suite - cours de physique MPSI

MPSI - M´ecanique II - Dynamique du point mat´eriel en r´ef´erentiel galil´een (suite) page 1/2
Dynamique du point mat´eriel en
r´ef´erentiel galil´een (suite)
Table des mati`eres
5 Moment cin´etique 1
5.1 D´efinitions................................ 1
5.2 Th´eor`eme du moment cin´etique en un point fixe . . . . . . . . . . 1
5.3 Th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe fixe . . . . . 1
5.3.1 Moment d’une force par rapport `a un axe . . . . . . . . . . 1
5.3.2 Moment cin´etique par rapport `a un axe . . . . . . . . . . . 2
5.3.3 Th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe . . . 2
5 Moment cin´etique
Soit, dans un r´ef´erentiel R, un point mat´eriel M de masse m, de vecteur vitesse
vet Fla r´esultante des forces appliqu´ees en M.
Soit O un autre point de R.
5.1 D´efinitions
La grandeur
LO=OM ∧mv
est appel´ee moment cin´etique en O du point M.
La grandeur
MO=OM ∧F
est appel´ee moment en O de la r´esultante des forces Fappliqu´ee au point M.
5.2 Th´eor`eme du moment cin´etique en un point fixe
Soit O un point fixe d’un r´ef´erentiel galil´een R:
dLO
dt =dOM dt ∧mv+OM ∧mdv dt =0+OM ∧ma
la 2eloi de Newton donne :
dLO
dt =OM ∧F
d’o`u le th´eor`eme du moment cin´etique :
dLO
dt =MO
Dans un r´ef´erentiel galil´een, la d´eriv´ee du moment cin´etique en un point fixe O
par rapport au temps est ´egale au moment en O de la r´esultante des forces qui
s’appliquent au point M.
5.3 Th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe fixe
Soit ∆ un axe passant par O, de vecteur directeur u.
5.3.1 Moment d’une force par rapport `a un axe
La grandeur
M∆=MO.u
est appel´ee moment par rapport `a ∆ de la r´esultante des forces Fappliqu´ee au
point M.
Si Fest parall`ele `a ∆ alors M∆= (OM ∧F).u= 0
Si Fest perpendiculaire `a ∆ alors M∆= [(OH1+H1H2+H2M)∧F].u=
(H1H2∧F).u=±H1H2.F =±F d
Damien DECOUT - derni`ere modification : janvier 2007

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O
M
H1H2
~u
~
F
d
∆
5.3.2 Moment cin´etique par rapport `a un axe
La grandeur
L∆=LO.u
est appel´ee moment cin´etique par rapport `a ∆ du point M.
5.3.3 Th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe
Soit ∆ un axe fixe passant par O, de vecteur directeur u. En projetant le th´eor`eme
du moment cin´etique suivant u:
dL∆
dt =M∆
Dans un r´ef´erentiel galil´een, la d´eriv´ee du moment cin´etique par rapport `a ∆
par rapport au temps est ´egale au moment par rapport `a ∆ de la r´esultante des
forces qui s’appliquent au point M.
Damien DECOUT - derni`ere modification : janvier 2007