1 √ 1 + x2 2 sin (Arc tan x)

Formulaire: fonctions cyclométriques (ex.97)
1cos (Arc tan x) = 1
√1 + x2
∀x∈R:
cos2(Arc tan x) = 1
1 + tan2(Arc tan x)=1
1 + x2.
Du fait que : Arc tan x∈]−π
2;π 2[
il découle : cos(Arc tan x)≥0,
d’où : ∀x∈R: cos (Arc tan x) = + 1
√1 + x2
2sin (Arc tan x) = x
√1 + x2
∀x∈R:
sin(Arc tan x) = tan(Arc tan x)·cos(Arc tan x).
Dans cette égalité, on remplace tan(Arc tan x)par x,
on détermine cos(Arc tan x)comme dans le calcul qui
précède et on trouve le résultat annoncé.
3tan (Arc cos x) = √1−x2
x
∀x∈[−1; 0[∪]0; 1] :
tan(Arc cos x) = sin(Arc cos x)
cos(Arc cos x).
Dans cette égalité, on remplace sin(Arc cos x)par
√1−x2et cos(Arc cos x)par xet on trouve le résultat
annoncé.
4tan (Arc sin x) = x
√1−x2
∀x∈]−1; 1[:
tan(Arc sin x) = sin(Arc sin x)
cos(Arc sin x).
Dans cette égalité, on remplace cos(Arc sin x)par
√1−x2et sin(Arc sin x)par xet on trouve le résultat
annoncé.
5sin (2 Arc cos x)=2x√1−x2
∀x∈[−1; 1] :
sin (2 Arc cos x) = 2 sin(Arc cos x)·cos(Arc cos x).
Dans cette égalité, on remplace cos(Arc sin x)par
√1−x2et sin(Arc sin x)par xet on trouve le résultat
annoncé.
6cos (2 Arc sin x)=1−2x2
∀x∈[−1; 1] :
cos (2 Arc sin x) = 1 −2 sin2(Arc sin x).
Dans cette égalité, on remplace sin(Arc sin x)par xet
on trouve le résultat annoncé.
7sin21
2Arc cos x=1 2(1 −x)
∀x∈[−1; 1] :
sin21
2Arc cos x=1 2−1 2cos(Arc cos x).
Dans cette égalité, on remplace cos(Arc cos x)par x
et on trouve le résultat annoncé.
8cos21
2Arc cos x=1 2(1 + x)
∀x∈[−1; 1] :
cos21
2Arc cos x=1 2+1 2cos(Arc cos x).
Dans cette égalité, on remplace cos(Arc cos x)par x
et on trouve le résultat annoncé.
Fiche 2