1 Introduction

Université Paris 7 - Denis Diderot
2013-2014
TD 10 : Énergie cinétique, travail d’une force
et théorème de l’énergie cinétique
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Introduction
Exercice 1
1. Donner des situations ordinaires (i.e. de la vie quotidienne) qui permettent d’appréhender
une énergie d’un Joule et une puissance d’un Watt.
2. La puissance électrique consommée est donnée par EDF en kW.h. Evaluer la puissance
en kW.h de l’éclairage de votre chambre un soir d’hiver. Sachant qu’en France une famille
consomme ' 7000 kW.h par an, calculer quelle devrait être la puissance d’une ampoule
qui resterait allumée 24 h dans une maison toute une année. Si tous les habitants du
monde consommaient comme les français, calculer la puissance consommée sur terre.
Comparer celle-ci à la puissance effectivement consommée par l’activité humaine qui est
évaluée à ' 15 tW .
3. Une éolienne développe typiquement une puissance mécanique de ' 500 kW . Son rendement est de l’ordre de ' 10%. Calculer le mombre d’éoliennes nécessaire pour la
consommation électrique d’une famille. Evaluer le nombre d’éoliennes nécessaires pour
l’ensemble de la population française. La consommation totale d’électricité en France
(famille+industrie+colectivité+etc) est de ' 4000 tW.h. En déduire qu’il est impossible
aujourd’hui de ne se satisfaire que de l’énergie produite par le vent.
4. Le soleil fournit une puissance de ' 1kW par m2 . Les cellules photovoltaïques ont un
rendement de ' 10%. Calculer la surface de cellule photovoltaïque nécessaire pour une
famille en faisant l’hypothèse que l’ensoleillement est constant durant toute l’année et
que celui-ci est efficace durant 8 h. Etant donnée la consommation totale d’électricité
en France, en déduire qu’il est impossible aujourd’hui de ne se satisfaire que de l’énergie
produite à partir du soleil.
5. Une bille de masse m se dirige droit sur une autre de même masse et au repos dans
le référentiel du laboratoire. Ainsi ~v1 6= ~0 et ~v2 = ~0. Les billes se déplacent dans une
rainure. Les vitesses ne peuvent donc être que selon une seule direction portée par le
vecteur unitaire ~ux . On considère que tous les chocs sont élastiques.
(a) Déterminez les vitesses v~0 1 et v~0 2 après le choc.
(b) Supposons désormais que ~v1 = v~ux et ~v2 = −3v~ux . Déterminez v~0 1 et v~0 2 . Vous
devez trouver deux cas possibles : v~0 1 = −3v~ux et ~v2 = v~ux , et v~0 1 = v~ux et
v~0 2 = −3v~ux . Quel est le problème avec le second cas ?
6. On observe des joueurs de pétanque vus du dessus. Le mouvement des boules de pétanque se réduit donc à un mouvement à deux dimensions dans le plan du terrain du
jeu de boules. C’est un peu comme si les joueurs faisaient rouler les boules plutôt que
de les lancer et qu’on ignorait les frottements du terrain sur les boules.
(a) Supposons qu’un joueur veuille "tirer" une boule de l’équipe adverse (ce qui signifie
vouloir faire dégager cette boule). En considérant que l’énergie cinétique des boules
est conservée, que pouvez-vous dire de l’angle que feront les deux boules après le
choc ?
(b) Si le même joueur veut faire un "carreau" (que sa boule remplace celle de son
adversaire), comment doit-il s’y prendre ? Que deviendra la boule ainsi dégagée ?
(c) Est-il possible de faire un "carreau" avec le cochonnet ?
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Mises en application
Exercice 2
Une voiture de masse m roule à 90kmh−1 sur une route horizontale. A un instant donné,
le conducteur freine brutalement; les roues de la voiture se bloquent et la voiture dérape
jusqu’à s’immobiliser. Sachant que la force de frottement exercée par le sol sur les pneus de
la voiture a pour expression f = µd N (où N est la composante normale de la réaction du
sol sur la voiture et µd désigne le coefficient de frottement dynamique):
1. Donner l’expression de N en fonction de la masse de la voiture et de la constante g.
2. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, exprimer le travail de la force de frottement pendant le temps du freinage.
3. Exprimer la distance de freinage en fonction des données de l’énoncé. Donner sa valeur.
4. Donner la valeur du facteur multiplicatif de la distance de freinage si la vitesse de la
voiture est multipliée par 2.
Application numérique : µd = 0, 8, g = 9, 8ms−1
Exercice 3
Un corps de masse m est astreint à se déplacer sans frottement en ligne droite. Il possède
une vitesse initiale v~0 . Une force F~ agit sur ce corps pendant un temps T au cours duquel
elle reste constante.
1. Exprimer la distance d parcourue par le corps pendant le temps T en fonction de F , v0 ,
T , et m.
2. Calculer le travail accompli par la force.
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3. Quel est l’accroissement de l’énergie cinétique ? Donner l’énergie cinétique finale.
Application numérique : F = 100N , T = 10s, m = 1kg, v0 = 2ms−1
Exercice 4
Une force horizontale F~ est appliquée à un bloc de masse m. Celui-ci se déplace à vitesse
constante sur une distance l le long d’un plan incliné formant un angle θ avec l’horizontale
(voir figure ci-dessous). Si le glissement s’effectue sans frottement, quel est le travail effectué
par la force F~ ?
Exercice 5
1. On lance un bille verticalement et vers le bas avec une vitesse v0 depuis une hauteur h0
du sol. Calculer la vitesse v1 de la bille juste avant l’impact avec le sol.
2. On lance la même bille avec la même vitesse v0 de puis la même hauteur h0 , mais cette
fois-ci, en direction du ciel. Calculer la vitesse v10 de la bille juste avant l’impact avec le
sol.
3. Quelle est la vitesse v20 de cette bille lorsqu’elle repasse (lors de sa descente) à la hauteur
h0 .
4. On lance maintenant la bille horizontalement avec la même vitesse v0 depuis la même
hauteur h0 du sol. Calculer la vitesse v30 de la bille juste avant l’impact avec le sol.
Exercice 6
1. Calculer l’énergie cinétique puis la puissance moyenne acquise par une bouteille d’un
litre d’eau lors de sa chute d’une table. Calculer le travail de la force de pesanteur.
2. La bouteille a été renversée sur la table. Sa vitesse au départ de la chute, v0 , est
horizontale. Mêmes questions que précédemment.
3. La bouteille a été bousculée sur la table et sa vitesse au départ de la chute, v0 , fait un
angle de 45 deg par rapport à un axe vertical. Mêmes questions que précédemment.
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4. La bouteille tombe de la table sur un plan incliné à −45 deg par rapport à l’horizontale.
On néglige les frottements. Mêmes questions que précédemment.
5. On choisit de mettre le 0 en énergie au niveau de la table. La bouteille chute de la table
sans vitesse initiale. Mêmes questions que précédemment.
Exercice 7
1. La puissance nécessaire à un mammifère pour simplement survivre dans son environnement est donnée par la loi (approximative) de Kleiber, P = αM 3/4 où α est une
constante qui vaut 4 W.kg −3/4 . Calculer l’énergie consommée par un homme en une
journée. Sachant que l’on ingurgite chaque jour ' 2500 kCal, calculer l’énergie que l’on
absorbe en une journée. La différence entre ces deux énergies permet d’avoir des activités
physiques de loisir et de travailler dur. Calculer la puissance que l’on peut consacrer à
ceux-ci.
2. Calculer la puissance développée par Usain Bolt durant le 100 m. Le record du monde
d’haltérophilie est de 214 kg à l’arraché. Calculer la puissance développée par l’athlète
sachant que le mouvement se fait en ' 4 secondes. Etant donnés les résultats que
vous venez de calculer, expliquer pourquoi le gagnant du Tour de France qui a réussi à
développer 470 W durant 1/2 heure n’est pas un humain.
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Approfondissement
Exercice 8
1. On jette un obus de masse m vers le haut avec une vitesse initiale v0 . Jusqu’à quelle
hauteur va-t-il monter ?
2. Trouver la valeur minimale de la vitesse d’un objet de masse m nécessaire pour quitter la
surface de la Terre, sans y retourner (ie : vitesse de libération). Dṕend-elle de la masse
de l’obus ? Et l’é́nergie qu’il faut fournir pour l’y envoyer en dṕend-elle ?
3. Quelle serait cette vitesse de libération du la Lune ?
4. Quelle vitesse doit-on communiquer à une fusée de masse m0 pour qu’elle parvienne sur
la Lune ? A quelle vitesse arrive-t-elle sur la Lune ?
5. Avec quelle vitesse minimale cette même fusée doit-elle décoller de la Lune pour pouvoir
revenir sur Terre. Avec quelle vitesse atteint-elle la couche supérieure de l’atmosphère
terrestre ?
6. Peut-on, à partir de la vitesse de libŕation, comprendre qualitativement pourquoi la
Terre est entourée d’un atmosphère gazeuse et non la Lune ?
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7. Quel devrait-être le rayon du Soleil pour qu’aucun objet (pas même la lumière) ne puisse
s’en é́chapper ?
Application numérique : MT = 6.1024 kg (masse de la Terre), RT = 6400km (rayon
de la Terre), G = 6, 67.10−11 m3 s−2 kg −1 (constante de gravitation), MT = 81.ML (ML masse
de la Lune), RT = 3, 7.RL (RL rayon de la Lune), dT L ≈ 60.RT (dT L distance Terre-Lune).
Exercice 9
1. On élève verticalement à une hauteur h de façon uniformément accélérée un objet de
masse m initialement posé sur le sol. Calculer le travail que l’on doit fournir. Calculer
l’énergie transférée à la masse. Calculer la puissance moyenne développée par la personne
qui soulève l’objet. Comment minimiser cette puissance ?
2. On cherche le travail qu’il a fallu fournir pour construire une pyramide en Egypte. Cette
pyramide a une base carrée de longueur l et une hauteur h. Elle est pleine et composée
de pierres d’épaisseur infinitésimale dz dont la masse volumique ρ est constante. Ces
pierres sont toutes posées sur le sol. Quelle est la masse de la couche de pierre à ajouter
pour passer de z à z + dz ? Calculer le travail pour placer cette couche de pierres.
Exprimer le travail total en fonction de la masse totale de la pyramique (on rappelle que
le volume d’une pyramide est v = l2 h/3).
Exercice 10
Une bille lâchée sans vitesse initiale depuis une hauteur h rebondit sur le sol.
1. On définit le coefficient de restitution k comme le rapport entre les vitesses juste après
et juste avant le choc. Entre quelles valeurs limites k est-il compris ? Quels types de
choc ces limites définissent-elles ?
2. La bille subit un grand nombre de rebonds successifs jusqu’à ce qu’elle s’immobilise.
Déterminer la distance totale verticale parcourue D et le temps T écoulé jusqu’à l’immobilisation.
On évaluera ces deux termes dans le cas d’une bille d’acier tombant de 1 mètre sur de
l’acier (k = 0, 9) en négligeant les frottements de l’air.
Exercice 11
Une balançoire est attachée à une haute branche d’un noyer. Sa position est repérée par
l’angle que fait la corde avec la verticale, orientée vers le bas. Malheureusement une branche
basse bloque la corde au quart de sa hauteur dans son mouvement d’un côté. Ainsi, quand
l’angle de la corde avec la verticale est positif (on le note ψ), la longueur de la corde est
L; quand l’angle est négatif (on le notera alors φ), la longueur est L/4 (voir figure). Vous
placez sur la balançoire votre petit cousin, supposé ponctuel et de masse m. On néglige tout
frottement.
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1. On soulève la balançoire jusqu’à un angle initial φ0 > 0.
(a) A quelle hauteur h au dessus de la position d’équilibre se trouve votre petit cousin?
(b) On lâche le tout sans vitesse initiale. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique,
déterminer la vitesse linéaire au passage par la verticale.
2. On considère maintenant le mouvement de l’autre côté de la verticale, quand la longueur
de la corde vaut L/4.
(a) Toujours avec le théorème de l’énergie cinétique, déterminer la hauteur au-dessus
de la position d’équilibre à laquelle l’enfant monte de l’autre coté. Préciser à quelle
condition ce résultat est valable.
(b) A quel angle maximum ψ1 est-ce que cela correspond?
3. On cherche l’équation horaire du mouvement de l’enfant pour les valeurs positives de
l’angle de la corde avec la verticale.
(a) En projetant le PFD sur un axe que vous préciserez, établir l’équation différentielle
régissant φ(t).
(b) À quelle condition peut-on l’écrire sous la forme :
d2 φ g
+ φ(t) = 0
dt2
l
(c) L’origine des temps t = 0 est choisie à l’instant où on lâche la balançoire. Donner
l’équation horaire φ(t) du mouvement. Préciser la valeur de l’amplitude A et de la
pulsation ω0 .
(d) A quel instant t1 la balançoire arrive-t-elle pour la première fois à la verticale φ = 0
(e) Quelle est alors la vitesse angulaire φ(t1 ) ? Quelle est la vitesse linéaire de la
balançoire?
Exercice 12
Avec les seules photographies de la première explosion nuclŕaire (“Trinity Test”, Alamogordo, 16 Juillet 1945) (cf. figures 1 et 2) publid́es par l’arlée, G.I. Taylor parvint à
estimer l’é́nergie (ou la “puissance”, comme on dit dans les média) produite (The formation
of a blast wave by a very intense explosion. II. The atomic explosion of 1945, Proc. Roy.
Soc. 201 (1950) p. 175).
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Les photographies donnaient le rayon de l’onde de choc en fonction du temps, r(t), dont
le comportement devait être dominé par l’apport initial d’é́nergie et par la masse volumique
du milieu non perturbé. La longueur de référence indiquée sur ces photographies est de
100 m. Les temps sont inscrits sur les photographies, sauf sur celle intermédiaire prise à
15 ms.
1. Pourriez-vous, à l’instar de Taylor, et en utilisant l’analyse dimensionnelle, estimer la
forme de la loi r(t) ?
2. On va vérifier que cette loi explique raisonnablement les donnd́es expérimentales (autrement
dit les photos). On tracera pour cela la courbe log(r) = log(t). Expliquez l’intérêt de
passez aux logarithmes et montrer que la théorie explique bien les résultats observés.
3. Dénduire de ce qui précède la valeur typique de l’é́nergie dégagée par l’explosion (montrant ainsi que le secret militaire américain le mieux gardé é́tait en fait publié).
4. Votre estimation pèche-t-elle plutôt par excès ou par df́aut ?
5. Estimez la masse de matière fissile nécessaire. On utilisera pour cela le fait que la fission
d’un atome d’Uranium libère environ 215 MeV.
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Figure 1: Photographies de l’explosion nucléaire.
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Figure 2: Photographies de l’explosion nucléaire (suite et fin).
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