Formalisation de l`algorithme de Bentley-Ottmann

Formalisation de l’algorithme de
Bentley-Ottmann
Encadrants:PascalSchreck([email protected])etJulienNarboux([email protected])
Lieudustage:UniversitédeStrasbourg,LaboratoireICube
L’objectifdecestagedeMaster2estlaformalisationàl’aidedel’assistantdepreuveCoqd’un
algorithmedegéométriealgorithmique.Ils’agiradeprogrammeretprouverlacorrectionde
l’algorithmedeBentleyOttmann[BO79].Cetalgorithmepermet,étantdonnésdessegmentsdu
plan,decalculerlescoordonnéesdespointsd’intersectionsdecessegments.
Unalgorithmenaïfpourrésoudreceproblèmeconsisteàexaminertouteslespairesde
segments,cequiconduitàn(n+1)/2testsd’intersection.Cependant,onpeutsedirequeen
général,touslessegmentsnesecoupentpas2à2,etquemême,engénéral,lefaitque2
segmentssecoupentestplutôtrare.Enfait,l’algorithmedeBentleyOttmannàunecomplexité
quidépenddesdonnéesenentrée(commedansladéfinition)maisaussidurésultat,en
l'occurrence,dunombredepointsd’intersection.
Pourdiminuersignificativementlenombredetestsd'intersectionsentresegments,l’idéeestde
placerlessegmentsdansdesbandesdeplanverticalesquisontenquelquesortedesboîtes
englobantessuivantladirectionOx.Deuxsegmentsnepeuventavoiruneintersectionques'ils
partagentbandedeplanverticalecommune.

Letravailsedérouleradelamanièresuivante:
1. Implantationetpreuved’unalgorithmedecalculdel’intersectionentredeuxsegments.
2. ImplantationenCoqdel’algorithmenaïf.
3. Extractionettestdel’algorithmenaïf.
4. Preuvedelacorrectiondel’algorithmenaïf.
5. ImplantationenCoqdel’algorithmedeBentleyOttmann(ensebasantsurlesstructures
dedonnéesexistantesenCoqpourlagestiond’unensembletrié).
6. Extractionettestdel’algorithmedeBentleyOttmann.
7. Rédactiond’unepreuvedétailléedel’algorithmesurpapiersousleshypothèses
simplificatrices(quelessegmentssonttousdistinctsetnes’intersectentpasenleurs
extrémités,etc.).
8. FormalisationdecettepreuveenCoq.
Cetravailpourraitseprolongerparuneétudedesproblèmesdestabiliténumérique[BP00].
Profil:Cesujetnécessitedescompétencesenprogrammationfonctionnelle,ainsiqu’une
expérienced’unassistantdepreuvecommeCoqparexemple.
Bibliographie:
● [BO79]JonBentley&ThomasOttmann,"AlgorithmsforReportingandCounting
GeometricIntersections",IEEETrans.ComputersC28,643647(1979)
● [BP00]Boissonat,J.D.;Preparata,F.P.(2000),"Robustplanesweepforintersecting
segments",SIAMJournalonComputing29(5):1401–1421.