Le nombre d`or

Le nombre d’or
1
Approche géométrique
Le nombre a été d’abord initialement défini en géométrie.
Soit deux longueurs a et b avec a > b. Le nombre d’or exprime une proportion telle que le rapport de a
sur b est égal à celui de la somme a + b sur la plus grande des deux longueurs, c’est-à-dire a. Ce nombre
est habituellement désigné par la lettre φ.
φ=
1.1
a+b
a
=
b
a
Le triangle d’or
On peut illustrer cette définition par le biais de triangles. On sait que deux triangles sont semblables s’ils
ont des angles correspondants isométriques ou des côtés dont les longueurs sont proportionnelles. C’est
ce dernier point que nous retiendrons. Cependant, notre définition ne fait intervenir que deux longueurs
distinctes et c’est pour cela que nous allons nous restreindre à des triangles isocèles qui présentent au
plus deux longueurs distinctes.
La proportion pose l’égalité du rapport des longueurs des côtés de deux triangles semblables. L’un des
triangles, le plus grand, a des côtés de longueur a + b et a, et l’autre a des côtés de longueur a et b. Cela
permet d’envisager deux situations
Le grand triangle a deux côtés isométriques de
longueur a + b
b
Le grand triangle a deux côtés isométriques de
longueur a
C
C
b
a+b
a
a
a
a
b
b
b
A
b
a
D
A
b
b
b
a
D
b
b
B
B
Le triangle ABC est le triangle qui a deux côtés
Dans ce cas, le 3e côté a pour longueur a + b
isométriques de longueur a + b. Un de ces côet c’est sur sa partie de longueur b que l’on
tés est composé de deux segments de longueur
construit le 2e triangle semblable au grand. Le
respective a et b. C’est sur le dernier que l’on
2e côté [BC] est de longueur a et son 3e côté
construit le 2e triangle, semblable au premier :
[DC] ne peut avoir que b pour longueur.
il a déjà un 2e côté qui est [BC] et son 3e côté
[CD] ne peut qu’avoir une longueur de a.
Question 1 : Pourquoi?
Ces triangles sont appelés triangles d’or.
Question 2 :
Trouver la mesure des angles d’un triangle d’or.
Question 3 : Que vaut φ = ab ?
Pour y répondre, il faut résoudre la proportion a+b
a =
x. Résoudre ensuite l’équation quadratique obtenue.
a
b
en x = ab . En d’autres termes, substituer,
a
b
par
La solution positive de cette équation quadratique est le nombre d’or. En fait, cette équation en x fournit
la définition algébrique du nombre d’or et elle est équivalente à celle exprimant que l’inverse de x est
égal à x − 1.
1
Question 4 :
de x1 et x?
1.2
Justifier cette affirmation et expliquer ce qu’on peut en déduire sur la partie décimale
Le rectangle d’or
Un rectangle dont les côtés a et b ont des longueurs qui sont dans le rapport φ est appelé rectangle d’or.
En voici une construction
Comme avant, on prend a > b. On commence
par
construire un carré de côté b, puis le mib
lieu M de la base de ce carré, est utilisé comme
centre d’un arc de cercle passant par les sommets opposés du carré. L’endroit où cet arc intercepte la droite portée par la base du carré
b
donne la longueur du rectangle.
b
b
b
b
M
2
b
Question 5 : Expliquer pourquoi le rapport
est bien φ.
b
a
b
a
À la recherche d’une conjecture avec la calculatrice
1. La suite se fait avec la calculatrice. Mais d’abord, il faut la préparer
(a) À partir de la page d’accueil, choisir Nouveau pour ouvrir un nouveau classeur. Éventuellement, sauvegarder le classeur en cours qui n’est pas encore enregistré.
(b) Créer dans ce classeur une page de calcul et une autre de tableur. Pour créer une nouvelle
page dans un classeur, il suffit de presser sur la touche DOC et de choisir l’option Insertion.
Une autre possibilité est de diriger le curseur vers le titre du classeur et cliquer dessus, puis
de choisir l’option Insertion.
√
(c) Sur la page de calcul, définir le nombre d’or en tapant « o:=(1 + 5)/2». On peut faire
apparaître directement la barre de fraction en tapant Ctrl ÷.
(d) Régler votre classeur pour afficher les nombres en « Flottant 8 » via Doc ->Réglage ...
(e) Calculer o2 et faire afficher la valeur en écriture décimale avec Ctrl enter ou en plaçant un point
décimal sur un nombre o2. (ne marche pas toujours) ou encore avec la commande Decimal
placée après l’expression à convertir.
(f) Faire un tableau sur la page tableur de votre classeur et reporter les résultats sur cette feuille
n
φn ◮ Decimal
entier in le plus proche
1
1,618034
2
|φn − in |
0,38196601
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. Formuler une conjecture à partir du tableau en considérant les valeurs des puissances de φ.
3. Contrôler votre conjecture avec des valeurs n = 20 ou plus. Que faut-il en conclure.
2
3
Traitement mathématique de la conjecture
1. On reprend l’équation trouver plus haut : x2 − x − 1 = 0.
Montrer que la 2e solution, outre φ, est ψ = − φ1 .
2. Déduire de 1. que φ et ψ satisfont les relations
(1)
φ2 = φ + 1
et
(2)
ψ =1−φ
3. Utiliser les relations (1) et (2) pour faire les calculs suivants
φ2 = φ + 1
φ3 = φ · φ2 = φ(φ + 1) = φ2 + φ = φ + 1 + φ = 2φ + 1
φ4 = φφ3 =
φ5 =
φ6 =
φ7 =
ψ =1−φ
ψ 2 = (1 − φ)(1 − φ) = 1 − 2φ + φ2 = 1 − 2φ + φ + 1 = 2 − φ
ψ 3 = ψψ 2 = (1 − φ)(2 − φ) = 2 − 3φ + φ2 = 2 − 3φ + φ + 1 = 3 − 2φ
ψ 4 = ψψ 3
ψ5 =
ψ6 =
4. Quelle conjecture peut-on formuler sur les valeurs de φ2 et ψ n ?
φn =
ψn =
5. Démontrer par récurrence sur n ces deux conjectures.
6. Finalement, démontrer la conjecture formulée au terme de l’activité avec la calculatrice en considérant φn + ψ n et en estimant la valeur de ψ n pour n grand.
4
Pentagone et pentagramme
On trace un cercle de rayon donné a et de diamètre
OP1 . Soit b un nombre inférieur à a et tel que leur
rapport est égal au nombre d’or : φ = ab . On va maintenant placer les points suivants P2 , ..., P5 du pentagone où l’indice donne l’ordre de placement.
– On trace le cercle centré en O et de rayon b.
– L’intersection de ce cercle avec le cercle de départ donne les points P2 et P3 .
Question 5 Pourquoi ces points sont-ils sur
un pentagone? Considérer pour cela les angles
du triangle OAP1 .
Question 6 Si b = 1, que vaut a? [OP4 ]?
– On trace un 3e cercle centré en O de rayon a +
b. L’intersection de ce cercle avec le cercle de
base donnent les points P4 et P5 .
Question 7 Pourquoi ces points sont-ils sur
le pentagone ? Considérer pour cela la nature
du triangle OAP4 et ses angles.
3
P4
b
P3
b
b
O
A
b
b
b
a
b
P2
b
P5
P1
Pour obtenir le segment de longueur b, on fait la construction suivante :
O
b
P2
C
b
b
b
F
b
A
b
b
M
P3
b
Dans le cercle de rayon a, on considère le rayon
[AB] et son milieu M .
– On trace le cercle centré en M et de rayon
[M O].
– À l’intersection avec le diamètre [BC], on
a le point F . La longueur AF est la longueur b recherché.
B
b
P1
Analyser la figure suivante (tiré de Wikipedia http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/
NbOrEtoi.htm\#etoile).
Elle est construite à partir d’un triangle
d’or dont la moitié est colorié en bleu sur
la figure ci-contre. Sa base vaut 1 et ses
autres côtés φ ≃ 1,618.
Question 8 Comment obtient-on le
pentagone à partir du triangle
d’or (raisonner sur les angles de ce
triangle)?
Question 9 Que vaut le côté du pentagone en terme de φ?
Question 10 Que vaut le rapport d’une
diagonale du pentagone avec son
côté?
Question 11 Si l’étoile représente un
homme pieds et bras écartés, où se
trouve son nombril sachant que le
rapport entre la taille d’un homme
et la hauteur de son nombril est le
nombre d’or?
Par le symbole du cercle et du carré, cette illustration situe l’homme comme intermédiaire entre le ciel
et la terre, comme lien entre l’immatériel et le matériel.
4