PCSI 2 Statique des fluides
2016 – 2017 5/6
A quelle altitude cette pression serait-elle divisée par deux par rapport à sa valeur au sol ?
2) La prise en compte de la variation de la température avec l’altitude amène à modifier l’expression P(z). En prenant le niveau de
la mer comme altitude de référence z0, et en prenant pour l'atmosphère un état moyen défini par l'atmosphère normalisée type
OACI (Température au sol 15°C = 288,15 K, pression au sol 1013,25 hPa, gradient vertical de température 0,65 K pour 100 m), on
obtient la formule internationale du nivellement barométrique donnant la pression P(z) exprimée en hectopascals (ou millibars) à
l'altitude z exprimée en mètres :
.
Ce modèle est construit à partir d’une description dite polytropique de l’atmosphère selon laquelle pression et température sont
reliées par une loi de forme : P(1 – k)
.Tk
= Cste.
A partir des informations précédentes, déterminer la valeur du coefficient polytropique k menant à l’expression numérique P(z)
proposée.
Réponse : 5,7 km ; 1,235.
IX Une cloche cylindrique de masse m, dont l’épaisseur des parois est négligeable, est
renversée puis plongée verticalement dans une cuve remplie d’eau. On désigne
respectivement par S et Ho la section et la hauteur du cylindre, par ρ la masse
volumique de l’eau et par po la pression atmosphérique extérieure.
La cloche s’enfonce dans le liquide en emprisonnant un volume d’air initial égal à son
volume intérieur (cf. figure ci-contre). La répartition de la masse de la cloche est telle
que dans son état d’équilibre final, elle flotte en restant verticale.
On négligera la masse volumique de l’air devant celle de l’eau. On supposera que l’air
dans la cloche peut être assimilé à un gaz parfait, que sa pression à l’intérieur du
récipient est uniforme et qu’il subit une transformation isotherme.
On donnera les réponses en fonction des données suivantes : m, g, S, po, ρ, ρo et Ho.
1) Exprimer la hauteur h de la partie immergée du récipient.
2) Exprimer le volume V1 de l’air emprisonné dans la cloche.
3) Calculer la pression p1 de l’air de l’air dans la cloche.
4) Une vanne située dans la partie supérieure de la cloche permet d’évacuer une quantité d’air suffisante pour que la cloche
s’enfonce jusqu’à ce que la base du cylindre affleure juste la surface de l’eau dans la cuve. Calculer la pression p2 de l’air dans la
cloche.
5) Calculer le volume V2 de l’air dans la cloche.
6) La cloche vide est maintenant déposée à l’endroit sur l’eau et elle est remplie d’un liquide de masse volumique ρo > ρ .
Quel est le volume maximal VM de liquide que l’on peut mettre dans la cloche avant qu’elle coule ?
Réponse :
.
X Résolution de problème : Montgolfière
Estimer la température minimale à laquelle l’air interne à l’enveloppe d’une montgolfière doit être portée pour assurer son décollage.
Données :
Le champ de pesanteur est uniforme de module g = 9,8 m.s-2.
Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K-1mol-1 ; Masse molaire de l’air : M = 29 g.mol-1
Température atmosphérique au sol To = 288 K ; pression au sol Po = 1,01.105 Pa.
Masse de l’enveloppe et de la nacelle : 150 kg ; charge utile (dont brûleur et combustible) 350 kg.
Volume : Vo = 2400 m3
Réponse : 74°C.
XI L’atmosphère de Titan
Saturne possède un satellite remarquable, Titan, sur lequel la sonde Huygens, véhiculée par la capsule spatiale Cassini, s’est posée
avec succès le 14 janvier 2005. Les capteurs embarqués ont permis d’enregistrer les variations de la pression et de la température en
fonction de l’altitude.
La figure suivante donne sur l’axe de gauche la pression de l’atmosphère en Pascal, en échelle logarithmique, sur l’axe de droite
l’altitude correspondante en km, en échelle non régulière, et sur l’axe horizontal la température en Kelvin en échelle linéaire. La courbe
tracée permet donc de suivre l’évolution de la température en fonction de l’altitude ou de la pression.