Triangulations de Steiner

Triangulations de Steiner
Mathieu Brévilliers
Séminaire du LMIA
26 octobre et 9 novembre 2006

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1. Origine de la notion de point de Steiner
La notion de point de Steiner est introduite dans le problème de l’arbre de Steiner (en référence au
mathématicien Jakob Steiner, 19
ème
siècle). C’est un problème très proche de celui de l’arbre
recouvrant minimal.
Soit un ensemble V de sommets dans le plan. Il faut trouver un arbre A qui relie tous les sommets
de V.
Il existe deux manières d’aborder le problème pour le résoudre : soit tous les sommets de A sont
dans V, soit A peut contenir d’autres points que ceux de V, ce sont les points de Steiner.
Dans les deux cas, chaque arête a un coût, et il faut trouver l’arbre de coût minimal.
Exemple :
Arbre recouvrant minimal : L = 2
Arbre de Steiner : L = sqrt(3)
Les arêtes forment des angles de 120° en 2D
Et de 109° en 3D (cf molécule de méthane)
Arbre recouvrant minimal : L = 3
Avec 1 point de Steiner : L = 2,828
Arbre de Steiner minimal : L = 2,732

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2. Triangulations de Steiner
a) Définitions
En géométrie algorithmique, un point de Steiner est un point qui n’appartient pas à l’ensemble de
départ.
Une triangulation de Steiner est une triangulation de la réunion de l’ensemble de départ et des
points de Steiner.
Dans le cas d’un ensemble de points, les données forment un sous-ensemble des sommets de la
triangulation de Steiner : sa frontière peut être plus « large » que l’enveloppe convexe de l’ensemble
de départ.
Dans le cas d’un polygone, une triangulation de Steiner aura des sommets supplémentaires à
l’intérieur et sur le polygone. Un côté du polygone pourra être subdivisé en plusieurs arêtes
colinéaires.
Dans le cas d’un PSLG, les points de Steiner sur les segments doivent être les mêmes des « deux
côtés » des segments.
De plus, dans ces deux derniers cas, les arêtes initiales doivent être incluses dans la triangulation de
Steiner.
Exemple de triangulation de Steiner :
b) Problématique
Globalement il s’agit d’optimiser un critère sur la forme des éléments, tout en minimisant le nombre
de ces éléments.
Soit on fixe le nombre de points de Steiner et on calcule la triangulation optimale, soit on fixe la
qualité requise pour le critère d’optimalité, et on minimise le nombre de points de Steiner pour y
parvenir.

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3. Intérêts
Les triangulations de Steiner sont adaptées pour les simulations qui utilisent les méthodes des
éléments finis.
Ces méthodes discrétisent le domaine de simulation (ex. : l’air autour d’une aile) en le subdivisant
en plein de petits éléments (triangles ou quadrilatères en 2D, tétraèdres ou hexaèdres en 3D).
L’ensemble de tous ces éléments forme un maillage.
Pour que ces méthodes donnent de bons résultats (vitesse de calcul + précision), il faut générer des
maillages qui satisfont des contraintes :
- forme des éléments (bornes sur les angles)
- complexité raisonnable (nombre d’éléments)
- orientation des éléments (dans le sens d’un flux par exemple)
Dans une approximation à l’aide des éléments finis, l’erreur est liée à l’angle minimal, et encore
plus fortement liée à l’angle maximal. La hauteur minimale d’un triangle influence la qualité d’une
approximation de surface courbe.

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4. Problème de maximisation de l’angle minimal
a) « Uniform square mesh », par Baker
 B.S. Baker, E. Grosse, and C.S. Rafferty. Nonobtuse triangulation of polygons. Disc. and
Comp. Geometry 3 (1988) 147-168.
Globalement, il y a 3 étapes:
- raffiner le maillage carré uniforme jusqu’à ce que chaque carré contiennent une partie
suffisamment petite des données de départ,
- déformer les carrés pour s’aligner sur les arêtes de départ,
- trianguler les carrés, en utilisant une étude de cas spéciaux.
Il s’agit de placer un maillage carré uniforme sur l’ensemble de départ : le maillage doit être
suffisamment fin pour que deux sommets de départ soient séparés par plusieurs carrés. Baker insère
les arêtes et les sommets de départ en retriangulant le maillage carré autour (à une petite distance)
de ces éléments initiaux.
Résultat: triangulations de régions polygonales et de PSLG avec des angles compris entre 13° et 90°
(si les angles de départ sont supérieurs à 13°).
Remarque : cet algorithme répond aussi au problème de triangulation non obtuse.
b) Algorithme avec des quadtree, par Bern
 M. Bern, D. Eppstein, and J.R. Gilbert. Provably good mesh generation. In Proc. 31st IEEE
Symp. Foundations of Computer Science (1990) 231-241. To appear in J. Comp. System
Science. 48:384-409, 1994.
Il s’agit d’une amélioration de l’algorithme proposé par Baker. Les quadtree rendent l’algorithme
adaptatif : il place beaucoup de petits triangles aux endroits intéressants (risque d’erreur important,
donc on a besoin de plus de précision) et moins de triangles (qui sont plus grands) aux endroits
moins intéressants (là où la précision n’a pas d’importance, ce qui permet d’accélérer les calculs).
Quadtree : il s’agit d’une partition récursive d’une région du plan. Un carré (la racine) recouvre
toute la région. Un carré peut être subdivisé en quatre carrés fils en faisant passer des lignes
horizontales et verticales par son centre. L’ensemble des carrés forme un arbre avec les carrés les
plus petits aux niveaux les plus bas de l’arbre.
« Balance condition » : le côté d’un carré est subdivisé en au plus 2 parties par les carrés adjacents.