La géométrie non-euclidienne - E

La géométrie non-euclidienne
Autor(en): Isely, L.
Objekttyp: Article
Zeitschrift: Bulletin de la Société des Sciences Naturelles de Neuchâtel
Band (Jahr): 24 (1895-1896)
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-88386
PDF erstellt am: 25.05.2017
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Séance du 9janvier 1896
LA GEOMETRIE MV-EICLIDIEME
Par L. ISELY, Professeur
Cette appellation, introduite par Gauss dans les
mathématiques, pourrait s'appliquer àtoutes les ques¬
tions qui ne se trouvent pas directement traitées dans
les Eléments de l'illustre géomètre grec. Telles seraient,
malgré les suppositions de Chasles sur le traité perdu
des Porismes, la théorie de l'involution, celle de l'ho-
mologie et de l'homographie, le principe de conti¬
nuité, et surtout celui des polaires réciproques ou de
dualité, le plus beau fleuron de la géométrie du XIXme
siècle. On ypourrait aussi faire rentrer la notion si
féconde de l'infini, qui permet, entre autres, en con¬
sidérant le plan comme une sphère de rayon infini,
de déduire la trigonométrie rectiligne de la trigono¬
métrie sphérique, dont elle n'est qu'un cas particu¬
lier. Mais tel n'est pas le sens donné par les géomè¬
tres contemporains àl'expression de géométrie non-
euclidienne. Ils comprennent sous ce titre un certain
nombre de considérations relatives àla théorie des
parallèles et aux questions connexes. On sait que
dans la géométrie euclidienne cette théorie repose
sur l'axiome XI, improprement connu sous le nom
de postulatimi. Celui-ci s'énonce généralement comme
il suit: aSi deux droites font avec une sécante deux
angles internes d'un même côté, dont la somme est

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inférieure àdeux droits, ces lignes, prolongées suffi¬
samment, se rencontreront»; ou, ce qui revient au
même :«Par un point donné, on ne peut mener
qu'une parallèle àune droite. »
Bien des géomètres, depuis Proclus, ont tenté de
démontrer apriori l'axiome XI (ou 5me postulat)
d'Euclide. Il convient de mentionner sous ce rapport
les recherches de Nassir-ed-Din, astronome arabe du
XIlIme siècle; de John Wallis, l'habile mathématicien
anglais, qui, dans un cours public fait àOxford le
11 juillet 1663, captiva l'attention de ses auditeurs
par une démonstration ingénieuse et subtile de cet
axiome. Saccheri (1733), que quelques-uns considè¬
rent comme le précurseur de Lobatschewsky, et Lam¬
bert, dans un ouvrage posthume paru en 1780, don¬
nèrent une grande extension àla théorie des parallèles
et s'occupèrent d'une façon toute spéciale de la vali¬
dité du postulatum euclidien1. Tout dernièrement
encore, aparu une démonstration assez concluante
de prime abord, due àM. Frolov, membre de la So¬
ciété mathématique de France.
Ces démonstrations reviennent, en général, àad¬
mettre que la droite n'a qu'un point réel àl'infini,
hypothèse qui n'est qu'une simple conséquence de
l'axiome XI. L'on tourne ainsi dans un cercle vicieux.
«Il faut, dit Hoùel, reléguer parmi les chimères l'es¬
poir que nourrissent encore tant de géomètres de
parvenir àdémontrer le postulat d'Euclide autrement
que par l'expérience. Désormais, ces tentatives devront
1Pour les détails, consulter l'ouvrage très complet et très intéres¬
sant de MM Engel et Stäckel, intitulé: Die Theorie der Parallelli¬
nien von Euklid bis auf Gauss, Leipzig, 189Ô, ainsi que The His¬
tory of modem Mathematics, de M. D.-E. Smith, New-York, 1896.

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être mises au même rang que la quadrature du cercle
et le mouvement perpétuel. »
Le but des non-Kuclidiens est de prouver, en oppo¬
sition àl'axiome XI, qu'il n'existe apriori aucune
raison d'affirmer qu'on ne puisse mener, par un même
point, qu'une seule droite ne rencontrant pas une
droite donnée dans le même plan. D'illustres géomè¬
tres ont fait des recherches dans ce sens. Après avoir
reconnu dans la première édition de ses Eléments,
publiée en 1794, que l'axiome XI équivaut au théo¬
rème qui dit que la somme des angles d'un triangle
est égale àdeux droits, Legendre prouve dans des
éditions ultérieures que cette somme ne peut sur¬
passer deux droits et que, si dans un triangle quel¬
conque elle vaut deux droits, il en est de même dans
tous les triangles (1833). Par contre, il éprouve quel¬
que difficulté àdémontrer qu'elle ne peut être infé¬
rieure àdeux droits.
La théorie des parallèles avait aussi été, pendant
plus d'un demi-siècle, l'objet des méditations de
Gauss, comme cela ressort de plusieurs passages de
sa correspondance avec Schumacher. Le 17 mai 1831,
il écrivait :«Depuis quelques semaines, j'ai commencé
àmettre par écrit quelques résultats de mes propres
méditations sur ce sujet, qui remontent en partie à
quarante ans, et dont je n'avais jamais rien rédigé,
ce qui m'a forcé trois ou quatre fois àrecommencer
tout le travail dans ma tête. Je ne voudrais pourtant
pas que tout cela périt avec moi! '» Hoiiel, en 1867,
fait suivre sa traduction de cette lettre d'une remarque
conçue en ces termes :«En parcourant la table des
1Ich wünschte doch, dass es nicht mit mir unterginge.

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matières que doit contenir le quatrième volume de
l'édition des Œuvres de Gauss, publiée en ce moment
par l'Académie de Gœttingue, nous n'avons vu an¬
noncer aucun article qui parût se rapporter au projet
annoncé ici par le grand géomètre. Il serait bien re¬
grettable que ces recherches si profondes et si origi¬
nales eussent péri avec lui!» M. Stäckel, en 1895, ne
peut que confirmer cette remarque. Ainsi, malheu¬
reusement pour la géométrie, Gauss ne donna aucune
suite àson projet, et, àl'exception de quelques notes
éparses çà et là, entre autres dans les Gelehrte An¬
zeigen de Gœttingue, tout apéri avec lui. Le 28 no¬
vembre 1846, il écrit encore: «J'ai eu dernièrement
occasion de relire l'opuscule de Lobatschewsky, inti¬
tulé Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Pu-
rallellinien, Berlin, 1840. Cet opuscule contient les
éléments de la géométrie qui devrait exister si la
géométrie euclidienne n'était pas vraie. Un certain
Schweikardt 'adonné àcette géométrie le nom de
géométrie astrale, Lobatschewsky, celui de géométrie
imaginaire. Vous savez que, depuis cinquante-quatre
ans (depuis 1792), je partage les mêmes convictions,
sans parler ici de certains développements qu'ont
reçus, depuis, mes idées sur ce sujet. Je n'ai donc
trouvé dans l'ouvrage de Lobatschewsky aucun fait
nouveau pour moi; mais l'exposition est toute diffé¬
rente de celle que j'avais projetée, et l'auteur atraité
la matière de main de maître et avec le véritable
esprit géométrique. Je crois devoir appeler votre
attention sur ce livre, dont la lecture ne peut man¬
quer de vous causer le plus vif plaisir. »
1Autrefois àMarbourg, maintenant professeur de jurisprudence à
Königsberg. (Note de Gauss.)