Alg`ebre II, août 2014 Documents autorisés. Exercice 1. Soient p un

Alg`ebre II, aoˆut 2014
Documents autoris´es.
Exercice 1. Soient pun nombre premier, G=GL2(F
p), et sple nombre de p-Sylow de G.
Soient
P={1c
0 1 ;c∈F
p}et B={a c
0b;a, b ∈F×
p, c ∈F
p}.
1. Montrer que Pet Bsont des sous-groupes de G.
2. Montrer que Pest un p-Sylow de G.
3. Montrer que B⊆NG(P).
4. Montrer que spdivise Card(G/B).
5. Montrer que sp=p+ 1.
Exercice 2. Soient Gun groupe fini, pun nombre premier, et Pun p-Sylow de G.
1. Montrer que P Z(G)/Z(G) est un p-Sylow de G/Z(G).
On suppose que G/Z(G) est un p-groupe.
2. Montrer que G=P Z(G).
3. Montrer que Pest l’unique p-Sylow de G.
4. Montrer que P∩Z(G) est l’unique p-Sylow de Z(G).
5. Montrer que Z(G)'P∩Z(G)×A, o`u Aest un groupe ab´elien d’ordre premier `a p.
6. Montrer que G'P×A.
Exercice 3. Soient Gun groupe fini, pun nombre premier, et Sp(G) l’ensemble des p-Sylow de
G. Soit Np(G) l’ensemble des normalisateurs des p-Sylow de G:
Np(G) = {NG(P) ; P∈Sp(G)}.
Soient sp= Card Sp(G) et np= Card Np(G).
1. Soient Hun sous-groupe de Get x∈G. Montrer que NG(xHx−1) = xNG(H)x−1.
2. Soit P∈Sp(G). Montrer que NG(P)CGsi et seulement si np= 1.
3. Montrer que Gagit transitivement par conjugaison sur Np(G).
4. Montrer que npdivise sp.
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