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Applications : Chapitre 4 & 5
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Exercice 1
Répondre brièvement (quelques lignes suffisent) aux questions
au choix proposées ci-dessous :
1. Définir l’année-lumière et calculer sa valeur en kilomètres.
2. Comment peut-on estimer la distance d’une étoile ou d’une
galaxie (une seule méthode, au choix) ?
3. Comment peut-on estimer la vitesse d’éloignement d’une
étoile ou d’une galaxie ?
4. Comment a-t-on mis en évidence l’expansion de l’univers ?
5. Qu’est-ce que le problème de la « masse manquante » ?
6. Qu’est-ce que le rayonnement diffus cosmologique ?
7. Qu’est-ce que la nucléosynthèse primordiale ?
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1. Définir l’année-lumière et calculer sa valeur en
kilomètres.
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2. Comment peut-on estimer la distance d’une étoile ou d’une
galaxie (une seule méthode, au choix) ?
Méthode de la parallaxe
(pour les étoiles pas trop
éloignées) : on compare les
positions apparentes de
l’étoile en été et en hiver,
un calcul trigonométrique
donne la distance de
l’étoile connaissant la
distance terre-soleil.
la luminosité intrinsèque
de certaines étoiles
variables (céphéides) est
connue, donc si on en
repère une dans une
galaxie, sa luminosité
apparente permet de
calculer sa distance.
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3. Comment peut-on estimer la vitesse d’éloignement d’une étoile ou d’une
galaxie ?
Par l’effet Doppler : les raies d’émission ou d’absorption dans le spectre
d’une étoile ou d’une galaxie nous parviennent avec un décalage de
longueur d’onde  .


Est directement relié au rapport
v
c
4. Comment a-t-on mis en évidence l’expansion de l’univers ?
Hubble a observé que la vitesse d’éloignement des galaxies est quasiment
proportionnelle à leur distance. Cette relation n’est pas explicable par les lois
physiques classiques, notamment l’attraction gravitationnelle.
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5. Qu’est-ce que le problème de la « masse manquante » ?
La masse cachée peut être mise en évidence de deux manière différentes.
1. La première consiste à comparer deux théories de mesure de masse, la
"masse lumineuse" et la "masse dynamique", la première ne tenant pas
compte d'une éventuelle masse invisible (ou matière noire), contrairement
à la seconde qui permet de mesurer toute la masse. Ces deux théories
divergent.
2. L'autre approche du problème est fondée sur la relativité générale et les
microlentilles gravitationnelles : les rayons lumineux sont déviés par la
présence importante de masse (visible ou non), ce qui permet dans des cas
précis de révéler de la masse invisible.
La matière noire représente quelque 23% de l'univers et n'interagit pas
avec la matière ordinaire, qui ne compte que pour 4%.
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Les vitesses relatives des étoiles dans la galaxie et des galaxies entre elles
(après soustraction de la vitesse d’expansion) s’expliquent par l’attraction
gravitationnelle, mais impliquent la présence de masses bien supérieures (en
gros, d’un facteur 10) à celles des objets visibles.
6. Qu’est-ce que le rayonnement diffus cosmologique ?
Un rayonnement dans l’infrarouge lointain
   5,7 mm 
Remarquablement isotrope : dans cette gamme de longueurs d’onde on
observe la même répartition spectrale (celle d’un corps noir à 2,7 K) et la
même intensité dans toutes les directions de l’espace.
Interprétation : ce rayonnement ‘fossile’ est ce qui reste aujourd’hui du
rayonnement émis lors de la ‘grande recombinaison’
H+ + e-  H
peu de temps ( 300.000 ans) après le Big bang.
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6. Qu’est-ce que la nucléosynthèse primordiale ?
Quelques dizaines de minutes après le Big bang, l’Univers était encore très chaud
et très dense, donc les chocs entre particules (neutrons et protons produits par la
désintégration des neutrons) très violents. Ceci a permis leur combinaison pour
former progressivement quelques noyaux légers comme ceux de deutérium,
d’hélium, de bore et de béryllium.
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Exercice 2
Il existe au voisinage de l’orbite de la Terre autour du Soleil des points
particuliers où un objet (de faible masse), par exemple une sonde, situé en ces
points n’est soumis à aucune force (dans le référentiel de la Terre), et par
conséquent tourne autour du Soleil avec la même vitesse angulaire que la Terre.
Ces points, appelés points de Lagrange, sont au nombre de cinq (On les désigne
par Li, où i = 1,..,5 – voir figure). Ces points présentent un grand intérêt pour
les sondes spatiales destinées aux observations lointaines et de longue durée.
En effet, ils permettent des économies substantielles de combustible pour le
contrôle d’orbite de ces sondes.
Les masses du Soleil et de la Terre sont respectivement :
Masse du Soleil MS = 2 .1030 kg
Masse de la Terre MT = 6 .1024 kg
Distance Terre-Soleil R = ST = 1,5.108 km
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Exprimer la vitesse angulaire ω de rotation de la Terre autour du Soleil
en fonction de la constante de gravitation universelle G, des masses du
Soleil MS et de la Terre MT, et de la distance Terre-Soleil R = ST.
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La troisième loi de Kepler s’écrit :
G  M S  MT 
 
3
R
2
Dans le référentiel en rotation autour du centre de masse du système
Soleil-Terre à la vitesse angulaire ω, référentiel dans lequel le Soleil et le
centre de la Terre sont immobiles, quelles sont les forces auxquelles est
soumis un objet de masse m ? Exprimer que cet objet se trouve en un des
points de Lagrange.
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3 forces
l’attraction gravitationnelle du Soleil;
celle de la Terre;
et la force d’inertie d’entrainement (centrifuge).
 

r  rS
F  GmM S   3  GmM T
r  rS
 
r  rT
2
  3  m r
r  rT
r, rS et rT désignant les positions de la sonde, du Soleil et de la Terre par
rapport au centre de masse du système).
Au point de
Lagrange,
leur
résultante est
nulle, d’où :
 
r  rS
0  M S   3  M T
r  rS
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 
M S  MT 
r  rT
r
  3
3
R
r  rT
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On se propose de rechercher ici les points de Lagrange alignés sur l’axe
Soleil-Terre, qui sont au nombre de 3. Ce sont les points L1, L2 et L3
représentés sur la figure.
Que devient la relation obtenue à la question 2 pour le point L1 ? On appellera
l1 = L1T la distance de L1 à la Terre.
On suppose cette distance l1 petite par rapport à la distance Terre-Soleil R, de
sorte que :
l1
  1
R
En déduire la valeur de ε. L’approximation précédente est-elle justifiée ?
Calculer numériquement l1.
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Pour L1, cette relation devient :
en négligeant la masse de la Terre par rapport à celle du Soleil et en
assimilant le centre de masse au Soleil dans le dernier terme).

0
MT
2
MS
 R  l1 
2
MT
R  l1
 2  MS
0
3
l1
R

MT
1 
 1   
 M S  2  3 M S
2



1






 MT 

3
M
S 

 
1
3
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On a donc =0,01, ce
l’approximation faite, et :
qui
justifie
a
posteriori
l1  1, 5.10 km
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Que devient cette même relation pour le point L2 (repéré par sa distance à
la Terre l2 = L2T) ? En utilisant le même raisonnement que pour L1,
déterminer la position de L2.
En procédant de la même façon, cette relation devient pour L2 :

MS
 R  l2 
2
MT
R  l2
 2  MS
0
3
l2
R
l2  M T 
  

R  3M S 
1
3
Ainsi l1 = l2 , L2 est le symétrique de L1 par rapport à la Terre.
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Montrer que le point L3 est approximativement le symétrique de la
Terre par rapport au Soleil.
Pour L3, situé beaucoup plus loin de la Terre, on peut négliger
l’attraction de la Terre devant celle du Soleil, d’où r = R. L3 est (à peu
près) le symétrique de la Terre par rapport au Soleil.
Il existe deux autres points de Lagrange, L4 et L5, situés dans le plan de
l’écliptique (c’est-à- dire le plan de l’orbite terrestre), mais non sur l’axe TerreSoleil. A quelle condition un tel point de Lagrange Li existe-t-il ? En
remarquant que le Soleil a une masse beaucoup plus grande que la Terre, en
déduire les distances SLi et TLi en fonction de R = ST (on pourra utiliser la
relation obtenue à l’ordre 0 et à l’ordre 1 en MT/MS ) et préciser les positions
de L4 et L5.
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Dans la relation obtenue en question 2, r est le seul vecteur qui ne soit pas
selon l’axe Terre-Soleil. Pour qu’une solution hors de l’axe soit possible, il
faut donc que le coefficient pondérant ce vecteur soit identiquement nul,
donc :
MS
M S  MT
MT
0   3    3 
3
R
r  rS
r  rT
A l’ordre 0 en
A l’ordre 1 en
MT
MS
 
r  rS  SLi  R
 
r  rT  SLi  R
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 
r  rS  SLi  R
Les triangles STL4 et
STL5 sont donc
équilatéraux
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Plusieurs sondes d’intérêt scientifiques sont actuellement placées aux points
de Lagrange. On préfère alors utiliser les points de Lagrange les plus
proches de la Terre.
a. SOHO est une sonde destinée à étudier le Soleil, en particulier ses
rayonnements émis, ses oscillations, le vent solaire..., qui a été lancée en
1995. On a choisi de la placer en un point de Lagrange. Lequel ?
Seuls les points L1 et L2 (les plus proches) sont utilisables pour y
installer une sonde.
SOHO, observant le Soleil, doit être en L1 (de L2, le Soleil est caché
par la Terre).
b. La sonde WMAP, lancée en 2001, est conçue pour cartographier le
rayonnement thermique cosmologique, à 2,7 K. Elle a aussi été placée en un
point de Lagrange. Lequel ?
Dans les deux cas, justifiez votre réponse.
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WMAP, observant des rayonnements faibles par rapport à ceux
émis par le Soleil, doit être dans l’ombre de la Terre, donc en L2.
La carte de l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet dans le référentiel
est donnée par la figure 2. Bien que ça ne soit pas directement visible sur
cette carte, on indique que les points de Lagrange L4 et L5 correspondent
à des minima d’énergie potentielle.
En déduire quels sont les points de Lagrange correspondant à des positions
d’équilibre stables ou instables. Justifiez votre réponse. Est-ce
problématique pour les sondes mentionnées plus haut ? Eventuellement,
que cela impose-t-il ?
En quels points de Lagrange peut-on espérer rencontrer des satellites
naturels ? Dans le système Jupiter-Soleil, on a observé l’existence de
nombreux astéroïdes de ce type, qui sont appelés astéroïdes Troyens.
Décrire leur trajectoire.
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Carte de l’énergie
potentielle
gravitationnelle
dans le
référentiel
tournant avec la
Terre autour du
Soleil. Les
courbes
représentées sont
des courbes
équipotentielles.
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Les lignes équipotentielles se croisent en L1, L2 et L3. C’est donc que
l’énergie potentielle y a localement la forme d’une selle de cheval (ce ne
peut pas être un extrémum). Donc ces points sont des points d’équilibre
instables. Ce n’est pas problématique pour des sondes artificielles : il leur
faut néanmoins un contrôle de trajectoire (dans les directions instables).
Seuls les points de Lagrange stables peuvent conserver des satellites
naturels. On ne peut trouver des astéroïdes qu’en L4 et L5. C’est le cas
des astéroïdes Troyens dans le système Jupiter-Soleil. Leur trajectoire est
la même que celle de Jupiter (à la limite où la masse de Jupiter est
négligeable devant celle du Soleil). Ils sont seulement en avance ou en
retard d’un sixième de l’année Jovienne sur cette trajectoire par rapport à
Jupiter.
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