Proba - partie 1 - I. Variables aléatoires Définition intuitive : A des événements on associe une valeur numérique. Ex : X est la somme gagnée à un jeu de hasard, X est le nombre de boules rouges tirées… Déf : Pour une variable aléatoire X on définit sa loi de probabilité en associant à chaque valeur xi de X un réel pi = p(X = xi) et tel que pi ∈ [0 ; 1] et ∑ pi = 1. Déf : On appelle espérance mathématique de X le réel E(X) = ∑ pi.xi. Rmq : L’espérance d’une variable aléatoire est l’équivalent d’une moyenne en statistiques. II. Loi binomiale Epreuve de Bernoulli (ou schéma de Bernoulli) : répétition de n épreuves indépendantes ayant deux issues (souvent appelées succès et échec). Propriété : Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès au cours d’une épreuve de Bernoulli, alors X suit la loi binomiale B(n,p) ; où n est le nombre d’épreuves et p la proba d’un succès au cours d’une épreuve. n Déf : ∀ k entier naturel ≤ n : p(X = k) = × pk × (1 – p)n-k k Propriété : Si X suit B(n,p) alors E(X) = np Compléments : n est le nombre de façons de choisir k épreuves parmi n sans ordre. k n n n On en déduit : = 1 = n et = 1 0 1 n n A la calculatrice : Sur Casio : s’écrit n₵k (optn , prob , nCr) k La loi de prob B(n,p) : opt – stat – dist – binm – Bcd n , p ) n Sur T.I. : s’écrit : n nbrcomb k (math , prob , nbrcomb) k La loi de proba B(n,p) : 2nde - var – binomFdp(n,p)