N - IREM de Toulouse

La question des progressions.
Approche interdisciplinaire
mathématiques et sciences physiques.
L'exemple de la terminale S.
Introduction.
Extraits des programmes de terminale S.
1. « Il est demandé d’introduire la fonction exponentielle très
tôt dans l’année, dans un souci de cohérence entre les
enseignements de mathématiques, de physique-chimie et de
sciences de la vie et de la Terre.»
2. « (…) la problématique des équations différentielles (…) est
fondamentale pour (…) la compréhension de la puissance des
mathématiques pour la modélisation; un travail conjoint avec
les autres disciplines favorisera cet objectif. »
IREM de Toulouse. Groupe « Maths-Physique-Lycée »
Présentation.
Groupe de l’IREM de Toulouse
Actuellement :
deux professeurs de sciences physiques :
Monique Mandleur, Monique Sosset ;
deux professeurs de mathématiques :
Michèle Fauré, Pierre López.
Autres personnes ayant participé à des travaux :
Gabriel Birague, Antoine Rossignol.
Travail présenté dans le cadre de la commission inter-IREM
« mathématiques et sciences expérimantales »
IREM de Toulouse. Groupe « Maths-Physique-Lycée »
I. Méthode de travail.
Elle découle de quatre constats et de quatre principes
Les constats.
Premier constat.
Les mathématiques et les sciences physiques s'interrogent
réciproquement.
Deuxième constat.
Les mathématiques sont constitutives des sciences physiques.
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I. Méthode de travail.
Troisième constat.
Les sciences physiques utilisent des mathématiques de plus en
plus sophistiquées.
« besoins mathématiques croissants de notre société »
Quatrième constat.
Dans la vie des lycéens, sciences physiques et mathématiques
sont liées, mais …
« si loin, si proche »
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I. Méthode de travail.
Les principes.
Premier principe :
Nous allons des sciences physiques vers les mathématiques.
Nous regardons, dans la pratique, comment le physicien utilise
les mathématiques.
Deuxième principe :
On veut éviter au professeur de sciences physiques de faire des
mathématiques, et au professeur de mathématiques de faire des
sciences physiques.
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I. Méthode de travail.
Troisième principe :
En classe de mathématiques,
avec les situations rencontrées en sciences physiques, on peut
contextualiser des techniques plus ou moins explicites des
programmes ;
inversement, il s'agit de prendre en charge l'acquisition des
outils et des techniques dont le physicien pourrait avoir
besoin.
Quatrième principe :
Une collaboration entre les professeurs de mathématiques et de
sciences physiques est nécessaire.
Elle devrait aller vers des progressions concertées.
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II. Un premier exemple.
La vitesse instantanée et la dérivation.
vitesse = longueur
du vecteur vitesse
vitesse = coefficient
directeur de la tangente
y (m)
y(m)
3
3
2
2
VM
1
1
2
4
6
0
8
t (s)
x(m)
0
1
Le mathématicien
croit que le
physicien fait çà …
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2
3
4
alors que le
physicien peut faire
çà !
III. Premier T.P. de radioactivité.
I . Objectif.
Evaluer, à partir d’un instant donné de date t, le nombre de
désintégrations se produisant pendant une durée ∆t déterminée
dans un échantillon d’un élément radioactif.
La « démarche expérimentale » conduit à effectuer plusieurs
mesures.
Impossibilité de répéter plusieurs fois une mesure
à un même instant de date t.
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III. Premier T.P. de radioactivité.
Choix de l’élément Césium 137 :
la lenteur de sa désintégration permet de considérer que
l’activité de cet élément n’est pas modifiée sur la durée du T.P..
Ainsi, on admet que toutes les mesures, faites nécessairement à
des instants différents, correspondent à des comptages à la
même date t.
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III. Premier T.P. de radioactivité.
II . Dispositif expérimental.
La désintégration du Césium se fait selon la réaction d’équation
Cs →−10e +
137
55
Ba + γ
137
56
une source de Césium 137 (à droite
dans le tube) émetteur d’électrons
accompagnés de rayonnement γ ;
un détecteur de radioactivité (à gauche
dans le tube) ;
un compteur d'impulsions (partie
inférieure).
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III. Premier T.P. de radioactivité.
« Contraintes » expérimentales.
1. Le détecteur ne reçoit qu'une petite quantité du
rayonnement émis.
2. Rien ne permet d’affirmer que le détecteur soit efficace à
100%.
3. Il réagit à des paquets de « radiations ». Le nombre
d'impulsions affiché n’est donc pas égal au nombre de
noyaux désintégrés.
On considère que le nombre réel de désintégrations est
proportionnel au nombre affiché par l’appareil.
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III. Premier T.P. de radioactivité.
Mesures.
Série 1
8
10
5
8
6
9
5
8
8
5
Série 2
7
4
7
6
5
8
6
8
9
9
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Série 3
6
7
6
7
7
2
7
10
8
4
Série 4
6
7
8
7
8
8
8
15
6
6
III. Premier T.P. de radioactivité.
Interprétation.
Certains élèves émettent l’idée que l’appareil de comptage
est défectueux !
Arriver à l’idée de phénomène aléatoire.
S’appuyant sur les acquis de la classe de seconde en
mathématiques, l’enseignant peut alors guider les élèves vers
un traitement statistique ; pour cela on utilise un fichier
contenant le résultat de 1000 comptages.
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III. Premier T.P. de radioactivité.
Traitement statistique. (obtenu avec le logiciel ©Généris 5+)
50 comptages
100 comptages
0,3
0,3
0,25
0,25
0,2
0,2
0,15
0,15
0,1
0,1
0,05
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
1
2
200 comptages
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
400 comptages
0,3
0,3
0,25
0,25
0,2
0,2
0,15
0,15
0,1
0,1
0,05
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
IREM de Toulouse. Groupe « Maths-Physique-Lycée »
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
III. Premier T.P. de radioactivité.
1000 comptages
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Le « n’importe quoi » a une « forme ».
Observation : la valeur la plus fréquente du nombre de
désintégrations du césium 137 en deux secondes est égale à 7.
Cette valeur a-t-elle un lien avec la valeur moyenne ?
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III. Premier T.P. de radioactivité.
Etude de la valeur moyenne.
9,50
9,00
8,50
8,00
Evolution de la moyenne
en fonction du nombre
de comptages
7,50
7,00
6,50
6,00
5,50
5,00
0
200
400
60 0
8 00
1000
La moyenne tend à se stabiliser à une valeur autour de 7,4.
La valeur la plus fréquente et la valeur moyenne sont proches.
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III. Premier T.P. de radioactivité.
V . Conclusions.
Du côté du physicien :
Le phénomène de désintégration radioactive qui pouvait
paraître, au départ, imprévisible, peut, à la fin, être considéré
comme un phénomène aléatoire.
On synthétise les résultats expérimentaux en disant :
à l’instant t de l’expérimentation, le nombre de désintégrations
le plus probable est égale à 7,
proche du nombre moyen, 7,37.
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III. Premier T.P. de radioactivité.
Du côté du mathématicien.
Les outils de la statistique sont indispensables pour étudier
le phénomène de désintégration radioactive.
Nécessité des notions de probabilités.
Du côté du philosophe.
Abandon du paradigme déterministe.
Passage à un langage de probabilités pour que le phénomène
n’en reste pas au niveau du «n’importe quoi » et que l’on
puisse en dire quelque chose,
IREM de Toulouse. Groupe « Maths-Physique-Lycée »
Auriez-vous une remarque ou une question ?
Mais où est l’équation différentielle dont on
nous dit qu’elle est indispensable au
physicien pour traiter la radioactivité ?
??? …
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IV. Où le professeur de maths intervient.
1. Modélisation de la désintégration radioactive.
Il nous faut produire un modèle mathématique qui rende
compte en particulier de :
0,3
0,25
Moyenne : 7,37
0,2
0,15
0,1
Ecart type : 2,61
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13 14
IREM de Toulouse. Groupe « Maths-Physique-Lycée »
15
IV. Où le professeur de maths intervient.
Première hypothèse.
la désintégration d’un noyau d’un élément radioactif est un
phénomène aléatoire.
A partir d’un instant t fixé, pendant une unité de temps ∆t, un
noyau de césium 137 a une probabilité p de se désintégrer.
Deuxième hypothèse.
Pour continuer « confortablement »,
les noyaux de césium n’interagissent pas entre eux.
Au cours d’une unité de temps, chaque noyau de césium va se
comporter indépendamment des autres.
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IV. Où le professeur de maths intervient.
Soit N le nombre de noyaux.
Ainsi on considère que ce qui se passe à partir d’un instant t,
pendant une unité de temps, est la répétition N fois, de
manière indépendante, de l’événement « un noyau se
désintègre ».
La probabilité d’avoir k désintégrations est égale à
N k
  p (1 − p ) N − k
k
Loi binomiale de paramètres N et p.
L’espérance mathématique est égale à N.p
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IV. Où le professeur de maths intervient.
Rappel. On cherche un modèle mathématique rendant
compte de l’expérience.
En particulier : pour 1000 comptages la moyenne du nombre
de désintégrations est égale à 7,37.
Simulation. N = 100, p = 0,0737.
0,3
0,25
Moyenne : 7,37
0,2
0,15
0,1
Ecart type : 2,61
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
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IV. Où le professeur de maths intervient.
Conclusion.
Dans certaines conditions, la désintégration d’un noyau d’un
élément radioactif est un phénomène aléatoire.
A partir d’un instant de date t, le nombre de désintégrations
pendant une durée ∆t, est une variable aléatoire qui suit une loi
binomiale de paramètres N et p.
La moyenne du nombre de ces désintégrations est égal à N . p
qui est proche de la valeur la plus probable.
On pourra dire que ce nombre moyen est le nombre de
désintégration pendant la durée ∆t.
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Auriez-vous une remarque ou une question ?
Probabilités et probabilités conditionnelles
sont les seuls préalables indispensables à
l’étude de la radioactivité.
On n’a toujours pas d’équation différentielle.
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V. Second T.P. de radioactivité.
Etudier l’évolution du nombre N de noyaux radioactifs
au cours du temps.
L’étude de l’évolution dans le temps de l’activité radioactive
prend dans les classes de physique deux voix différentes :
étude du radon 220 ;
simulation (par exemple avec des dés).
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V. Second T.P. de radioactivité.
Matériel expérimental.
On crée une dépression dans la fiole
scintillante. On met en
communication le générateur de radon
et la fiole scintillante. La dépression
aspire des noyaux de radon du
générateur de radon.
Le nombre N(0) de noyaux de radon
introduits dans la fiole scintillante est
proportionnel à la dépression ∆P.
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Fiole
scintillante
dans la chambre
à photomultiplicateur
Générateur
de radon 220
V. Second T.P. de radioactivité.
Mesures et traitement des mesures.
On mesure des nombres de désintégrations : ∆N(t).
Les comptages sont démarrés toutes les 7 secondes.
La durée de chaque comptage est de 5 secondes.
On fait deux expériences à deux dépressions différentes,
pour avoir deux N(0) différents.
Avec un tableur (©Généris 5+), les élèves calculent les
rapports - ∆N(t)/ ∆t, appelé l’activité A(t),
puis ils représentent le nuage de points (t ; A(t)).
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V. Second T.P. de radioactivité.
Expérience 1.
Le logiciel permet alors de tester certains « modèles ».
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V. Second T.P. de radioactivité.

A1 (t ) = a exp −

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t

τ
V. Second T.P. de radioactivité.
Mise en commun des résultats des deux expériences
La constante de temps est indépendante du nombre de noyaux.
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V. Second T.P. de radioactivité.
Réduction au modèle « linéaire ».
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V. Second T.P. de radioactivité.

A(t ) = A(0) exp −

t

τ
Et alors ?
On veut connaître N(t).
Le physicien dit que N(t) et A(t) sont proportionnels
∆N
−
(t ) = k N (t )
∆t

N (t ) = N (0) exp −

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t

τ
VI. Seconde modélisation mathématique.
Rappel.
La désintégration d’un noyau d’un élément radioactif était un
phénomène aléatoire.
On attache une probabilité p à la désintégration d’un noyau
pendant une durée ∆t à un instant de date t.
A priori, p dépend de t, de N et de ∆t.
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VI. Seconde modélisation mathématique.
Nouvelles hypothèses.
Hypothèse 1 : à N et t fixés, la probabilité de désintégration
est proportionnelle à ∆t : p = λ . ∆t.
Hypothèse 2 : la probabilité p ne dépend pas du nombre de
noyaux : λ ne dépend pas de N.
Hypothèse 3 : la désintégration radioactive se fait « sans
vieillissement » : λ ne dépend pas de t.
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VI. Seconde modélisation mathématique.
p = λ . ∆t avec λ indépendant de N et de t.
p est la probabilité qu’un noyau se désintègre pendant
la durée ∆t, sachant que le noyau n’est pas désintégré à
l’instant t !
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VI. Seconde modélisation mathématique.
Etude de l’évolution d’une population de N noyaux.
On regarde d’abord ce qui se passe pour UN noyau (ou un dé) :
à t1 = ∆t, la probabilité qu’il ne soit pas désintégré :
(1 − λ ∆t )
à t2 = 2.∆t, la probabilité qu’il ne soit pas désintégré :
(1 − λ ∆t )2
à tn = n.∆t, la probabilité qu’il ne soit pas désintégré :
(1 − λ ∆t )n
qu’on peut écrire :
λ tn 

1 −

n 

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n
VI. Seconde modélisation mathématique.
Donc pour un noyau, on peut définir une variable aléatoire de
Bernoulli X avec :
λ tn 

P( X = 1) = 1 −

n 

n
λ tn 

et P( X = 0) = 1 − 1 −

n 

n
L’évolution d’une population de N noyaux peut être considérée
comme la répétition N fois, de manière indépendante, de ce qui
se passe pour un noyau.
Donc le nombre de noyaux restant à l’instant n . ∆t est une
variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres :
λ tn 

N et 1 −

n 

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n
VI. Seconde modélisation mathématique.
Attention.
Le nombre de noyaux restant à l’instant tn = n.∆t est aléatoire !
On convient de s’intéresser au nombre moyen.
Celui-ci sera considéré comme LE nombre de noyau restants
à l’instant tn = n.∆t :
λ tn 

N (t n ) = N . 1 −

n 

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n
VII. Une vérification expérimentale.
Le phénomène de demi-vie.
Soit
n 1 le nombre tel que :
2
 λ . tn
1

2
N 1 −
n1

2






n1
2
=
N
2
à l’instant 2 . n 1 . ∆t , le nombre de noyaux restants est
2
 λ . 2 n 1 ∆t 


2

N 1 −
2 n1 


2


2 n1
2
=N
( (1 − λ . ∆t ) )
n1
2
2
=
N
4
Ce qui peut être testé sur les courbes obtenues.
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VIII. Modèle définitif.
Jusqu’ici, nous travaillons avec des temps discrets.
L’instant t ne peut être qu’un multiple de ∆t.
Pour avoir un « maillage » du temps plus fin, on choisit un
∆t plus petit.
Ce qui fait que pour un t fixé, n devra être « assez grand ».
On s’intéresse donc à :
n
λ.t 

− λt
lim N . 1 −
 =Ne
n→+∞
n 

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VIII. Modèle définitif.
La désintégration radioactive se modélise à l’échelle
macroscopique par :
N(t) = N . e − λ t
avec N = N(0)
cette fonction est solution de l’équation différentielle :
y’ = - λ y
soit en différentielles
dN(t) = - λ N(t) dt
c’est-à-dire que la variation du nombre de noyau à l’instant t
est proportionnelle au nombre de noyau présents à l’instant t
et à la durée dt considérée.
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VIII. Modèle définitif.
En appliquant les différentielles aux accroissements :
∆N(t) = – λ N(t) ∆t ,
donc :
∆N
(t ) = − λ N (t )
∆t
∆N
est donc proportionnel au nombre de noyaux.
∆t
et on peut vérifier expérimentalement le modèle à travers
l’étude de l’ « activité » d’un élément radioactif.
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IX. Conclusion.
Ce sont les notions de probabilités qui sont au programme
de TS qui sont les préalables à l’étude de la radioactivité.
On a, bien sûr, besoin de la fonction exponentielle,
qui peut être introduite par résolution d’une équation
différentielle …
mais, vu le phénomène de demi-vie, l’introduction par
généralisation des suites géométriques est aussi pertinente.
L’équation différentielle est le modèle final.
Elle n’a pas de vérification expérimentale directe.
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