REPONSE DE L`EXERCICE 2A

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Mathématiques :
Triangles, quadrilatères et cercles
Géométrie
REPONSE DE L’EXERCICE 2A
Rappel
On sait que la somme des angles d’un triangle vaut 180°.
Question 1
Quelle est la somme des angles d’un quadrilatère non croisé ?
Réponse
Méthode 1
On partage le quadrilatère en deux triangles.
On a : a + b + c = (a’ + b + c’) + (c’’ + d + a’’) = 180° + 180°.
La somme des angles du quadrilatère est donc 2 × 180° = 360°.
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Mathématiques :
Triangles, quadrilatères et cercles
Méthode 2
Ayant choisi un point K quelconque à l’intérieur du quadrilatère, on partage le quadrilatère en
4 triangles.
La somme des angles des 4 triangles est 4 × 180°.
Mais cette somme inclut l’angle plein de sommet K qui vaut 360° ou 2 × 180°.
Donc la somme des angles du quadrilatère est 4 × 180° – 2 × 180° = 2 × 180° = 360°.
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Mathématiques :
Triangles, quadrilatères et cercles
Question 2
Quelle est la somme des angles d’un polygone convexe ayant n côtés ?
Réponse
Voyons si les méthodes utilisées à la question précédente peuvent être généralisées.
Méthode 1
On peut théoriquement partager le polygone en plusieurs triangles.
Mais ces partages risquent d’être assez fastidieux ou hasardeux. Voyons plutôt la seconde
méthode.
Méthode 2
Choisissons un point K quelconque à l’intérieur du polygone.
On peut alors partager le polygone en n triangles.
La somme des angles des n triangles est n × 180°.
Mais l’angle plein de sommet K vaut 360° (ou 2 × 180°).
Donc la somme des angles du polygone de n côtés est (n – 2) × 180°.
On vérifie que la formule est valable :
 Pour le triangle (n = 3), on obtient (3 – 2) × 180° = 180° (résultat connu).
 Pour le quadrilatère (n = 4), on obtient (4 – 2) × 180° = 2 × 180° (résultat question
précédente).
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