TD: Aberrations d`un miroir sphérique

TD: Aberrations d’un miroir sph´erique
1 Position du probl`eme
On se propose d’´etudier puis de tracer le trajet des rayons d’un miroir sph´erique de rayon R, de centre O,
origine des axes, ´eclair´e par un faisceau de rayons parall`eles `a l’axe Ox.
1. On consid`ere l’un de ces rayons, d’ordonn´ee y. Calculer l’abscisse xde son arriv´ee sur le miroir, ainsi que
l’incidence θsur celui-ci.
2. Calculer les rayons r´efl´echis. (On pourra pour cela calculer - en fonction de you de θ- `a quelle abscisse le
rayon r´efl´echi coupe la droite d’´equation y=±ymax).
3. ´ Ecrire un programme tra¸cant ces rayons. On prendra R= 0,3 m et l’on consid´erera des rayons incidents
tels que y∈[−0,25 ; 0,25 m]. (On limitera le graphique `a x∈[−0,3 ; 0,3 m] et y∈[−0,3 ; 0,3 m]).
4. Le foyer est-il bien d´efini ? La figure serait-elle semblable si les rayons, tous parall`eles, attaquaient oblique-
ment le miroir ?
Solution:
1. Un faisceau, parall`ele `a l’axe optique, d’ordonn´ee yM, arrive sur le miroir avec un angle θ= Arcsin(yM
R)
en un point d’abscisse xM=R. cos(θ).
2. On n´eglige les doubles r´eflexions (pour les faisceaux incidents tr`es ´eloign´es de l’axe optique). Si yM>0
(resp. yM<0), ce faisceau est r´efl´echi vers le bas: yF=−ymax (resp. vers le haut: yF= +ymax); il coupe
l’axe y=yFen xF=xM−yM−yF
tan(2.θ).
4. On voit que tous les faisceau r´efl´echis ne passent pas exactement par le mˆeme point. Cela est dˆu au fait que
le foyer image d’un miroir sph´erique n’est bien d´efini que dans les conditions de Gauss (rayons proches de
l’axe optique, i.e. ouverture faible). Si les rayons ´etaient obliques, il faudrait effectuer une rotation de la
figure autour du centre du miroir. Le miroir restant invariant par cette rotation, l’allure de la figure serait
inchang´ee.
N.B. Pour avoir un foyer parfaitement d´efini, il aurait fallu un miroir parabolique.
2 Code avec Mathematica
Ab´ errations d’un miroir sph´ erique
In[1]:= R=0.3; xmax=0.3;ymax=0.3;
Dessin=Table[{},{k,-25,25}];
For[i=-25,i<=25,i++, If[i!=0, yM=i*0.01;theta=ArcSin[yM/R];xM=R Cos[theta]; phi=2*theta;
If[i>0, yF=-ymax;xF=xM-( yM+ymax)/Tan[phi], yF= ymax;xF=xM+(-yM+ymax)/Tan[phi]];
Dessin[[i+26]]=Graphics[Line[{{-xmax,yM},{xM,yM},{xF,yF}}]]]];
Show[Dessin,Axes->True,PlotRange->{{-xmax,xmax},{-ymax,ymax}}]
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ISEN-Brest. Kany. TD: Aberrations d’un miroir sph´erique
Out[4]=
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*-
import math
import matplotlib.pyplot as plt
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