Algèbre II, août 2014 Documents autorisés. Exercice 1. Soient p un nombre premier, G = GL2 (Fp ), et sp le nombre de p-Sylow de G. Soient P = { 10 1c ; c ∈ Fp } et B = { a0 cb ; a, b ∈ Fp× , c ∈ Fp }. 1. Montrer que P et B sont des sous-groupes de G. 2. Montrer que P est un p-Sylow de G. 3. Montrer que B ⊆ NG (P ). 4. Montrer que sp divise Card(G/B). 5. Montrer que sp = p + 1. Exercice 2. Soient G un groupe fini, p un nombre premier, et P un p-Sylow de G. 1. Montrer que P Z(G)/Z(G) est un p-Sylow de G/Z(G). On suppose que G/Z(G) est un p-groupe. 2. Montrer que G = P Z(G). 3. Montrer que P est l’unique p-Sylow de G. 4. Montrer que P ∩ Z(G) est l’unique p-Sylow de Z(G). 5. Montrer que Z(G) ' P ∩Z(G) × A, où A est un groupe abélien d’ordre premier à p. 6. Montrer que G ' P × A. Exercice 3. Soient G un groupe fini, p un nombre premier, et Sp (G) l’ensemble des p-Sylow de G. Soit Np (G) l’ensemble des normalisateurs des p-Sylow de G : Np (G) = {NG (P ) ; P ∈ Sp (G)}. Soient sp = Card Sp (G) et np = Card Np (G). 1. Soient H un sous-groupe de G et x ∈ G. Montrer que NG (xHx−1 ) = xNG (H)x−1 . 2. Soit P ∈ Sp (G). Montrer que NG (P ) C G si et seulement si np = 1. 3. Montrer que G agit transitivement par conjugaison sur Np (G). 4. Montrer que np divise sp .