Le nombre d`or

Le nombre d’or
1 Approche géométrique
Le nombre a été d’abord initialement défini en géométrie.
Soit deux longueurs aet bavec a > b. Le nombre d’or exprime une proportion telle que le rapport de a
sur best égal à celui de la somme a+bsur la plus grande des deux longueurs, c’est-à-dire a. Ce nombre
est habituellement désigné par la lettre φ.
φ=a
b=a+b a
1.1 Le triangle d’or
On peut illustrer cette définition par le biais de triangles. On sait que deux triangles sont semblables s’ils
ont des angles correspondants isométriques ou des côtés dont les longueurs sont proportionnelles. C’est
ce dernier point que nous retiendrons. Cependant, notre définition ne fait intervenir que deux longueurs
distinctes et c’est pour cela que nous allons nous restreindre à des triangles isocèles qui présentent au
plus deux longueurs distinctes.
La proportion pose l’égalité du rapport des longueurs des côtés de deux triangles semblables. L’un des
triangles, le plus grand, a des côtés de longueur a+bet a, et l’autre a des côtés de longueur aet b. Cela
permet d’envisager deux situations
Le grand triangle a deux côtés isométriques de
longueur a+b
A D
aB
C
a
a
b
a+b
Le grand triangle a deux côtés isométriques de
longueur a
ADB
a
C
aa
b
b
Le triangle ABC est le triangle qui a deux côtés
isométriques de longueur a+b. Un de ces cô-
tés est composé de deux segments de longueur
respective aet b. C’est sur le dernier que l’on
construit le 2etriangle, semblable au premier :
il a déjà un 2ecôté qui est [BC]et son 3ecôté
[CD]ne peut qu’avoir une longueur de a.
Question 1 : Pourquoi?
Dans ce cas, le 3ecôté a pour longueur a+b
et c’est sur sa partie de longueur bque l’on
construit le 2etriangle semblable au grand. Le
2ecôté [BC]est de longueur aet son 3ecôté
[DC]ne peut avoir que bpour longueur.
Ces triangles sont appelés triangles d’or.
Question 2 : Trouver la mesure des angles d’un triangle d’or.
Question 3 : Que vaut φ=a
b?
Pour y répondre, il faut résoudre la proportion a+b
a=a ben x=a b. En d’autres termes, substituer, a bpar
x. Résoudre ensuite l’équation quadratique obtenue.
La solution positive de cette équation quadratique est le nombre d’or. En fait, cette équation en xfournit
la définition algébrique du nombre d’or et elle est équivalente à celle exprimant que l’inverse de xest
égal à x−1.
1

Question 4 : Justifier cette affirmation et expliquer ce qu’on peut en déduire sur la partie décimale
de 1
xet x?
1.2 Le rectangle d’or
Un rectangle dont les côtés aet bont des longueurs qui sont dans le rapport φest appelé rectangle d’or.
En voici une construction
b
Ma
b
Comme avant, on prend a > b. On commence
par construire un carré de côté b, puis le mi-
lieu Mde la base de ce carré, est utilisé comme
centre d’un arc de cercle passant par les som-
mets opposés du carré. L’endroit où cet arc in-
tercepte la droite portée par la base du carré
donne la longueur du rectangle.
Question 5 : Expliquer pourquoi le rapport a
b
est bien φ.
2 À la recherche d’une conjecture avec la calculatrice
1. La suite se fait avec la calculatrice. Mais d’abord, il faut la préparer
(a) À partir de la page d’accueil, choisir Nouveau pour ouvrir un nouveau classeur. Éventuelle-
ment, sauvegarder le classeur en cours qui n’est pas encore enregistré.
(b) Créer dans ce classeur une page de calcul et une autre de tableur. Pour créer une nouvelle
page dans un classeur, il suffit de presser sur la touche DOC et de choisir l’option Insertion.
Une autre possibilité est de diriger le curseur vers le titre du classeur et cliquer dessus, puis
de choisir l’option Insertion.
(c) Sur la page de calcul, définir le nombre d’or en tapant « o:=(1 + √5)/2». On peut faire
apparaître directement la barre de fraction en tapant Ctrl ÷.
(d) Régler votre classeur pour afficher les nombres en « Flottant 8 » via Doc ->Réglage ...
(e) Calculer o2et faire afficher la valeur en écriture décimale avec Ctrl enter ou en plaçant un point
décimal sur un nombre o2.(ne marche pas toujours) ou encore avec la commande Decimal
placée après l’expression à convertir.
(f) Faire un tableau sur la page tableur de votre classeur et reporter les résultats sur cette feuille
n φn◮Decimal entier inle plus proche |φn−in|
1 1,618034 2 0,38196601
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. Formuler une conjecture à partir du tableau en considérant les valeurs des puissances de φ.
3. Contrôler votre conjecture avec des valeurs n= 20 ou plus. Que faut-il en conclure.
2

3 Traitement mathématique de la conjecture
1. On reprend l’équation trouver plus haut : x2−x−1 = 0.
Montrer que la 2esolution, outre φ, est ψ=−1
φ.
2. Déduire de 1. que φet ψsatisfont les relations
(1) φ2=φ+ 1 et (2) ψ= 1 −φ
3. Utiliser les relations (1) et (2) pour faire les calculs suivants
φ2=φ+ 1
φ3=φ·φ2=φ(φ+ 1) = φ2+φ=φ+ 1 + φ= 2φ+ 1
φ4=φφ3=
φ5=
φ6=
φ7=
ψ= 1 −φ
ψ2= (1 −φ)(1 −φ) = 1 −2φ+φ2= 1 −2φ+φ+ 1 = 2 −φ
ψ3=ψψ2= (1 −φ)(2 −φ) = 2 −3φ+φ2= 2 −3φ+φ+ 1 = 3 −2φ
ψ4=ψψ3
ψ5=
ψ6=
4. Quelle conjecture peut-on formuler sur les valeurs de φ2et ψn?
φn=ψn=
5. Démontrer par récurrence sur nces deux conjectures.
6. Finalement, démontrer la conjecture formulée au terme de l’activité avec la calculatrice en consi-
dérant φn+ψnet en estimant la valeur de ψnpour ngrand.
4 Pentagone et pentagramme
On trace un cercle de rayon donné aet de diamètre
OP1. Soit bun nombre inférieur à aet tel que leur
rapport est égal au nombre d’or : φ=a
b. On va main-
tenant placer les points suivants P2, ..., P5du penta-
gone où l’indice donne l’ordre de placement.
– On trace le cercle centré en Oet de rayon b.
– L’intersection de ce cercle avec le cercle de dé-
part donne les points P2et P3.
Question 5 Pourquoi ces points sont-ils sur
un pentagone? Considérer pour cela les angles
du triangle OAP1.
Question 6 Si b= 1, que vaut a?[OP4]?
– On trace un 3ecercle centré en Ode rayon a+
b. L’intersection de ce cercle avec le cercle de
base donnent les points P4et P5.
Question 7 Pourquoi ces points sont-ils sur
le pentagone? Considérer pour cela la nature
du triangle OAP4et ses angles.
OAP1
a
P2
P3
P4
b
P5
3

Pour obtenir le segment de longueur b, on fait la construction suivante :
A BM
O
F
P2P3
P1
C
Dans le cercle de rayon a, on considère le rayon
[AB]et son milieu M.
– On trace le cercle centré en Met de rayon
[MO].
– À l’intersection avec le diamètre [BC], on
a le point F. La longueur AF est la lon-
gueur brecherché.
Analyser la figure suivante (tiré de Wikipedia http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/
NbOrEtoi.htm\#etoile).
Elle est construite à partir d’un triangle
d’or dont la moitié est colorié en bleu sur
la figure ci-contre. Sa base vaut 1 et ses
autres côtés φ≃1,618.
Question 8 Comment obtient-on le
pentagone à partir du triangle
d’or (raisonner sur les angles de ce
triangle)?
Question 9 Que vaut le côté du penta-
gone en terme de φ?
Question 10 Que vaut le rapport d’une
diagonale du pentagone avec son
côté?
Question 11 Si l’étoile représente un
homme pieds et bras écartés, où se
trouve son nombril sachant que le
rapport entre la taille d’un homme
et la hauteur de son nombril est le
nombre d’or?
Par le symbole du cercle et du carré, cette illustration situe l’homme comme intermédiaire entre le ciel
et la terre, comme lien entre l’immatériel et le matériel.
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