Enigmes solutions

Collège Émile Guillaumin Énigmes 2013 : solutions Page 1 / 6
du 18 au 22 mars 2013
Solutions des énigmes
Il y a bien souvent plusieurs façons d’obtenir un résultat : par tâtonnement, avec des schémas, avec
des techniques mathématiques plus sophistiquées...
Pour ces énigmes, certaines réponses sont simplement données ; pour d’autres, des pistes de
recherche sont proposées. Dans ce cas, les éléments de réponses donnés ci-dessous ne peuvent avoir la
prétention de correspondre à « la meilleure » voie pour aboutir au résultat.
L’équipe des professeurs de mathématiques du collège Émile Guillaumin remercie encore toutes les
personnes ayant cherché ces énigmes, ainsi que les personnes qui ont participé à leur diffusion.
Niveau : 6
ème
/ 5
ème
Énigme 1
Par quelles opérations est-il possible d’obtenir le nombre 100 en utilisant cinq fois le chiffre 5 ?
(et seulement le chiffre 5)
Pourrez-vous trouver plusieurs façons d’y parvenir ?
(5 + 5 + 5 + 5) × 5 = 20 × 5 =100
(5 × 5 × 5) − (5 × 5) = 125 − 25 = 100
Énigme 2
Stan et Laura sont frère et sœur.
Stan dit : « j’ai autant de frères que de sœurs ».
Laura dit : « J’ai deux fois plus de frères que de sœurs ».
Combien y a-t-il de garçons et de filles dans la famille de Stan et Laura ?
Il y a 4 garçons et 3 filles. Ainsi, Stan a 3 frères et 3 sœurs, et Laura a 4 frères et 2 sœurs.

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Énigme 3
Quatre tapissiers font quatre tapis en quatre jours.
Combien faut-il de tapissiers pour faire vingt tapis en vingt jours ?
Il faut 4 tapissiers pour faire vingt tapis en vingt jours.
 1
ère
façon de voir :
4 tapissiers font 4 tapis les 4 premiers jours.
Les 4 jours suivants, ils refont 4 tapis. Donc en 8 jours, les 4 tapissiers auront fait 8 tapis.
Ainsi de suite, jusqu’à 20 tapis en 20 jours.
 2
ème
façon de voir :
Si 4 tapissiers font 4 tapis en 4 jours, alors en 1 jour, 4 tapissiers font 1 tapis,
donc en 20 jours, 4 tapissiers feront 20 tapis.
 3
ème
façon de voir :
Si 4 tapissiers font 4 tapis en 4 jours, alors 1 tapissier fait 1 tapis en 4 jours.
Donc en 20 jours (5 fois plus de temps), 1 tapissier fait 5 tapis (5 fois plus de tapis).
Donc en 20 jours, il faut 4 tapissiers pour faire 20 tapis.
Énigme 4
Il faut 1 min 25 s pour couper une bûche en deux.
Combien de temps faut-il pour couper une bûche en 13 morceaux ?
Couper une fois prend 1 min 25 s.
Pour avoir 13 morceaux, il faut couper 12 fois.
Il faudra donc 12 × (1min 25s), c'est-à-dire 12 min et 12 × 25s.
Or 12 × 25 s = 300 s = 5 min.
Donc il faudra 12 min + 5 min = 17 min.
Donc pour couper une bûche en 13 morceaux, il faut 17 minutes.
Énigme 5
Un père promet à son fils de lui offrir 5 € pour chaque bonne réponse mais le fiston devra lui donner 8 €
à chaque mauvaise réponse.
Au bout de 26 questions, le père et le fils ne se doivent rien.
Combien le fils a-t-il donné de bonnes réponses ?
Le fils a donné 16 bonnes réponses.
En effet, s’il a donné 16 bonnes réponses, c’est qu’il en a donné 10 fausses.
16 × 5 € = 80 € donc le fils a gagné 80 €
et 10 × 8 € = 80 € donc le fils a donné 80 €.

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Niveau : 4
ème
/ 3
ème
Énigme 1
Quinze personnes se rencontrent et se serrent la main.
Sachant que chaque personne a donné la main une et une seule fois à chaque autre personne, combien de
poignées de mains y a-t-il eu ?
 La première personne serre la main aux 14 autres.
 La deuxième personne serre la main aux quatorze autres, mais la poignée de mains avec la première
personne est déjà comptée (étape ), donc la deuxième personne fait 13 nouvelles poignées de mains.
 La troisième personne donne 12 nouvelles poignées de mains.
Ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne reste plus que deux personnes (la 14
ème
et la 15
ème
) qui se donnent une
dernière poignée de mains.
14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 105
Il y a donc eu 105 poignées de mains.
Énigme 2
Le professeur Mathus a décidé de faire de la confiture avec ses élèves.
Ils ont rempli 20 pots de 3 tailles différentes. Les 20 pots remplis pèsent
8,4 kg en tout. Les pots sont rangés sur trois étagères, comme sur le
dessin, de façon à ce que chaque étagère supporte le même poids.
Quel est le poids (en kg) de chaque sorte de pot rempli ?
Chaque étagère supporte le même poids.
8,4 kg : 3 = 2,8 kg Donc chaque étagère supporte 2,8 kg.
Avec les deux étagères du bas, on constate que 2 pots rouges valent 6 pots bleus (en enlevant deux pots
rouges et deux pots bleus sur chaque étagère).
Comme il y a sur l’étagère du bas 2 pots rouges et 8 pots bleus, il y a l’équivalent de 14 pots bleus.
Donc 14 pots bleus pèsent 2,8 kg.
2,8 kg : 14 = 0,2 kg.
Donc un pot bleu pèse 0,2 kg.
2 pots rouges = 6 pots bleus, donc 1 pot rouge = 3 pots bleus = 3 × 0,2 kg = 0,6 kg.
Donc un pot rouge pèse 0,6 kg.
Sur l’étagère du haut, il y a, en plus du pot jaune, 2 pots rouges et un pot bleu soit 2 × 0,6 kg + 0,2 kg,
c'est-à-dire 1,4 kg.
La masse totale sur l’étagère est 2,8 kg. 2,8 kg − 1,4 kg = 1,4 kg.
Donc le pot jaune pèse 1,4 kg.
Énigme 3
Marguerite a planté un arbre chez elle. À sa cousine Rose qui lui demande s’il est grand, elle répond :
« Il mesure 148 cm plus le tiers de sa propre hauteur. »
Combien cet arbre mesure-t-il ?
Cet arbre mesure 222 cm.
(explication page suivante)

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On peut trouver la hauteur d’un tiers de l’arbre avec par exemple :
− un dessin :
D’après ce dessin, les deux tiers de
la hauteur valent 148 cm, donc un
tiers représente 74 cm (la moitié de
148 cm).
− une équation :
On appelle x le tiers de la hauteur de l’arbre.
Alors la hauteur de l’arbre est 3x. (trois tiers pour l’arbre entier)
On a alors 3x = 148 + x
donc 3x − x = 148
2x = 148
x = 148
2
x = 74
Le tiers de l’arbre mesure donc 74 cm.
Il y a ensuite deux façons de terminer pour trouver la hauteur de l’arbre :
Il mesure 148 cm plus le tiers de sa propre
hauteur : 148 + 74 = 222 cm La hauteur de l’arbre est trois tiers, c'est-à-dire 3 × 74 = 222 cm
Énigme 4
Compléter la suite : 1 ; 8 ; 81 ; 1024.
On remarque que 8 = 2
3
et que 81 = 3
4
. On a de même 1 = 1
2
et 1024 = 4
5
.
Cette suite commence donc ainsi : 1
2
; 2
3
; 3
4
; 4
5
.
Elle continuera donc par 5
6
= 15625.
Énigme 5
On désire construire un château de cartes comme celui de
l’illustration ci-contre, mais avec 12 étages. On utilise des
paquets de 32 cartes qu’on n’ouvre que lorsque les précédents
sont complètement utilisés.
Combien restera-t-il de cartes non utilisées dans le dernier
paquet ouvert ?
Ci-contre, exemple d’un château de cartes avec 3 étages.
Le 1
er
étage (en partant du haut) compte 2 cartes : 1 « pont » de deux cartes.
Le 2
ème
étage compte 5 cartes : 2 « ponts » de deux cartes plus une carte « sur le dessus » de l’étage.
Le 3
ème
étage compte 8 cartes : 3 « ponts » de deux cartes plus deux cartes « sur le dessus » de l’étage.
À chaque étage, il faut ajouter en plus de l’étage précédent un « pont » et une carte « sur le dessus »,
c'est-à-dire 3 cartes.
On a donc :
étage 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nombre de
cartes 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35
Il y a donc 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32 + 35 = 222 cartes en tout.
222 : 32 = quotient entier : 6
reste entier : 30 .
Il faut donc ouvrir 7 paquets : les 6 premiers seront utilisés en entier, et dans le 7
ème
paquet, on utilisera
30 cartes.
Il restera donc 2 cartes dans le dernier paquet ouvert.

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Niveau : Adulte
Énigme 1
Comment obtenir 1000 au moyen d’une addition ne comportant que des 8 ?
Plusieurs bonnes réponses :
8 + 8 + 8 + 8 + ... + 8 (avec 125 termes égaux à 8) est la somme « la plus longue ».
La plus courte est : 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.
Énigme 2
Quatre amis visitent un musée avec seulement 3 billets d’entrée. Ils rencontrent un gardien qui veut
savoir celui qui n’a pas payé son entrée : « − Ce n’est pas moi, dit Paul.
− C’est Jean, dit Jacques.
− C’est Pierre, dit Jean.
− Jacques a tort, dit Pierre. »
Sachant qu’un seul d’entre eux ment, quel est le resquilleur ?
Jacques et Jean ne peuvent pas avoir tous les deux raison (le resquilleur ne peut pas être Jean et Pierre en
même temps).
Le menteur est donc forcément Jacques ou Jean.
Donc Paul et Pierre disent la vérité.
Pierre dit « Jacques a tort », donc le menteur est Jacques.
Donc Jean n’est pas le menteur et dit la vérité : « c’est Pierre ».
Le resquilleur est donc Pierre.
Énigme 3
Un bassin rempli d’eau est muni de trois vannes de débits différents, n’ayant que deux positions : ouvert
et fermé. En ouvrant seulement la vanne n°1, le bassin se vide en dix heures.
En ouvrant seulement la vanne n°2, le bassin se vide deux fois plus vite qu’avec la vanne n°1.
En ouvrant seulement la vanne n°3, le bassin se vide trois fois moins vite qu’avec la vanne n°2.
Combien de temps (en heures, minutes et secondes) faudra-t-il pour vider le bassin en ouvrant les trois
vannes simultanément ? Arrondir le résultat à la seconde près si nécessaire.
Avec la vanne n°1, le bassin se vide en 10 h. Donc le débit de la vanne n°1 est 1
10 de bassin par heure.
Avec la vanne n°2, le bassin se vide en 5 h. Donc le débit de la vanne n°2 est 1
5 de bassin par heure.
Avec la vanne n°3, le bassin se vide en 15 h. Donc le débit de la vanne n°3 est 1
15 de bassin par heure.
1
10 + 1 5 + 1 15 = 3 30 + 6 30 + 2 30 = 11 30
Donc les trois vannes ouvertes en même temps permettent un débit de 11
30 de bassin par h.
On cherche en combien
de temps le bassin entier
va se vider.
Quantité d’eau
vidée (en bassin)
Temps
(en h)
11
30 1
× 30
11 (
en effet : 11
30 × 30 11 = 1
)
1 ?
Il faut donc 30
11 d’heure pour vider le bassin.