniquement, par une
petite éolienne, et alimente un circuit électrique. On constate que pour un régime de vent établi et constant
qui entraîne le moteur exactement à 2'950 tr/min, la tension électrique vaut 24 VDC, et le courant délivré vaut
2,3 ADC.
a) En supposant que les frottements à l’intérieur du moteur sont né li eables, et en ne tenant compte
que des pertes ohmiques dans l’enroulement du moteur, déterminer le rendement du moteur à ce
régime de fonctionnement.
b) Déterminer le couple mécanique fourni par la micro-éolienne au moteur.
 Réponse – a
La puissance électrique délivrée vaut :
Les pertes ohmiques dans le moteur valent :
La puissance mécanique nécessaire pour obtenir cette puissance électrique vaut :
Le rendement vaut :
 Réponse – b
Le couple mécanique se calcule à partir de la puissance mécanique et de la vitesse (exprimée en rad/s) :
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79
Théorie des circuits linéaires
Exercice 3.2.4
HEIG-VD
Caractérisation d’un petit moteur DC
On souhaite caractériser un petit moteur DC à aimants permanents. Pour ce faire, on procède à 2 essais
successifs :


Le moteur est chargé, à l'arrêt, par un couple de 0,105 Nm. Il est alimenté par une source de 6,4 V, et on
mesure son courant Ia = 910 mA.
Le moteur à vide est alimenté par une source de 24 VDC. On mesure alors son courant Ib = 60 mA, et sa
vitesse qui vaut 1'940 tr/min.
a) Déterminer sa résistance Ri, sa constante de couple kT et sa constante de vitesse kE, ainsi que le
couple de frottement Tfr à 1'940 tr/min.
b) Déterminer la tension qu’il faut fournir au moteur lorsqu’il fournit un couple de 0, 0
vitesse de 1'940 tr/min.
m à la
c) Dans ces conditions, déterminer ses pertes et son rendement.
 Réponse – a
L'essai en charge à l'arrêt permet de déterminer les caractéristiques suivantes :
Ra 
kT 
L'essai à vide permet de déterminer
Remarque :
U 6, 4

 7, 0 Ω
I a 0,91
Ta 0,105

 0,115 Nm/A
I a 0,91
:
La petite différence est généralement considérée comme normale, car les mesures de
tension, de courant, de couple et de vitesse sont toujours entachées d'une marge
d'erreur.
L’essai à vide permet de déterminer aussi le couple de frottement :
 Réponse – b
Couple électromagnétique nécessaire :
Courant d’induit nécessaire :
Tension nécessaire :
80
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse – c
Puissance électrique fournie :
Pertes ohmique :
Pertes mécaniques :
Puissance mécanique à l’arbre :
Nous constatons que
Rendement :
3.3
Alimentations à tension alternative
Exercice 3.3.1
Courant efficace
Quelle est la valeur efficace d’un courant sinusoïdal dont la valeur crête est de
A?
 Réponse
̂
√
Exercice 3.3.2
Calcul de fréquence
Une spire de cuivre tourne à 3'600 tours par minute dans un champ magnétique constant. Quelle est la
fréquence de la tension ainsi produite ?
 Réponse
La période de variation de la tension est égale à un tour de spire. La fréquence vaut donc :
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81
Théorie des circuits linéaires
Exercice 3.3.3
HEIG-VD
Calcul de période
Quelle est la période d’une tension alternative dont la fréquence est de 6
3 Hz ?
 Réponse
Exercice 3.3.4
Valeur instantanée d’une tension alternative
Une tension alternative sinusoïdale a une valeur efficace de 100 V et une fréquence de 50 Hz.
a) Quelle est sa valeur instantanée, 1,7 ms après le début de la période ?
d) Après combien de temps la tension instantanée atteint-elle la valeur opposée ?
 Réponse – a
Fonction de la tension instantanée : ( )
La tension de crête vaut : ̂
̂
(
)
√
La tension à l’instant
vaut :
( )
̂
(
)
(
)
 Réponse – b
La période de cette tension est de 0 ms (l’inverse de la fréquence). Après 1,7 ms, la tension passe pour la
1ère fois par la valeur de 72 V. Elle continue à monter, puis redescend, passe à nouveau par 72 V, puis par
0 V, puis devient négative. Elle atteindra -72 V après une demi-période, soit 10 ms.
Nous remarquons que la tension passe 2 fois par 72 V, et 2 fois par -72 V. Les temps de passage sont :


pour +72 V : , ms et 8,3 ms (s’obtient en revenant de , ms en arrière depuis la demi-période)
pour -72 V : 11,7 ms et 18,3 ms
Cette remarque montre qu’il fallait vérifier si, à , ms, la tension passait par
descente. Si, par exemple, on avait demandé de calculer la tension pour
b n’aurait pas été un délai de 0 ms, mais bien de 3,4 ms ( , – 8,3).
Exercice 3.3.5
à la montée ou à la
, la réponse à la question
Puissances active, apparente et réactive
Un appareil alimenté au réseau alternatif 230 V / 50Hz consomme 0,6 A, avec un déphasage de 30°, le
courant étant en retard sur la tension. Calculer sa puissance active, sa puissance apparente et sa puissance
réactive, et faire une représentation vectorielle.
82
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
(
)
(
Pour cette dernière réponse, on aurait aussi pu calculer :
)
√
√
.
P
Q
Exercice 3.3.6
Consommation d’un moteur
La plaquette si nalétique d’un moteur de ,



tension nominale :
rendement :
cosφ :
S
nominal (à l’arbre) fournit les indications suivantes :
230 V / 50 Hz
72%
88%
Calculer sa puissance active, ainsi que le courant consommé lorsqu’il est char é à sa puissance nominale.
 Réponse
A
Exercice 3.3.7
Compensation du facteur de puissance d’un éclairage
L’éclaira e d’un rand ma asin, alimenté en 30
25 jours par mois, consomme ’400
h par mois.
0 Hz est enclenché en moyenne 12 heures par jour,
Le fournisseur d’électricité, après avoir fait des mesures, se plaint que le facteur de puissance est de 0,63, ce
qui est inférieur à la limite qu’il impose pour le tarif convenu.
a) Calculer la puissance de cette installation.
e) Quelle est la puissance réactive consommée ?
f) Si l’on souhaite ramener le facteur de puissance au-dessus de 0,85, de combien faut-il diminuer la
puissance réactive consommée ?
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83
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse – a
Les 2'400 kWh par mois correspondent à une utilisation de
heures. Donc :
 Réponse – b
Si le cosφ vaut 0,63, cela si nifie que la puissance apparente vaut :
La puissance réactive vaut alors :
√
√
 Réponse – c
Si l’on avait un facteur de puissance de 0,8 , ces mêmes calculs auraient donnés :
et
√
√
Pour ne pas compenser plus d’éner ie réactive, il faut donc réduire la consommation réactive de 4,90 kvar.
On peut le faire en connectant des condensateurs en parallèle avec les tubes néon, pour des raisons qui seront
expliquées ultérieurement.
Exercice 3.3.8
Superposition d’une tension AC et d’une tension DC
Un dispositif électronique comporte 2 sources idéales de tension, à savoir une source de 15 V DC et une
source de 3 Vrms sinusoïdale à 50 Hz.
Ces
sources de tension sont connectées en série, et on mesure la tension aux bornes de l’ensemble.
a) Représenter graphiquement cette tension au cours du temps.
b) Exprimer cette tension en fonction du temps (forme numérique).
c) Quelles sont les valeurs instantanées max. et min. de cette tension ?
g) Déterminer la valeur r.m.s. de cette tension.
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse – a
u(t)
Û2
u2(t)
u1(t)
t
Réponse – b
 Réponse – b
( )
( )
( )
(
)
avec :
√
 Réponse – c
 Réponse – d
Nous devons partir de la définition de la tension r.m.s. :
√
∫ [
( )
√
( )]
∫ [
( )
( )
( )
( )]
Où T est la période du signal sinusoïdal. En continuant les calculs, nous obtenons successivement :
√
⏟
∫ [
( )]
√
√∫
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∫ [
[
( )
( )
( )]
√
⏟
∫ [
( )]
( )]
85
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
Or :
∫
[
( )
( )]
∫
(
[
)]
∫
(
)
Donc :
3.4
Alimentations à tension alternative triphasée
Exercice 3.4.1
Tensions simple et composée
Considérant le réseau triphasé européen (Usimple = 230 Vrms), calculer la valeur exacte de sa tension composée
Ucomposée, puis la valeur crête de ces 2 tensions.
 Réponse
√
̂
̂
Exercice 3.4.2
√
√
Consommation d’un chauffage électrique
On considère un chauffage électrique de 10 kW alimenté en 400 V~ triphasé. Il est constitué de 3 résistances
identiques connectées en étoile. On admet que son facteur de puissance vaut 1.
a) Calculer l’intensité du courant absorbé par ce chauffage.
h) Que se passerait-il si l’on connectait ces 3 résistances en trian le ?
 Réponse – a
La puissance est répartie de manière égale sur chaque phase, chacune fournissant :
Un chauffage étant constitué de résistances, on admet que le facteur de puissance cosφ = 1. Chaque
résistance est soumise à la tension simple de 230 V. Le courant circulant dans chaque phase est ainsi :
86
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse – b
Si on connecte ces 3 résistances en trian le, chacune d’entre elles se retrouve soumise à la tension composée.
De ce fait, chaque résistance consomme :
(√
)
La puissance totale (3 phases) serait alors de 30 kW. Les courants de phase seraient également 3 fois plus
importants. Les résistances ne supporteraient probablement pas un tel échauffement. Peut-être même que
l’alimentation ne supporterait pas ce courant et que les fusibles fondraient.
Exercice 3.4.3
Influence des fluctuations de tension
On considère le chauffa e de l’exercice précédent.
a) Calculer la variation de puissance si la tension d’alimentation est à sa tolérance maximum (+ 0 %).
i)
Faire de même pour la tolérance minimum (-10%).
 Réponse – a
Pour la tension nominale de 400 V, la puissance est de 10 kW.
Pour la tolérance max., la tension vaut 440 V. Comme la puissance est proportionnelle au carré de la tension,
la puissance vaut alors 12,1 kW.
 Réponse – b
Pour la tolérance min., la tension vaut 360 V, et la puissance vaut 8,1 kW.
Exercice 3.4.4
Combinaisons possibles de 3 résistances pour du chauffage
Un four est chauffé par 3 résistances de 100 Ω. Quelles sont les puissances totales que l’on peut obtenir par
différents couplages sur un réseau triphasé en Europe ? Établir la liste de toutes les combinaisons possibles
d’alimentation des résistances entre phase et neutre ou entre
phases. Indice : Il y a au moins 8
combinaisons possibles.
 Réponse
Il est possible de connecter 1, 2 ou 3 résistances, entre phase et neutre (étoile) ou entre 2 phases (triangle).
Chaque résistance connectée entre deux phases est soumise à la tension composée, soit 400 V, et dissipe :
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87
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
On peut aussi connecter les résistances en série entre 2 phases, voire en combinant 1 résistance en série avec
les 2 autres mises en parallèle. On obtient ainsi :
Chaque résistance connectée entre une phase et le neutre est soumise à la tension de ligne, soit 231 V, et
dissipe :
On peut aussi connecter les résistances en série entre une phase et le neutre, voire en combinant 1 résistance
en série avec les 2 autres mises en parallèle. On obtient ainsi :
Si l’on exploite toutes les combinaisons possibles, on peut ainsi chauffer ce four avec les puissances
suivantes, dans l’ordre croissant de puissance :















R+R+R entre 1 phase et neutre :
R+R entre 1 phase et neutre :
R+R//R entre 1 phase et neutre :
R entre 1 phase et neutre (ou R+R+R entre 2 phases) :
R+R et R, chacun entre 1 phase et neutre (ou R+R entre 2 phases) :
R et R, chacun entre 1 phase et neutre (ou R+R//R entre 2 phases) :
R entre 1 phase et neutre, avec R+R entre 2 phases :
R et R et R, chacun entre 1 phase et neutre (ou R entre 2 phases) :
R+R entre 1 phase et neutre, avec R entre 2 phases :
R entre 1 phase et neutre, avec R entre 2 phases :
R+R et R, chacun entre 2 phases :
R et R, chacun entre 1 phase et neutre, avec R entre 2 phases :
R et R, chacun entre 2 phases :
R entre 1 phase et neutre, avec R et R, chacun entre 2 phases :
R et R et R chacun entre 2 phases :
178 W
267 W
356 W
533 W
800 W
’06
’333
’600
’86
’ 33
’400
’66
3’ 00
3’ 30
4’800
Avec un commutateur adéquat, on peut ainsi régler la puissance du four parmi 15 valeurs possibles.
Exercice 3.4.5
Puissance admissible avec conducteurs imposés
Avec du fil électrique en cuivre de 2,5 mm2 de section, on est autorisé à laisser circuler au maximum 16 A.
Quelle est la puissance max. que peut consommer un appareil 400 V triphasé sans dépasser le courant
autorisé ?
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
La puissance correspondant à chaque tension de phase vaut :
Avec les 3 phases, on transmet ainsi :
Exercice 3.4.6
Courant avec 3 lampes identiques
Trois lampes de 60
sont branchées, chacune entre une phase et le neutre d’une alimentation triphasée
standard en Europe. Quels sont les courants qui circulent dans chacune des phases et dans le neutre ?
 Réponse
Le courant circulant dans chaque phase vaut :
Les 3 lampes étant identiques, elles constituent une charge équilibrée. Le courant de neutre est nul.
Exercice 3.4.7
Inversion de branchement terre - neutre
Par erreur, un installateur a branché la phase L2 d’une alimentation triphasée à la terre, au lieu du neutre.
Quelle est la tension max. qui apparaît sur les deux autres phases relativement à la terre ?
 Réponse
Normalement, la tension qui apparaît entre chaque phase et la terre est égale à la tension simple (par exemple
30 ~). Suite à l’erreur de mise à terre, la tension entre la phase L et la terre est toujours nulle. ais la
tension entre les 2 autres phases et la terre est égale à la tension composée (par exemple 400 V~).
Exercice 3.4.8
Effet de l’interruption du neutre
Une lampe de
est branchée entre la phase L et le neutre d’une alimentation triphasée standard en
Europe. Une autre lampe de 100 W est branchée entre la phase L2 et le neutre. Quelles tensions apparaissent
aux bornes de chaque lampe si la connexion avec le neutre est accidentellement interrompue ?
Quelles sont les conséquences prévisibles ?
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89
Théorie des circuits linéaires
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 Réponse
Il faut tout d’abord calculer la résistance de chaque lampe, en tenant compte que chacune est prévue pour
fonctionner sous 230 V (tension simple) :
Si le neutre n’est plus connecté, ces deux lampes sont connectées en série entre les phases L et L , et se
partagent la tension composée (400 V~). Pour calculer la tension aux bornes de chacune d’elles, on peut
calculer d’abord le courant qui les traverse :
Les tensions à leurs bornes valent :
La lampe de 25 W se trouve ainsi alimentée à une tension largement supérieure aux 230 V~ pour laquelle
elle est conçue. Elle sera très rapidement détruite. Dans le cas d’une lampe, la surchar e a it comme sur un
fusible, et ouvre le circuit. Il n’y aura alors plus aucun courant circulant dans les lampes, et celle de 100 W
s’éteindra aussi.
A remarquer qu’un appareil électronique soumis ainsi à une telle surtension provoquerait plutôt un courtcircuit. La lampe de 100 W se trouverait alors alimentée à la tension composée (400 V) et serait détruite à
son tour.
Exercice 3.4.9
Calcul d’une ligne d’alimentation de 3 km
On désire alimenter en électricité la station supérieure d’un nouveau téléphérique par une li ne aérienne
triphasée. La consommation de cette station peut atteindre 500 kW, avec un cosφ égal à 1. La ligne a une
longueur de 3 km, et on souhaite limiter la chute de tension à 2% de la tension nominale.
a) Quel serait le poids des fils de cuivre par mètre de ligne si celle-ci est conçue pour 400 V~ triphasé ?
j)
Quel sera leur poids si l’installation est équipée de transformateurs en aval et en amont, et que la
tension sur la ligne est portée à 20 kV~ triphasé ?
 Réponse – a
Avec une tension composée nominale de 400 V~ (tension simple 230 V~) diminuée de 2%, le courant dans
chaque phase vaut :
La chute de tension admissible, fixée à 2%, correspond à :
(pour 1 phase) ne doit donc pas excéder :
90
. La résistance du fil de cuivre
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Théorie des circuits linéaires
On en déduit donc la section minimum :
La masse volumique du cuivre est de 8,9 kg/dm3, chaque mètre de ligne pèserait :
 Réponse – b
Avec une tension composée nominale de 20 kV~ (tension simple 11,5 kV~) :
La chute de tension admissible, fixée à 2%, correspond à :
La résistance du fil de cuivre (pour 1 phase) ne doit donc pas excéder :
On en déduit donc la section minimum :
La masse volumique du cuivre est de 8,9 kg/dm3, chaque mètre de ligne pèserait :
En élevant la tension d’un facteur de 0, on au mente la résistance admissible de 0 2 = 2'500. Le poids du
cuivre est diminué d’autant, alors que son diamètre est divisé par 0.
Exercice 3.4.10
Consommation de 3 lampes différentes alimentées en triphasé
On connecte une lampe de 40
entre la phase L et le neutre d’une alimentation triphasée, une lampe de
60 W entre la phase L2 et le neutre, et une lampe de 100 W entre la phase L3 et le neutre. Que valent les 3
courants de phase et le courant de neutre ?
 Réponse
Les courants de phase se calculent simplement à partir de la puissance de chaque lampe :
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91
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
La charge est déséquilibrée, mais, sachant que les 3 courants sont déphasés de 120°, on peut calculer
approximativement le courant de neutre par voie graphique :
Exercice 3.4.11
Consommation d’un moteur triphasé
Un moteur triphasé de
(puissance nominale à l’arbre) entraîne une pompe hydraulique. Son
rendement est de 83% et son cosφ vaut 0,85. Il est alimenté en 400 V triphasé.
a) Quelles sont les puissances actives et réactives consommées à charge nominale ?
k) Que valent les courants de phase ?
l)
Souvent, cette pompe ne fonctionne qu’à 0% de sa puissance nominale. Sachant que la puissance
réactive reste pratiquement inchangée et que seule la puissance active diminue en fonction de la
charge, que valent le cosφ et le courant dans ce cas de charge.
m) Que pensez-vous de ce enre d’application ? Que chercheriez-vous à améliorer, et comment ?
 Réponse – a
A charge nominale :
√
√
 Réponse – b
√
92
√
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse – c
A charge réduite (diminuée de 80%) :
(inchangé)
√
√
√
√
 Réponse – d
On constate que si la puissance utile diminue de 80%, la puissance apparente et le courant ne diminuent que
de 45%. Les circuits d’alimentation seront donc char és inutilement. Le distributeur d’électricité facturera
certainement un supplément pour l’éner ie réactive.
Pour éviter ce problème, on pourrait entraîner ce moteur avec un variateur de fréquence. Certains de ces
appareils, équipés d’un redresseur d’entrée, ne consomme pratiquement aucune éner ie réactive. De plus, le
débit de la pompe pourra facilement être ajusté en fonction du besoin.
Exercice 3.4.12
Charge d’un moteur triphasé
Un moteur électrique triphasé est alimenté par le réseau industriel 400
0 Hz triphasé. Alors qu’il
entraîne une char e à '440 tours par minute, à vitesse constante, on mesure qu’il consomme un courant de
19,1 Arms dans chacune des phases.
Dans sa fiche technique, on relève que son facteur de puissance cos = 0,83 et que son rendement η = 91%.
a) Quel est le couple qu’il transmet à la char e ?
Le même moteur est utilisé en mode générateur (il tourne en sens inverse et freine la charge, comme pour un
ascenseur à la descente). On constate que sa vitesse de rotation est alors de 1'560 tours par minute, alors que
le couple qui entraîne ce moteur est identique à la valeur obtenue précédemment.
n) Quel est le courant (valeur efficace) qui circule dans chacune des phases ?
 Réponse – a
La puissance active fournie au moteur vaut :
√
√
Tenant compte de son rendement, la puissance mécanique qu’il délivre à l’axe vaut:
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93
Théorie des circuits linéaires
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Sa vitesse est alors de ’440 t min, qu’il faut convertir en rad/s:
Le couple délivré vaut donc :
 Réponse – b
Au freina e, la vitesse vaut ’ 60 t min, qu’il faut convertir en rad s:
Au freinage, la puissance mécanique fournie au moteur vaut :
La puissance électrique que le moteur restitue au réseau vaut :
Remarque : Au freinage, la puissance électrique est plus faible que la puissance mécanique.
Son courant de phase vaut donc :
√
Exercice 3.4.13
Mise en parallèle de deux moteurs
Une machine est équipée de 2 moteurs triphasés, alimentés en 400 V / 50 Hz triphasé, dont les
caractéristiques nominales (à l’arbre) sont les suivantes :


oteur A : ,
oteur B : 4,4
, 44 tr min, cosφ 0,8 , rendement η
, 39 tr min, cosφ 0, , rendement η
88%
6%
a) Calculer la puissance active, la puissance réactive et le courant efficace consommés par chacun de
ces moteurs.
o) Calculer la puissance active, la puissance réactive et le courant efficace consommés par la machine
(les 2 moteurs ensembles).
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
 Réponse – a
Pour le moteur A :
√
√
Pour le moteur B :
√
√
 Réponse – b
La consommation de la machine se fait en additionnant les puissances actives et réactives, et non pas en
additionnant les courants efficaces, ni les puissances apparentes :
√
Le courant consommé par la machine peut se calculer soit à partir de la puissance active, soit à partir de la
puissance apparente, comme suit :
√
√
Nous remarquons que cette valeur est légèrement différente de la somme des courants consommés par les
moteurs individuellement :
La différence est faible, mais elle ne résulte pas d’erreurs d’arrondis !
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Théorie des circuits linéaires
3.5
HEIG-VD
Conception de l’alimentation des machines
Exercice 3.5.1
Calcul d’un transformateur
Un transformateur monophasé prévu pour être alimenté sous 230 Vrms / 50 Hz, délivre une tension de
19 Vrms. On le char e d’une résistance de 00 Ω.
Quel est le courant consommé, vu du primaire, supposant que le rendement de ce transformateur est idéal
(100%).
 Réponse
Sous 19 Vrms, la résistance consomme un courant de :
Comme le transformateur est supposé idéal, on a :
Donc :
On constate que, dans ce cas :




La tension primaire est imposée par le réseau d’alimentation.
La tension secondaire correspond à la tension primaire, corrigée du rapport de transformation.
Le courant secondaire est déterminé par la charge.
Le courant primaire correspond au courant secondaire, corri é de l’inverse du rapport de transformation.
Exercice 3.5.2
Autotransformateur
Une machine est conçue pour une alimentation monophasée de 230 V / 50 Hz, mais devrait pouvoir
également être alimenté entre 2 phases (400 V), ainsi que sous des tensions de 115 V, 380 V, 480 V et 500
V. La machine consomme 3 kW. Que proposez-vous ?
 Réponse
Une solution économique consiste à ajouter un autotransformateur. Celui-ci sera prévu pour une tension
primaire de 500 V, et comportera au primaire des prises intermédiaires correspondant à 480, 400, 380, 230 et
115 V.
Le primaire sera connecté sur les bornes de valeur correspondante. La machine sera connectée aux bornes
« 230 V ».
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Si la puissance consommée sous 230 V vaut 3 kW, elle est identique sous chacune des autres tensions
d’alimentation. La relation fournissant le courant primaire est :
Pour U = 500 V, Iprim = 6,0 A.
Pour U = 480 V, Iprim = 6,25 A.
Pour U = 400 V, Iprim = 7,5 A.
Pour U = 380 V, Iprim = 7,9 A.
Pour U = 230 V, Iprim = 13 A.
Pour U = 115 V, Iprim = 26 A.
Exercice 3.5.3
Exercice 3.5.3.
Un convertisseur alimenté sous 400 V / 50 Hz / 3~ est conçu pour délivrer une tension continue de 24 VDC
et fournir 30 ADC.
Admettant que son rendement est de 94%, calculer le courant consommé sur le réseau.
 Réponse
La puissance de sortie vaut :
La puissance d’entrée vaut :
Vu du réseau triphasé, un tel convertisseur se comporte comme une charge équilibrée. Son courant de phase
vaut donc :
√
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√
rms
97
Théorie des circuits linéaires
Chapitre 4
4.1
HEIG-VD
Régimes sinusoïdaux
Représentation complexe des signaux sinusoïdaux
Exercice 4.1.1
Détermination de tensions et courants complexes
On mesure à l’oscilloscope la tension et le courant aux bornes d’une char e, et on constate :




qu’ils sont tout deux d’allure sinusoïdale, leur période valant
que la tension à une amplitude de 18 V crête-à-crête, sans offset ;
que le courant à une amplitude de 54 mA crête-à-crête, sans offset ;
que courant est en retard de
par rapport à la tension.
;
a) Exprimer la tension et le courant sous forme instantanée complexe.
b) Les exprimer sous forme complexe.
c) Calculer l’impédance de la char e.
 Réponse – a
La valeur efficace de la tension et du courant valent :
√
√
La fréquence des deux signaux vaut :
Leur pulsation vaut :
ous pouvons admettre que le déphasa e de la tension est nul, puisque l’ori ine de l’échelle des temps peut
être fixée librement. Nous avons donc, pour la tension :
( )
98
√
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Le déphasa e du courant est né atif, puisqu’il est en retard sur la tension. Il vaut :
Il en résulte :
( )
(
√
)
(
)
 Réponse – b
La tension et le courant complexes valent :
 Réponse – c
L’impédance de la char e vaut :
Exercice 4.1.2
Calcul du courant de neutre
On considère la charge triphasée non-équilibrée de l’Exercice 3.4.10.
Déterminer le courant de neutre en calculant les courant complexes dans les 3 phases.
 Réponse
Les courants complexes des 3 phases, déphasés de
0 de rés l’un par rapport à l’autre, sont :
Il en résulte :
(
)
Remarquons que -0,714 [rad] = -41º. ous obtenons bien le même résultat qu’à l’Exercice 3.4.10.
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99
Théorie des circuits linéaires
4.2
HEIG-VD
Les condensateurs
Exercice 4.2.1
Calcul d’un condensateur à partir de ses dimensions
Deux plaques de 00 x 00 mm sont distantes de cm dans l’air.
a) Calculer la capacité de ce condensateur.
b) Que devient cette capacité si les deux plaques sont collées de part et d’autre d’une plaque de mica de
0, mm d’épaisseur, dont la permittivité relative
?
 Réponse – a
En appliquant la formule :
 Réponse – b
n
Exercice 4.2.2
Trois condensateurs en série et en parallèle
On dispose de 3 condensateurs dont la capacité vaut 150 nF, 1 μF et 15 μF respectivement.
a) Quelle est la capacité équivalente de ces 3 condensateurs si on les monte en série ?
b) Et si on les monte en parallèle ?
 Réponse –a
 Réponse – b
100
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4.3
Théorie des circuits linéaires
Les inductances
Exercice 4.3.1
Charge d’une inductance idéale
Déterminer la courbe du courant en fonction du temps d’une inductance idéale de 4 H branchée sur une
source idéale de tension de 12 V.
Combien de temps faudra-t-il pour atteindre un courant de 27 A ?
 Réponse
La fonction de courant est :
( )
Le courant atteint 27 A après :
Exercice 4.3.2
Bobines en série
On dispose en série 2 bobines identiques qui ont une inductance de 2 mH et une résistance de 10 Ω. Calculer
le modèle de la bobine équivalente.
 Réponse
La bobine équivalente a une inductance caractérisée par :
4.4
Calculs d’impédance
Exercice 4.4.1
Impédance d’un condensateur réel (résistances fuite et série)
Calculer l’impédance à 00 Hz d’un condensateur de 4' 00 μ , dont la résistance de fuite Rf vaut
résistance série Rs vaut 40 mΩ.
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Ω et la
101
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse
L’impédance de ce condensateur à 00 Hz vaut :
(
)
(
Exercice 4.4.2
)
Impédance d’une bobine
L’impédance d’une bobine à 0 Hz est donnée par son module Z = 33 Ω et son déphasage φ = 30º. Calculer
sa résistance, sa réactance et son inductance.
 Réponse
Exercice 4.4.3
| |
( )
| |
( )
√
Courant sinusoïdal dans une bobine
Une bobine de 4 mH et 0,7 Ω est alimentée par une tension alternative de 12 Vrms / 50 Hz.
a) Quelle est l’impédance Z de cette bobine à cette fréquence, sous forme cartésienne ?
b) Exprimer cette impédance sous forme d’Euler.
c) Quel est le courant traversant cette bobine (amplitude et déphasage) ?
 Réponse – a
102
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse – b
( )
√
(
( )
)
 Réponse – c
Le courant vaut :
Le déphasage est de -1,06 [rad]. Le signe négatif montre que le courant est en retard sur la tension.
Exercice 4.4.4
Caractéristiques d’une bobine en régime sinusoïdal
On alimente une bobine sous 10 Vrms
On constate :


Hz et on mesure la tension et le courant à l’aide d’un oscilloscope.
Î = 6,3 mA
le déphasage correspond à un laps de temps de 83,3 μs, le courant étant en retard sur la tension.
Calculer les caractéristiques (L et R) de cette bobine.
 Réponse
Le déphasage correspond à un laps de temps de 83,3 μs pour une période de 1 ms. En radian, il vaut donc :
Les amplitudes complexes de la tension et du courant valent :
√
L’impédance vaut ainsi :
Sous forme cartésienne :
La bobine a une résistance de 1'944 Ω et une réactance de 1'122 Ω. Connaissant la fréquence, on obtient :
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103
Théorie des circuits linéaires
Exercice 4.4.5
HEIG-VD
Courant fourni à 3 résistances et 1 inductance
Déterminer le courant i(t) en fonction du temps pour le circuit ci-dessous :
 Réponse
Il faut tout d’abord calculer l’impédance équivalente à la char e, constituée des 3 résistances et de
l’inductance. Celle-ci vaut :
[
(
[
)]
(
)]
Calcul complet de l’impédance équivalente :
(
)
(
(
)=
(
(
)
)
)
Sachant que la tension complexe vaut
, on peut calculer le courant complexe :
La valeur instantanée du courant vaut alors :
( )
Exercice 4.4.6
(
√
)
(
)
Effet de la fréquence sur le courant dans une impédance
Pour le circuit de l’exercice précédent (Exercice 4.4.5), représenter l’amplitude et le déphasa e du courant
complexe, lorsque la fréquence de l’alimentation varie de 0 (DC) à l’infini.
 Réponse
Pour résoudre ce problème, il faut refaire le calcul de l’exercice précédent, mais sous forme analytique
puisque la fréquence n’est a priori pas connue.
Pour une fréquence nulle, le calcul est relativement simple, car l’inductance peut alors être remplacée par un
court-circuit. On obtient ainsi :
[
104
(
)]
[
(
)]
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Le courant à fréquence nulle est en phase avec la tension.
Pour une fréquence infinie, l’inductance peut alors être remplacée par un circuit ouvert. On obtient ainsi :
[
(
[
)]
]
Le courant à fréquence infinie est aussi en phase avec la tension.
Pour représenter le courant complexe en fonction de la fréquence, il est préférable d’utiliser un outil comme
ATLAB. On peut alors représenter l’amplitude et le déphasa e du courant. Dans les fi ures ci-dessous,
l’abscisse est le lo arithme (base 10) de la fréquence.
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0,726 mA
0.7
0.65
-2
-1
0
1
2
3
4
101,27 = 16,7 Hz
Amplitude du courant en fonction de la fréquence
0
-2
-4
-6
-8
-9,9 °
-10
-12
-14
-2
-1
0
1
2
3
4
101,27 = 16,7 Hz
Déphasage du courant en fonction de la fréquence
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 4.4.7
HEIG-VD
Compensation de puissance réactive
Une rampe d’éclaira e équipée de tubes au Néon alimenté en 230 Vrms / 50 Hz consomme 600 W. Le
distributeur d’électricité a mesuré un facteur de puissance de 0,6 et annonce qu’il majorera son tarif de 0
centimes / kvarh.
a) Calculer quel condensateur devrait être connecté en parallèle avec cet éclairage pour ramener le
facteur de puissance à 1,0.
b) Ce condensateur coûte CH
0.00, monta e inclus. En combien d’heures de fonctionnement sera-til amorti (pour ne pas compliquer, on suppose que le taux d’intérêt est nul) ?
 Réponse – a
Le courant consommé est égal à :
Le déphasage est négatif, puisque le courant est en retard sur la tension. Il vaut :
(
)
On peut exprimer la tension et le courant en grandeurs complexes :
En connectant un condensateur en parallèle avec l’éclaira e, le courant consommé total vaut :
On veut obtenir un facteur de forme au niveau de l’alimentation de ,0. Donc, sa partie ima inaire doit être
nulle. On doit donc choisir le condensateur de manière à ce que :
(
106
)
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Théorie des circuits linéaires
On en déduit :
La réactance du condensateur vaut ainsi :
Comme la fréquence étant celle du réseau, donc 50 Hz. On obtient donc pour le condensateur :
On choisira un condensateur avec la valeur normalisée de 47 μF.
 Réponse – b
Si la puissance active est de 600 W avec un cosφ = 0,6, la puissance apparente vaut :
Donc, la puissance réactive vaut :
√
√
Une heure de fonctionnement coûte donc 8 centimes, soit 0,08 CHF.
Le condensateur sera donc amorti en 3'125 heures, ce qui représente environ 8 heures de fonctionnement
chaque jour pendant 1 année.
Exercice 4.4.8
Influence de la fréquence sur les impédances
Refaire l’exercice précédent (Exercice 4.4.7) pour une installation fonctionnant sous 115 Vrms / 60 Hz (aux
USA, par exemple).
 Réponse – a
En répétant les mêmes calculs que pour l’exercice précédent, nous obtenons :
(
)
La réactance du condensateur vaut ainsi :
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Théorie des circuits linéaires
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Comme la fréquence étant celle du réseau, donc 60 Hz. On obtient donc pour le condensateur :
On choisira un condensateur avec la valeur normalisée de 150 μF.
 Réponse – b
Les calculs d’amortissement sont identiques à ceux du problème précédent, pour autant que le prix du
condensateur ne soit pas différent.
Exercice 4.4.9
Simplification d’un circuit à fréquence nulle
Déterminer la valeur de la tension U, en régime continu, pour le circuit ci-dessous.
 Réponse
En régime continu, les condensateurs se comportent comme des interrupteurs ouverts, et les inductances
comme des courts-circuits. Le circuit se simplifie donc comme suit :
Les 5 résistances restantes peuvent être remplacées par une résistance équivalente :
[
108
(
)
]
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Théorie des circuits linéaires
La tension U vaut ainsi :
Impédance d’un circuit avec 2 bobines et 1 condensateur
Exercice 4.4.10
Calculer l’impédance du circuit ci-dessous, pour une fréquence de 50 Hz.
a) Si ce système est connecté au réseau 230 Vrms /50 Hz, quelle sera le courant consommé ?
b) Tenant compte du déphasage cosφ, quelle est la puissance absorbée ?
 Réponse – a
On calcule d’abord l’impédance de chaque branche :
On calcule alors l’impédance équivalente comme suit, successivement :
(
(
(
)
(
) (
) (
) (
(
)
)
(
(
(
)
)
)
(
(
)
(
)
(
)
)
)
)
La charge est inductive (φ > 0). Le courant est donc en retard sur la tension, et vaut :
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109
Théorie des circuits linéaires
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 Réponse – b
Le facteur de puissance vaut :
(
)
La puissance absorbée vaut donc :
Impédance d’un circuit avec 2 bobines et 1 condensateur
Exercice 4.4.11
Calculer l’impédance du circuit du problème précédent (Exercice 4.4.10), mais cette fois pour une fréquence
de 60 Hz.
 Réponse
On calcule d’abord l’impédance de chaque branche :
On calcule alors l’impédance équivalente comme suit, successivement :
(
(
(
)
(
) (
(
(
(
110
) (
) (
)
)
)
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 4.4.12
Impédance d’un circuit avec 2 alimentations et 1 condensateur
Calculer et représenter la formule analytique du courant i(t) du circuit ci-dessous, en tenant compte des 2
alimentations qui ont des fréquences différentes.
Lorsque la 1ère alimentation (50 Hz) est à 0 V par pente positive, la 2ème alimentation
(150 Hz) est aussi à 0 V pente positive.
Remarque :
 Réponse
Comme les fréquences sont différentes, on est obli é d’utiliser le principe de superposition.
Ont peut admettre que l’alimentation 4 Vrms / 50 Hz a un déphasage nul. Comme elle passe par zéro, par
pente croissante, au moment où l’alimentation 3 rms / 150 Hz en fait de même, on peut conclure que le
déphasage de la 2ème alimentation est également nul.
Lorsque la 1ère alimentation seule est active :
(
( )
)
Lorsque la 2ème alimentation seule est active :
(
( )
)
Lorsque les 2 alimentations sont actives :
( )
Remarque :
( )
(
( )
)
(
)
Comme les 2 sources ont des fréquences différentes, le courant résultant est la somme
de sinusoïdes de fréquences différentes. Seule l’expression temporelle (au cours du
temps) a un sens. Il serait complètement erroné d’exprimer un courant complexe.
Une représentation raphique de ces
MATLAB.
tensions, au cours du temps, peut se faire aisément à l’aide de
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111
Théorie des circuits linéaires
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La 1ère fi ure montre l’allure des tensions d’alimentation et de la tension résultante. La ème figure montre
les 2 courants résultants et le courant résultant. On remarque qu’au cours d’une période, les tensions
passent 2 fois par zéro simultanément. Par contre, comme les déphasages des courants dépendent des
fréquences, les courants ne s’annulent jamais simultanément.
Tensions
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.014
0.016
0.018
0.02
Courants
30
20
10
0
-10
-20
-30
112
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 4.4.13 Théorème de Thévenin appliqué à une source de tension
alternative
On alimente une char e électrique monophasée inconnue par une source de tension inconnue. A l’aide d’un
oscilloscope, on visualise cette tension, ainsi que le courant consommé par cette charge. On fait les
constatations suivantes :







La tension et le courant ont une allure sinusoïdale, sans composante continue.
La valeur crête de la tension vaut 13,8V.
Le laps de temps entre 2 passages successifs par zéro, par pente positive, vaut 100 µs.
Le courant est en retard sur la tension :
μs après le passa e de la tension par zéro (pente positive), la
valeur du courant est nulle (pente positive).
Lorsque la tension passe par zéro, par pente négative, la valeur du courant vaut exactement 120 mA.
Si on déconnecte la charge (courant nul), la valeur crête de la tension atteint 14,6 V.
Si on connecte une résistance de 1,0 Ω, on constate que la tension de crête diminue, et que le courant est
en phase avec la tension.
a) Déterminer la fréquence de la source de tension.
c) Déterminer la valeur complexe de la tension mesurée.
d) Déterminer la valeur complexe du courant mesuré.
e) Déterminer l’impédance de la char e inconnue.
f) Déterminer un modèle de cette charge ne comportant que 2 composants idéaux en série.
g) Déterminer la source de tension équivalente selon Thévenin.
 Réponse – a
La fréquence vaut :
 Réponse – b
La valeur efficace de la tension mesurée vaut :
̂
√
En l’absence d’autres informations, nous pouvons fixer arbitrairement le déphasage de la tension à vide à
zéro. La tension complexe vaut donc :
 Réponse – c
Le courant est en retard de
est négatif :
μs sur la tension. ous pouvons donc en déduire le déphasa e du courant, qui
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113
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
La valeur du courant en fonction du temps est du type :
̂
( )
(
)
Le courant vaut 0,2 A lorsque la tension passe par zéro, par pente négative, donc lorsque
pouvons en déduire :
̂
[
(
) (
)
]
̂
(
)
. Nous
̂
Nous en déduisons que :
̂
Le courant efficace vaut donc :
√
Le courant complexe vaut donc :
 Réponse – d
 Réponse – e
La charge est inductive puisque l’ar ument de son impédance est positif. Elle peut être modélisée par une
résistance et une inductance en série. En mettant son impédance sous forme cartésienne, nous obtenons :
La résistance
vaut donc
Ω.
L’inductance se calcule par :
(
)
 Réponse – f
La tension à vide est celle que l’on mesure lorsque la char e
est déconnectée. Nous avons donc :
√
Nous pouvons alors exprimer les tensions et le courant comme suit :
(
114
)
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Théorie des circuits linéaires
Cette fois, en l’absence d’autres informations, nous avons fixé arbitrairement le déphasa e de la tension
à
zéro. Rien ne nous permet d’affirmer que la tension aux bornes est en phase avec la tension , aussi, nous
admettons qu’elle est déphasée de l’an le
. Ce déphasa e est a priori inconnu. ous verrons qu’il n’est
même pas nécessaire d’en déterminer la valeur.
Tenant compte de toutes les informations à disposition, nous pouvons poser, successivement :
(
)
(
[(
]
)
(
(
)
Exercice 4.4.14
[
(
(
)
La source est donc caractérisée par
Remarque :
)
√(
(
et
(
)
)
)
)]
(
(
)
)
)
, sa fréquence étant de 10 kHz.
Dans le cas le plus général, la source réelle de tension pourrait avoir une impédance
interne
au lieu d’une résistance interne
.Pour en déterminer le module et
l’ar ument, il faudrait faire une expérience supplémentaire, comme par exemple une
mesure de la tension aux bornes lorsque la charge inductive est remplacée par la
résistance de 1,0 Ω. En procédant de la même manière que ci-dessus, nous
disposerions alors de 2 équations à 2 inconnues, et nous pourrions déterminer le
module et l’ar ument de l’impédance interne.
Impédance caractéristique d’un câble
Un câble comporte 2 conducteurs en parallèle. Ce peut être 2 fils torsadés, ou une structure coaxiale (1
conducteur externe cylindrique creux + conducteur à l’intérieur). Les caractéristiques constructives de ce
câble (dimensions, matériaux) permettent de le caractériser comme suit, pour chaque mètre de longueur :




R’ = Résistance linéique du cuivre (somme de la résistance des 2 conducteurs pour une longueur de 1 m)
G’ Conductance linéique de l’isolant (inverse de la résistance de l’isolant, pour une lon ueur de m)
L’ = Inductance linéique (inductance de la boucle formée par les 2 conducteurs, sur 1 m)
C’ = Capacité du condensateur formé par les 2 conducteurs en parallèle, sur une longueur de 1 m)
Si on alimente un câble de lon ueur infinie par l’une de ses extrémités avec une tension alternative
sinusoïdale, et que l’on mesure le courant ainsi fourni à ce câble, on peut calculer l’impédance de ce câble.
Si on coupe mètre de ce câble, et qu’on alimente tout le reste du câble avec la même tension alternative, on
doit logiquement retrouver le même courant, donc la même impédance. En effet, le reste du câble est
toujours de longueur infinie. Cette impédance est appelée impédance caractéristique du câble.
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115
Théorie des circuits linéaires
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a) Représenter le schéma équivalent d’une lon ueur dx de câble à l’aide des 4 composants R’, G’, L’ et
C’.
b) Considérant que l’on connecte à l’extrémité droite de ce mètre de câble une impédance é ale à
calculer l’impédance de l’ensemble vu de l’extrémité auche.
c) Considérant que la valeur ainsi obtenue doit être égale à
composants R’, G’, L’ et C’.
,
, en calculer sa valeur en fonction des 4
d) Que devient cette valeur si la résistance et la conductance sont négligeables ?
 Réponse – a
L’
R’
G’
C’
 Réponse – b
Posons :
(
)
(
)
Nous obtenons :
(
)
 Réponse – c
Nous avons successivement :
(
(
)
)
(
)
√
116
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Théorie des circuits linéaires
En remplaçant ces impédances par leurs valeurs en R’, G’, L’ et C’, nous obtenons :
(
)
)
√[(
(
(
]
)
)
Si dx tend vers zéro, nous obtenons finalement :
(
√
(
)
)
 Réponse – d
√
Exercice 4.4.15
Vitesse de l’électricité dans un câble
En utilisant le modèle d’une lon ueur dx de câble vu à l’Exercice 4.4.14, et en supposant qu’il n’y a pas de
pertes (R’ = 0 et G’ = ∞) déterminer la vitesse de propa ation d’une tension électrique sinusoïdale dans un
câble bifilaire.
Pour 2 fils de diamètre d, distants de D, l’inductance et la capacité par unité de longueur sont donnés par :
(
)
(
)
a) Déterminer la variation de tension et de courant pour une longueur dx de câble.
b) En déduire l’équation du télé raphiste, qui lie la dérivée seconde de la tension par rapport à la
longueur de câble , et la dérivée seconde de la même tension par rapport au temps .
c) Montrer que la solution de cette équation est du type
(
(
)
)
d) Calculer la vitesse de propagation v en fonction des caractéristiques du câble.
Ce calcul peut être résolu en modélisant une longueur dx du câble comme suit :
L’·dx
i(x)
i(x+dx)
u(x+dx)
u(x)
C’·d
x
Pour plus de renseignements, entre autre sur le calcul des câbles avec pertes ohmiques, consulter http://wwwlemm.univ-lille1.fr/physique/ondes_enligne/chapitre5/ch5_2_2.htm.
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117
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse – a
La variation de tension est causée par l’effet combiné du courant sinusoïdal et de l’inductance L’ :
(
)
(
)
(
(
)
)
La variation de courant est causée par l’effet combiné de la tension sinusoïdale et de la capacité C’ :
(
)
(
)
(
(
)
)
Nous en tirons le système de deux équations aux dérivées partielles suivant :
{
(
)
(
)
(
)
(
)
 Réponse – b
En dérivant la 1ère équation relativement à la distance et la 2ème équation par rapport au temps, nous
obtenons :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
(
)
inalement, nous obtenons l’équation du télégraphiste :
(
)
(
)
 Réponse – c
Supposons que la solution de l’équation différentielle du télé raphiste soit la suivante, la vitesse de
propagation v restant encore indéterminée :
(
(
)
)
Dérivons cette solution supposée deux fois par rapport au temps :
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
Dérivons la solution supposée deux fois par rapport à la distance :
118
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
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Théorie des circuits linéaires
En remplaçant dans l’équation du télé raphiste, nous obtenons :
(
(
)
(
)
)
(
(
(
)
(
)
)
)
Dans la solution supposée, nous choisissons la vitesse de propagation v comme suit :
√
Pour cette valeur particulière, la solution supposée satisfait bien l’équation du télé raphiste. Il s’a it donc
bien de LA solution de l’équation du télé raphiste. C.Q.F.D.
 Réponse – d
En remplaçant L’ et C’ par leur valeurs (voir donnée), nous obtenons :
√
(
[
√⏟
)
] [
⏟ (
]
)
Dans le calcul du produit
ci-dessus, les grandeurs géométriques, qui dépendent de la forme des deux
conducteurs (2 fils parallèles) se simplifient fort joliment, et la vitesse de propagation ne dépend finalement
que de la permittivité et de la perméabilité des matériaux entre les conducteurs et autour d’eux. Ce serait
é alement le cas pour d’autres formes de conducteurs (câbles coaxiaux, etc.).
Cette relation peut être développée en faisant apparaître les valeurs absolues et relatives de la permittivité et
de la perméabilité :
√
√(
) (
)
En général, la perméabilité relative vaut 1, car il est rare que des câbles contiennent des matériaux
ferromagnétiques. Par ailleurs, le produit
est lié à la vitesse de la lumière dans le vide c. Nous
obtenons ainsi :
√
⏟
√⏟
√
Avec des isolants en plastic dont la permittivité relative est souvent comprise entre 2,0 et 2,5, la vitesse de
propa ation de l’électricité dans ce câble vaut donc, approximativement, 00'000 m s.
Si ces conducteurs étaient placés dans l’air ou dans le vide (
serait égale à celle de la lumière.
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), la vitesse de propa ation de l’électricité
119
Théorie des circuits linéaires
4.5
HEIG-VD
Fonction de transfert et diagramme de Bode
Il est recommandé d’utiliser du papier quadrillé spécial, avec abscisse lo arithmique et
ordonnée linéaire, pour faire cette représentation. Quelques pages ainsi pré imprimées
sont disponibles à la fin de ce document. Voir Chapitre 6.
Remarque :
Décomposition d’une fonction de transfert en éléments simples
Exercice 4.5.1
Un circuit est caractérisé par la fonction de transfert suivante :
( )
a) Mettre cette expression sous la forme de produits d’éléments simples.
b) Combien y a-t-il de fréquences caractéristiques, et que valent-elles ?
c) Que vaut
( ) si la fréquence tend vers zéro ?
d) Que vaut
( ) si la fréquence tend vers l’infini ?
e) Démontrer que l’ar ument est toujours négatif, quelle que soit la valeur de
.
 Réponse – a
( )
(
( )
(
)
)
(
(
)
)
 Réponse – b
Il y a 2 fréquences caractéristiques, qui valent :
Hz
Hz
 Réponse – c
Si la fréquence tend vers zéro, le gain tend vers 0,0683, ce qui correspond à -23,3 dB.
 Réponse – d
Si la fréquence tend vers l’infini, le ain tend vers 0,03 , ce qui correspond à -29,1 dB.
120
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
 Réponse – e
L’ar ument du numérateur, qui vaut
, et toujours inférieur à celui du dénominateur, qui vaut
. L’ar ument de la fonction de transfert, qui est é al à la différence entre ces ar uments est
donc toujours négatif.
Exercice 4.5.2
Circuit C – R
Une résistance de 10 Ω est connectée à une alimentation sinusoïdale de 10 Vrms par l’intermédiaire d’un
condensateur C = 15 µF.
a) Quelle est l’impédance de ce circuit ?
h) Calculer la tension (représentation complexe) aux bornes de la résistance pour des fréquences de 10
à 00'000 Hz. Représenter le rapport complexe entre cette tension et la tension d’entrée.
i)
Pour quelle fréquence la tension aux bornes du condensateur et la tension aux bornes de la résistance
ont-elles même amplitude (même module) ?
 Réponse – a
L’impédance du condensateur seul, en fonction de la fréquence, vaut :
[ ]
L’impédance du circuit complet vaut donc :
[ ]
 Réponse – b
La tension aux bornes de la résistance se calcule comme pour un diviseur de tension :
(
[
)
(
)
]
[ ]
Le rapport entre tension de sortie et tension d’entrée vaut :
( )
(
[
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)
(
)
]
121
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
Le tableau ci-dessous fourni la fonction de transfert. La tension de sortie s’obtient simplement en multipliant
le module de ( ) par la tension d’entrée, donc par 0.
f
w
10
63
32
199
100
628
316
1'987
1'000
6'283
3'162 19'869
10'000 62'832
31'623 198'692
100'000 628'319
Re(num) Im(num)
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0094
0.0298
0.0942
0.2980
0.9425
2.9804
9.4248
29.8038
94.2478
mod(num)
0.0094
0.0298
0.0942
0.2980
0.9425
2.9804
9.4248
29.8038
94.2478
arg(num)
1.5708
1.5708
1.5708
1.5708
1.5708
1.5708
1.5708
1.5708
1.5708
Re(dén)
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
Im(dén)
0.0094
0.0298
0.0942
0.2980
0.9425
2.9804
9.4248
29.8038
94.2478
mod(dén)
1.0000
1.0004
1.0044
1.0435
1.3741
3.1437
9.4777
29.8205
94.2531
arg(dén) mod(H)
0.0094
0.0298
0.0940
0.2897
0.7558
1.2471
1.4651
1.5373
1.5602
0.0094
0.0298
0.0938
0.2856
0.6859
0.9481
0.9944
0.9994
0.9999
arg(H) arg(H)
[rad] [degrés]
1.5614 89.4600
1.5410 88.2929
1.4768 84.6159
1.2811 73.4040
0.8150 46.6962
0.3237 18.5480
0.1057 6.0566
0.0335 1.9217
0.0106 0.6079
On constate qu’à fréquence nulle ou faible, le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.
L’impédance a un module très élevé (pratiquement infini). Le courant est presque nul. La tension aux bornes
de la résistance aussi.
Par contre, à très haute fréquence, le condensateur se comporte comme un court-circuit ; l’impédance est
pratiquement é ale à la résistance seule, sur laquelle on retrouve pratiquement toute la tension d’alimentation
122
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Théorie des circuits linéaires
module
1.000
0.100
0.010
10
100
1'000
10'000
100'000
argument
90
45
0
10
100
1'000
10'000
100'000
 Réponse – c
La lecture du tableau montre que le module de l’impédance du condensateur est é al à la résistance lorsque
f ~ '000 Hz. C’est la même valeur que dans l’exercice précédent. Plus exactement :
Les tensions aux bornes du condensateur et aux bornes de la résistance ont même module lorsque la
fréquence est égale à .
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 4.5.3
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Circuit avec 2 condensateurs et 2 résistances
Calculer le rapport (nombre complexe) entre la tension de sortie
et la tension d’entrée
du circuit cidessous. Représenter le module et l’ar ument de ce rapport en fonction de la fréquence, de fmin = 0,01/RC à
fmax = 100/RC.
)
On suppose qu’il n’y a aucune char e connectée à la sortie (
Remarque :
 Réponse
On a diviseurs de tension non char és, qui se calculent comme de la même manière que si l’on avait que
des résistances.
1ère branche :
2ème branche :
On calcule alors la tension de sortie :
( )
Ce rapport de fréquence
ωCR
0.01
0.03
0.10
0.32
1.00
3.16
10.00
31.62
100.00
124
(
varie entre 0,01 et 10, et on obtient les valeurs suivantes :
Re(num Im(num mod(num
arg(num)
)
)
)
1.0000 -0.0100
1.0000 -0.0316
1.0000 -0.1000
1.0000 -0.3162
1.0000 -1.0000
1.0000 -3.1623
1.0000 -10.0000
1.0000 -31.6228
100.000
1.0000
0
)
Re(dén)
Im(dén)
mod(dén
mod(H
arg(dén)
)
)
arg(H)
[rad]
arg(H)
[degrés]
1.0000
1.0005
1.0050
1.0488
1.4142
3.3166
10.0499
31.6386
-0.0100
-0.0316
-0.0997
-0.3063
-0.7854
-1.2645
-1.4711
-1.5392
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.0100
0.0316
0.1000
0.3162
1.0000
3.1623
10.0000
31.6228
1.0000
1.0005
1.0050
1.0488
1.4142
3.3166
10.0499
31.6386
0.0100
0.0316
0.0997
0.3063
0.7854
1.2645
1.4711
1.5392
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
3.1216
3.0784
2.9423
2.5290
1.5708
0.6126
0.1993
0.0632
178.8541
176.3775
168.5788
144.9032
90.0000
35.0968
11.4212
3.6225
100.0050
-1.5608
1.0000
100.000
0
100.0050
1.5608
1.0000
0.0200
1.1459
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Théorie des circuits linéaires
module (en fct. de ωCR)
10
1
0
0.01
0.10
1.00
10.00
100.00
argument (en fct. de ωCR)
-180
-210
-240
-270
-300
-330
-360
0.01
0.10
1.00
10.00
100.00
Le module est toujours égal à 1. Seul l’ar ument varie avec la fréquence. Si on calcule cet argument à partir
de la fonction de transfert, on constate qu’il vaut -180º lorsque ωCR est nul, et -360º lorsque ωCR tends vers
l’infini.
Si la fréquence est nulle, on annule tous les termes en
et on obtient
conclusion en assimilant les condensateurs à des contacts ouverts.
. On obtient la même
Si la fréquence est infinie, on obtient la tension en divisant le numérateur et le dénominateur par
faisant tendre vers l’infini. Les termes
s’annulent, et il ne reste plus que :
, puis en
On obtient la même conclusion en assimilant les condensateurs à des courts-circuits.
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Théorie des circuits linéaires
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Impédance d’une bobine (L – R)
Exercice 4.5.4
Une bobine dont l’inductance est de 200 mH et la résistance de 10 Ω est alimentée par un courant dont on
fait varier la fréquence. Calculer et représenter le module et l’ar ument (en de rés) de son impédance pour
diverses fréquences comprises entre 0, et ’000 Hz.
 Réponse
w
f
0.10
0.32
1.00
3.16
10.00
31.62
100.00
316.23
1'000.00
Re(Z)
0.63
1.99
6.28
19.87
62.83
198.69
628.32
1'986.92
6'283.19
Im(Z)
mod(Z)
10.0000
0.1257
10.0008
10.0000
0.3974
10.0079
10.0000
1.2566
10.0786
10.0000
3.9738
10.7606
10.0000
12.5664
16.0597
10.0000
39.7384
40.9773
10.0000 125.6637 126.0610
10.0000 397.3835 397.5093
10.0000 1'256.6371 1'256.6768
arg(H)
[rad]
0.0126
0.0397
0.1250
0.3782
0.8986
1.3243
1.4914
1.5456
1.5628
arg(H)
[degrés]
0.7200
2.2756
7.1625
21.6721
51.4881
75.8750
85.4501
88.5585
89.5441
module
1'000
100
10
0
1
10
100
1'000
100
1'000
argument
90
45
0
0
126
1
10
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Théorie des circuits linéaires
Bobine (L – R) avec résistance en parallèle
Exercice 4.5.5
Une bobine dont l’inductance est de 00 mH et la résistance de
Ω est mise en parallèle avec une
résistance de 100 Ω. Calculer et représenter le module et l’ar ument de l’impédance équivalente pour
diverses fréquences comprises entre 0, et ’000 Hz.
 Réponse
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
arg(dén)
mod(H)
)
)
Tableau de valeurs :
f
1.00
2.15
4.64
10.00
21.54
46.42
100.00
215.44
464.16
1'000.00
w
6.3
13.5
29.2
62.8
135.4
291.6
628.3
1'353.7
2'916.4
6'283.2
Re(num)
Im(num)
mod(num)
1'200.00
125.66
1'206.56
1'200.00
270.73
1'230.16
1'200.00
583.28
1'334.25
1'200.00
1'256.64
1'737.57
1'200.00
2'707.34
2'961.37
1'200.00
5'832.79
5'954.95
1'200.00 12'566.37 12'623.53
1'200.00 27'073.41 27'099.99
1'200.00 58'327.90 58'340.24
1'200.00 125'663.64 125'669.37
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arg(num)
0.10
0.22
0.45
0.81
1.15
1.37
1.48
1.53
1.55
1.56
Re(dén)
112.00
112.00
112.00
112.00
112.00
112.00
112.00
112.00
112.00
112.00
Im(dén)
1.26
2.71
5.83
12.57
27.07
58.33
125.66
270.73
583.28
1'256.64
mod(dén)
112.01
112.03
112.15
112.70
115.23
126.28
168.33
292.99
593.93
1'261.62
0.01
0.02
0.05
0.11
0.24
0.48
0.84
1.18
1.38
1.48
10.77
10.98
11.90
15.42
25.70
47.16
74.99
92.50
98.23
99.61
arg(H)
arg(H)
[rad]
[degrés]
0.09
5.34
0.20
11.33
0.40
22.94
0.70
39.92
0.92
52.51
0.89
50.86
0.63
36.25
0.35
19.94
0.17
9.69
0.08
4.55
127
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
module
100
10
1
10
100
1'000
argument
90
45
0
1
Exercice 4.5.6
45
Circuit C – R – L
Un circuit comporte un condensateur et une bobine en série. Le condensateur a une capacité de 1,5 μF. La
bobine a une résistance de 10 Ω et une inductance de 15 mH.
a) Calculer la fréquence de résonance.
b) Ce circuit est alimenté avec une tension de 1 Vrms sinusoïdal, dont on peut faire varier la fréquence
de Hz à
Hz. Calculer la tension aux bornes de la bobine lorsque l’alimentation est ré lée à la
fréquence de résonance.
c) Représenter la tension aux bornes de la bobine en fonction de la fréquence (module et argument).
128
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse – a
Fréquence de résonance :
√
√
 Réponse – b
Nous avons à faire à un diviseur de tension :
(
)
(
(
)
(
)
)
En introduisant les valeurs numériques :
(
[
)
(
(
)]
(
)
(
)
)
A la fréquence de résonance , la tension aux bornes de la bobine est 10 fois plus élevée que la tension
d’alimentation, et déphasée de -84,3º. En effet :
(
)
[
]
[
]
[
]
A fréquence nulle, l’inductance se comporte comme un court-circuit et le condensateur comme un
interrupteur ouvert. La tension aux bornes de la bobine est donc nulle. L’équation de
confirme ce
fait.
A fréquence infinie, l’inductance se comporte comme un interrupteur ouvert et le condensateur comme un
court-circuit. La tension aux bornes de la bobine est donc é ale à la tension d’alimentation. L’équation de
confirme ce fait.
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Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse – c
Tableau de valeurs :
f
106.1
152.6
219.5
315.8
454.3
653.4
939.9
1'061.0
1'197.7
1'352.0
1'944.9
2'797.6
4'024.2
5'788.6
8'326.6
11'977.3
w
Re(num) Im(num) mod(num) arg(num)
666.7
-0.010
959.0
-0.021
1'379.4
-0.043
1'984.2
-0.089
2'854.2
-0.183
4'105.7
-0.379
5'905.8
-0.785
6'666.7
-1.000
7'525.6
-1.274
8'495.2
-1.624
12'219.9
-3.360
17'577.7
-6.952
25'284.6
-14.384
36'370.6
-29.763
52'317.3
-61.585
75'255.8 -127.427
0.010
0.014
0.021
0.030
0.043
0.062
0.089
0.100
0.113
0.127
0.183
0.264
0.379
0.546
0.785
1.129
0.014
0.025
0.048
0.093
0.188
0.384
0.790
1.005
1.279
1.629
3.365
6.957
14.389
29.768
61.590
127.432
Re(dén)
Im(dén) mod(dén) arg(dén)
2.36
0.990
2.53
0.979
2.69
0.957
2.82
0.911
2.91
0.817
2.98
0.621
3.03
0.215
3.04
0.000
3.05
-0.274
3.06
-0.624
3.09
-2.360
3.10
-5.952
3.12 -13.384
3.12 -28.763
3.13 -60.585
3.13 -126.427
0.010
0.014
0.021
0.030
0.043
0.062
0.089
0.100
0.113
0.127
0.183
0.264
0.379
0.546
0.785
1.129
0.990
0.979
0.957
0.912
0.818
0.624
0.233
0.100
0.297
0.637
2.367
5.958
13.390
28.769
60.590
126.432
0.01
0.01
0.02
0.03
0.05
0.10
0.39
1.57
2.75
2.94
3.06
3.10
3.11
3.12
3.13
3.13
mod(U)
0.014
0.026
0.050
0.102
0.230
0.616
3.393
10.050
4.313
2.558
1.422
1.168
1.075
1.035
1.017
1.008
arg(U)
[rad]
2.346
2.519
2.670
2.785
2.860
2.882
2.639
1.471
0.302
0.123
0.023
0.006
0.002
0.001
0.000
0.000
arg(U)
[degrés]
134.42
144.35
152.97
159.56
163.85
165.11
151.19
84.29
17.31
7.06
1.32
0.36
0.11
0.04
0.01
0.00
module
10
1
0
0
100
1'000
10'000
argument
180
135
90
45
0
100
130
1'000
10'000
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Exercice 4.5.7
Théorie des circuits linéaires
Circuit R – R – C
Calculer et représenter la fonction de transfert du circuit ci-dessous :
Remarque :
On suppose qu’il n’y a aucune char e connectée à la sortie (
)
 Réponse
On applique la formule du diviseur de tension :
( )
(
(
)
)
Il y a 2 fréquences caractéristiques distinctes, une pour le numérateur et l’autre pour le dénominateur :
(
On remarque que
)
.
On peut représenter cette fonction de transfert à l’aide des asymptotes :
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131
Théorie des circuits linéaires
Exercice 4.5.8
HEIG-VD
Circuit R – C – R
Calculer et représenter la fonction de transfert du circuit ci-dessous :
Remarque :
On suppose qu’il n’y a aucune char e connectée à la sortie (
)
 Réponse
On applique la formule du diviseur de tension :
( )
Il y a
(
(
)
)
fréquences caractéristiques distinctes, une pour le numérateur et l’autre pour le dénominateur :
(
On remarque que
)
.
On peut représenter cette fonction de transfert à l’aide des asymptotes :
132
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 4.5.9
Circuit R – C // R
Calculer et représenter la fonction de transfert du circuit ci-dessous :
On suppose qu’il n’y a aucune char e connectée à la sortie (
Remarque :
)
 Réponse
On applique la formule du diviseur de tension, en calculant d’abord l’impédance équivalente à C et R2 en
parallèle :
( )
(
)
(
)
On peut faire apparaître :
Alors :
( )
Il n’y a qu’une fréquence caractéristique, au dénominateur :
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133
Théorie des circuits linéaires
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On peut représenter cette fonction de transfert à l’aide des asymptotes :
Exercice 4.5.10
Circuit R // C – R
Calculer et représenter la fonction de transfert du circuit ci-dessous :
On suppose qu’il n’y a aucune char e connectée à la sortie (
Remarque :
)
 Réponse
On applique la formule du diviseur de tension, en calculant d’abord l’impédance équivalente à C et R1 en
parallèle :
(
( )
(
)
)
(
(
)
)
On peut faire apparaître :
Alors :
( )
134
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HEIG-VD
Il y a
Théorie des circuits linéaires
fréquences caractéristiques distinctes, une pour le numérateur et l’autre pour le dénominateur :
Comme
, on a
.
On peut représenter cette fonction de transfert à l’aide des asymptotes :
Exercice 4.5.11
Circuit équivalent à un circuit R – L
Proposer un circuit composé d’une résistance et d’une inductance ayant la même fonction de transfert que le
circuit ci-dessous. Est-ce que cette équivalence est possible dans tous les cas ?
Remarque :
On suppose qu’il n’y a aucune char e connectée à la sortie (
)
 Réponse
La fonction de transfert du circuit R – C est :
( )
Un circuit L – R équivalent aurait la même constante de temps si :
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135
Théorie des circuits linéaires
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Donc :
La fonction de transfert devient :
( )
Cette fonction de transfert correspond bien à un diviseur de tension composé de l’inductance L et de la
résistance R, comme suit :
Attention :
Ces 2 circuits ont la même fonction de transfert. Toutefois, ils ne sont pas équivalents
si on en charge la sortie, par exemple avec une résistance. Il suffit de calculer la
tension de sortie pour une fréquence nulle ou pour une fréquence infinie pour s’en
convaincre.
Exercice 4.5.12
Représentation asymptotique d’une fonction de transfert
Un quadripôle est caractérisé par la fonction de transfert suivante :
( )
(
)
(
)
Dans laquelle :




a) Représenter le module de cette fonction, en [dB], en fonction de la pulsation
précisément les asymptotes.
b) Représenter approximativement l’ar ument de cette fonction, en fonction de la pulsation
, en traçant
.
 Réponse – a
Nous avons 3 pulsations de coupures, qui valent :



136
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Théorie des circuits linéaires
Remarquons que
.
er
Par ailleurs, le 1 élément simple ( ) correspond à un gain statique de -20 dB.
Nous pouvons ainsi tracer les asymptotes de chaque élément de cette fonction, puis, par addition, le gain de
la fonction complète :
gain
2ème élément
1er élément
+20 dB
ω
0 dB
10
2
3
10
4
10
10
5
6
10
7
10
e
3ème élément
-20 dB
k
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137
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse – b
argument
+90º
1er élément
ω
k
0º
10
2
4
3
10
10
10
5
6
10
7
10
e
3ème élément
-90º
2ème élément
Exercice 4.5.13
Quadripôles en série – 1
Calculer et représenter la fonction de transfert du circuit ci-dessous :
R2
R1
Uin
C1
Ux
Iout = 0
C2
Uout
 Réponse
Calculons l’impédance des condensateurs :
138
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Théorie des circuits linéaires
Les deux circuits RC sont caractérisés par :
[(
)
[(
]
)
(
]
[(
)
)
(
]
(
)
)
Nous en déduisons successivement :
(
(
)
[(
)
[(
(
)
)
)
(
]
) [
]
(
)
(
)
(
)
]
ous constatons que cette fonction de transfert n’est pas le produit des fonctions de transfert des
RC pris individuellement :
(
)
(
) [
]
⏟
(
circuits
)
er
La différence provient du fait que le courant qui passe dans R2 et C2 est une charge pour le 1 circuit RC, et
que ce courant modifie ainsi sa fonction de transfert. Toutefois, si nous avions
, la différence serait
très faible. Cela correspond au fait que le courant dans R2 et C2 serait tellement faible qu’il n’influencerait
plus le 1er circuit RC de manière significative.
Exercice 4.5.14
Quadripôles en série – 2
On place en série quadripôles, dont les ains valent 3 dB et 3 dB respectivement. Le si nal d’entrée a
une amplitude de 100 mVrms.
Calculer l’amplitude du si nal de sortie.
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139
Théorie des circuits linéaires
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 Réponse
Les gains des quadripôles se multiplient. Exprimés en [dB], leurs ains s’additionnent. ous avons donc :
ain total
dB
Cela correspond à un gain de :
L’amplitude du si nal de sortie vaut donc :
rms
140
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Théorie des circuits linéaires
Chapitre 5
5.1
Régimes transitoires
Régime transitoire de systèmes électriques
Exercice 5.1.1
Énergie stockée dans un condensateur
Dans un servo amplificateur, un condensateur de 220 µF est chargé à 565 V.
a) Quelle est l’éner ie emma asinée ?
b) Par inadvertance, on laisse tomber sur les bornes de ce condensateur un morceau de fil à souder de 1
mm de diamètre et 10 cm de longueur, qui provoque un court-circuit. Quel est l’échauffement de ce
fil ? On suppose par simplification que toute l’éner ie du condensateur est transformée en chaleur
dans le fil. La chaleur massique de la soudure vaut 90
•K·, et sa masse spécifique vaut 8’6 0
kg/m3.
 Réponse – a
En appliquant la formule :
 Réponse – b
Toute cette énergie est dissipée en chaleur dans le fil. Tout de suite après le court-circuit, l’éner ie thermique
passant du fil vis à l’air ambiant (convection) est né li eable. On peut donc admettre que toute l’éner ie
thermique est utilisée pour élever la température du fil (échauffement adiabatique).
La masse du fil est :
Son élévation de température est donc :
La température de fusion de la soudure est ainsi atteinte !
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141
Théorie des circuits linéaires
Exercice 5.1.2
HEIG-VD
Décharge d’un condensateur
Un condensateur de 470 µF chargé à une tension de 48 V se décharge complètement dans une résistance de
1,2 MΩ.
a) Après combien de temps la tension aura-t-elle diminué de moitié ?
b) Quelle est l’éner ie qui sera transformée en chaleur dans la résistance pendant ce temps ?
 Réponse – a
La constante de temps vaut :
564 s
Tension initiale :
Tension finale :
Équation de la tension pendant la décharge :
( )
(
) (
(
)
) (
)
On demande combien de temps il faut pour que le condensateur soit déchargé de 50%. Il faut donc résoudre
l’équation :
Donc :
[
(
)]
 Réponse – b
Lorsque le condensateur est chargé à 48 V, son énergie vaut :
Lorsque le condensateur est chargé à 24 V, son énergie vaut :
L’éner ie qu’il délivre pendant la déchar e de 48 à 4
vaut donc :
(
)
Cette énergie est intégralement dissipée dans la résistance, ce qui répond à la question.
142
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Théorie des circuits linéaires
Exercice 5.1.3
Condensateur comme réserve d’énergie
Un condensateur est utilisé dans un petit automate programmable alimenté en 24 VDC pour le rendre
insensible à des brèves coupures d’alimentation.
La consommation de l’automate est de 0 mA. Le cahier des char es précise qu’une coupure d’alimentation
durant 100 ms ne doit pas perturber le fonctionnement.
Admettant qu’une baisse momentanée de tension de
pour ce condensateur ?
est acceptable, quel est la capacité minimum requise
 Réponse
Lorsque l’alimentation fonctionne correctement, le condensateur est char é à 4 DC. Quand l’alimentation
fournit le courant nécessaire au fonctionnement de l’automate, le condensateur est inactif (pas de courant).
Dès le moment où l’alimentation ne parvient plus à l’automate, c’est le condensateur qui va fournir le
courant à l’automate, soit 0 mA, et sa tension va donc baisser. On souhaite que, fournissant ce courant
pendant 100 ms, la tension ne chute que de 2 V.
Formule liant le courant, la capacité et la variation de tension :
Donc :
Exercice 5.1.4
Charge d’un condensateur
On souhaite char er un condensateur de '000 µ à 4 . La résistance interne de l’alimentation vaut 0, Ω.
Après combien de temps le condensateur sera-t-il chargé (à 99%) ?
 Réponse
La constante de temps vaut :
La tension aux bornes du condensateur pendant le processus de charge est donnée par :
( )
(
) (
)
(
) (
)
(
)
Le condensateur sera chargé à 99% lorsque :
[
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(
)]
143
Théorie des circuits linéaires
Exercice 5.1.5
HEIG-VD
Caractérisation d’un condensateur réel
Avec un condensateur électrolytique, on fait les constations suivantes :




Lorsqu’on le connecte à une alimentation (source réelle de tension) de 4 DC ayant une résistance
interne valant exactement 40 mΩ, la tension mesurée aux bornes du condensateur saute presque
immédiatement à 18,0 VDC, puis continue à croître exponentiellement.
Après 500 μs, cette tension vaut 22,5 V.
Après plusieurs millisecondes, elle atteint 24,0 V (à 0,01% près).
Lorsqu’on le déconnecte de l’alimentation, sa tension chute de moitié après 8 secondes.
Déterminer sa résistance série, la valeur exacte de la capacité et sa résistance de fuite de ce condensateur. On
suppose pour ces calculs que le voltmètre utilisé n’influence pas la mesure.
 Réponse
uste après la fermeture de l’interrupteur, le condensateur C est encore totalement déchar é. C’est comme si
la résistance
était connectée directement au pôle négatif de la source de tension. On peut calculer la
tension
à partir de U comme pour un diviseur de tension. Comme la mesure montre que
vaut alors
75% de U, la résistance série
du condensateur est égale au triple de la résistance interne
de
l’alimentation :
La tension se stabilise si proche des 4,0 que l’influence de la résistance de fuite ne peut pas être mesurée.
On peut donc supposer, à ce stade, qu’elle est infinie (sa valeur sera déterminé lors de la déchar e).
On peut donc considérer que la charge du condensateur de 18 à 24 V est un régime transitoire, caractérisé par
une constante de temps
, telle que :
(
) (
)
La durée de cette charge étant connue, on en tire :
(
)
On en tire alors la valeur de la capacité :
(
144
)
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Théorie des circuits linéaires
Au déclenchement, seule la résistance de fuite intervient. En effet, la résistance série et la résistance interne
de l’alimentation sont déconnectées par l’interrupteur. La tension que l’on mesure aux bornes du
condensateur est égale à la tension au borne de la capacité. La décharge est alors exponentielle :
( )
(
) (
)
Sachant que la tension chute de moitié après 28 secondes, on en tire successivement :
(
Remarque :
Exercice 5.1.6
)
Cette valeur est 111'000 fois plus élevée que la somme des résistances interne (de
l’alimentation) et série (du condensateur). Cela explique pourquoi, lors de la charge, la
tension s’est stabilisée tellement près de 4,0 que l’on ne pouvait mesurer la très
légère différence (24 / 45'000 = ~0,0005 V).
Courant dans une inductance idéale
Déterminer la courbe du courant en fonction du temps d’une inductance idéale de 4 H branchée sur une
source idéale de tension de 12 V.
Combien de temps faudra-t-il pour atteindre un courant de 27 A ?
 Réponse
La fonction de courant est :
( )
[ ]
Le courant atteint 27 A après :
[ ]
Exercice 5.1.7
Courant dans une inductance réelle
Une bobine ayant une inductance de 4 H et une résistance de 0,7 Ω est connectée sur une batterie de 12 V
dont la résistance interne est de 0,3 Ω.
a) Quelle est la constante de temps à l’enclenchement?
b) Quelle est l’allure du courant en fonction du temps ?
c) Après combien de temps le courant atteint-il 10 A ?
d) A cet instant la bobine est court-circuitée et l’alimentation est déclenchée, quelle est l’allure du
courant dans la bobine ?
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145
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse – a
Il y a 2 résistances en série dans le circuit, celle de la source idéale de tension et celle de l’inductance. La
résistance équivalente vaut :
La constante de temps vaut :
 Réponse – b
Nous admettons que le courant est nul avant que la bobine soit connectée à la batterie.
La valeur du courant en régime permanent atteint :
En supposant que la connexion est établie au temps
( )
(
) (
(
)
, la courbe du courant vaut :
) (
)
(
)
(
)
 Réponse – c
La valeur du temps pour laquelle le courant atteint 0 A est donnée par l’équation :
(
)
Il en résulte :
[
(
)]
 Réponse – d
Dès le moment où la bobine est court-circuitée, le circuit est décrit par l’équation différentielle suivante :
( )
( )
La valeur initiale du courant est égale au 10 [A] (réponse – c). La valeur finale du courant est nulle. En
admettant que nous remettions l’ori ine des temps à zéro au moment du court-circuit, nous en obtenons :
( )
(
) (
)
(
) (
)
Le courant décroît exponentiellement vers zéro, avec la constante de temps :
146
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Exercice 5.1.8
Théorie des circuits linéaires
Constante de temps d’une bobine
Une bobine a une inductance de 500 μH. Un essai a permis de constater que sa constante de temps est de
5 ms.
a) Que vaut la résistance de cette bobine ?
b) Que devient cette constante de temps si l’on double le diamètre du conducteur ?
 Réponse – a
De la constante de temps vaut :
On peut calculer :
 Réponse – b
En doublant le diamètre du conducteur, sa section quadruple et sa résistance est divisée par 4. La nouvelle
résistance vaut ainsi
.
La nouvelle constante de temps est multipliée par 4, et vaut :
Exercice 5.1.9
Ouverture d’un circuit inductif
Soit une bobine de 2 H et 20 Ω. On l’alimente avec une source de tension de 24 V. En parallèle avec la
bobine, en aval de l’interrupteur, on a disposé une résistance de 00 Ω.
a) Quelle est la tension maximale aux bornes de la bobine au moment de l’ouverture de l’interrupteur ?
b) Quelle est alors la tension aux bornes de l’interrupteur.
 Réponse – a
Le courant dans la bobine en régime permanent vaut :
Après ouverture de l’interrupteur, le courant de la bobine traverse la résistance de 100 Ω. u l’orientation du
courant, la tension aux bornes de cette résistance vaut :
Cette tension est également celle qui apparaît aux bornes de la bobine.
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147
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
 Réponse – b
La tension aux bornes de l’interrupteur vaut :
(
Exercice 5.1.10
)
Bobines en série
On dispose en série 2 bobines. La première a une inductance de 2 mH et une résistance de 10 Ω, et la
seconde a une inductance de 1 mH et une résistance de20 Ω.
a) Calculer la bobine équivalente.
b) Comparer la constante de temps de la bobine équivalente et celle de chaque bobine.
 Réponse – a
La bobine équivalente a une inductance de :
Sa résistance équivalente vaut :

Réponse – b
Sa constante de temps vaut :
La constante de temps de la 1ère bobine prise individuellement vaut :
Celle de la 2ème bobine prise individuellement vaut :
148
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Théorie des circuits linéaires
Charge d’une inductance avec réduction de circuit
Exercice 5.1.11
Déterminer la valeur du courant qui circule dans l’inductance en fonction du temps, lorsqu’on ferme
l’interrupteur du circuit ci-dessous.
 Réponse
On suppose tout d’abord que l’interrupteur était ouvert depuis très lon temps, donc que le courant dans
l’inductance juste avant la fermeture de l’interrupteur est nul.
En premier lieu, la résistance de 10 Ω n’influence en aucune manière le courant circulant dans l’inductance
lorsque le contact est fermé. On peut donc l’i norer pour l’étude du courant à la fermeture de l’interrupteur.
Dès le moment où l’interrupteur est fermé, le circuit composé de la source de tension et des résistances de
12 Ω et de 68 Ω peut être remplacé par une source équivalente de tension, selon le théorème de Thévenin,
dont les caractéristiques sont :
Le courant dans l’inductance au moment où l’interrupteur est fermé vaut :
Le courant en régime permanent vaut :
La constante de temps vaut :
La fonction du courant pendant le régime transitoire est :
( )
(
) (
)
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(
) (
)
149
Théorie des circuits linéaires
Exercice 5.1.12
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Inductance idéale avec alimentation variable
Une bobine a une inductance de 20 mH. On la soumet à une tension qui suit le profil décrit ci-dessous. On
suppose que les résistances de la bobine, de la source de tension et de tous les fils sont nulles.




Au départ t = 0, la tension et le courant sont nuls.
La tension passe à
et s’y maintient pendant 3 millisecondes.
Elle passe alors à 3 et s’y maintient pendant 0 millisecondes.
Elle passe alors à -50 V. Combien de temps faudra-t-il pour que le courant s’annule ?
 Réponse
1ère partie du cycle (A):
Au temps
, le courant vaut
Le courant augmente linéairement :
Après 3 ms, le courant vaut :
2ème partie du cycle (B):
Au temps
, le courant vaut
Le courant augmente linéairement :
Après 10 ms, le courant vaut :
3ème partie du cycle (C):
Au temps
, le courant vaut
Le courant décroît linéairement :
Après 10 ms, le courant vaut :
Le temps nécessaire pour que le courant diminue de 3,75 A à 0 A vaut ainsi :
Exercice 5.1.13
Inductance réelle avec alimentation variable
La bobine de l’exercice précédent (Exercice 5.1.12) était supposée idéale. En fait, sa résistance est de 5 Ω.
Calculer et représenter l’allure du courant lorsqu’on y applique le même cycle de tension.
150
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse
On obtient une succession de régimes transitoires successifs. La constante de temps du circuit vaut :
Pour cette raison, on définit l’échelle de temps en millisecondes.
1ère partie du cycle (A):
Au temps
, le courant vaut
Le régime transitoire vers lequel tend le courant est :
Pendant ce régime transitoire, l’équation du courant est :
(
( )
) (
(
)
) (
)
(
)
Après 3 ms, le courant vaut :
(
)
2ème partie du cycle (B):
Attention : Au début de cette partie du cycle, on remet à 0 l’échelle de temps !
Au temps
, le courant vaut
Le régime transitoire vers lequel tend maintenant le courant est :
Pendant ce 2ème ré ime transitoire, l’équation du courant est :
( )
(
) (
(
)
) (
)
(
)
Après 10 ms, le courant vaut :
( )
(
)
3ème partie du cycle (C):
Attention : Au début de cette partie du cycle, on remet à 0 l’échelle de temps !
Au temps
, le courant vaut
Le régime transitoire vers lequel tend maintenant le courant est :
Pendant ce 3ème ré ime transitoire, l’équation du courant est :
( )
(
) (
(
)
(
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) (
)
)
151
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
On peut calculer le temps nécessaire pour que ce courant atteigne exactement 0 A :
(
)
[
Exercice 5.1.14
(
)]
Régimes sinusoïdal et transitoire
Une bobine, caractérisée par
et par
, est connectée en parallèle avec une
résistance
. L’ensemble est alimenté (interrupteur fermé) par une source idéale de tension
alternative sinusoïdale, caractérisée par
,
et
.
iB(t)
RB
R
u(t)
L
bobine
qui traverse l’inductance
a) Que vaut le courant complexe
b) Exprimer le courant
(valeur numérique).
( ), en fonction du temps (valeur numérique).
c) Quelle est la valeur de l’éner ie qui est stoc ée dans l’inductance lorsque le courant qui la traverse
est à sa valeur maximale ?
Après avoir laissé le contact fermé pendant plusieurs minutes, on ouvre l’interrupteur à l’instant précis où le
courant dans la bobine est maximum.
d) Exprimer le courant
( ) à partir de cet instant.
e) Après combien de temps le courant sera-t-il inférieur à 10 µA ?
 Réponse – a
[
]
[
[
[
Remarque :
]
]
[
]
]
Lorsque le contact est fermé, la résistance
bobine.
n’influence pas du tout le courant de la
 Réponse – b
( )
152
√
(
)
(
)
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse – c
̂
A
(
)
m
 Réponse – d
Dès l’instant où l’interrupteur est ouvert, la bobine est soumise à un régime transitoire. Le courant de
l’inductance circule par celle-ci et par la résistance de roue-libre. Il décroit exponentiellement de la valeur
max. à zéro.
Par soucis de simplification, on « remet le chronomètre à zéro » à ce moment précis. Nous avons alors :
( )
(
)
avec :
A
A
(
)
µs
Donc :
( )
 Réponse – e
Il faut résoudre l’équation :
Donc :
(
)
ms
Exercice 5.1.15
Alimentation d’un petit moteur DC
Un moteur DC (Maxon A-MAX26-110208) est caractérisé comme suit :



kT = kE = 0,0212 Nm/A
Ra = 4,99 Ω
La = 0,528 mH
Avant l’expérience, il n’est pas alimenté, et son courant est nul.
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153
Théorie des circuits linéaires
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A l’instant t 0, alors que son rotor est bloqué, on l’alimente par une source idéale de tension de +
pendant 25 µs. Puis, cette source de tension saute à -15 V pendant 25 µs, et revient à + 15 V pendant 25 µs,
et ainsi de suite de manière cyclique.
Déterminer l’allure du courant lors du er enclenchement sur +15 V, et sa valeur après 25 µs.
Déterminer l’allure du courant lorsque la tension saute à -15 V, et sa valeur après 25 µs.
On constate que la valeur du courant après le 1er cycle est légèrement négative. Quelle valeur auraitelle dû avoir à l’instant t 0 pour que l’on retrouve exactement la même valeur après le er cycle ?
Exprimer l’ondulation résiduelle du courant, en valeur « peak-peak », puis en valeur « r.m.s. ».
Refaire les calculs a) et b), mais avec des durées d’enclenchement de 40 µs à + 15 V et 10 µs à -15 V.
Refaire les calculs d) et e) avec ces nouvelles durées d’enclenchement.
Quelle est la valeur moyenne du courant ainsi obtenu, après stabilisation ?
Calculer la tension constante qu’il aurait fallu appliquer au moteur pour obtenir un courant dont la
valeur soit égale à la valeur moyenne obtenue sous g) ? Montre que cette tension constante est égale à
la valeur moyenne de la tension commutée (+15 / -15 V).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
 Réponse – a
Le courant croît exponentiellement à partir de 0 :
( )
(
)
avec :
A
μs
Après 25 μs, le courant atteint:
(
)
(
)
A
 Réponse – b
A, et tend vers
Le courant décroît exponentiellement à partir de
( )
(
) (
A:
)
Pour l’équation ci-dessus, nous avons « remis l’horlo e à zéro » : Le temps t est compté à partir de l’instant
où la tension a été inversée.
Numériquement, nous avons :
( )
(
) (
)
(
)
Après 25 μs, le courant atteint:
(
154
)
(
)
A
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Théorie des circuits linéaires
 Réponse – c
Il faut résoudre l’équation suivante :
(
) (
)
Nous en tirons successivement :
(
) (
(
)
) (
(
)
)
A
Le courant oscille donc entre -0,353 et +0,353 A.
 Réponse – d
L’ondulation de courant peut s’exprimer comme suit :
A
Pour en calculer la valeur r.m.s., on peut considérer, par approximation, que le courant varie linéairement
entre -0,3 3 et +0,3 3 A, et présente donc l’allure de trian les isocèles. Si nous considérons que
au
moment où le courant passe par zéro, par pente positive, et pendant les
µs qui suivent, sa valeur
vaut approximativement :
( )
| |
La valeur r.m.s. de ce courant, pendant ces 12,5 µs, se calcule par :
√
∫ (| |
)
| | √
| | √
∫
| | √
√
| |
| | √
Arms
 Réponses – e
Après 40 μs, le courant atteint :
(
)
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(
)
A
155
Théorie des circuits linéaires
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Pendant les 10 μs suivantes, le courant est donné par :
( )
(
) (
(
)
)
(
(
)
)
A
Comme cette valeur est plus élevée que la valeur initiale, le courant va atteindre une valeur plus élevée que
lors des 40 μs suivantes. A force de répéter cette séquence d’alimentation, le courant se rapproche de .
 Réponses – f
Le courant valant
phase :
au départ, juste avant une phase où U = 15 V, de durée tON, il atteint à la fin de cette
(
) (
)
(
)
A la fin de la phase où U = -15 V, de durée tOFF, le courant atteint à la fin de cette phase :
(
) (
)
(
)
Pour que le courant attei ne la même valeur à la fin qu’au début de la période, nous devons avoir :
Tenant compte que
, nous avons :
Nous en tirons successivement :
[
(
⏟
)]
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
156
)
)
(
)
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Théorie des circuits linéaires
Finalement :
(
)
(
)
Avec nos valeurs numériques, nous obtenons :
(
)
(
)
Nous obtenons ensuite :
(
)
(
)
Le courant oscille donc entre 1,566 et 2,020 A. Sa valeur moyenne vaut 1,793 A.
 Réponses – f
Pour obtenir ce courant avec une source de tension DC, et tenant compte de la résistance Ra
tension devrait valoir :
4,99 Ω, sa
La valeur moyenne de la tension calculée sur une période vaut :
Il est intéressant de constater que le courant dans le moteur est pratiquement identique si l’on applique une
tension « découpée » ou si l’on applique une tension DC é ale à sa valeur moyenne. La petite différence qui
subsiste dans l’exemple serait encore moindre si le rapport entre la constante de temps du circuit et la période
T était plus élevé. Ce constat est à la base théorique des alimentations à découpage, utilisées autant pour
l’alimentation DC des circuits et appareils électroniques, que pour celle des moteurs.
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Théorie des circuits linéaires
5.2
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Modélisation de phénomènes non électriques
Exercice 5.2.1
Réservoir d’eau avec écoulement
Un réservoir a une surface au sol rectan ulaire, de
x , m, et une hauteur de 4 m. Il est rempli d’eau par
un robinet situé au-dessus de son niveau le plus haut, dont le débit est de ’800 litres par minute. Par ailleurs,
un tuyau d’écoulement laisse échapper depuis le fond du réservoir un débit d’eau supposé proportionnel à la
pression, donc à la hauteur du niveau, et qui atteindrait 3’600 litres par minute si le réservoir était plein à raz
bord.
a) Au temps
, le réservoir étant vide, on ouvre le robinet de remplissage. Selon quelle formule
mathématique la hauteur d’eau dans le réservoir évolue-t-elle ?
b) Après combien de temps le réservoir est-il plein à 33% ?
c) Après combien de temps y aura-t-il autant d’eau qui s’échappe par le tuyau que d’eau fournie par le
robinet (à 1% prés) ?
 Réponse – a
Soit h(t) la hauteur d’eau dans le réservoir. A l’instant
, elle vaut 0 m.
Soit v(t) le volume d’eau dans le réservoir :
( )
( )
( ) [
]
Le débit de remplissage est constant et vaut :
[
]
Le débit de vidage vaut :
( )
( )
( )[
]
Cette relation exprime bien la proportionnalité avec la hauteur h(t), et le débit max. de 3'600 l/min lorsque
h(t) = 4 m.
La variation du volume d’eau au cours du temps est liée au débit de remplissa e et au débit de vida e par la
relation suivante :
( )
( )
D’où l’on déduit :
( )
( )
C’est une équation différentielle, que l’on peut écrire sous la forme :
( )
( )
La solution est de la forme :
( )
158
(
) (
)
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Théorie des circuits linéaires
Condition initiale :
(le bassin est vide au départ).
Condition finale :
Constante de temps :
s
Finalement :
( )
(
)
 Réponse – b
Le réservoir sera plein à 33% lorsque :
(
)
Donc :
[
(
)]
s
min
 Réponse – c
Le niveau se stabilise à
10'800 s ou 3,0 h.
Exercice 5.2.2
m. Il atteint 1% de cette valeur après 5 fois la constante de temps, soit après
Modélisation thermique d’un four électrique
Un four électrique présente les caractéristiques thermiques suivantes :


Capacité thermique = 150 kJ/K
Résistance thermique (intérieur – extérieur) = 0,1 K/W
Son corps de chauffe est alimenté par le réseau 230 V / 50 Hz.
a) Quelle doit être la valeur ohmique de ce corps de chauffe pour que l’on puisse obtenir un
échauffement de 20 ºC à 365 ºC en 90 minutes ?
b) Quelle température atteindrait-on si on laissait l’alimentation branchée en permanence ?
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159
Théorie des circuits linéaires
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 Réponse – a
On peut procéder par analogie électrique :
La constante de temps vaut :
Lorsqu’on enclenche le corps de chauffe, la température croît exponentiellement :
(
)
avec
On doit ainsi résoudre l’équation :
(
(
)
)
(
(
)
)
Donc :
(
)
Comme l’alimentation électrique est à Urms = 230 V, la résistance du corps de chauffe doit valoir :
 Réponse – b
Si l’alimentation reste connectée en permanence, la température atteinte vaut :
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Exercice 5.2.3
Théorie des circuits linéaires
Modélisation thermique d’un moteur électrique
Le couple produit par un servomoteur DC est proportionnel au courant qui le traverse. De plus, et par
approximation, on considère que l’échauffement d’un moteur électrique DC résulte exclusivement de la
circulation du courant dans sa résistance interne. Il en résulte que les pertes thermiques à l’intérieur de ce
moteur sont proportionnelles au carré du couple.
On suppose qu’un moteur est utilisé de manière cyclique, de la manière suivante :





15,5 Nm pendant 100 ms ;
2,5 Nm pendant 200 ms ;
-14,5 Nm pendant 100 ms ;
1 Nm pendant 300 ms ;
puis reprise du cycle.
On suppose également que la constante de temps thermique de ce moteur est très grande (env. 10 minutes),
et que son couple nominal est de 10,2 Nm.
Expliquer pour quelle raison on peut estimer que ce moteur conviendra sur le plan thermique.
 Réponse
La durée du cycle (700 ms) est beaucoup plus faible que la constante de temps thermique du moteur (10
minutes). On peut donc se permettre de calculer la valeur moyenne de la puissance thermique produite.
En fait, plutôt que de calculer cette puissance thermique, on peut calculer quel couple constant produirait le
même échauffement. Appelons celui-ci « couple équivalent » ou « couple rms » :
⏟
(⏟
)
⏟
⏟
(⏟
)
⏟
On en tire :
√
(
(
)
)
Ce couple équivalent est inférieur au couple nominal (marge de ~20%). Son échauffement produit par ce
cycle d’utilisation est inférieur à celui qu’il subirait en étant utilisé en permanence à son couple nominal. On
peut donc affirmer qu’il conviendra.
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Chapitre 6
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Annexe
Plusieurs pages pré imprimées avec échelle logarithmique figurent ci-après.
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