Structures algébriques : A. Groupes : Définition 1 : Soit G un ensemble et * une loi de composition interne (LCI) sur G. On dit que (G,*) est un groupe si : (i) * est associative ; (ii) G contient un élément neutre pour la loi * (noté e) (iii) Tout élément de g admet un symétrique pour * (noté x-1). (iv) Si, de plus * est commutative, on dit que (G,*) est un groupe commutatif Remarques: Lorsque la loi est notée +, le symétrique est appelé opposé et noté –x. Lorsque la loi est notée ., x , le symétrique est appelé inverse et noté x-1. Exemples : * * * • (Z,+), (Q, +), (R,+), (C,+) sont des groupes, de même que (Q , .), (R ,.), (C ,.). Qu’en est il de ((R*+,.) , (Q*-,x).. * • Par contre ((N,+),(Z ,.) n’en sont pas. Pourquoi ? Définition 2 : Soient (G, *) et (H, ¤) deux groupes. Un homomorphisme du groupe (G, *) vers le groupe (H, ¤) est une application ϕ de G vers H qui vérifie : ϕ(x * y) = ϕ(x ) ¤ ϕ(y) pour tous x et y dans G Exemples : + • L’application exp est un homomorphisme de (R,+) sur (R* ,x). + • L’application ln est un homomorphisme de (R* ,x).sur (R,+) . iθ • L’application θ → e est un homomorphisme de (R, +) sur ((C*,x). Définition 3 : Soit (G, *) un groupe et H un sous-ensemble de G. On dit que H est un sous-groupe de (G, *) si (i) H est stable pour la loi * (ie : * est une LCI sur H) (ii) l’élément neutre de (G, *) est élément de H (c’est donc un élément neutre dans H) (iii) tout élément de H admet un symétrique pour la loi * dans H. Dans ce cas (H, * ) est lui-même un groupe. Exemples : • (Z,+) est un sous-groupe de (R,+) • U l’ensemble des complexes de module 1 est un sous-groupe de (C*, x) … jj/09/aa 1 structures algébriques Groupes et géométrie : Exercice 1 : On considère un ensemble fini E = {a, b, c} . (i) Combien y a-t-il de bijections de E dans lui-même ? On note Bij(E) l’ensemble de ces bijections. (ii) La loi de composition des applications notée o est elle une LCI dans Bij(E) ? (iii) (Bij(E) ,o) est il un groupe. Ce groupe est-il commutatif ? (iv) Noter f,g,h,…k les éléments de E. Calculer tous les « produits » fog etc… que l’on peut obtenir. Présenter cela dans un tableau. Exercice 2 : (i) On considère l’ensemble H des homothéties du plan. La loi o est elle une LCI sur H ? (ii) On considère l’ensemble H ∪ T des homothéties et des translations du plan la loi o lui confère-t-elle une structure de groupe ? Ce groupe est-il commutatif ? Pouvez vous donner quelques exemples de sous-groupes si c’en est un ? B. Anneaux et corps : Définition 3 : Soit A muni de deux LCI notées + et x. On dit que (A, +, x) est un anneau si : (1) (A, +) est un groupe commutatif. (2) La loi x est associative et distributive par rapport à l’addition. Si, x possède un élément neutre dans A, on dit que l’anneau est unitaire ; Si (A, +, *) est un anneau unitaire dans lequel tout élément non nul possède un symétrique pour x dans A, on dit que (A, +, x) est un corps. (4) Si x est commutative, on dit que l’anneau (ou le corps est commutatif). (3) Exemples : • • • • • • (Z,+,x), est un anneau commutatif et unitaire… (Q, +,x), (R,+,x), (C,+,x) sont des corps commutatifs. On note Z[ 2 ] l’ensemble {a+ b 2∈ R,b∈ Z } . Montrer que (Z[ 2 ],+,x) est un anneau commutatif et unitaire. On note Q[ 2 ] l’ensemble {a+ b 2∈ R,b∈ Q} . Montrer que (Q[ 2 ],+,x) est un corps. jj/09/aa 2 structures algébriques