REPONSE DE L`EXERCICE 2A
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Mathématiques : Triangles, quadrilatères et cercles Géométrie REPONSE DE L’EXERCICE 2A Rappel On sait que la somme des angles d’un triangle vaut 180°. Question 1 Quelle est la somme des angles d’un quadrilatère non croisé ? Réponse Méthode 1 On partage le quadrilatère en deux triangles. On a : a + b + c = (a’ + b + c’) + (c’’ + d + a’’) = 180° + 180°. La somme des angles du quadrilatère est donc 2 × 180° = 360°. 1 Mathématiques : Triangles, quadrilatères et cercles Méthode 2 Ayant choisi un point K quelconque à l’intérieur du quadrilatère, on partage le quadrilatère en 4 triangles. La somme des angles des 4 triangles est 4 × 180°. Mais cette somme inclut l’angle plein de sommet K qui vaut 360° ou 2 × 180°. Donc la somme des angles du quadrilatère est 4 × 180° – 2 × 180° = 2 × 180° = 360°. 2 Mathématiques : Triangles, quadrilatères et cercles Question 2 Quelle est la somme des angles d’un polygone convexe ayant n côtés ? Réponse Voyons si les méthodes utilisées à la question précédente peuvent être généralisées. Méthode 1 On peut théoriquement partager le polygone en plusieurs triangles. Mais ces partages risquent d’être assez fastidieux ou hasardeux. Voyons plutôt la seconde méthode. Méthode 2 Choisissons un point K quelconque à l’intérieur du polygone. On peut alors partager le polygone en n triangles. La somme des angles des n triangles est n × 180°. Mais l’angle plein de sommet K vaut 360° (ou 2 × 180°). Donc la somme des angles du polygone de n côtés est (n – 2) × 180°. On vérifie que la formule est valable : Pour le triangle (n = 3), on obtient (3 – 2) × 180° = 180° (résultat connu). Pour le quadrilatère (n = 4), on obtient (4 – 2) × 180° = 2 × 180° (résultat question précédente). 3
