1 √ 1 + x2 2 sin (Arc tan x)

Formulaire: fonctions cyclométriques (ex.97)
1
cos (Arc tan x) = √
1
5
1 + x2
∀x ∈ [−1; 1] :
∀x ∈ R :
1
1
.
=
1 + x2
1 + tan2 (Arc tan x)
π π
Du fait que : Arc tan x ∈] − ; [
2 2
cos2 (Arc tan x) =
il découle : cos(Arc tan x) ≥ 0,
d’où : ∀x ∈ R : cos (Arc tan x) = + √
2
sin (Arc tan x) = √
1
1 + x2
x
Dans cette égalité, on remplace tan(Arc tan x) par x,
on détermine cos(Arc tan x) comme dans le calcul qui
précède et on trouve le résultat annoncé.
√
tan (Arc cos x) =
x
sin(Arc cos x)
.
cos(Arc cos x)
Dans cette égalité, on remplace sin(Arc cos x) par
√
1 − x2 et cos(Arc cos x) par x et on trouve le résultat
annoncé.
tan (Arc sin x) = √
x
1 − x2
sin(Arc sin x)
.
cos(Arc sin x)
Dans cette égalité, on remplace cos(Arc sin x) par
√
1 − x2 et sin(Arc sin x) par x et on trouve le résultat
annoncé.
Fiche 2
6
cos (2 Arc sin x) = 1 − 2 x2
cos (2 Arc sin x) = 1 − 2 sin2 (Arc sin x).
Dans cette égalité, on remplace sin(Arc sin x) par x et
on trouve le résultat annoncé.
7
2
sin
1
Arc cos x = (1 − x)
2
2
1
∀x ∈ [−1; 1] :
1
1 1
sin2
Arc cos x = − cos(Arc cos x).
2
2 2
Dans cette égalité, on remplace cos(Arc cos x) par x
et on trouve le résultat annoncé.
8
cos2
1
Arc cos x = (1 + x)
2
2
1
∀x ∈ [−1; 1] :
1
1 1
Arc cos x = + cos(Arc cos x).
cos2
2
2 2
Dans cette égalité, on remplace cos(Arc cos x) par x
∀x ∈] − 1; 1[:
tan(Arc sin x) =
annoncé.
1 − x2
∀x ∈ [−1; 0[∪]0; 1] :
4
Dans cette égalité, on remplace cos(Arc sin x) par
√
1 − x2 et sin(Arc sin x) par x et on trouve le résultat
∀x ∈ [−1; 1] :
sin(Arc tan x) = tan(Arc tan x) · cos(Arc tan x).
tan(Arc cos x) =
sin (2 Arc cos x) = 2 sin(Arc cos x) · cos(Arc cos x).
1 + x2
∀x ∈ R :
3
√
sin (2 Arc cos x) = 2 x 1 − x2
et on trouve le résultat annoncé.