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BCPST - Travaux Dirigés n°3, Octobre 2016
Optique Géométrique
Questions de cours
- Est-il possible d'obtenir une image virtuelle en utilisant une lentille convergente ? Représenter la situation.
- Représenter trois rayons issus d’un point objet conjugué d’un point image dont on sait qu’il est situé dans
le plan focal image d’une lentille convergente. Idem pour une lentille divergente.
- Tracer le rayon émergent correspondant à un rayon incident quelconque coupant une lentille divergente au
point I.
- Tracer le rayon incident correspondant à un rayon émergent quelconque coupant une lentille divergente au
point I.
- Montrer par construction les observations suivantes :
- L’image par une lentille divergente d’un objet réel est virtuelle, droite, et de grandissement
compris entre 0 et 1.
- L’image par une lentille divergente d’un objet virtuel situé en amont du foyer objet est réelle,
droite et de grandissement supérieur à 1.
- L’image par une lentille divergente d’un objet virtuel situé en aval du foyer objet est une image
virtuelle, renversée.
- Où doit se situer un objet AB pour que son image par une lentille convergente soit telle que le
grandissement associé vaille -1 (image renversée et de même taille que l’objet) ?
- À quelle distance d'une lentille convergente, dont la longueur focale est de 1,5 cm, doit-on placer un objet
pour obtenir une image trois fois plus grande ?
Exercices avec correction partielle
Exercice 1 - Loi de Cauchy
L'indice d'un milieu optique varie en fonction de la longueur d'onde du rayon qui le traverse. L'indice d'un
verre est mesuré pour différentes longueurs d'onde, et les résultats sont les suivants:
La relation de Cauchy permet d'interpréter ce
phénomène en donnant la loi de variation de
l'indice optique comme fonction de l'inverse du
carré de la longueur d'onde:
n() = A + B/2
1) Déterminer les unités de A et de B. Pourquoi est-il plus pratique d'étudier n en fonction de 1/2 et non en
fonction de ?
2) Déterminer à l'aide d'une régression linéaire les facteurs A et B.
3) En déduire la valeur de n pour une longueur d'onde de 589 nm.
Réponses : A = 1,468 ; B = 5,1.10-15 m² ; n = 1,483.
Exercice 2 - Mesure de l’indice d’un liquide
Deux fils parallèles, distants de a, sont maintenus à la surface d’un liquide d’indice n. Le liquide est placé
dans une cuve dont le fond est argenté, sur une hauteur h. On observe l’un des fils sous une incidence i0
donnée et on règle h de manière à ce que l’image de l’autre fil coïncide avec le fil observé.
1) Représenter le trajet du rayon lumineux observé issu de l’autre fil.
2) En déduire l’expression de n en fonction de i0, a et h.
Réponse :
.
Exercice 3 - Observer son propre reflet
Un homme est debout devant un miroir plan rectangulaire, fixé sur un mur vertical. Son œil est à 1,70 m du
sol. La base du miroir est à une hauteur h au dessus du sol.
1) Déterminer la hauteur h maximale pour que l’homme puisse voir ses pieds.
2) Comment varie cette hauteur en fonction de la distance d de l’œil au miroir ?
3) Quelle est la hauteur minimale du miroir nécessaire pour que l’homme puisse se voir entièrement, de la
tête (1,80m) aux pieds ?
Réponses : 1) 85 cm ; 2) Pas de dépendance ; 3) 90 cm.
Exercice 4 - Méthode de Poggendorff
Soit une source lumineuse S, située devant un miroir plan (M).
1) Calculer l'angle dont est dévié un rayon réfléchi (associé à un rayon incident issu de S) si (M) tourne
d'un angle .
2) Proposer alors une méthode simple permettant d'évaluer 
Exercice 5 - À la recherche des foyers
On suppose que l’image de l’objet AB se forme nette sur l’écran. Déterminer graphiquement, dans le cadre
de l'approximation de Gauss, les positions des foyers image et objet de la lentille sur la figure ci-dessous,
puis retrouver le résultat par le calcul.
Exercice 6 - Téléobjectif
Un objectif photographique est constitué d’une lentille convergente L1 de centre O1, de distance focale
image = 75 mm. La pellicule  est placée dans le plan focal image de l’objectif. On ajoute à cet objectif
deux lentilles additionnelles :


Une lentille L2 divergente, de centre O2 et de distance focale
mm, que l’on accole à L1 ;
Une lentille L3 convergente, de centre O3 et de distance focale = 100 mm, que l’on fixe devant
le système {L1, L2}. La distance O3O1 est évidemment réglée de manière à ce que l’image d’un
objet éloigné soit nette sur la pellicule.
1) Faire un schéma représentant les lentilles avec les positions relatives des centres optiques et des foyers.
Compléter ce schéma par un tracé de rayons définissant la position du foyer image F’ de ce téléobjectif
constitué par l’ensemble {L1, L2, L3}.
2) Calculer l’encombrement de cet appareil, c’est-à-dire la distance du centre O3 à la pellicule .
3) Calculer la grandeur
de l’image d’une tour
de 60 m de hauteur, située à une distance d = 3 km
de l’objectif.
4) Calculer l’encombrement d’un appareil qui aurait comme objectif une seule lentille donnant une image
de même grandeur. Conclusion ?
Réponses : 1) encombrement : 150 mm ; 2)
mm ; 3) encombrement : 300 mm.
Exercice 7 – Diamètre angulaire apparent
Soit un objet AB situé à l’infini, observé à travers une lentille convergente de distance focale
On ne peut
alors pas utiliser les formules habituelles (relation de conjugaison, grandissement,…) pour le caractériser de
manière quantitative. On utilise alors la notion de diamètre angulaire apparent.
1) Où se trouve l’image A’B’ de l’objet AB ?
2) Soit l’angle
. est appelé diamètre apparent de l’objet. Exprimer en fonction de
et .
Réponses : 1) Dans le plan focal image de la lentille ; 2)
.
Exercices d’entraînement
Exercice 8 - Fibre optique à saut d’indice ★
Une fibre optique à saut d’indice est
constituée d’un cœur (cylindre très long
de diamètre a, de l’ordre de quelques
dizaines de µm, négligeable devant la
longueur) et d’une gaine (voir schéma).
On appelle ouverture numérique O.N.
de la fibre, le sinus de l’angle
d’incidence maximal pour lequel les
rayons qui pénètrent dans le cœur sont
transmis jusqu’en sortie.
Schéma en coupe longitudinale d’une fibre optique classique.
1) Pour quelles valeurs de a l’approximation de l’optique géométrique est-elle acceptable ?
2) Quelles sont les valeurs de i qui autorisent un guidage de l’onde lumineuse ?
3) En déduire la valeur de l’O.N. pour une fibre en fonction des indices n et n’. Faire l’application
numérique pour n =1,46 et n’ =1,48.
4) Soit v la vitesse de propagation de l’information le long de la fibre. Exprimer v en fonction de i, c et n’.
Exercice 9 - Pierre au fond d’une piscine ★★★
Un observateur mesurant Y = 1,8 m est situé à X = 4 m du bord d’une piscine, de profondeur H = 2,5 m, et
de largeur d = 4 m. Un caillou est placé au fond de la piscine (voir figure ci-dessous). Calculer la hauteur
d’eau minimale pour que l’observateur puisse voir le caillou. L’indice de l’eau est pris égal à 1,33.
Exercice 10 - Réflexion sur deux miroirs ★
Un système optique est constitué de deux miroirs plans, formant entre eux un angle α, tel qu’un rayon
lumineux incident parallèle à l’un des deux miroirs repart en sens inverse (même support) après avoir subi
trois réflexions (voir schéma ci-dessous).
Que vaut α ?
Exercice 11 - Modélisation d’un photocopieur ★★
Un photocopieur permet la reproduction d’un document original, avec un grandissement réglable. Le
système optique, qui comprend plusieurs lentilles dont on peut modifier les positions respectives, forme
une image de l’original sur un tambour photosensible. La distance entre le document et ce tambour est fixe,
de valeur d = 384 mm.
Le système optique est en fait équivalent à une unique lentille mince convergente L, de centre O, dont on
peut ainsi régler la position et la distance focale . On se propose de déterminer, pour un grandissement γ
voulu, la position et la distance focale nécessaires.
L’image d’une portion AB du document sera désignée par A’B’. Le point A est sur l’axe optique.
1) Exprimer les distances
et en fonction de d et de γ
2) Effectuer l’application numérique pour
et dans les 3 cas suivants :
- A4 reproduit en A4 (grandeur nature)
- A4 reproduit au format A3 (surface double)
- A4 reproduit au format A5 (surface deux fois plus petite)
Exercice 12 - Latitude de mise au point ★★
Soit le dispositif suivant :
On précise que la distance D est fixe et
que la distance d est variable (paramètre
de réglage). On note également A1B1
l’image de AB par la lentille L1 et A’B’
l’image de A1B1 par la lentille L2.
On donne les distances focales
suivantes : = + 4,0 cm ; = - 6,0 cm.
1) Où doit se trouver un objet pour qu’une lentille divergente en donne une image réelle ? Donner la
position de cette image par rapport à l’objet. Quelle est alors la nature de l’objet pour la lentille divergente
?
2) Le système est réglé de façon à ce que les objets à l’infini donnent une image nette sur l’écran.
a) Quelle est la condition sur D – pour que ceci soit possible ?
b) Lorsque cette condition est réalisée, quelle est la valeur de d, notée d∞, correspondant à ce
réglage ? On précise que d∞ est solution d'une équation du second degré. Application numérique : calculer
d∞ pour D = 5,0 cm. Faire un schéma du système et construire l'image d'un objet AB situé à l'infini et vu
sous un angle , pour D = 5,0 cm.
c) Donner l'expression de la taille de l'image en fonction de , D, d∞ et .
Exercice 13 - Association de lentilles minces ★★★
On considère le système suivant, constitué de l'association de trois lentilles minces (on note Oi, Fi, F'i et
respectivement les centre optique, foyer objet, foyer image et distance focale de la lentille i).
1) Etablir la condition sur e1, e2, e3,
pour que ce système soit un système afocal.
2) On suppose dans toute la suite que F'1. = O2. Comment choisir e3 pour que le système soit afocal ?
3) Sachant que = 4 cm et = 3 cm, calculer le grandissement transversal γ du système.
4) En gardant les mêmes valeurs pour et , établir la relation de conjugaison qui relie l'abscisse x = F1A
d'un objet AB et l'abscisse x' = F'3A' de son image A'B'.
5) On veut que l’image de O1 soit F'3. Quelle valeur de
faut-il adopter pour qu’il en soit ainsi ?
Déterminer dans ces conditions les valeurs des grandissements transversaux i des trois lentilles.
Exercice 14 - Principe de la loupe ★★
Pour examiner un petit objet AB à l’œil nu, en observant le maximum de détails, on doit l’approcher le plus
près possible de l’œil. Toutefois, il existe une distance minimale, appelée dm, en-deçà de laquelle l’œil ne
peut plus accommoder. Le plus grand angle sous lequel on peut voir à l’œil nu l’objet AB net est donc : α =
AB/dm (nous supposons l’objet assez petit pour pouvoir assimiler l’angle et sa tangente). Pour un œil
normal, dm est d’environ 25 cm. Le point A correspondant est appelé punctum proximum (P.P.).
L’observation rapprochée est toutefois fatigante puisque l’œil doit accommoder. L’observation idéale
correspond donc à un objet éloigné (objet à l’infini). L’oeil n’accommode alors plus et on dit que l’objet
observé est au punctum remotum (P.R.) de l’oeil. On peut obtenir cette condition, tout en augmentant
l’angle sous lequel on voit l’objet AB ; il suffit en effet de placer AB dans le plan focal objet d’une lentille
convergente de focale f0. L’image est alors à l’infini. On appelle α' l’angle sous lequel cette image est
observée.
1) Exprimer le grossissement G = α' / α en fonction de f '. Calculer la focale et la vergence de la lentille
pour G = 2.
2) Mettre au point, c’est amener l’image dans le champ de vision de l’œil entre les deux positions
extrêmes : P.R. et P.P.. Le petit déplacement de l’ensemble {loupe-œil} correspondant à ces deux positions
extrêmes de l’image s’appelle la latitude de mise au point. Calculer la latitude de mise au point d’une loupe
constituée par une lentille mince convergente de 3 cm de distance focale pour un œil restant au foyer image
de la loupe.
Questions ouvertes
1) L’indice de réfraction d’un milieu est une fonction décroissante de la température (à une pression
donnée). L’été, dans le désert par exemple, le sol est extrêmement chaud, et chauffe ainsi l’air à son
contact. Ce phénomène se produit aussi sur les routes. Proposer une explication quant au phénomène de
mirage, où l’on croit par une illusion percevoir de l’eau sur le sable chaud d’un désert ou l’asphalte chaude
d’une route.
2) En quelle saison peut-on voir le plus loin ?
3) Une personne myope possède des lunettes, mais porte à leur place parfois des lentilles de contact. Sur
l’ordonnance donnée par l’ophtalmologiste, la correction est légèrement différente pour les lunettes et les
lentilles. Expliquer.