TP sur la Décision Bayésienne et l`Algorithme EM I2T – Module de

TP#sur#la#Décision#Bayésienne#et#l’Algorithme#EM#
I2T$–$Module$de$Travaux$Pratiques$–$4$heures$
S.$Derrode$
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A# rendre#:$un$compte?rendu$au$format$word$contenant$les$programmes$réalisés$et$les$
résultats$ (images$ et$ courbes$ demandées$ au$ fur$ et$ à$ mesure$ de$ l’énoncé)$ ?>$
sderrode@centrale?marseille.fr$
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Synthèse# du# TP#:$ Vous$ disposez$ d’une$ image$ de$ cible$ à$ 2$ classes$ (fichier$ «$TP.m$»).$
L’objectif$est$dans$un$premier$temps$de$bruiter$cette$image$selon$un$modèle$de$mélange$
Gaussien$ /$ Exponentiel.$ Puis$ de$ restaurer$ cette$ image$ par$ décision$ bayésienne$
(restauration$ supervisée).$ La$ dernière$ partie$ est$ consacrée$ à$ l’estimation$ des$
paramètres$ par$ l’algorithme$ EM$ (restauration$ non$ supervisée).$ Dans$ les$ 2$ cas,$ je$ vous$
demande$de$comparer$les$taux$d’erreur$moyens$théoriques$et$numériques.$
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PARTIE#I#:$Modèle$de$bruit$et$bruitage$de$l’image$
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L’objectif$de$cette$partie$est$d’écrire$un$programme$Octave$qui$ajoute$un$bruit$à$l’image$
binaire$ de$ cible$ («$cible.png$»)$ qui$ vous$ a$ été$ fournie.$ La$ fonction$ se$ déroule$ de$ la$
manière$suivante$:$
a. Lisez$l’image$«$cible.png$»$et$affichez?là$dans$une$fenêtre$;$
b. Comptez$les$nombres$de$pixels$de$la$classe$«$0$»$(N1)$et$de$la$classe$«$255$»$(N2)$;$
c. Créez$ une$ image$ bruitée$ avec$ les$ paramètres$ suivants$:$ la$ classe$ blanche$ sera$
détériorée$par$un$bruit$gaussien$de$paramètres$(MU=20,$SIGMA=5),$et$la$classe$
noire$ sera$ affublée$ d’un$ bruit$ exponentiel$ de$ paramètre$ (LAMBDA$ =$ sqrt(2$ PI)$$
SIGMA$=$12.533).$On$utilisera$les$fonctions$normrnd$et$exprnd.$
d. Intégrez$dans$le$rapport$l’image$bruitée$et$son$histogramme.$
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PARTIE#II#:$Décision$Bayésienne$supervisée$
Il$s’agit$ici$d’appliquer$la$décision$bayésienne$sur$l’image$bruitée$crée$précédemment,$en$
considérant$directement$les$paramètres$qui$ont$servis$à$la$simulation.$$$
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a. Dans$ la$ même$ figure,$ faites$ figurer$ les$ fonctions$ discriminantes$ et$ le$ mélange$
généré.$On$utilisera$les$fonctions$normpdf$et$exppdf.$Intégrez$dans$votre$rapport$
la$figure.$
b. Les$calculs$$des$seuils$de$décision$conduisent$à$t1$=$12.84$et$t2$=$31.147.$L’erreur$
moyenne$à$
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Appliquez$ la$ décision$ bayésienne$ (n’utilisez$ pas$ les$ seuils$ mais$ comparez$ les$
probabilités$a+posteriori$de$chaque$pixel)$pour$segmenter$l’image$bruitée.$
c. Intégrez$ dans$ votre$ rapport$ l’image$ classée$ et$ le$ taux$ d’erreur$ moyen$ de$ chaque$
classe$ainsi$que$le$taux$d’erreur$moyen$global.$
d. $Introduction$de$valeurs$de$paramètres$erronées$:$
• Reportez$dans$votre$ rapport$ le$ taux$ d’erreur$ moyen$ obtenu$ en$ considérant$
les$poids$du$mélange$équiprobables.$
• Dressez$une$courbe$du$taux$d’erreur$moyen$global$en$faisant$varier$MU$de$5$
à$30$par$pas$de$5.$

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PARTIE#III#:$Algorithme$EM$
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Dans$cette$dernière$partie,$on$cherche$à$estimer$les$paramètres$avec$un$algorithme$EM$
qui$ a$ abouti$ aux$ formules$ de$ ré?estimation$ ci?dessous.$ Programmez$ cet$ algorithme$ en$
l’initialisant$ manuellement$ avec$ des$ valeurs$ pas$ trop$ éloignées$ des$ valeurs$ attendues$
(par$exemple$:$MU(0)$=$15,$SIGMA(0)$=$4$et$LAMBDA(0)$=$10).$
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On$rappelle$que$$
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a. Reportez$dans$votre$CR$les$paramètres$initiaux,$les$paramètres$estimés$par$EM$et$
l’image$classée$par$décision$bayésienne$avec$les$paramètres$estimés.$
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b. Reportez$également$la$courbe$d’évolution$de$MU$au$fur$et$à$mesure$des$itérations$
de$EM.$
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c. Enfin,$ appliquez$ EM$ et$ la$ décision$ bayésienne$ sur$ l’image$ de$ fleur$ qui$ vous$ sera$
fournie$sur$demande.$Rajoutez$l’image$segmentée$obtenue$dans$votre$CR.$
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N’oubliez#pas#de#m’envoyer#votre#CR#à#l’adresse#:#sderrode.#
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