Modélisation des systèmes électroniques de puissance à commande MLI Application aux actionnements par moteur synchrone à aimants permanents Francis Labrique Sorin Gusia Université catholique de Louvain 1 Domaines d’application des convertisseurs MLI Entraînements par machines à courant continu Entraînements par machines électriques triphasées Hacheur Réseau triphasée Redresseur MLI Charge mécanique Onduleur MLI de tension Réseau triphasée Éoliennes Redresseur MLI Filtres actifs Charge mécanique Onduleur MLI de tension Onduleur MLI de tension Réseau triphasée 2 Structure d’un système à convertisseur MLI Fonctionnement en MLI : Convertisseur Générateur Kij Récepteur les changements d’état des interrupteurs : • sont commandés à une cadence élevée par rapport à la dynamique de variation des grandeurs du système Electronique de commande et de régulation • s’opèrent d’une manière qui ne dépend pas de l’évolution des tensions et courants aux accès du convertisseur Consignes 3 Contraintes liées au fonctionnement en MLI Les états et changements d’état des interrupteurs doivent : • respecter les lois de Kirchhoff • garantir la continuité des courants dans les inductances et des tensions aux bornes des capacités • le générateur et le récepteur doivent se comporter comme des sources complémentaires • les commutations reviennent à modifier le potentiel d’une borne du système à caractère de source de courant en la connectant d’une borne à l’autre du système à caractère de source de tension Source de tension U1 K11 PG1 K1j K1m Convertisseur U2 Un PG2 PGn f11 f21 fn1 K21 K2j K2m Kn1 Knj Knm PR1 PRj PRm I1 Ij Im Source de courant 4 Réglage du point de fonctionnement Convertisseur Générateur Kij Récepteur de tension de courant Modulateur MLI Uref(tk) Xu_mes Xi_mes Régulateurs Xc • Le régulateur fixe les potentiels qu’il faut appliquer aux bornes du récepteur Uref(tk) • Le modulateur MLI transforme ces potentiels en séquences de commande des interrupteurs 5 Principe de la modulation MLI • Choisir une fréquence de commutation pour les interrupteurs • Fixer à l’intérieur de chaque période de commutation les intervalles de conduction des interrupteurs connectées à une borne de la « source de courant » de manière à aligner en moyenne la valeur du potentiel de cette borne sur un signal de référence qui correspond au potentiel souhaité pour cette borne Par exemple, pour PR1 , on veut : U1 U2 PG1 PG2 K11 Kj1 Km1 K12 Kj2 Km2 < PR1 >= u ref _ 1 TMLI f11 Un K1n PGn Kjn Km3 uref_1 Modulateur MLI f12 f12 f1n PR1 PRj Pmn I1 Ij Im PR1 = PG2 T11 T12 f1n f11 PR1 = PG1 PR1 = PGn T1n < PR1 >= (PG1 ⋅ T11 + PG 2 ⋅ T12 + K + PGn ⋅ T1n ) TMLI 6 Exemples de modulation symétrique TMLI i ξ(t) K11 1) Hacheur : u ì1 si K 11 ON f (t ) = í î0 si K 12 ON ia PR ul_ref(t) Uref fl(t) t fl(t) ua K12 t Te = TMLI f(t) ξ(t) ub_ref(tk) ua_ref(tk) i K11 2) Onduleur : K21 K31 PR1 u K12 K22 uc_ref(tk) ia ic PR3 tk+1 tk ib PR2 t ì 1 si K l1 ON , l = a , b, c f l (t ) = í 0 si K ON l 2 î Uref K32 fl(t) fa(t) t t2 t5 fb(t) t t3 fa(t) fb(t) fc(t) t4 fc(t) t t1 En pratique implantation numérique : les temps de conduction des interrupteurs sont calculés et imposés par des « timers » (modulation MLI numérique) t6 7 Implantation numérique de la commande Convertisseur Générateur Kij Récepteur de tension Sur chaque période d’échantillonnage : de courant • le régulateur fixe les valeurs des potentiels de référence Uref(tk) à appliquer aux bornes du récepteur de courant durant cette période Modulateur MLI Uref(tk) Xu_mes Régulateurs Xi_mes • le modulateur MLI transforme ces références en intervalles de conduction des interrupteurs durant cette période Xc 8 Suivi de l’évolution du système Convertisseur Kij Générateur Par des équations de transition d’état Récepteur de tension de courant Modulateur MLI État du système en tk Uref(tk) Xu_mes Xi_mes X (t k ) Commande du système en tk U ref (t k ) État du système en tk+1 X (t k +1 ) Régulateurs Xc Te mesure Xk-1 mesure calcul références Xk t tk-1 tk application commandes application commandes Uref(tk) Uref(tk+1) Commande du système en tk+1 U ref (t k +1 ) Uref(tk+1) Uref(tk) t 9 Équations de transition d’état de la partie de puissance (1) • • X u (t ) = Au ⋅ X u (t ) + Bu ⋅ S u (t ) + Gu ⋅ I (t ) Xu U1 I1 u1 X i (t ) = Ai ⋅ X i (t ) + Bi ⋅ S i (t ) + Gi ⋅ U (t ) I2 U2 u2 K11 PG1 Kj1 K12 PG2 Kj2 Xi Km1 i1 U1 Km2 i2 U2 iki Iku uku Un K1n PGn f11 f12 f1n I (t ) = H u [ f l (t )]⋅ X i (t ) Équations d’évolution : æ X çç è X X • (t )ö ÷÷ i (t ) ø u • p (t ) Au æ = çç è G i ⋅ H i [ fl (t )] Kjn PR1 PRj Pmn I1 Ij Im Gu ⋅H A p [ f l (t )] u Uki Km3 U (t ) = H i [ f l (t )]⋅ X u (t ) [ f l ( t ) ]ö Ai æ X ÷÷ ⋅ çç ø è X X (t )ö ÷÷ i (t ) ø u p (t ) æB + çç u è 0 B 0 Bi p ö ÷÷ ø æ S (t )ö ÷÷ ⋅ çç u è S i (t ) ø U p (t ) • Les fl(t) sont des fonctions logiques qui caractérisent les intervalles de conduction des interrupteurs • Leurs valeurs sur l’intervalle [tk , tk+1] sont connues en tk et dépendent des commandes via le modulateur MLI 10 Équations de transition d’état de la partie de puissance (2) • On décompose l’intervalle [tk , tk+1] en m sous intervalles ou les fl(t) sont constantes Convertisseur Kij Générateur Récepteur • On intègre les équations sur chaque sous intervalle ( ) ( ) X p t 'j +1 = M p _ j ⋅ X p t 'j + N p _ j Modulateur MLI Uref(tk) • Par itération on obtient : fa(t) t fb(t) t5 t2 [ ] [ ] X p (t k +1 ) = Φ p U ref (t k ) ⋅ X p (t k ) + Γ p U ref (t k ), U p (t k ) t t4 t3 fc(t) t t1 Ap_0 tk t6 A p_1 t1 A p_2 t2 A p_3 t3 A p_4 t4 A p_5 t5 A p_6 t6 L’équation de transition dépend de Uref(tk) à travers le modulateur MLI tk+1 11 Équations de transition d’état de la partie de commande Te Convertisseur Générateur mesure Xk-1 Kij mesure Xk calcul références Récepteur de tension de courant t tk-1 tk application commandes application commandes Uref(tk) Uref(tk+1) Uref(tk+1) Uref(tk) Modulateur MLI Uref(tk) Xu_mes Régulateurs Xi_mes Le régulateur est caractérisé par : • les commandes qu’il génère • le contenu de ses intégrateurs t æU (t )ö X r = çç ref k ÷÷ è I (t k ) ø Xc X r (t k +1 ) = Φ r ⋅ X p (t k ) + Λ r ⋅ X r (t k ) + Γr ⋅ X c (t k ) 12 Équations de transition d’état du système en boucle fermée [ Convertisseur Générateur Kij Récepteur ] [ ] ì X p (t k +1 ) = Φ p U ref (t k ) ⋅ X p (t k ) + Γ p U ref (t k ), U p (t k ) ï ï í U (t ) ï æç ref k +1 ö÷ = Φ ⋅ X (t ) + Λ ⋅ æç U ref (t k )ö÷ + Γ ⋅ X (t ) r p k r ç r c k ÷ ïî çè I (t k +1 ) ÷ø è I (t k ) ø de courant de tension Les équations de transition d’état permettent de déterminer : • S’il existe un point de régime permanent associé à des valeurs constantes des consigne Modulateur MLI Uref(tk) Xu_mes Régulateurs Xi_mes [ ] X (t k +1 ) = Gk X (t k ), U p (t k ), X c = X (t k ) = X R æ Xp ç X = çU ref ç I è ö ÷ ÷ ÷ ø G ne dépend pas de k • Si ce point est stable : Xc on linéarise autour de XR ∆X (t k +1 ) = Φ ⋅ ∆X (t k ) Stable si ?i racines de : det[λ ⋅ I − Φ ] = 0 telles que : λi < 1 13 Simplification par la prise en compte des différences d’échelle de temps Existence de variables à variations dynamiques différentes : Convertisseur Générateur Kij Récepteur de courant de tension • variables rapides • variables lentes (quasi constantes à l’échelle de la période d’échantillonnage Te ) => régulation par des boucles imbriquées Modulateur MLI Uref(tk) Rapides => permet de simplifier l’étude des boucles rapides en considèrent les références des boucles rapides et les variables lentes comme étant constantes => permet de limiter l’étude « en temps discret » aux boucles rapides Lentes Xc 14 Application à l’étude de la régulation du courant d’induit d’un moteur cc T11 Ωcons Régulateur de vitesse ia_ cons Régulateur de courant ua_ ref Modulateur MLI D11 ia σ(t) T12 Ωmes Capteur vitesse ua D12 ia_ mes Ω i Rf is Lf T11 + Udc Cf D11 La ia u T12 + D12 f(t) Modulateur MLI Ra KΦ. ω ua ia_ mes ua_ ref Régulateur de courant ia_ cons 15 Simplification par approximation des relations introduites par le convertisseur Remplacement des fonctions de commutation par le premier terme du développement en série Un seul système d’équations de tk à tk+1, paramétré par les tensions de commande (modèle d’ordre zéro) f (t ) = i Rf is Lf T11 + Udc F0 = Cf La ia Ra + D12 . KΦ ω ua f(t) Modulateur MLI U dc D11 u T12 u a _ ref (t k ) ia_ mes ua_ ref Régulateur de courant Par intégration analytique sur Te : æU dc ö çç ÷÷ è Ea ø æ − Rf ç • ç L 0 æ i s (t ) ö ç f ç 0 ÷ 1 ç u (t )÷ = ç ç C ç i 0 (t ) ÷ f è a ø ç ç 0 ç è ia_ cons −1 Lf 0 u a _ ref (t k ) La ⋅ U dc ö ÷ æ 1 ÷ ç 0 æ ö ( ) i t − u a _ ref (t k ) ÷ ç s0 ÷ ç L f ÷ ⋅ ç u (t )÷ + ç 0 C f ⋅ U dc ÷ ç 0 ÷ ç ÷ è i a (t ) ø ç 0 − Ra ç ÷ è ÷ La ø 0 ua_ref(tk) Régulateur æ i s0 (t k +1 ) ö æ i s0 (t k ) ö ç 0 ÷ ç 0 ÷ é 0 ç u (t k +1 )÷ = Φ p u a _ ref (t k ) ⋅ ç u (t k )÷ + Γ p0 êu a _ ref (t k ), ç 0( )÷ ç 0( )÷ ë è ia t k +1 ø è ia t k ø [ ] ö 0 ÷ ÷ æ U dc ö ÷÷ 0 ÷ ⋅ çç K − 1÷ è Φ ⋅ ω ø ÷ La ÷ ø æ is0 (t ) ö ç 0 ÷ ç u (t )÷ ç i 0 (t ) ÷ è a ø - 0 + ia cons æ U dc öù çç ÷÷ú ⋅ K ω è Φ øû 16 Simplification par élimination de la dynamique de l’un des systèmes interconnectés par le convertisseur i i is Rf Lf T 11 + U dc Cf T 11 D 11 T 12 Modulateur MLI X p + Ra Régulateur de courant D 12 K Φ.ω ua f(t) ia_ mes u a_ ref ia_ cons (t ) = Ap [u a _ ref (t k )]⋅ X p (t ) + B p ⋅ U p ia_ mes Modulateur MLI f (t ) = F 0 = KΦ.ω ua_ref(tk) • ia0 (t ) = Ra + T 12 K Φ .ω ua La ia u U dc + D 12 f(t) • La ia u D 11 u a_ ref Régulateur de courant ia_ cons u a _ ref (t k ) U dc ia0(t) − Ra 0 −1 1 ⋅ ia (t ) + ⋅ KΦ ⋅ ω + ⋅ u a _ ref (t k ) La La La Régulateur Passage d’un système à structure commutée à un système à commande commutée - 0 + ia cons 17 Régulation des courants statoriques d’un moteur synchrone à aimants permanents (1) i is Rf + Udc Lf i K11 K21 Cf is K31 Capteur vitesse et position ib ic K12 K22 fa K32 fb Lf Ω ia uaM Rf + Udc ua K11 K21 Cf L ib K22 fa R ea ~ ~ ic Modulateur MLI ~ K32 fb fc Modulateur MLI ua_ref, ub_ref, uc_ref ua_ref, ub_ref, uc_ref Park [θ(t)] θ(t) ud_ref, uq_ref id_cons = 0 ia uaM K12 fc K31 Régulateur id, iq Park [θ(t)] ud_ref, uq_ref ia, ib id, iq iq_cons Park -1[θ(t)] θ(t) θ(t) id_cons = 0 Régulateur id, iq ia, ib id, iq Park -1[θ(t)] θ(t) iq_cons Régulateur Ω(t) Ω Ωcons 18 Régulation des courants statoriques d’un moteur synchrone à aimants permanents (2) i is Rf + Udc Lf abc (t k ) = P23−1 [θ (t k )] ⋅ U refdq (t k ) U ref ua K11 K21 Cf K31 ia ib uaM ic K12 K22 fa L R ea ~ ~ ~ K32 fb Modulateur MLI fc Modulateur MLI ua_ref, ub_ref, uc_ref Park [θ(t)] θ(t) fa, fb, fc ud_ref, uq_ref æ ç − R f −1 ç • Lf Lf ç æ is (t ) ö ç 1 ç ÷ 0 ç u t ( ) ç ÷ Cf ç = ç i (t )÷ ç çd ÷ ç0 ç i (t )÷ æ f a (t )ö èq ø ç 1 ç ÷ −1 ⋅ P23 [θ (t )] ⋅ ç f b (t )÷ ç ç 0 Ls ç f (t ) ÷ ç è c ø è 0 0 ö ÷ t æ f a (t )ö ÷ æ 1 ÷ −1 ç ç ÷ ⋅ ç f b (t )÷ ⋅ P23 [θ (t )] æ i (t ) ö ç Lf s ÷ Cf ç ç ÷ ÷ ç 0 ÷ ç u(t ) ÷ è f c (t ) ø ç ÷⋅ç + ÷ ç 0 ÷ ç id (t )÷ − Rs ç ÷ ç i (t )÷ ω q è ø ç 0 ÷ Ls ç ÷ è − Rs ÷ −ω ÷ Ls ø A pdq [ f l (t ),θ (t )] ö 0÷ ÷ 0 0 ÷ æç U dc ö÷ ÷ −1 0 ÷⋅ç 0 ÷ ç ÷ Ls ÷ è KΦ ⋅ ω ø −1÷ 0 Ls ÷ø 0 ì 1 si Tl1 ON , l = a , b, c f l (t ) = í 0 si T ON l2 î 19 Régulation des courants statoriques d’un moteur synchrone à aimants permanents (3) i is Rf + Udc Lf ua K11 K21 Cf K31 ia ib uaM ic K12 K22 L R ea fa(t) ~ t ~ fb(t) ~ t2 t K32 t3 fc(t) fa fb t4 fc t t1 Modulateur MLI Ap_0 ua_ref, ub_ref, uc_ref Park [θ(t)] t5 θ(t) tk t6 A p_1 t1 A p_2 t2 A p_3 t3 A p_4 t4 A p_5 t5 A p_6 t6 tk+1 ud_ref, uq_ref intégration numérique sur 7 sous intervalles [ ] dq Φ dq p U ref (t k ), θ (t k ) æ i s (t k +1 ) ö æ i s (t k ) ö ç ÷ ç ÷ é æ U dc öù ( ) ( ) u t u t ÷ú ç ç k +1 ÷ ç ÷ k ê dq dq dq dq ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 0 θ U t θ t = Φ ⋅ U t t + Γ ÷ú p ref k k p ê ref k k ç ç i (t )÷ ç i (t )÷ d k +1 d k ç K ⋅ ω ÷ú ç ÷ ç ÷ êë è Φ øû ç i (t ) ÷ ç i (t ) ÷ è q k +1 ø è q k ø [ ] dq dépend de manière complexe de U ref (t k ) et de la période d’échantillonnage via ?(tk) 20 Régulation des courants statoriques d’un moteur synchrone à aimants permanents (4) Passage au modèle d’ordre zéro i is Rf + Lf ua K11 K21 Cf Udc K31 ia ib uaM ic K12 K22 fa L R ea f l (t ) = ~ Fl 0 = 0.5 + ~ K32 fb [ Park [θ(t)] ] [ ] abc (t k ), θ (t ) A pdq [ f l (t ), θ (t )] = A pdq Fl 0 , θ (t ) = A pdq _ 0 U ref fc abc U ref (t k ) = P23−1 [θ (t k )]⋅ U refdq (t k ) ua_ref, ub_ref, uc_ref θ(t) [ ] [ ] abc (t k ), θ (t ) = A pdq _ 0 U refdq (t k ), θ (t ) − θ (t k ) A pdq _ 0 U ref ud_ref, uq_ref æ i s0 (t ) ö æ i (t ) ö ç 0 ÷ ç ÷ ç u (t )÷ ç u (t )÷ dq _ 0 dq dq A U t t t ( ) ( ) ( ) , θ θ = − ⋅ p ref k k ç i 0 (t ) ÷ + B p ç i 0 (t ) ÷ ç d ÷ ç d ÷ 0 0 ç i (t ) ÷ ω ⋅ (t − t k ) çè iq (t ) ÷ø è q ø [ U dc ~ Modulateur MLI • 0 s 0 u a _ ref (t k ) ] æ U dc ö ç ÷ ⋅ç 0 ÷ ç K ⋅ω ÷ è Φ ø Les équations d’évolution ne dépendent plus de le période d’échantillonnage considérée 21 Régulation des courants statoriques d’un moteur synchrone à aimants permanents (5) Modèle d’ordre zéro + Élimination de la dynamique du générateur ua is K11 K21 K31 ia + ib uaM Udc ic K12 K22 fa K32 fb ua_ref, ub_ref, uc_ref ud_ref, uq_ref R ea ~ ~ ~ æi ç çi è 0 d 0 q æ − Rs (t )ö÷ çç Ls = (t )÷ø ç − ω ç è • ö ω ÷ 0 0 æ æ ö ( ) (t )ö÷ i t u 0 ö æ 1 1 − d d ÷⋅ç ç ÷ ÷ ç + ⋅ + ⋅ − Rs ÷ ç iq0 (t )÷ Ls çè K Φ ⋅ ω ÷ø Ls ç u q0 (t )÷ è è ø ø Ls ÷ø fc Modulateur MLI Park [θ(t)] L θ(t) dq (t ) = P23 [θ (t )] ⋅ P23−1 [θ (t k )] ⋅ U refdq (t k ) U ref dq U ref (t ) = P22 [ω ⋅ (t − t k )] ⋅ U refdq (t k ) 0 æ id0 (t k +1 )ö æ æu (t )ö (t )ö i d ç 0 ÷ = Φ idq _ 0 ⋅ ç 0 k ÷ + Ψidq _ 0 ⋅ ç d _ ref k ÷ + Γidq _ 0 [K Φ ⋅ ω ] ç i (t )÷ ç i (t )÷ çu ÷ è q k +1 ø èq k ø è q _ ref (t k ) ø 22 Régulation des courants statoriques d’un moteur synchrone à aimants permanents (6) 1) Sans simplification de la dynamique du générateur => système à commutation de structure Modèle détaillé : Te =TMLI æ i s (t k ) ö æ i s (t k +1 ) ö ÷ ç ÷ ç é æ U dc öù ÷ú ç ç u (t k ) ÷ ç u (t k +1 ) ÷ dq dq dq ê dq ( ) ( ) ( ) ( ) U t t , , , 0 U t θ t θ + Γ = Φ ⋅ ÷ú ç p ref k k p ref k k ç i (t )÷ ç i (t )÷ ê ÷ ç ç d k ÷ ç d k +1 ÷ êë è K Φ ⋅ ω øúû ç iq (t k ) ÷ ç i q (t k +1 ) ÷ ø è ø è [ [ ] abc Φ dq p U ref (t k ), θ (t k ) ] Xk tk Xk+1 t t1 …. tj tk+1 Modèle d’ordre zéro : æ i s0 (t k +1 ) ö ç 0 ÷ ç u (t k +1 )÷ dq _ 0 dq U ref (t k ç i 0 (t ) ÷ = Φ p 1 d k + ç ÷ ç i 0 (t ) ÷ è q k +1 ø [ )] æ i s0 (t k ) ö ç 0 ÷ é æ U dc ö ù ÷ú ç ç u (t k )÷ dq _ 0 ê dq , 0 ( ) U t + Γp ⋅ç 0 ÷ú ç ref k ÷ ê ç K ⋅ ω ÷ú ç i d (t k ) ÷ ê øû è Φ ë ç i 0 (t ) ÷ è q k ø Te =TMLI [ ] dq _0 (t k ) Φ dq U ref p Xk Xk+1 t tk tk+1 2) Avec simplification de la dynamique du générateur => système à commande commutée æ i d0 (t k + 1 )ö ÷ ç 0 ç i (t )÷ = Φ 1 + q k ø è dq _ 0 i æ i d0 (t k ⋅ çç 0 è i q (t k )ö÷ + )÷ø Ψ idq _0 æu (t ⋅ çç d _ ref k è u q _ ref (t k )ö÷ + ) ÷ø Γ idq _0 [K Φ ⋅ω ] 23 Régulation des courants statoriques d’un moteur synchrone à aimants permanents (7) Boucle fermée La loi de récurrence est non linéaire et varie de période de commutation en période de commutation Modèle détaillé : ìæ i s (t k +1 ) ö æ i s (t k ) ö ÷ ÷ ç é æ U dc öù ïç ( ) ( ) u t u t ç ÷ú ÷ ç ÷ ç ê 1 + k k dq dq dq dq ï + Γ = Φ ⋅ , , , 0 U t t U t t θ θ ( ) ( ) ( ) ( ) ÷ú p ê ref k k ç p ref k k ç i (t )÷ ïç id (t k +1 )÷ d k ç ÷ ÷ ç ÷ ç ê ïç è K Φ ⋅ ω øúû ë ÷ ç ÷ ( ) ( ) i t i t ïè q k +1 ø è q k ø í æ i s (t k ) ö ï ç ÷ ï dq 0 ö ç u (t k ) ÷ æ i d _ cons (t k )ö æ0 ÷ + Γr [ω ] ÷÷ ⋅ ç + Λ r ⋅ çç ïU ref (t k +1 ) = çç ÷ ÷ ( ) i t _ q cons k è 0 Θ r [ω ]ø ç id (t k )÷ ï è ø ç i (t )÷ ï è q k ø î [ ] • Même type d’équations pour le modèle d’ordre zéro mais la matrice de transition d’état est indépendante de l’angle θ(tk) • Si en plus on supprime la dynamique du générateur on obtient un système à commande commutée æ id0 (t k +1 ) ö æ i d0 (t k +1 ) ö ç 0 ÷ ç 0 ÷ i (t ) i t ( ) ç id (t k +1 ) ÷ ç ÷ d k +1 dq _ 0 dq _ 0 æ d _ cons k ö dq _ 0 ÷ + ΓBF ç = Φ ⋅ + Λ ⋅ BF BF çu ÷ ç ÷ ÷ ç è i q _ cons (t k ) ø ç d _ ref (t k +1 )÷ ç u d _ ref (t k +1 )÷ çu ÷ çu ÷ è q _ ref (t k +1 ) ø è q _ ref (t k +1 ) ø 24 Régulation des courants statoriques d’un moteur synchrone à aimants permanents (8) Procédure proposée pour l’étude de la régulation • Approximer le modèle détaillé par : • le modèle d’ordre zéro + • un modèle approché des ondulations introduit par la MLI • Synthétiser le régulateur et analyser sa stabilité par le modèle d’ordre zéro + Vérifier que les ondulations ne déstabilisent pas le fonctionnement 25 Ondulations dues à la découpe MLI Définition d’un modèle simplifié capable de reproduire approximativement les ondulations dues à la découpe MLI X εp (t ) = X p (t ) − X p0 (t ) • Xεp représente l’influence de la découpe MLI [ ]} { X εp (t ) = A p [ f l (t )] ⋅ X εp (t ) + A p [ f l (t )] − A p Fl 0 ⋅ X p0 (t ) é +∞ j ù B p êå f l (t )ú ë j =1 û ≈ Équations approchées d’évolution de Xεp éh j ù X (t ) = A p Fl ⋅ X (t ) + B p êå f l (t )ú ⋅ X p0 (t ) ë j =1 û • εh p [ ] 0 εh p ≈ 26 Ondulations dues à la découpe MLI X(t) - Xcons Rég + Uref(tk) X0(t) • X i0 (t ) = Ai ⋅ X i0 (t ) + Bi ⋅ S i (t ) + Ci ⋅ U ref (t k ) + + • ≈ é h ù X εph (t ) = Ap Fl 0 ⋅ X εph (t ) + B p êå f l j (t )ú ⋅ X p0 (t ) ë j =1 û [ ] Xε(t) Si on néglige la dynamique du générateur : X(t) - Xcons + Rég Uref(tk) 0 X (t) • X i0 (t ) = Ai ⋅ X i0 (t ) + Bi ⋅ S i (t ) + C i ⋅ U ref (t k ) • h [ ] X iεh (t ) = Ai ⋅ X iεh (t ) + C i ⋅ å f l j U ref (t k ), t ⋅ U u (t ) j =1 + + Xε(t) 27 Influence des ondulations dues à la découpe MLI sur la stabilité du système (1) Cas ou on néglige la dynamique du générateur X(t) Évolution autour du point de régime permanent XR (déterminé par le modèle d’ordre zéro) - Xcons Rég + Uref(tk) 0 X (t) • X i0 (t ) = Ai ⋅ X i0 (t ) + Bi ⋅ S i (t ) + C i ⋅ U ref (t k ) • h [ ] ref _ R + X iεh (t ) = Ai ⋅ X iεh (t ) + C i ⋅ å f l j U ref (t k ), t ⋅ U u (t ) j =1 ∆ X i0_ R (t k ) X iε_h R (t k ) ∆ X i _ R (t k ∆ U ref ∆ I (t k ∆X _R ) r_R ) (t k ) → (t k ) → ∆ X i0_ R (t k + 1 ) → X iε_h R (t k + 1 ) → ∆ X i _ R (t k + 1 ) → ∆ U ref ∆ I (t k + 1 ) → ∆X r_R _R (t k + 1 ) = Φ i ⋅ ∆ X i0_ R (t k ) X iε_h R (t k + 1 ) = Φ i ⋅ X iε_h R (t k ) ∆X 0 i_R ∆ X i _ R (t k + 1 ) = Φ i ⋅ ∆ X i _ R (t k + [ Ψ iε h U + ) Ψ i0 ⋅ ∆ U + [ ref _ R Ψi U , ∆U ref _ R ref _ R , ∆U + + Xε(t) Γ i [S i (t k ,Uu ref _ R ] )] , U u , Si ] (t k +1 ) (t k +1 ) ∆X r_ R (t k + 1 ) = Φ r ⋅ ∆X i_ R (t k ) + Λ r ⋅ ∆X r_ R (t k ) 28 Influence des ondulations dues à la découpe MLI sur la stabilité du système (2) Cas ou on néglige la dynamique du générateur Linéarisation des équations de transition d’état du modèle d’écart de la partie de puissance ∆ X i _ R (t k + 1 ) = Φ i ⋅ ∆ X i_ R [ X iε_h R (t k +1 ) = Φ i ⋅ X iε_h R (t k ) + Ψiεh U ref _ R , ∆U ref _ R , U u [ ] ] [ X iε_h R (t k +1 ) = Φ i ⋅ X iε_h R (t k ) + Ψiεh U ref _ R , U u ⋅ ∆U ref _ R + Γiεh U ref _ R , U u (t k ) + {Ψ i0 [ + Ψ iε h U ref _ R ,Uu ]}⋅ ∆ U ref _ R { + Γ i [S i (t k )] + Γ iε h [U ref _ R ] , Uu ]} Équations de transition d’état du système en boucle fermée : æ ∆ X i _ R (t k + 1 ) ö æ Φ i ç ÷= ç ç ∆X ÷ çΦ ( ) t r_ R k +1 ø è r è [ Ψ i0 + Ψ iε h U 0 ref _ R ] , U u ö æ ∆ X i _ R (t k ) ö æ Γ i [S i (t k ÷+ç ÷⋅ç ÷ ç ∆X ÷ ç t ( ) r_R k ø è ø è )] + Γ iε h [U ref 0 _ R ] , Uu ö ÷ ÷ ø Φ ∆BF Étude des valeurs propres de la matrice de transition d’état en boucle fermée 29 Application à la régulation des courants statoriques d’une machine synchrone à aimants permanents tournant à vitesse constante Équations de transition d’état du modèle d’ordre zéro : æ id0 (t k +1 ) ö ç 0 ÷ ç id (t k +1 ) ÷ æ Φ idq _ 0 çu ÷ = çç ( ) t ç d _ ref k +1 ÷ è Θ r çu ÷ è q _ ref (t k +1 ) ø æ id0 (t k +1 ) ö ç 0 ÷ dq _ 0 ( ) i t ö ç ÷ æ 0 ö æ id _ cons (t k )ö æ Γidq _ 0 [E 0 ]ö Ψi d k +1 ÷ ÷⋅ç ÷+ç ÷ + ç ÷⋅ç ÷ 0 ÷ø ç u d _ ref (t k +1 )÷ çè Λ r ÷ø çè iq _ cons (t k )÷ø çè Γr ø çu ÷ è q _ ref (t k +1 )ø æ −T Φ idq _ 0 = expç MLI è τ Ψidq _ 0 = 1 Rs ö −1 ÷ ⋅ P22 [ω ⋅ TMLI ] ø é æ −T ⋅ ê1 − expç MLI è τ ë öù −1 ÷ú ⋅ P22 [ω ⋅ TMLI ] øû Équations de transition d’état de l’écart par rapport au point de régime permanent : æ idε 2 (t k +1 ) ö ç ε2 ÷ ç iq (t k +1 ) ÷ æ Φ idq _ ε 2 ç ∆u ÷ = çç ( ) t ç d _ ref k +1 ÷ è Θ r ç ∆u ÷ è q _ ref (t k +1 )ø dq _ ε 2 i Ψ [U abc ref (t k ), θ (t k +1 )] æ idε 2 (t k ) ö ç ÷ abc (t k ), θ (t k +1 ) ö÷ ç iqε 2 (t k ) ÷ æç Γidq _ ∆ U refabc (t k ), θ (t k +1 ),U dc Ψi0 + Ψidq _ ε 2 U ref ÷+ç ÷ ⋅ ç ∆u ( ) t 0 2×2 02 d _ ref k ø ç ÷ è ç ∆u ÷ è q _ ref (t k ) ø [ é æ T = 2 ⋅ ê1 − expç − MLI è τ ë ] [ ( ) ( ) ]ö÷ ÷ ø ü ì − cos ϕ ε 1 cos ϕ ε 2 öù −1 abc abc ⋅ W2 U ref _ R + ⋅ W4 U ref ÷ú ⋅ P23 [θ (t k +1 )] ⋅ í _ R ý ⋅ P23 [θ (t k )] ε1 ε2 Z øû þ î Z æω ⋅ L ϕ ε 1 = a tançç MLI a è Ra ö ÷÷ ø [ ] æ 2 ⋅ ω MLI ⋅ La ϕ ε 2 = a tançç Ra è ö ÷÷ ø [ ] 30 Conclusions Dans ce travail : • On a traité de manière précise la modélisation dynamique et l’étude du fonctionnement en boucle fermée des systèmes à convertisseurs électroniques de puissance fonctionnant en MLI • On a montré comment des simplifications peuvent être apportées pour faciliter l’étude du fonctionnement de ces systèmes 31 32 Choix du nombre de termes harmoniques h Onduleur monophasé de tension commandé par MLI K11 ! Hypothèses : • régime permanent Ls Udc • électronique de commande analogique Rs ua U u ref (t ) = dc ⋅ r ⋅ cos(θ ) 2 ìθ = ω ⋅ t ï 2 ⋅U 0 í r = ∈ [0 → 1] ï U dc î ea ~ -0.5.Udc K12 Onde de référence sinusoïdale : +0.5.Udc ua coefficient de réglage en tension Tension au bornes de la charge : +∞ u (t ) = U 0 (t ) + å u j (t ) j =1 avec : valeur moyenne r ⋅ U dc ì 0 ( ) ( ) = ⋅ sin θ U t ïï 2 í ïu j (t ) = 2 ⋅ U dc ⋅ cos( j ⋅ ω MLI ⋅ t ) ⋅ sin é j ⋅ π + j ⋅ π ⋅ r ⋅ sin (θ )ù êë 2 úû ïî 2 j ⋅π harmonique j 33 Choix du nombre de termes harmoniques h Onduleur monophasé de tension commandé par MLI u ji (t ) = U ji m ⋅ cos( ji ⋅ m ⋅ ωt ) + U ji m ± 2 ⋅ cos[( ji ⋅ m − 2 ) ⋅ ωt ] + U ji m ± 2 ⋅ cos[( ji ⋅ m + 2) ⋅ ωt ] + Harmoniques de la tension de sortie de l’onduleur: + U ji m ± 4 ⋅ cos[( ji ⋅ m − 4 ) ⋅ ωt ] + U ji m ± 4 ⋅ cos[( ji ⋅ m + 4) ⋅ ωt ] + ... [ ⋅ sin [( j ⋅ sin [( j ] ⋅ m − 3) ⋅ ωt ] + U ⋅ m − 5 ) ⋅ ωt ] + U [ ⋅ sin [( j ⋅ sin [( j ] ⋅ m + 3) ⋅ ω t ] + ⋅ m + 5) ⋅ ωt ] + ... impaires u j p (t ) = U j p m ±1 ⋅ sin ( j p ⋅ m − 1) ⋅ ωt + U j p m ±1 ⋅ sin ( j p ⋅ m + 1) ⋅ ωt + + U j p m ±3 + U j p m ±5 p p j p m ±3 j p m ±5 p p paires familles d’harmoniques centrées sur des fréquences multiples entiers de la fréquence de commutation Évolution des amplitudes d’harmoniques de tension : ìïU ji m , U ji m ± 2 , U ji m ± 4 ... í ïîU j p m ±1 , U j p m ±3 , U j p m± 5 ... L’harmonique à la fréquence de commutation est prépondérante pour toutes les valeurs de r 34 Choix du nombre de termes harmoniques h Onduleur triphasé de tension commandé par MLI ! Tensions de phase de la machine différentes de tensions de sortie de l’onduleur : i ua 2 . Cf + æ + 2 −1 −1ö æ u a 0 (t )ö æ u a (t )ö ÷ ÷ ç ÷ ç 1 ç ( ) ( ) u t S u t S = ⋅ − + − = ⋅ , 1 2 1 ÷ ç ç b0 ÷ ç b ÷ 3 ç ÷ ç u (t ) ÷ ç u (t ) ÷ è −1 −1 + 2ø è c0 ø è c ø Udc u +0.5.u K11 K31 ua0 uc0 -0.5.u K12 ia L ea R ~ ib ub0 O 2 . Cf K21 K22 ~ ic ~ K32 ! Même forme des tensions de sortie de l’onduleur que l’onduleur monophasé Mêmes harmoniques des tensions de sortie : ìæ u aji0 (t )ö cos[( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ] ö cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ] ö æ æ æ1ö ÷ ç ÷ ç ç ÷ ïç ji ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] u t U j m t U j m t U j m t 1 cos cos 2 2 3 cos 4 2 3 ω m ω π m ω π + ⋅ ⋅ ⋅ ± ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ± = ⋅ ÷ ç ÷ + ... ç ÷ ç ÷ ç ji m i ji m ± 2 i ji m ± 4 i ï b0 ÷ ç j ç cos[( j ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ± 4π 3]÷ ç cos[( j ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ± 4π 3]÷ ç1÷ ï u i (t ) i i ø è ø è è ø ïè c 0 ø í jp ö æ ö æ æ sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt sin ( j p ⋅ m m 1) ⋅ ωt ïæç u a 0 (t )ö÷ ÷ ç ÷ ç ç j ïç u p (t )÷ = U j p m ±1 ⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 1) ⋅ ωt ± 2π 3 ÷ + U j p m ± 3 ⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt ± 2π 3 ÷ + U j p m ± 5 ⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt ± 2π 3 ïç bj0 ÷ ç sin ( j ⋅ m m 5) ⋅ ω ± 2π 3 t ç sin ( j ⋅ m m 3) ⋅ ω ± 2π 3 t ÷ ç sin ( j ⋅ m m 1) ⋅ ω ± 2π 3 t ÷ ïçè u c 0p (t )÷ø p p p ø è ø è è î [ [ [ ] ] ] [ [ [ ] ] ] [ [ [ ] ö ÷ ÷ + ... ÷ ø 35 ] ] Choix du nombre de termes harmoniques h Onduleur triphasé de tension commandé par MLI Le terme harmonique d’ordre j des tensions de phase de la machine s’exprime en appliquant la transformation S au même terme harmonique des tensions de sortie de l’onduleur : ìæ u aji (t )ö cos[( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ] æ ïç ji ÷ U ji m ± 2 ç ⋅ ç cos[( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ± 2π ïç u b (t )÷ = 3 ç cos[( j ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ± 4π ïç u ji (t )÷ i è ïè c ø í jp æ sin ( j p ⋅ m m 1) ⋅ ωt ïæç u a (t )ö÷ U ç j m ± 1 j p ïç u p (t )÷ = ⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 1) ⋅ ωt ± 2π ïç bj ÷ 3 ç sin ( j ⋅ m m 1) ⋅ ωt ± 4π ïçè u c p (t )÷ø p è î [ [ [ ] ö ÷ U j m±4 3]÷ + i 3 3]÷ø ö ÷ U j m ±3 3 ÷+ p 3 3 ÷ø ] ] cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ] ö æ ÷ ç ⋅ ç cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ± 2π 3]÷ + ... ç cos[( j ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ± 4π 3]÷ i ø è [ ] ö æ sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt ÷ U j m±5 ç ⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt ± 2π 3 ÷ + p 3 ç sin ( j ⋅ m m 3) ⋅ ωt ± 4π 3 ÷ p ø è La transformation S élimine les composants de type homo polaire en laissant inchangées celles équilibrées [ [ ] ] [ ] ö æ sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt ÷ ç ⋅ ç sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt ± 2π 3 ÷ + ... ç sin ( j ⋅ m m 5) ⋅ ωt ± 4π 3 ÷ p ø è [ [ ] ] La composante harmonique à la fréquence de commutation est éliminée du spectre harmonique des tensions de phase. Il faut considérer la somme des termes harmoniques à la fréquence de commutation et à deux fois cette fréquence : h = 2 36